2025年高考数学必刷题分类：第37讲、三角形四心及奔驰定理（学生版）

第37讲三角形四心及奔驰定理

知识梳理

技巧一．四心的概念介绍：

（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．

（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相

等．

（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．

技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点．

已知的顶点，，，，，，则△的重心坐标为

△ABCA(x1y1)B(x2y2)C(x3y3)ABC

xxxyyy

G(123，123)．

33

注意：（1）在△ABC中，若O为重心，则OAOBOC0．

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．

11

重心的向量表示：AGABAC．

33

奔驰定理：，则△、△、△的面积

SAOASBOBSCOC0AOBAOCBOC

之比等于

3:2:1

奔驰定理证明：如图，令，，，即满足

1OAOA12OBOB13OCOC1

OA1OB1OC10

S△AOB1S△AOC1S△BOC1

，，，故S△:S△:S△::．

SSSAOBAOCBOC321

△A1OB112△A1OC113△B1OC123

技巧三．三角形四心与推论：

（）是的重心：．

1O△ABCS△BOC:S△COA:S△A0B1:1:1OAOBOC0

（）是的内心：．

2O△ABCS△B0C:S△COA:S△AOBa:b:caOAbOBcOC0

（3）O是△ABC的外心：

．

S△B0C:S△COA:S△AOBsin2A:sin2B:sin2Csin2AOAsin2BOBsin2COC0

（4）O是△ABC的垂心：

．

S△B0C:S△COA:S△AOBtanA:tanB:tanCtanAOAtanBOBtanCOC0

技巧四．常见结论

ABAC

（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上．

ABAC

ABPCBCPCCAPB0P为△ABC的内心．

（2）外心：PAPBPCP为△ABC的外心．

（3）垂心：PAPBPBPCPCPAP为△ABC的垂心．

（4）重心：PAPBPC0P为△ABC的重心．

必考题型全归纳

题型一：奔驰定理

例1．（2024·全国·高一专题练习）已知O是ABC内部的一点，A，B，C所对的边

分别为a3，b2，c4，若sinAOAsinBOBsinCOC0，则AOB与ABC的面积

之比为（）

4125

A．B．C．D．

9399

例2．（2024·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知O是三角形ABC内部一点，且

OA2OBOC0，则AOB的面积与ABC的面积之比为（）

1111

A．B．C．D．

2345

例3．（2024·全国·高一专题练习）若点M是ABC所在平面内的一点，点D是边AC靠近A

的三等分点，且满足5AMABAC，则ABM与△ABD的面积比为（）

1239

A．B．C．D．

55525

变式1．（2024·全国·高三专题练习）平面上有ABC及其内一点O，构成如图所示图形，若

将OAB，△OBC，OCA的面积分别记作Sc，Sa，Sb，则有关系式

uuruuuruuurr

．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为奔驰定

SaOASbOBScOC0logo“

理”．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足aOAbOBcOC0，

则O为ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

变式2．（2024·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个

非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其

为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分

别为SA、SB、SC，则有SAOASBOBSCOC0，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，

∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（）

A．若OAOBOC0，则O为△ABC的重心

B．若OA2OB3OC0，则SA:SB:SC1:2:3

C．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则

tanBACOAtanABCOBtanACBOC0

5π9

D．若OAOB2，AOB，2OA3OB4OC0，则SABC

62

变式3．（多选题）（2024·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面

向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo

很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是ABC内一点，BOC，AOC，

AOB的面积分别为SA,SB,SC，则SAOASBOBSCOC0，O是ABC内的一点，∠

BAC，∠ABC，∠ACB分别是ABC的三个内角，以下命题正．确．的有（）

A．若2OA3OB4OC0，则SA:SB:SC4:3:2

2

93

B．若OAOB2，AOB，且2OA3OB4OC0，则S△

3ABC4

C．若OAOBOBOCOCOA，则O为ABC的垂心

π

D．若O为ABC的内心，且5OA12OB13OC0，则ACB

2

变式4．（多选题）（2024·全国·高一专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结

论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为

“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是ABC内一点，BOC、AOC、AOB的面积分别为SA、

SB、SC，则SAOASBOBSCOC0.设O是锐角ABC内的一点，BAC、ABC、

ACB分别是ABC的三个内角，以下命题正确的有（）

A．若OA2OB3OC0，则SA:SB:SC1:2:3

5π9

B．OAOB2，AOB，2OA3OB4OC0，则SABC

62

π

C．若O为ABC的内心，3OA4OB5OC0，则C

2

D．若O为ABC的重心，则OAOBOC0

题型二：重心定理

例4．（2024·福建泉州·高一校考期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重

心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称

为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知ABC的外心为O，重心为G，垂心为

H，M为BC中点，且AB5，AC4，则下列各式正确的有______．

①AGBC3②AOBC6

③OHOAOBOC④ABAC4OM2HM

例5．（2024·全国·高一专题练习）点O是平面上一定点，A、B、C是平面上ABC的三个

顶点，B、C分别是边AC、AB的对角，以下命题正确的是_______（把你认为正确的

序号全部写上）．

①动点P满足OPOAPBPC，则ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；

ABAC

②动点P满足OPOA()(0)，则ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；

|AB||AC|

ABAC

③动点P满足OPOA()(0)，则ABC的重心一定在满足条件的P

|AB|sinB|AC|sinC

点集合中；

ABAC

④动点P满足OPOA()(0)，则ABC的垂心一定在满足条件的P

|AB|cosB|AC|cosC

点集合中；

OBOCABAC

⑤动点P满足OP()(0)，则ABC的外心一定在满足条件

2|AB|cosB|AC|cosC

的P点集合中．

例6．（2024·河南·高一河南省实验中学校考期中）若O为ABC的重心（重心为三条中线交

点），且OAOBOC0，则___．

变式5．（2024·全国·高一专题练习）（1）已知△ABC的外心为O，且AB=5，AC3，则

AOBC______．

（2）已知△ABC的重心为O，且AB=5，AC3，则AOBC______．

（3）已知△ABC的重心为O，且AB=5，AC3，A，D为BC中点，则AOOD____．

3

变式6．（2024·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）在ABC中，AB2，

ABC60，ACAB1，若O是ABC的重心，则BOAC______.

变式7．（2024·江西南昌·高三校联考期中）锐角ABC中，a，b，c为角A，B，C所对

的边，点G为ABC的重心，若AGBG，则cosC的取值范围为______．

变式8．（2024·全国·高三专题练习）过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点

3

Q，PCAC，QCnBC，则n的值为________.

4

变式9．（2024·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）在ABC中，过重心G的直线

交边AB于点P，交边AC于点Q，设△APQ的面积为S1，ABC的面积为S2，且

S1

APAB,AQAC，则的取值范围为_________．

S2

题型三：内心定理

例7．（2024·湖北·模拟预测）在ABC中，ABAC16，SABC6，BC3，且ABAC，

若O为ABC的内心，则AOBC_________．

例8．（2024·全国·高三专题练习）已知RtABC中，AB3，AC4，BC5，I是ABC的

内心，P是IBC内部（不含边界）的动点.若APABAC（，R），则的取

值范围是______.

例9．（2024·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考阶段练习）设I为ABC的内心，

ABAC5，BC6，AImABnBC，则mn为________．

变式10．（2024·福建福州·高三福建省福州第一中学校考阶段练习）已知点O是ABC的内

31

心，若AOABAC，则cosBAC______.

77

变式11．（2024·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）在面上有ABC及内一点O满足

关系式：S△OBCOAS△OACOBS△OABOC0即称为经典的“奔驰定理”，若ABC的三边为

a，b，c，现有aOAbOBcOC0，则O为ABC的__心.

变式12．（2024·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不

ABAC

共线的三点，动点P满足OPOAR，则点P的轨迹一定经过ABC

ABAC

的（）

A．重心B．外心C．内心D．垂心

x2y2

变式13．（2024·江西·校联考模拟预测）已知椭圆1的左右焦点分别为F1，F2，P为

1612

△

椭圆上异于长轴端点的动点，G，I分别为PF1F2的重心和内心，则PIPG（）

416

A．B．3C．2D．

33

变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC，I是其内心，内角A,B,C所对的边分别

a,b,c，则（）

1cABbAC

A．AI(ABAC)B．AI

3aa

bABcACcABbAC

C．AID．AI

abcabcabac

3

变式15．（2024·全国·高三专题练习）在△ABC中，cosA，O为△ABC的内心，若

4

AOxAByACx,yR，则x＋y的最大值为（）

26677822

A．B．C．D．

3567

变式16．（2024·全国·高三专题练习）点O在ABC所在平面内，给出下列关系式：

（1）OAOBOC0；

（2）OAOBOBOCOCOA；

骣uuuvuuuv骣uuuvuuv

uuv珑ACAB鼢uuuvBCBA

（）×珑uuuv-uuuv鼢=×uuuv-uuv=；

3OA珑鼢OB0

梃珑ACAB鼢BCBA

（4）(OAOB)AB(OBOC)BC0．

则点O依次为ABC的（）

A．内心、外心、重心、垂心；B．重心、外心、内心、垂心；

C．重心、垂心、内心、外心；D．外心、内心、垂心、重心

变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，

O为ABC内一点，若分别满足下列四个条件：

①aOAbOBcOC0；

②tanAOAtanBOBtanCOC0；

③sin2AOAsin2BOBsin2COC0；

④OAOBOC0；

则点O分别为ABC的（）

A．外心、内心、垂心、重心B．内心、外心、垂心、重心

C．垂心、内心、重心、外心D．内心、垂心、外心、重心

题型四：外心定理

例10．（2024·山西吕梁·高三统考阶段练习）设O为ABC的外心，且满足

2OA3OB4OC0，OA1，下列结论中正确的序号为______．

7

①OBOC；②AB2；③ÐA=2ÐC．

8

例11．（2024·河北·模拟预测）已知O为ABC的外心，AC3，BC4，则

OCAB___________．

例12．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知O是ABC的外

uuuruuur

ACuuuruuurABuuuruuuruuur2

心，若uuurABAOuuurACAO2mAO，且sinBsinC3，则实数m的最大值为

ABAC

______．

变式18．（2024·全国·高三专题练习）设O为ABC的外心，若AB=4，BC23，则

BOAC___________.

变式19．（2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知点O是△ABC的外心，a，

πcosBcosC

b，c分别为内角A，B，C的对边，A，且ABAC2OA，则的值为________．

3sinCsinB

变式20．（2024·全国·高三专题练习）在ABC中，AB6，AC35．点M满足

111

AMABAC．过点M的直线l分别与边AB,AC交于点D,E且ADAB，

54

1uuur