高中数学教师讲义;第三章三角函数文档资料

第三讲外代数小题之三角函数的图象与性质

知识讲解:

定义域：R

最大值:当x=2kn+(n/2),kWZ时，y(max)=l

最小值:当x=2kn+(3n/2),kWZ时,y(min)=-l

零值点：(":Q),keZ

奇偶性：奇函数

单调性：在t-(n/2)+2kn,(n/2)+2kn】上是增函数，在t(n/2)+2kn,(3n/2)+2kn】上是

减函数

正弦型函数解析式:y=Asin(3x+c|))+h

各常数值对函数图像的影响：

奴初相位):决定波形与X轴位置关系或横向移动距离(左加右减)

3：决定周期(最小正周期T=2A/|3|)

A:决定峰值(即纵向拉伸压缩的倍数)

h:表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离(上加下减)

作图方法运用"五点法"作图

五点作图法"即当C0X+4)分别取0,n/2,n,3n/2,2兀时y的值.

•函数y=Asinx（A>0且A#）的图象可以看作是把

y=sinr的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）

或缩短（当OvAvl时）到原来的A倍（横坐标不变）

而得到的。y=Asinx,*£区的值域为［八八］,最

大值为A,最小值为-A.

・函数y=sina>x（co>0且o#l）的图象可以看作是

把尸sinx的图象上所有点的横坐电缩短（当co>l

时）或伸长（当Ovcovl时）到原来的（声（纵坐标

不变）而得到的。

・函数y=sin（x+如的图象可以看作是把y=sinx的

图象上所有的点向左（当时）或向右（当时）

平移取个单位而得到的。

第一部分：正弦函数的图像及性质

典型例题

【例01］已知函数/(x)=sin(w.r+力)(3>0,|*|<g)的最小正周期是n,把它图象向右平

移彳个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.现有下列结论：

①函数f(x)的图象关于直线x=1对称；

②函数/(x)的图象关于点哈.0)对称；

③函数/(X)在区间1-会-总上单调递减；

④函数/(外在咛争上有3个零点.

其中所有正确结论的编号是()

A.睡B.@@C.(2X§)D.

答案:P

思路：先由已知的最小正周期得到co,再由平移后得到奇函数求得(P，此时解析

式已知，然后分别验证各选项。

■因为函数f(X)=sih(cox+(a(卬>。,。卜立/2)的最小正周期是兀，所以

2兀/005,得3=2,则f(X)=sM(2x+4)；礴函数f(X)的图像向右平移p/3

个单位长度后得到的图像所对应的解析式为g(x)=siM2X-2Tr/3+e)为奇函数，

则g(O)=sM(-2Tr/3+e)=。,此时-2兀/3+("<几(k£z)，解得cf>=krc-i-2.TC

/3(kez),因%同。/2新以4=-1€+21€/3=-兀/为此时g(X)=s/k(2.x-2.it

/3-7t/3)=sih(2x-Tt)=-si八2x,则g(-x)=-sM(-2x)=si八2x=-g(X),因为函

数g(X)的定义域为R,所以当E=F/3时，函数g(X)是奇函数，则行F/3

满足题意。所以f(X)=sin(2x-n:/3)

①因为f(STT/12)=sW5rt/6-rt/3)=siM/2=1,所以直线X-STC/^2.是函数

f(X)的图像的一条对称轴，即函数f(X)的图像关于直线X=5rc/L2对称，

所以①正确；

②因为F(T€/12)=sM(Tr/6-rt/3)=sW-rt/6)=-1/2心，所以函数f(X)的图

像不关于点(兀/12,。)对称。故②错误；

③令(2XF/3)e［2/cr计TT/2,2/<兀Sh/2］(/<=),解得*©［/<P+5几/工2,

kr计工工P/12J,所以函数f(X)的单调减区间为［kr计5P/12,kr计工工力12工

令k=T,得函数f(X)的一个单调减区间为卜7力工2广兀/12］,因为［-

兀/2厂P/12J包含于17兀/工2,F/12J,所以函数f(X)在区间［F/2,-

p/32J上单调递减，所以③正确。

④令2XF/3=krc(fcez),解得x=k*rt/2+Tr/6(K^z),

当/<=。时，x=rc/6<rc/4

当k=l时，

X=-rt/2.4-Tr/6=2.-rt/3e［TV/4-JSTC/^］当k=2

时，X=-rt+7r/6=7TT/6G［TC/4-^TC/Z］当k=3

时，X=3T€/2+T€/6>3TT/2

所以函数F(X)在0/4,311/2］上有2个零点，故此项错误。

【例02】已知f(x)=2sin(cux+叫同时满足下列三个条件:

①y(xj-/(4)|=4时，ki-x2\的最小值为x.

②),=/(*+勺是偶函数.

③/⑼>熊).

若八x)在[0J)有最小值，则实数，的取便范围可以是()

A.(0.5]B.(0,5]C.(舞]D,传用

OJ\O□J\JZJ

思路：将已知条件带入原函数，分别可得到60=2,。，然后由条件③得到t的

取值范围。

■■由条件①得，函数f(X)的最小正周期为Tr/2*2=e所以T=2.TC/(V=

TC,所以co=2,所以f(X)=2sM(2x+4；由条件②得f(x+兀/3)=2SW2X+2T€

/3+4)是偶函数，所以2几/：3+d=兀/2+—,kez,所以(p-rt/to+krc,k^z,不

妨设。G(-re,re),则cf>=-rc/6或由条件③得，f(<9)=2SM

0〉2夕八所以S讥0>si八(兀/3+。)，当e=-兀/6,5讥e=-

1/2ji八(Tt/3+e)=1/2,不符合，当cp=-5rc/<b时，，si八。=1/2,si八(Tr/3+

。)=-工/2,符合要求，所以，。=-5几/6,所以2x+5Tt/6W[5Tt/6,2t+5TT

/6),因为f(X)=sM(2x+Src/f&)在[。工)上有最小值，所以2加5^/<&>3兀/2,

即力兀/3,所以只要是(P/3,+8)的子集的集合都可以是实数亡的取值范围。

【例03】已知/(x)=sin(sx+0)+cos(3x+«),w>0,|*|<与，/(x)是偶函数，直线了=近

与函数f(x)的图象的相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为会则()

A.f(x)在信为上单调递减B./(x)在(0,5)上单调递减

C.f(x)在呜)上单调递增D./(x)在上单调递增

■:B

思路：先化简整理F(X),得至Uf(X)=sinV2(cox+e+p/4),再由直线g=V2与

函数f(X)的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为立/2,解得co=4,

所以f(X)=V2sW4x+Tr/4+p/4)=V2cos4x,最后求其递增递减区间。

s<k(cox+4>)+cos(cox+4>)=sinY2(COX+4)+P/4)

因为f(X)是偶函数，所以Sp/4=p/2+kTt,kGz,所以

行女/4+%€,(k£z),因为仲卜TT/2,所以。=立/4;因为直线g=V2与

函数f(X)的图’

像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为P/2,且f(X)/x=V2,所以根

据三角函数的性质可得丁=P/2=2兀/⑴,解得3=4,所以f(X)=V

2sM(4X+TT/4+7r/4)=V2cos4x,所以f(X)的单调递增区间满足：F+2k

rc<4x<2.krc,k^z,即f(X)的单调递增区间为(-rt/4+/crt/2krt

/2),kWN,f(X)的单调递减区间满足：2kir〈4x〈2k7r+T€,k^z,即f(X)

的单调递减区间为(kTc/2krc+rc/4),kGz.

【例04】i5/(x)=asin2x+bcos2x,其中a,代肢，“厚0,若“对一切x€武恒成立.

则

①/(岩)=0；

②卜制<收”；

③f(x)既不是奇函数也不是偶函数；

④八x)的单调递增区间是卜花+小版+与卜AW0；

⑤存在经过点(a,/»的交线与函数/(x)的图象不相交，

以上结论正确的是(写出所有正确结论的编号).

■■■①③

思路：将f(X)化简整理得到新的f(x)，引入辅助角，然后根据选项条件带入发

f(X)=asin2x+bcos2x得F(X)=V(a2+b2)sM(2x+。),其中8满足

si八。泌/V(a2+b2);cosB=a/V(a2+b2)

•••f(X)4f(p/6)|,即V(a2+b2)=|V(3a+2)+b/2|化简

得a=V3b

二函数f(X)=2bsM(2x+Tt/6)

①f(工工Tt/12)=2bsi八(l•l••rt/6+Tt/6)=O,所以①正确

②|f(77€/10)|=|2。5讥(2*7几/工0+1€/6)|=|2。6讥(2*4/5+兀/(&)卜近(几/5)],

所以②错误

③1-幻,孑B)£-刈坪廿),所以^郃)既不是奇函数，也不是偶函数，所以③正确

④由于b正负不确定，所以无法确定单调区间，故④错误

⑤他卜|2N,所以经过点(处匕)的直线与函数f(X)恒有交点，故⑤错误

第二部分：正弦函数⑴的范围问题典

型例题

【例05】已知函数/(x)=sin(i)x+cosa)x(w>0),XGR.若函数/(工)在区间(一出,M内中.调

递增，IL函数.V=/(W的图象大卜H线.1二(”对称，则。的值为.r/2.

思路：首先化简整理得到f(X),然后求得f(X)的单调递增区间，最后解得C0o

(由已知得f(X)=V2sM(CUX+TT/4),当xe(-co,co)时，则cox+7t/4e

22°

(-CO+TC/4,oo+TC/4)，因为f(x)在x6(-co,co)上单调递增，所以-co，

-rr/4>-rc/2.+2.krc；CD^rc/4-^Tc/Z-t-Zkrc(*^乙)，co2<3-n:/4-3k-rt；

22__Jf■c

co<rc/4+2.krc,解得34几/4。又因为图象关于直线对称，所以-co+几

/4=7Z/2+I<TC(KGZ+)>co2=-n:/44-k-rt,(kez),故0/=兀/4,则

CO=VT€/2.O

【例06】已知函数/(x)=2sins(®>0)在区间,去引［：是增函数，其在区间1()H上恰

好取得一次最大值2,则3的取值范围是()

［昌)D.5，3)

!：A

思路：首先写出f(X)的单调增区间，然后给与题目所给增区间进行拟合，最终求

得X的取值范围，再根据最值区间，最后解得O)

函数f(x)=2sinwx((v>o)的增区间为-rt/Z+Z/crtWcox4立/2+2/<也

当k=C>时，-7€/2604乂4力260,当cox=rc/2,即X=TT/2CO时，f(X)取得最大

值，因为f(X)在区间11€/m2几/习上是增函数，且在区间。mJ上恰好取得一

次最大值2,所以-rr/2.co>2.-n:/3；-TC/2CO《F/3;P/2c04几，解得工/2

<co<3/4

【例07】已知函数f[x}=sin2铮+：sinux-：(3>0),x€欣，若f(x)在区间(n,2n)内没

有零点，则3的取值范围是()

A.(0,1]B.(0,j]u[^,1)C.(0,x]D.(0»5]U[j.x]

ooooo

：D

鹭―整理化简f(X),然后根据没有零点得到端点值同号，最后解得co。

函数f(X)=sih2cox/2+1/2sMa)x-1/2,即f(X)=V2/2sM(cox-rt/4)。

函数f(X)在区间(几，2P)内没有零点，则f(7r)*f(2rr)2；772=几/822^-兀

=TC,即sih(cox-Tt/4)si八(2nxo-rr/4)2。；co<l；,所以有①sih(cox-Tt/4)

>O；sM(2irco-rt/4)2。或②Silcox-兀/4)WO；siia(2.rtu)-TC/4)<(9；解①

得：2k+1/44co4k+57g,因为6?<co<i,所以k=O,l/4<co<S/8；解②得:

k-3/8<C0<k-+-l/8,因为<9<CO<1,所以k=o,(9<CO<l/8o所以CO的取值范

围是(on/8ju[1/4,578]。故本题正确答案为D

【例08］若函数f(x)=Sinwx+Q(3>0)在区间m.2m内没有鼓值，则实数3的取值范

闱是()

A(。邮局B.［耨C.(咽俣］D.［11］

思路：|由题可知f(X)在区间(7t,2P)无最值，即具有单调性，根据S/X函数的单

调区间，最后解得⑴。

：若函数f(X)=sin2(3X+Tt/6)(3>0)在区间(TC,2Tc)内没有最值,

则函数⑴在区间S，2兀)内单调递增或单调递减，

所以-1€/2+2/<兀《0)乂+7^/64兀/2+2/<兀或rr/2.+2.krc<tOX+Tt/6<3rc/2.+2.krt,

(k^z);即rc/2.+kTC<cDX+Tc/<^<3Tc/2.+kTC(k6z,co><9);所以rc/2.+krc<

cox+Tr/6〈2kco+p/643Tt/2+kiT(k@z,co>(9)

当k=O时,解得

i/3<C0<2./3当k=-1时，解

得O<CD<l/6当k<T或k>O

时，无解

所以实数co的取值范围是(O,i/6]U[l/3^/3]

所以选C

中间休息话术：

好啦，铃声响起，到了休息时间啦，小猿宝们快让你们的小脑袋休息一下吧，如

果对刚刚只是有疑惑的同学也可以在评论区说出来大家讨论一下哦~小休一下让

我们一起迎接下半节课的洗礼叭~

【例09]设函数fix)=sin(+g)(3>0),已知/(.r)在[0,2n]上有且仅有5个零点.有

下列四个结论：

①f(x)在(0.2兀)上仃LL仅仃3个极大值点；

②/(*)在(0,2加)上有且仅有2个极小值点；

③/(.)在(0.宙)上单调递增；

④s的取值范用是

其中所有正确结论的编号是()

A.B.(2X3)c.dX2X3)D.(D(3)@

■:口

思路：首先大致画出f(X)的图像，然后根据其图像特点判断极值点，再根据f(X)

的本来的单调区间来判断其单增区间以及co的范围

■:①因为f(X)在02句有5个零点，画出其大致图像，则可知f(X)在

(0,2立)上有且仅有3个极大值点；故正确

②由①可知F(X)在(。,2兀)上有且仅有2个或3个极小值点，故错误

③函数f(X)=sM(CD^rc/5)的增区间为([(2k-7/1。)re)]/(v

00；取k=O,当60=12/5时，单调递增区间为-

7/^4Tt<X<rr/8;当00=2”工。时，单调递增区间为-7几/2张林现％名唯缘止

里津底递增。所以③正确

④当函数f(X)=siMt0X+Tr/5)=O时，ODX+TC/5=I<TC(KCZ),

所以X=[(S'rc-TC/5}]/O)<2.TC；当k=6时，[(6rc-Tr/S)]/u)>2.TT,

解得工2/548〈2”工。故④正确

【例10]已知函数/(x)=sinMX-百cosw.r(w>0),若方程f(x)=-1在(On)上仃旦只

有三个实数根，则实数3的取值范围为()

A”37]口Z7251„/25111n/Il371

A-\~6'2B\r~6c(T'TD.I亍石

答案：A

思路:首先化简整理f(X),得到f(X)=2SWCOXF/3),由f(X)=T在(O,五)

上有且仅有三个实数根，解得€0。

^^Hf(X)=sihtox+V3coscox=2sWcox-ir/：5),令f(X)=T,得2sWcox-ir

/3)=-1,所以si八(C0X-rt/3)=-工/2,所以COX-rt/3-2-krc-rr/6晟COX-

rc/3=2-krc+7TC/6,I<GZ。因为XG(O,TC),所以C0X-T€/：36(-rt/3^CUX-

■rt/3).因为方程f(X)=-l在(O,Tt)上有且仅有三个实数根，所以2兀-

Tr/6<a)x-Tr/3

42兀+7P/6,解得工3/6<C047/2.所以实数CO的取值范围为(工3/<&7/2工

第三部分：三角函数的综合典

型例题

【例11］关于函数f(x)=sinx+」一有如下四个命题:

sinx

①/。)的图象关于.丫轴对称；

②/(幻的图象关于原点对称；

③/(X)的图象关于直线'=5对称；

④/(x)的最小值为2.

其中所仃真命题的序号是

思路：根据原函数，利用f(-x)=-f(X),f(-x)=f(x)来判断奇偶性；再由f(X)

=f(兀-x)判断对称轴；最后根据原函数定义域来判断其最值。

・■函数定义域为白忖八行。｝,BP(x|x^K-rt),kez.①和②项，因为函数的

定义域关于原点对称，所以f(-x)=sW-x)t/sW-x)=-sMx+：L/(-sihX)=-

⑶认x+1/si八x)=-f(X),所以函数f(X)为即函数关于原点对称。故①错误，②正

确；③项，若函数f(X)的图像关于直线X=p/2对称，则应满足f(X)

x),-x)=si'n,(7€-x)+l/si八(Tt-x)=si八x+l/si八x=f(X).故③正确；④项，当

X满定(2.k+l)rc<x<2.(k+l)re,k^z时，sinxQ,则f(X)=sihX+1/sMx〈O,

故④错误。

【例12］关于函数/(x)=sin|.v|+|sin.v|有下述四个结论:

①/(#是偶函数；

②〃X)在区间(打)上单调递增;

③〃x)在l-n.n］上有4个零点；

④/(x)的最大值为2.

箕中所有正确结论的编号是()

A.®(2)@B.C.(D@D.①3

答案”

思路：由题可先判断f(X)的奇偶性，即是否满足f(-X)=f(X),其次，根据sMx

函数的递增区间判断是否在区间内，然后在给定区间内赋值判断其零点，最后就

是根据两个函数的最值是否能取到以及何时取到来判断最值。

①因为f(-x)=Sf,n|-x|-x)|=sm|x|4-1-smx|=S(K|X|4-|Smx|=f(X)^故

f(X)是偶函数，故①正确；②当XG(几/2工)时，x〉oMnx>o,所以

f(X)=sinx+si八x=2si八xf(X)=2cosx,当XGCTC/Z.TC)时,P(X)〈O,所以f(X)

在(p/2/rt)单调递减，故②错误；③当xe［G何时，X>O,sMxzO,所以

f(X)=sihX+sihX=2sinx,因为f(O)=。/(兀)=。，所以f(X)在［。,何有2个零

点，当x^f-Tt,时，x〈OjihX〈O,所以f(X)=sih(-x)+(-sinx)=-2skx,f(-

TC)=O,所以f(X)在［-兀，有1个零点，在卜几，句上有3个零点，故③错误；

④令yl=sm|x|<l,y2.=|s(kx|<l,则g［+g242,且最大值可同时取到,故

④正确。

第四部分：链接高考

典型例题

【例13］如图.网。的半径为1,A是圆上的定点.P是圆上的动点,角x的始边为射线OA.

终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为“，将点的到直线OP的距离

表示成”的函数/(幻，则y=/(x)在［0,K］上的图象大致为()

答对：C

思路：先表示出OM的距离，在表示点M到直线OP的距离，然后得到解析式

为f(X)=l/2si八2X,即可在给定区间画出相应图像。

当<9<x<rt/2.时，0M=1*，。6乂=，。5必则点M到直线OP的距离为

f(X)=OM*sinx=C0SX*S讥X=1/2si八2X；当rt/2-<X<rc时QM=1*C0S(7T-X)=-

COSX,则点M到直线OP的距离为^^)=。四*61认乂=-，。"片'八”-1/2§|'八2乂;综

上所述，g=f(X)在。，句上的解析式为f(X)=工/2SM2X(O<X<TC/2.);f(X)=

-工/2夕'八2x(TC/2.<X<TC),所以图像如C所示

【例14］如图，氏方形A8c。的边A8=2,fiC=1,。是AB的中点，点。沿着边8C,CD

与OA运动，记=将动点P到A,8两点的距面之和表示为x的函数/(K),

则y=/(X)的图象大致为()

■:B

思路：首先由选项图像的线性来排除，然后由图上的特殊点带入判断其特殊点的

大小。

■HA’C项，函数f(X)在各个区间内不是线性函数，所以排除；当乂=兀/4时,

PB=l,PA=Vs/(7r/4)=V5"+七当KK/2时，PA=PB=V2,f(p/2)=2V2,,

由于f(a/4)〉f(y/2),故D错误，所以选B.

【例15】如图，4,B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，41P8是锐角，大小为

夕.图中阴影区域的面积的股大值为)

A.40+4cos)3B.40+4sinj8C.2fl+2cosj5D.+2sin^

案B

思路：先做辅助线OAQ5AB,算得S扇形。AB,最后得到阴影部分的面积,

由

于要求最大值，S扇形OABSAAOB都已确定，所以讨论SAABP最大时，阴影部分面积

曷大且口目\

B设圆心为点。‘连接〃。呐,贝-AP”,所以S扇形0AB二

*4)/2=4仇所以S阴影二S扇形OAB+SaABP-SaAOB.因为S扇形。AB)SaAOB都已确定，所

以当

S“BP最大时，阴影部分面积最大。当P到AB的距离最大时，AABP的面积最

大。则此时，POLAB交AB于点G又△OAB=1/2OC*AB,S三角形

ABP=，/2PC*AB=[/2(PO+OC)*AB,S阴影=S扇形OAB+SAABP-S三角形AOB=4B

+1/2(PO+OC)*ABT/2OC*AB,因为PO=2,AB=2si八6*2=4,则S阴影

=40+4si八0.

【例16】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，。为圆孔及轮廓圆

弧AB所在圆的圆心，A是圆弧A8与直线AG的切点，8是圆弧A8与直线8c的切

点，四边形。"G为矩形，BCLDG.垂足为C,(an"DC=5,BH//DG.EF=12cm,

DE=2cm,A到直线DE和E尸的距离均为7cm,HI孔半径为Icm,则图中阴影部分

的面积为____cm2.

H^(STC/2)+4

思路：做辅助线，证明AANG和AOA/是等腰直角三角形，利用三角函数解得

OA的长度，再由题得,阴影部分的面积等于扇形。AB的面积加上AOAH的面

积再减去半径为工的圆孔的一半的面积，即可求得。

■过点A作AM1EF于M,交BH于点],交DG于点M作OK_LDG于K.

因为A到直线DE和EF的距离均为7cm,所以DN=AM=7c以因为

EF=12C3QE=2CF,四边形DEFC为矩形，所以NG=12-7=5CM,

AN=NG,所以△ANG是等腰直角三角形，所以NNAG45.。因为A是圆弧

AB与直线AG的切点，所以。ALAG。所以/OAN=qo-NNAC=45:

因为BC_LDG，所以AMLBH,所以△OA/也是等腰直角三角形。设。仁XCM,

则A仁KN=XC3,所以DK=DN-KN=(7-X)C3QK=AN-A/=(5-X)CM.在

RtAODK中，ta八NODK=ta八NODC=OK/DK=3/5,所以(5-x)/(7-

X)=3/5"，解得x=2,所以OA=V2O/=2V2

阴影部分的面积等于扇形OAB的面积加上△OAH的面积再减去半径为1的圆

孔的一半的面积，

即S阴影部分=$扇形OAB+SAOAH-P/2=[(-rt-Tt/4y2.1t]*p*OA)

*2+1/2*A/*OH-几/2=(：5f/8)*(2V2)2+*/2*2*2*2-

工/2=(5几/2)+4

三角函数典型例题

1.设锐角A46C的内角AB,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA.

(I)求B的大小；

(H)求cosA+sinC的取值范围.

(解析]：(I)由a=&sinA,根据正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以sin6=」,

2

JT

由AABC为锐角三角形得B=一

6

(II)cosA+sinC=cosA+sin[ji-£-A

=cosA+sin—+A

(6)

.1人6.人

=cosA+—cosA+——sinA

22

n

=V3sin?1+—.

k3；

2.在A48c中，角A.B.C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB:bcosC.

(I)求角B的大小；

(□)设加=(s讥A,cos2A),〃=(4A,l)(Z>l),且”〃的最大值是5,求k的值.

【解析】：(1);(2a-c)cosB=bcosC,

(2sin/4-sinC)cosB=sinBcosC.

即2sin>4cosB=sinBcosC+sinCcosB

=sin(B+C)

4+B+C=n,/.2sin4cosB=sinA.

'/0<A<nr'.sin4Ho.

1

cos8二一.

2

7C

B——.

3

(ll)m-n=4ksinA+cos2A.

_27r

=-2sinM+4/csin^+l,4G(0,—)

设sinA寸贝ij(0,1].

则加•〃=・2t2+4kt+l=-2(t-k?+l+2k2,te(0,1].

,/k>lr\t=l时，机•"取最大值.

3

依题意得厂2+4k+l=5,「♦k=~.

2

A+B

3.在A46C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin+sin—A/2.

22

I.试判断仆A8C的形状；

II.若△ABC的周长为16,求面积的最大值.

,5入匕、.兀—C.CC.C

【解析】：l.sin-------+sin—=cos—+sin—V2sin(—+—)

222224

C冗冗TT

,上+二=二即c=—，所以此三角形为直角三角形.

2422

2

11.16=。+〃+Ja=+〃>2y[ab4-yjlabfab<64(2-V2)当且仅当。=Z?时取等号,

此时面积的最大值为32(6-472).

3

4.在ZVLBC中小、b、c分别是角A.B.C的对边,C=2AcosA=一，

4

(1)求cosCcosB的值；

27

⑵若BABC=—，求边AC的长。

2

91

【解析】：(l)cosC=cos2A=2cos29A-1=2x-----1=-

168

由cosC=-,WsinC=由cosA=3,得sinA=—^

8844

/人人•人右V73V7319

/.cos8D=-costA+C)=sinAsrnC-cosA4cosC=——x----------x-=—

v7484816

⑵BA.,BC——,ciccosB——,/.cic—24①

22

ar3

又-----=-----,C—24,c—2。cosA=—a②

sinAsinC2

由①②解得a=4,c=6

g

:.b2=a2+c2-2tzccos5=16+36-48x—=25

16

.,.6=5,即AC边的长为5.

5.已知在AA6C中,A>B,且tanA与tanB是方程x2-5x+6=0的两个根.

(I)求tan(A+B)的值；

(II喏AB=5,求BC的长.

【解析】：(I)由所给条件，方程5x+6=0的两根tanA=3,tan3=2.

,,八、tanA+tanB2+3,

tan(A+B)=-----------------=----------=-1

1-tanAtanB1-2x3

(n)vA+B+C=180°,/.C=180°-(A+B).

由(I)知,tanC=-tan(A+8)=I,

VC为三角形的内角,sinC=—

2

3

：tanA=3,A为三角形的内角,，sinA=-T=,

V10

fABBC

由正弦定理得:-----=-----

sinCsinA

"BC=—r=-X―=3^5.

V2V10

T

6.在AA8C中，已知内角A.B.C所对的边分别为a.b、c,向量m=(2sin8,-6)，

n=(cos2B,2cos2且〃2//〃。

⑴求锐角B的大小；

(II)如果力=2,求MBC的面积SMBC的最大值。

【解析】：⑴m!Inn2sinB(2cos21-l)=--\/3cos2B

=>2sinBcosB=-^/3cos2Bntan2B="*\/3

2rC....7T

0<2B<n,.,.2B=W「.锐角B=§

⑵由tan2B=-SnB=］或景

①当B=W时，已知b=2,由余弦定理，得：

22

4=a+c-ac>2ac-ac=ac(KiXa=c=2时等号成立)

△ABC的面积SAABC=2acsinB^ac^^3

△ABC的面积最大值为函

②当B年时，已知b=2,由余弦定理，得：

4=QZ+d+^QcNZac+SacRZ+Sjoc(当且仅当。=c=^-镜时等号成立)

ac<4(2-V3)

「△ABC的面积5AA8c=3。。3/力8二产42术

：.△ABC的面积最大值为2-小

7.在AA8C中，角A.B.C所对的边分别是o,b,c,且/+°2一=1_QC.

2

A+r

⑴求sin?-------i-cos2B的值；

2

(2)若6=2,求4ABC面积的最大值.

1

【解析】：(1)由余弦定理:cosB=a

1

sd上£+cos2B=---

24

=

(2)由cosB=一,得sinB----------------.1.1b—2,

44

18]J]5

I+J=Tac+4>2ac,Wac<一,SABc=^ocs\nB<----(a=c时取等号)

ac23A23

故A8c的最大值为

sin(工+6)

8.已知tana=a,(a>1),求----------tan20的值。

7T

41a

【解析】

\-a

9.已知/(a)=

⑴化简/(a)

=；，求/(a)的值。

(II)若a是第三象限角，且cos

【解析】

解：⑴

/(g)=sina-sina-(-cosa)=cosa.

cosa(-sina)tana

(II)Vcos(--a)=-sina,

2/Z

乂a为第三象限角，•**cosct=-----,

・・・〃吁•5

2

10.已知函数f(x)=siMx+百sinxcosx+2cosx,xGR.

⑴求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；

(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(xGR)的图象经过怎样的变换得至U?

(解析]：⑴f(x)=-~+~~sin2x+(l+cos2x)

—sin2x+-cos2x+-

222

—sin(2x+—)+—.

c2%

/./(x)的最小正周期TF=兀.

r

J'l7/TT

由题意得2火％---<2XH—<2H—,keZ,即k,7c---<%<女)~1—,kGZ.

26236

JT7T

:•/(x)的单调增区间为k兀——次乃+一,keZ.

36

71

⑵先把y=sin2x图象上所有点向左平移—个单位长度，

JT3

得到y=sin(2x+-)的图象，再把所得图象上所有的点向上平移彳个单位长度，

62

JI3

就得到》二sin(2x+工)+三的图象。

62

已知a=(曰,一[]=(sin?,cos?),/(x)=al。

⑴求/(x)的单调递减区间。

4

⑵若函数y=g(x)与y=/(x)关于直线x=1对称，求当xe[0,时,y=g(x)的最大值。

.37VCrz./7VC7V、

【解析】：1/(x)-——sin----cos--v3sin(--------)

242443

，当?一Ae[]+2k兀,y+2br]时,/(x)单调递减

1022

解得：xw[§+她7+8Z]时,f(x)单调递减。

(2)v函数y=g(x)与y=/(x)关于直线x=l对称

-g*)"(2T)=瓜可丁一1_

行.「万71X7ll国(7IX

=V3sin---------=5/3cos----1—

243<43；

71X717124(71X4、

xe\—+一Wcos1—

43143J

・.・尤=0时，gmax(X)=^

12.已知cosa=-2sina,求下列各式的值;

2sina-cos«

(D---------1--------；

sina+3cosa

(2)sin2a+2sinacosa

【解析】：Qcosa=-2sin/1.tana=-；

2xi

2sina-cosa2tana—1_4

(1)---------------------=-------------=—[

sina+3cosatana+3」+3~~~5

~2

.2仁.sin2a+2sinacos。

⑵sm-a+2sinacosa=---------------------z-------

sina+cosa

+2x

tan2a+2tana3

tan2a+15

+1

13.设向量。=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),xeR,函数/(x)=〃•(〃+/?)

⑴求函数/(x)的最大值与最小正周期；

3

(II)求使不等式/(x)>-成立的%的取值集合。

【解析】

•**—•―T..—T

解：⑴/(x)=a-(a+A)=df-a4-o>6=smxx4-cos2x+sinxcosix+GOS2r

=I+[sin2x+!(cos2x+l)=24--sin(.2x+-)

22224

；.〃》)的最大值为:+4，最小正周期是空=方.

222

,,、33J^2笈3ir

/(x)之707+丁8m(女+sin(2x+--)20

(2)由(1)知222424，

<=>2k青<2x+-<2k■兀+xOkx--<x<kjr+

488

即/(x)之弓成立的X的取值集合是4一:M+红焦GZ

2Io8

—*72~-*TT

14.已知向量机=(cosa--1),n=(sincr,l),m与n为共线向量，且aG[-y,0]

(工)求sin。+cos。的值；

——sin2a

m)求------------的值.。

sina-cosa

--41

【解析】：(I)•・•加与刀为共线向量・・.(cosa--^-)xl-(-l)xsina=0,

即sina+cosa=在

3

27

(□)\T+sin2a=(sina+cosa)2=—sin2a=--

v(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2,

,.、2CA/2216

(sinat-cosa)=2-(Z方-)=—

714

又•・,a£[---,0],sincr-cosa<0,sincr-cosa=——

23

sin2a7

因此

sincif-COS6Z12

15.如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯

塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,

于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1km。试探究图中B,D

间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D的距离（计算结果精确到

0.01km,A/2«1.414,V6«2.449）

【解析】：在AAC£>中,NDAC=30。,ZADC=60°-ZDAC=30°,

所以CD=AC=0.1

又NBC£>=180°-60°-60°=60°,

故CB是ACN。底边AD的中垂线，所以BD=BA

AC

在zVLBC中,

sinZBCAsinZABC

即AB=坐堂=3而后

sinl5020

因此由丁

®0.33km

故B.D的距离约为0.3衣m。

TT

16.已知函数/（x）=Asin（ox+°）,xeR（其中4>0,0>0,0<q<5）的图象与x轴的交点中，相

IT