高中数学人教A版2019选择性必修 第三册-单元测试卷1 公开课教学设计课件资料

第六章计数原理

专项训练

一、单选题（共12题；共60分）

1.已知集合。={1,2,3,4,5},若48是尸的两个非空子集，则所有满足/中的最大数小于8

中的最小数的集合对（4面的个数为（）

A.49B.48C.47D.46

2.将33x33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相

邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（）

A.33B.56C.64D.78

3.在（l+x+击严的展开式中，/项的系数为（）

A.30B.45C.60D.90

4.空间中不共面的4点4B,C,D,若其中3点到平面a的距离相等且为第四个点到平面a

的g倍，这样的平面a的个数为（）

A.8B.16C.32D.48

5.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大

贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：

形式123456789

纵式1IIIII1111HillTITTHTir

横式—===111

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空,

如图：

iir=ur6728

ITTT6708

如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为

A.46

B.44

C.42

D.40

6.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现

在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则

AC区域涂色不相同的概率为()

7.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABC。(边长为2个

单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果

掷出的点数为迨=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛掷

三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有

A.22种B.24种C.25种D.27种

8.若(x—a)(l+2x)s的展开式中V的系数为20,则。=()

A.--B.-C.--D.—

4422

9.已知(1+or)”=%++…+a“x"(〃eN"),当〃=5时，q+/+%+%+%=242,则

当〃=6时，6+3a3+5%的值为()

A.-1452B.1452C.-726D.726

10.2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”.在此次活动中，某学

校有2女、4男6名教师报名成为志愿者，现在有3个不同的社区需要进行普查工作，从这6名

志愿者中选派3名，每人去1个小区，每个小区去1名教师，其中至少要有1名女教师，则不同

试卷第2页，总4页

的选派方案有多少种（）

A.16种B.2（）种C.96种D.120种

11.在3+勿”的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则〃=（）

A.4B.5C.6D.7

12.由0,1,2,3,4,5共6个不同数字组成的6位数，要求0不能在个位数，奇数恰好有

2个相邻，则组成这样不同的6位数的个数是（）

A.144B.216C.288D.432

二、填空题（共4题；共20分）

13.学校安排5名学生到3家公司实习，要求每个公司至少有1名学生，则有种不

同的排法.

14.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的

两块种不同的植物.现有3种不同的植物可供选择，则有____种栽种方案.

15.2018年6月份上合峰会在青岛召开,面向高校招募志愿者，中国海洋大学海洋环境学院的8

名同学符合招募条件并审核通过，其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名.若将这8名同

学分成甲乙两个小组,每组4名同学,其中大一的两名同学必须分到同一组,则分到乙组的4名

同学中恰有2名同学是来自于同一年级的分组方式共有种.

16.某学校要安排2位数学老师、2位英语老师和1位化学老师分别担任高三年级中5个不同班

级的班主任，每个班级安排1个班主任.由于某种原因，数学老师不担任A班的班主任，英语

老师不担任8班的班主任，化学老师不担C班和。班的班主任，则共有种不同的

安排方法.（用数字作答）.

三、解答题（共4题；共20分）

n2r

17.+X）=an+atx+a2x+•••+arx+•.•+anx",其中.

(1)证明：£1=端，其中r=0,1,2,…〃;

r+1〃+1

（2）当4=1时，化简：r=u

Y1

（3）当好〃时，记儿=心等，B,,二H试比较A”与纥的大小.

18.（4+一尸）"的展开式中，奇数项的二项式系数之和为128,且前三项系数成等差数列.

（1）求。的值；

（2）若a<3,展开式有多少有理项？写出所有有理项.

23n

19.已知（l+2x）”=a0+a,x+a2x+a3x•••+allx{neN*）,

⑴求5=-？+空-枭+・一+（-1）”祟的值；

（2）若6〉％且6>/，求"的值；

（3）求证：（1+—5—）2°”>7.

1000

20.某大学师范学院的两名教授带领四名实习学生外出实习，实习前在学院门口合影留念，实

习结束后四名实习生就被安排在三所中学任教，请回答以下问题.（用数字作答）

（1）若站成两排合影，两名教授站在前排，四名实习学生站在后排，则共有多少种不同的排

法？

（2）若站成一排合影，两名教授必须相邻，则共有多少种不同的排法？

（3）实习结束后，四名实习生被安排在三所中学任教，若每个中学至少一人去，则共有多少

种不同的安排方法？

试卷第4页，总4页

参考答案

1.A

【详解】

集合/={1,2,3,4,5}知:

1、若/中的最大数为1时，6中只要不含1即可：A的集合为{1}，

而B有24-1=15种集合，集合对（4面的个数为15；

2、若力中的最大数为2时，6中只要不含1、2即可：

A的集合为{2},{1,2},而8有合-1=7种,

集合对（4面的个数为2x7=14；

3、若力中的最大数为3时、6中只要不含1、2、3即可：

A的集合为⑶,{1,3},{2,3},{1,2,3},而8有22-1=3种，

集合对（46）的个数为4x3=12；

4、若力中的最大数为4时，8中只要不含1、2、3、4即可：

A的集合为⑷,优4},⑵4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},

而6有2-1=1种，集合对（4而的个数为8x1=8；

一共有15+14+12+8=49个，

故选：A

2.B

【详解】

记分隔边的条数为L,首先将方格表按图分成三个区域，如图：

分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，则L=56,

其次证明：L>56,

答案第1页，总13页

将方格表的行从上至下依次记为A，4,43,…,43,列从左至右依次记为旦,B2，&,…,％3，

行占中方格出现的颜色为〃(A),列瓦.中方格出现的颜色为〃(B,),

三种颜色分别记为。，。2，。3,对于一种颜色Cj，设〃(Cj)为含色方格的行数与列数之和，

定义当4行含J色方格时，AA，C")=1,否则/(A，c/=o,

类似的定义/(8,，Cj),

33333

所以Z(〃(A)+“(B,))=W；Z(/(4，Cj)+/(g,Cj))

/=]i=lj=\

3333

=ZZ(〃(4，J)+〃(Bi，Cj))=£n(c),

J=1/=!J=1

由于染J色的格的行有。个，列有b个，则的色的方格一定在这。行和匕列的交叉方格中，从

而ah>363,

所以〃(q)=a+。22而>27363>380"(J)239(/=1,2,3)所以①，

由于在行4中有“(4)种颜色的方格，于是至少有〃(4)-1条分隔边，

类似地，在列8,中至少有〃(2)-1条分隔边，

3333

则LNZ(〃(4)-I)+Z(〃(4)T)

I=I/=1

33

=Z(〃(4)+〃(印)-66②

/=!

33

=Z(〃(Cj))-66③，

尸1

下面分两种情况讨论：

1、有一行或一列所有方格同色，不妨设为。色，则方格表的33列中均含有q色的方格，又q

色的方格有363个，

故至少有11行含有。色的方格，于是1+33=44④，

由①③④得L>)+n(c2)+n(c3)-66>444-39-66=56;

答案第2页，总13页

2、没有一行也没有一列所有方格同色，对任意1W，W33均有〃（4）22,n（B,）＞2,

33

从而由②可得L之Z（〃（〃（4）+〃（片））一66233X4-66=56；

/=1

综上所述，分隔边条数的最小值为56.

故选：B

3.B

【详解】

在（1+x+J而尸的展开式中，通项公式为洛=/・小+&[.

对于卜+击），通项公式为4n=C•/皿，0,八kRN,r^lO.

令r-2021Q2,可得r=2+2021A,

故k=0,r=2,

故/项的系数为G：•域=45,

故选：B.

4.C

【详解】

第一种情况，A,B,C,〃点在平面。的同侧.

当平面a〃平面顺时，力与平面a的距离是a与平面心的距离的2倍.

这种情况下有4个平面.

第二种情况，A,B,C,〃中有3个点在平面a的一侧，第4个点在平面a的另一侧，这时又

有两种情形：

一种情形是平面a与平面BCD平行，且4与平面a的距离是平面a与平面交9距离的2倍.这

时有4个平面.

答案第3页，总13页

DA

ab

另一种情形如图a所示，图中£,月分别是"，〃'的中点，/是初的三等分点中靠近力的分

点，A,B,。到平面跖T(即平面a)的距离是〃到平面的距离的一半.

O可以是48,力。的中点的连线，又可以是48,比的中点的连线，或/C,%的中点的连线，

,这种情形下的平面a有3X4=12(个).

第三种情况，如图，所示，在儿B,C,〃四点中，平面。两侧各种有两点.

容易看出：点4到平面以砌V(平面a)的距离是8,C,〃到该平面距离的2倍.

就4C与B,〃分别位于平面a两侧的情形来看，就有4离平面a远，8离平面a远，C离平

面a远，〃离平面a远这四种情况.

又“4C,即异面，则这样的异面直线共有3对，

平面a有4X3=12(个).

综上分析，平面a有4+4+12+12=32(个).

故选C.

5.B

【详解】

按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下

(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0),

(2,2,1),(2,1,2),(2,3,0),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4),

2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理，

则上列情况能表示的三位数字个数分别为：

2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2,

根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：

答案第4页，总13页

2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44.

故选B.

6.D

【详解】

提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同,

根据题意，如图，设5个区域依次为A,8,分4步进行分析:

①，对于区域A,有5种颜色可选；

②，对于区域8与A区域相邻，有4种颜色可选；

③，对于区域E,与区域相邻，有3种颜色可选；

④，对于区域2C,若。与8颜色相同，C区域有3种颜色可选，

若。与8颜色不相同，。区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选,

则区域。，。有3+2x2=7种选择，

则不同的涂色方案有5x4x3x7=420种，

其中，AC区域涂色不相同的情况有：

①，对于区域A,有5种颜色可选；

②，对于区域3与A区域相邻，有4种颜色可选；

③，对于区域E与A8,C区域相邻，有2种颜色可选；

④，对于区域。,。，若。与8颜色相同，C区域有2种颜色可选，

若。与3颜色不相同，O区域有2种颜色可选，C区域有1种颜色可选,

则区域2c有2+2x1=4种选择，

不同的涂色方案有5x4x3x4=240种，

答案第5页，总13页

2404

，A,C区域涂色不相同的概率为〃=旃=,，故选D.

7.D

【详解】

分析：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的表示三次骰子的点数之和是8,16,列举出在点

数中三个数字能够使得和为8,16的125;134;116;224;233;466;556,共有7种组合，利用分类计

数原理能得到结果.

详解：由题意知正方形ABC。(边长为2个单位)的周长是8,

抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的表示三次骰子的点数之和是&16,

列举出在点数中三个数字能够使得和为8,16的有125;134;116;224;233;466;556,

共有7种组合，

前2种组合125;134,每种情况可以排列出国=6种结果，

共有28=2x6=12种结果;

116;224;233;466;556各有3种结果，共有5x3=15种结果，

根据分类计数原理知共有12+15=27种结果，故选D.

8.B

【详解】

+2x)5=x(l+2x)s—<a(l+2x)5,

%(1+2呼的展开式通项为r=xC>(2x)r=C；-2r-xr+1,

a(l+2x)s的展开式通项为=。以・(2域,

所以，(x-a)(l+2x)5的展开式通项为&⑼=G，2"•6

由,「可得由题意可得C；・22-q・23・C；=40-80〃=20,解得”;

%=31%=34

故选：B.

9.B

【详解】

答案第6页，总13页

(1+依)〃=%H------

令尤=(),则/=1;

令x=l,n=5,则（l+a）5=%+q+%H-----Fa5»

因为4+4+%+/+%=242,

所以（1+4丫=243=3,,a-2,（l+2x）”=%+。/+%X2+…+d，

当〃=6时，

456

（1+2x>=coX（26。+c：x（2x）+C；x（2x『十魂*但犬丫+域x（2x）+C；x（2x）+C：x（2x）

=1+12x+60x2+160x3+240x4+192x5+64x6,

则q=12,“3=160,4=192,q+3a3+56=1452,

故选：B.

10.C

【详解】

只有一名女教师：々=C；C：A；=72；

选派两名女教师：％=C；C：A；=24；

所以共有72+24=96种方法.

故选：C

11.C

【详解】

在3+卬的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项聿项的二项式系数最大，即

rj

—+1=4,解得：n-6

2

故选：C.

12.C

【详解】

先从3个奇数中选2个奇数捆绑看成一个整体，然后将它们分别安置在5个位置上，分别记为

①②③④⑤,其中这个整体与剩下的一个奇数不相邻，以及0不在①号位置，也不在⑤号位置.

答案第7页，总13页

(1)若奇数排在①③号位置,则排法总数为用用C；8=48；

(2)若奇数排在①④号位置,则排法总数为8=48；

(3)若奇数排在①⑤号位置,则排法总数为其用看=72；

(4)若奇数排在②④号位置,则排法总数为&=24；

(5)若奇数排在②⑤号位置,则排法总数为&&C；4=48；

(6)若奇数排在③⑤号位置，则排法总数为《&C；g=48；

根据分类加法计数原理可知，排法总数为48+48+72+24+48+48=288.

故选：C.

13.150

【详解】

解：根据题意，分2步进行分析:

①先将5名学生分成3组，

若分成1、1、3的三组，有与G=io种分组方法,

4

若分成1、2、2的三组，有筌G

=15种分组方法,

则有10+15=25种分组方法;

②再将分好的三组全排列，对应三个公司，有禺=6种情况，

则有25x6=150种不同的安排方式.

故答案为：150.

14.66

【详解】

根据题意，分3种情况讨论：

①当A、C、E种同一种植物，此时共有3X2X2X2=24种方法；

②当A、C、E种二种植物,此时共有C3?XA：><2X1X1=36种方法;

③当A、C、E种三种植物，此时共有人3：*1><1><1=6种方法；

则一共有24+36+6=66种不同的栽种方案；

答案第8页，总13页

故答案为66.

15.24

【解析】

分析：首先要明确该题应该分类讨论，第一类是大一的两名同学在乙组，第二类是大一的两名

同学不在乙组，利用组合知识，求得相应的数，之后应用分类加法计数原理，求得结果，问题

得以解决.

详解：根据题意，第一类：大一的两名同学在乙组.，乙组剩下的两个来自不同的年级，从三个

年级中选两个为仁=3种，然后分别从选择的年级中再选择一个学生为=4种，故有

3x4=12种；

第二类：大一的两名同学不在乙组，则从剩下的三个年级中选择一个年级的两名同学在乙组,

为C；=3种，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人为=4利」，这时共有3x4=12种；

根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的分组方式.

16.32

【解析】

若数学老师分到我。两班，共有可闻用=8种分法，若数学老师分到民。两班，共有用记街=8

种分法，若数学老师分到民E两班，共有用A；=4种分法，若数学老师分到两班，共有

否用=4种分法，若数学老师分到CE两班，共有A；A；=4种分法，若数学老师分到。,E两班，

共有用&=4种分法，共有8+8+4+4+4+4=32种安排方法，故答案为32.

17.(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析

【详解】

.、C；=1〃！〃！1("+D!1.川ci”.」

r+1r+1r!(n-r)!(r+l)!(n-r)!n+\(r+l)!(«-r)!n+\用'’、***,

(2)当q=l时，由(1)结论可得4=C；

1

所以原式=(明

(3)【解法一】当4=〃时,%=W，

所以,=〃",《=〃"，所以儿=〃向，令X=l,得用,=(〃+1)",

答案第9页，总13页

当〃=1,2时，〃"+1<5+1)"；当"23时，〃向>(〃+1)",即〃>(1+1

1〃

下面先用数学归纳法证明：当〃23,〃eN*时，n>fl+lj,(☆)

①当”=3时，3>f-+ll=—,(☆)式成立；

(3)27

②假设〃=人3时，(☆)式成立，即心口■+1,

M)

贝时，(☆)式右边=(—=f—!—+1Y—+11

U+i)U+iJU+i)

“<［上+1心上+%<%+i

U+1入k)〃+1Jk+1

所以，当〃=Z+1,(☆)式也成立.

综合①②知，当〃23时，n>\-+1.

1〃7

所以，当”=1,2时，纥；当寸，A,>B”.

【解法二】

当4=〃时,%=C：〃I,所以为=”"=〃"，所以4=〃叫令x=l,得纥=(〃+1)",要比

较4与纥的大小，即可比较则与ln(〃+l)的大小,设八*)=叱，则/。)=坐,

nn+lxx

由广(幻>0,得0<x<e,所以/(x)在(O,e)上递增,

由尸(x)<0,得x>e,所以/(x)在(e,+«))上递减,

所以当〃=1,2时，—<ln^—A,<B,,,

nn+1

当〃23时，皿〉-5+1),即(〃+i)in〃>〃ln(n+l),即In*>ln(〃+l)",即4>纥,

n〃+1

综上所述，当〃=1,2时，4〈纥；当〃23时，纥.

答案第10页，总13页

18.(1)2或14；(2)7]=x\7；=C；3x=^x，7；==与”

Zo，ZDO

【详解】

因为奇数项的二项式系数之和为128,

所以2”T=128,解得〃=8,

所以二项式为（4

o

第二项:系数为色,

\)\ayjxJaa

第三项：4=5+1=C：（«）=|1%2,系数为

Q02

由前三项系数成等差数列得：2x-=l+—

aa

解得a=2或a=14.

（2）若a<3,由（1）得二项式为（4+TI7=）8，通项为:

✓~»r16—3r

='4其中/■nOJZ…,8

X

16-3r

所以<4,

4

令至0=4即r=0,此时工=。“4=/;

.16-3rc4

令-----=3BJnnr=-,不符题意；

43

A16-3r8

令一:­=2B|Jr=-,不符题意；

43

人16-3r,_Co35

令一--=1即r=4,此时(=—^x=—x；

428

令”押=0即「若，不符题意；

令更言=_1即r=弓，不符题意;

答案第11页，总13页

1A_3r「8i

令U-」=—2即r=8,此时％=与1=」-彳

49