2025年高考数学必刷题分类：第53讲、传统方法求角度与距离（学生版）

第53讲传统方法求角度与距离

知识点1：线与线的夹角

平行直线

共面直线

（1）位置关系的分类：相交直线

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

（2）异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a∥a，b∥b，把a与b所

成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．

②范围：(0，]

2

③求法：平移法：将异面直线a，b平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．

知识点2：线与面的夹角

①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．

②范围：[0，]

2

③求法：

常规法：过平面外一点B做BB平面，交平面于点B'；连接AB，则BAB即

BBh

为直线AB与平面的夹角．接下来在Rt△ABB中解三角形．即sinBAB

AB斜线长

（其中h即点B到面的距离，可以采用等体积法求h，斜线长即为线段AB的长度）；

知识点3：二面角

（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线

称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角l或者是二面角ACDB）

（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面

内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围[0，]．

（3）二面角的求法

法一：定义法

在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面

角的平面角，如图在二面角l的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和

内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角（当然两条

垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．

法二：三垂线法

在面或面内找一合适的点A，作AO于O，过A作ABc于B，则BO为斜线

AB在面内的射影，ABO为二面角c的平面角．如图1，具体步骤：

①找点做面的垂线；即过点A，作AO于O；

②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过A作ABc于B，连接BO；

③计算：ABO为二面角c的平面角，在Rt△ABO中解三角形．

图1图2图3

法三：射影面积法

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的

S射S

都可利用射影面积公式（cos=A'B'C'，如图2）求出二面角的大小；

S斜SABC

法四：补棱法

当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确

的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，

也可直接用法三的摄影面积法解题．

法五：垂面法

由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所

成的角，就是二面角的平面角．

例如：过二面角内一点A作AB于B，作AC于C，面ABC交棱a于点O，则

BOC就是二面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了．

知识点4：空间中的距离

求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．

必考题型全归纳

题型一：异面直线所成角

例1．（2024·四川绵阳·绵阳中学校考二模）如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M，N分

别在上、下底面圆上，NB2AN，CM2DM，AB2，BC3，则异面直线AM与CN

所成角的余弦值为（）

33033033

A．B．C．D．

102054

例2．（2024·全国·高三校联考开学考试）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

ABBCACAA1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值等于（）

3111

A．B．C．D．

2234

5π

例3．（2024·江西·高三统考阶段练习）如图，二面角l的大小为,a,b，且

6

π

a与交线l所成的角为，则直线a,b所成的角的正切值的最小值为（）

3

393313

A．3B．C．D．

13313

变式1．（2024·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，

ABAA1，D为A1B1的中点，E为A1C1的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（）

6353535

A．B．C．D．

610147

π

变式2．（2024·全国·高三对口高考）两条异面直线a、b所成角为,一条直线l与a、b成角

3

都等于，那么的取值范围是（）

πππππ5ππ2π

A．,B．,C．,D．,

32626633

变式3．（2024·四川·校联考模拟预测）在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，AB2A1B14，其

282

体积为,E为B1D1的中点，则异面直线AD1与BE所成角的余弦值为（）

3

333330

A．B．C．D．

1051010

变式4．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长

均相等，E是B1C1的中点，则异面直线AB1与BE所成角的余弦值为（）

2210310

A．B．C．D．

432020

题型二：线面角

例4．（2024·贵州贵阳·校联考三模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABACAA1，

BAC60，则AB1与平面AA1C1C所成角的正弦值等于（）

23610

A．B．C．D．

2244

例5．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，AB//CD，ABC90，

△ADP是等边三角形，ABAP2，BP3，ADBP.

(1)求BC的长度；

(2)求直线BC与平面ADP所成的角的正弦值.

例6．（2024·广东阳江·高三统考开学考试）在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB6，

A1B1AA13，D为A1C1中点，E在BB1上，EB2B1E.

(1)请作出A1B1与平面CDE的交点M，并写出A1M与MB1的比值（在图中保留作图痕迹，不

必写出画法和理由）；

(2)求直线BM与平面ABC所成角的正弦值.

变式5．（2024·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在多面体ABCDEFG中，平面

ABC平面DEFG，底面ABC是等腰直角三角形，ABBC2，侧面ACGD是正方形，

DA平面ABC，且FB∥GC，GEDE.

(1)证明：AEGE．

(2)若O是DG的中点，OE平面BCGF，求直线OE与平面BDG所成角的正弦值．

变式6．（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥OABC中，ABBCOB2,ABC120，

平面BCO平面ABC，且OBAB.

(1)证明：OBAC；

(2)若F是直线OC上的一个动点，求直线AF与平面ABC所成的角的正切值最大值.

变式7．（2024·湖南邵阳·高三统考学业考试）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是

边长为2的正方形，AC与BD交于点O，PA面ABCD，且PA2.

(1)求证BD平面PAC.；

(2)求PD与平面PAC所成角的大小．

变式8．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C底面ABC，

ACB90,AA12，A1到平面BCC1B1的距离为1．

(1)证明：A1CAC；

(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．

变式9．（2024·全国·模拟预测）如图，在多面体ABCDE中，平面ACD平面ABC，BE

23

平面ABC，ACD是边长为2的正三角形，ABBC，BE3．

3

(1)点M为线段CD上一点，求证：DEAM；

(2)求AE与平面BCE所成角的正弦值．

变式10．（2024·海南海口·统考模拟预测）如图，四棱锥PABCD中，AB//CD，ABAD，

平面PAD平面PCD.

(1)证明：平面PAD平面ABCD；

(2)若AD2AB2，PB2，PD5，BC与平面PCD所成的角为，求sin的最大值.

变式11．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，AD//BC，

BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M，N分别为PC，PB的中点．

(1)证明：PBDM．

(2)求BD与平面ADMN所成角的正弦值．

变式12．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为直角

1

梯形，AB//CD，ABCD，CDCE，ADCEDC45，AD2，BE3．

2

(1)求证：平面ABE平面ABCD；

(2)设M为AE的中点，求直线DM与平面ABCD所成角的正弦值．

题型三：二面角

例7．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱ABCABC中，已知CB平面

ABBA,AB2，且ABBB,ACAB.

(1)求AA的长；

(2)若D为线段AC的中点，求二面角ABCD的余弦值.

例8．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，

CBB160,ABBC2,ACAB12.

(1)证明：平面ACB1平面BB1C1C；

(2)求二面角AA1C1B1的余弦值.

例9．（2024·广东深圳·高三校联考开学考试）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，

ABPD.

(1)证明：平面PAD平面ABCD；

(2)若PAPD，PDA60，求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.

变式13．（2024·四川成都·高三川大附中校考阶段练习）如图，AB是圆O的直径，点P在圆

O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且AC2BC，点D是PA的中点，PO与BD交于

点E，点F是PC上的一个动点.

(1)求证：BCPA；

(2)求二面角BPCO平面角的余弦值.

变式14．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知在四棱锥PABCD中，AB4，

BC3，AD5，DABABCCBP90，PACD，E为CD的中点.

(1)证明：平面PCD平面PAE；

(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角PCDA

的正弦值.

变式15．（2024·广东广州·高三广州市第六十五中学校考阶段练习）如图，在五面体ABCDE

中，AD平面ABC，ADBE，AD2BE，ABBC.

(1)问：在线段CD上是否存在点P，使得PE平面ACD?若存在，请指出点P的位置，并

证明；若不存在，请说明理由.

(2)若AB3，AC2，AD2，求平面ECD与平面ABC夹角的余弦值.

变式16．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，在梯形ABCD中，ABCD，

ADDCCB1，ABC60，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF1.

(1)求证：BC平面ACFE；

(2)求二面角ABFC的平面角的余弦值；

(3)若点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为(90)，

试求cos的范围.

变式17．（2024·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图，AB是圆O的直径，点C

是圆O上异于A,B的点，直线PC平面ABC,E,F分别是PA,PC的中点．

(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，证明：l平面PCB；

1

(2)设（1）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足DQCP．记直线PQ与平面

2

ABC所成的角为，异面直线PQ与EF所成的角为，二面角ElC的大小为，求证：

sinsinsin．

变式18．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥PABC中，ABBC，AB2，

BC22，PBPC6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD5DO，点F在

AC上，BFAO.

(1)证明：EF//平面ADO；

(2)证明：平面ADO平面BEF；

(3)求二面角DAOC的正弦值.

变式19．（2024·广东广州·统考三模）如图，在几何体ABCDEF中，矩形BDEF所在平面与

平面ABCD互相垂直，且ABBCBF1，ADCD3，EF2．

(1)求证：BC平面CDE；

(2)求二面角EACD的平面角的余弦值．

变式20．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，

ABAP，平面PCD平面ABCD,PDAD.

(1)若H为AP的中点，证明：AP平面HCD；

(2)若AB1,AD5,PA22，求平面PAB与平面PCD所夹角的余弦值.

变式21．（2024·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在图1中，ABC为等腰直角

三角形，ÐB=90°，AB22，ACD为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，

且EC2BE，沿AC将ACD进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，

FE，使得FB4．

(1)证明：FO平面ABC．

(2)求二面角EFAC的余弦值．

变式22．（2024·江苏苏州·校联考三模）如图，在三棱锥PABC中，ABC是边长为62的

等边三角形，且PAPBPC6，PD平面ABC，垂足为D,DE平面PAB，垂足为E，

连接PE并延长交AB于点G.

(1)求二面角P-AB-C的余弦值；

(2)在平面PAC内找一点F，使得EF平面PAC，说明作法及理由，并求四面体PDEF的

体积.

变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知四棱锥PABCD的底面为梯形ABCD，且AB//CD，

又PAAD，ABAD1，CD2，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面PBCl．

(1)判断直线l和BC的位置关系，并说明理由；

2

(2)若点D到平面PBC的距离为，请从下列①②中选出一个作为已知条件，求二面角

3

BlD余弦值大小．

①CDAD；

②PAB为二面角PADB的平面角．

题型四：距离问题

例10．（2024·山东滨州·高三山东省北镇中学校考阶段练习）如图所示的斜三棱柱

ABC-A1B1C1中，AA1B1B是正方形，且点C1在平面AA1B1B上的射影恰是AB的中点H，M

是C1B1的中点．

(1)判断HM与面CAA1C1的关系，并证明你的结论；

(2)若C1H3，AB2，求斜三棱柱两底面间的距离．

例11．（2024·北京海淀·高三海淀实验中学校考期末）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平

面A1C1CA平面BCC1B1，侧面A1C1CA是边长为2的正方形，C1BC1C2,E,F分别为

BC,A1B1的中点.

(1)证明：EF面A1C1CA

(2)请再从下列三个条件中选择一个补充在题干中，完成题目所给的问题.

π1

①直线AB与平面BCCB所成角的大小为；②三棱锥FBCE的体积为；③BC^AC.

1141311

若选择条件___________.

求（i）求二面角FBC1E的余弦值；

（ii）求直线EF与平面A1C1CA的距离.

例12．（2024·全国·高三专题练习）如图，三棱锥PABC中，PAB，ABC均为等边三角

形，PA4，O为AB中点，点D在AC上，满足AD1，且面PAB面ABC．

(1)证明：DC面POD；

(2)若点E为PB中点，问：直线AC上是否存在点F，使得EF∥面POD，若存在，求出FC

的长及EF到面POD的距离；若不存在，说明理由．

变式24．（2024·