分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）课件2023学年高二下学期数学人教A版选择性

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第六章计数原理2025/4/1高二数学备课组引

入汽车号牌的所有可能的序号数计数问题玩具的数量班际篮球比赛场数红、黄、绿三面旗帜组成航海信号数量很多分类加法计数原理最基本、最重要的方法：分步乘法计数原理排列数公式应用二项式定理计数公式：组合数公式如何提高效率呢？列举引

入当问题中的数量很大时，如何巧妙设计“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.问题1用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码?因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.引

入问题2

你能说一说这个问题的特征吗?

首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现:一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示.因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同.这两类号码数相加就得到号码的总数.这里的“或”代表分类.上述计数过程的基本环节是：(1)确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；(2)分别计算各类号码的个数；

(3)各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.我们把这种计数方法称为分类加法计数原理.从特殊到一般的思想探究新知一般地，如果完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有

N＝m＋n种不同的方法.两类不同方案中的方法互不相同1.分类加法计数原理：分类加法计数流程：分类计数结论将完成这件事的方法分几类求出每一类的方法数将每一类的方法数相加得出结果例题讲解例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表.如果这名同学只能只能选一专业，那么他共有多少种选择？A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学

解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所.在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法.因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为课堂练习2.在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，那么A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10.这种算法有什么问题？A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学数学

解：这种算法有问题，因为问题强调的是这名同学的专业选择，故并不需要考虑学校的差异，所以这名同学可能的专业选择种数应当为探究新知问题3

如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?追问：如果完成一件事有n类不同方案，在每一类方案中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢?N=m1+m2+m3分类加法计数原理推广：

完成一件事,如果有n类方案,第1类方案中有m1种不同的方法,第2类方案中有m2种不同的方法，……，第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.各类不同方案中的方法互不相同类比的思想探究新知正确理解分类加法计数原理：①分类加法计数原理针对的是“分类”问题，②完成一件事要分为若干类，③各类的方法相互独立，④各类中的各种方法也相对独立，⑤用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.探究新知问题4

用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以A1,A2,‧‧‧,A9,B1,B2,‧‧‧的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码?这里仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同.与前一问题不同，这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤.A19423数字5768字母得到的号码A1A2A3A4A5A6A7A8A9树状图追问1：能用树状图列出所有可能的号码吗?

用右图所示的方法可以列出所有可能的号码.由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，问题4

用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以A1,A2,‧‧‧,A9,B1,B2,‧‧‧的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码?探究新知A19423数字5768字母得到的号码A1A2A3A4A5A6A7A8A9树状图我们把上述这种计数方法称为分步乘法计数原理.由此编出的不同号码共有

9×6=54种.追问1：你能说一说这个问题的特征吗?上述计数过程的基本环节是：（1）“和”字的出现，可确定完成编号要分为先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字两个步骤；（2）分别计算各步号码的个数；（3）将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数.探究新知2.分步乘法计数原理：一般地，完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有

N＝m×n种不同的方法.②各步骤相互依存,只有各步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理.注意：①无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数.例题讲解例2某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法?解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法；

第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法.

根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为

N＝30×24=720.探究新知

如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.问题5

如果完成一件事有三个步骤,做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?N＝m1×m2×m3追问：

如果完成一件事需要有n个步骤,

做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?分步乘法计数原理推广探究新知正确理解分步乘法计数原理：①分步计数原理针对的是“分步”问题，②完成一件事要分为若干步，③各个步骤相互依存，④完成任何其中的一步都不能完成该件事，⑤只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.例题讲解例3书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.

(1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法?

(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法?解：(1)根据分类加法计数原理，不同的取法种数为

N＝4＋3＋2＝9.(2)根据分步乘法计数原理，不同的取法种数为

N＝4×3×2=24.探究新知注意：确定分步标准时要确保每一步都不能独立地完成这件事.分步乘法计数流程：分步计数结论将完成一件事的过程分成若干步求出每一步中的方法数将每一步中的方法数相乘得最终结果探究新知问题6：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的相同点和不同点是什么?分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点不同点注意点用来计算完成一件事的方法种数每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）相加相乘类类独立步步关联不重不漏缺一不可分类、分步、课堂练习1.填空题(1)一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是________；

(2)从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是_________.96课堂练习3.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书.

(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法?

(2)从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法?4.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名.

(1)从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?

(2)从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?解：(1)11种；(2)30种.解：(1)12种；(2)60种.课堂小结一、两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理二、两种