高中数学选1 第1课时 椭圆的简单几何性质

3.1.2椭圆的简单几何性质

第1课时椭圆的简单几何性质

基础过关练

题组一椭圆的几何性质及其应用

1.椭圆3x2+4y2=12的长轴长、短轴长分别为（）

A.2,V3B.V3,2C.4,2A/3D.2同4

2.点A（a,1）在椭4圆Z的内部,则a的取值范围是（）

A.（-°°,-V2）U（V2,+°°）

B.（-V2,V2）

C.[-V2,V2]

D.（-2,2）

22

3.（2020河北唐山一中高二上期中）已知Fi,Fz分别为椭圆3+5=1的左，右焦点,A

169

为上顶点,则△AFE的面积为（）

A.6B.15C.6V7D.3近

4.若中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等

分，则此椭圆的方程是（）

A.一nBW+匕1

8172819

cW+E=iDW+以1

81458136

5.（2020湖南长沙长郡中学高二上期中）椭圆三+且=1的短轴长为8,则实数

36m

题组二求椭圆的离心率或范围

6.椭圆x2+4y2=l的离心率为（

A32

41D.3-

7.已知a>b>0,则椭圆，+，=1与椭圆，+，=入（入〉0且入=1）有（）

A.相同的焦点B.相同的顶点

C.相同的离心率D.相同的长、短轴

22

8.已知椭圆3+9=l（a>b>0）的左、右焦点分别是R、Fz,P是椭圆上一点，若

a'b乙

IPF」二21PF2,,则椭圆的离心率的取值范围是（）

c£，i）D£，I）

22

9.在平面直角坐标系Oxy中,若椭圆E：^=l（a>b>0）的两个焦点和短轴的两个端

由b乙

点恰为正方形的四个顶点,则椭圆E的离心率是.

22

10.已知椭圆3+马=1（a>b>0）的左焦点为Fl,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF」x

Fb乙

轴,直线AB与y轴交于点P,AP=2PB,则椭圆的离心率为.

题组三椭圆几何性质的综合运用

222

11.若椭圆5+巳=1（a>b〉O）的离心率为两焦点分别为FF,M为椭圆上一点,且

aLb5b2

△FEM的周长为16,则椭圆C的方程为（）

x2v2

A.土+B,守=1

1625259

c.^2+42=iD.土近1

9252516

22

12.设e是椭圆骨,1的离心率，且|,1）,则实数k的取值范围是（)

A.(0,3)B・(3与

C.(0,3)U(表+°0)D.(0,2)

13.椭圆C:x2+2y2=4的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积等

于.

22

14.比较椭圆①x?+9y2=36与②的形状,（填序号）更扁.

15.如图,椭圆a+守1（a>b>0）的离心率e=iF,A分别是椭圆的左焦点和右顶点,P

是椭圆上任意一点,若丽­刀的最大值是12,求椭圆的方程.

能力提升练

题组一椭圆的几何性质及其应用

1.（2020山东蒲泽高二上期末，姬）中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代

对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的.它的

发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术,陶瓷形状各式各样,从不同角度诠释了数

学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘,经测量得到图中数据,则该椭圆瓷

盘的焦距为（）

<------8cm-------»

A.8V3B.2V3C.4V3D.4

22

2.（葡）设A,B是椭圆C:?+?=l长轴的两个端点,若C上存在点P满足

4k

NAPB=120。，则k的取值范围是（）

A.（0,|]u[12,+co）B.（0,|]u[6,+8）

C.（0,|]u[12,+co）D.（0,|]u[6,+e0）

2222

3.（多选）（"）若椭圆Ci:滔（ai>bi>0）和椭圆C2:滔+%=1（a2>b2>0）的禺心率相同,

且5为2,则下列结论正确的是（）

A.椭圆G和椭圆C2一定没有公共点

B也二组

•@2b2

c.於-盛〈忧一比

D.a2〈b「b2

22

4.（2020浙南名校联盟高二上期中联考,"）已知F是椭圆器+=1（a>b>0）的右焦

点，点P在椭圆上,且P到原点0的距离等于半焦距,AP0F的面积为6,则

b=.

题组二求椭圆的离心率或范围

5.（2020辽宁省实验中学高二上期中，站?）美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘

画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步,它包括明暗素描和结构素描,而

学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画切面圆柱体（用与圆柱

底面不平行的平面去截圆柱,底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体,原圆柱的母

线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个

椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截

面图形是有一个底角为60度的直角梯形,则该椭圆的离心率为（）

22

6.(2019黑龙江大庆实验中学高二上期中，姬)已知过椭圆与+与二l(a>b>0)的左焦

於b乙

点R作x轴的垂线交椭圆于点P,Fz为其右焦点,若NFFF2=60°,则椭圆的离心率

为()

A.—B.—C.—D.—

3223

22

7.(2020山东滨州高二期中，妹)已知椭圆C邑+B=l(a>b>0)的左,右顶点分别为

由b

M,N,若在椭圆C上存在点H,使kMHkNHE(-|,0),则椭圆C的离心率的取值范围为

()

22

(2020山东广饶一中高二期中，箭)已知Ft,F2分别为椭圆今+4=1(a>b>0)的左,右

点，点P是椭圆上位于第二象限内的点,延长PF】交椭圆于点Q,若PF2±PQ,且

|PFz|=1PQ],则椭圆的离心率为()

A.V6-V3B.V2-l

C.V3-V2D.2-V2

9.(*)黄金分割比例等具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴含着丰富的美学

价值.这一比值能够引起人们的美感,是建筑和艺术中最理想的比例.我们把离心

率0=等的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下四种说法：

2222

①椭圆三+磊=1是“黄金椭圆”；②若椭圆a+%=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),且

22

满足b?=ac,则该椭圆为“黄金椭圆”；③设椭圆3+9=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶

点为B,右顶点为A,若NABF=90°，则该椭圆为“黄金椭圆”；④设椭圆

22

彳+马=1（a>b>0）的左，右顶点分别是A,B,左,右焦点分别是FbF2,若

FE[2=|AF』•|FIB|,则该椭圆为“黄金椭圆”.

其中说法正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

22

10.（2018陕西西安长安一中高二上学期期末，底）已知椭圆号+4=1（a>b>0）上有一

点A,它关于原点的对称点为B,点F为椭圆的右焦点,且满足AF±BF,设NABF=a,

且aW求该椭圆的离心率e的取值范围.

L1Z6」

题组三椭圆几何性质的综合运用

11.（2020江西南昌二中高二上第一次月考,#?）若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个

焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（力M）

A.^+y2=lBW+31

545

222

C.2+y2=l或>+2=1D.以上答案都不对

545

12.（战）已知点P（x,y）（xWO,yWO）是椭圆3+4口上的一个动点,FbF2分别为椭圆

168

的左,右焦点,0是坐标原点,若M是NFFF2的平分线上的一点（不与点P重合），且

耳而•丽=0,则13瓦1的取值范围为（）

A.[0,3）B.（0,2V2）

C.[2V2,3）D.[0,4]

13.（多选）（让）设椭圆C:>y2=l的左,右焦点分别为Fi,Fz,P是C上的动点，则下

列结论正确的是（）

A.|PF：|+|PF21=2V2

B.离心率e=y

C.△PFE面积的最大值为企

D.以线段FR为直径的圆与直线x+y-V2=0相切

14.（多选）（"）如图所示,某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P

变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行,之后卫星在点P第二

次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道H绕月飞行,最终卫星在点P第三次变

轨进入以F为圆心的圆形轨道in绕月飞行.若用25和2c2分别表示椭圆轨道I和

II的焦距,用2a和2a2分别表示椭圆轨道I和H的长轴长,则下列式子正确的是

C）

/\]\

n

A.ai+ci=a2+c2B.a15二C2

C.Cia2>aiC2D.—<—

a2

22

15.(2020辽宁大连高二上期中，如)已知椭圆CJ+与=l(a>b>0)的离心率为

a，bx

y,A(a,0),B(0,b),0(0,0),AOAB的面积为1.

(1)求椭圆C的方程；

⑵设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求

证：|AN|・|BM|为定值.

答案全解全析

第1课时椭圆的简单几何性质

基础过关练

22

1.C把3x2+4y2=12化成标准形式为土+匕口,得a2=4,b2=3,则长轴长为4,短轴长为

43

2V3.

2.B由题意,得《+々1,即a<2,解得

42

22

3.D由椭圆方程看+：=1得A(0,3),R(-V7,0),F2(V7,0),，|FEI=2®

•—△AF1F2qFEI・Ml弓义21X3=3A/7,故选D.

4.A由已知,得a=9,2c=-X2a,所以c=-a=3,b2=a2-c2=72.又椭圆的焦点在x轴上,

33

22

所以椭圆的方程为L+匕=1.

8172

5.答案16

22,__

解析因为椭圆。匕=1的短轴长为8,所以椭圆的焦点在x轴上,所以标=4,解得

36m

m=16.

6.A将椭圆方程x2+4y2=l化为标准方程为x2+^=l,则a2=l,b2A所以

-4

4

a=l,c=Va2-b2=—,故离心率e=-=—.

2a2

2222

7.C将椭圆方程++・=入（入>0且人=1）化为标准方程,得三+-1（人>0且

a2b2Aa2Ab2

人力1）,其离心率6="比二三,故选C.

“aa

8.C由椭圆的定义得，中笆1+田52|=2/又旧品|=2世展|,

••,IPFil-a,|PF|=-a,

332

又IPFJT,PFZWIFJU即1W2C,

3

所以e'；,故椭圆的离心率e的取值范围是自1）.故选C.

Q叁金正

J•1=1^1^2

解析依题意得b=c,

所以b2=c2^>a2-c2=c2=>a2=2c2^^-=-,

a22

又e=->0,所以e=—.

a2

10.答案；

解析如图，易知△ABFy^APO,

贝|丝=坨,即ja,所以a=2c,所以e=-=i

\AB\|*|3a+ca2

11.Dle=M设JJt(t>0),则a=5t,c=3t.

a53535

又△FRM的周长为2a+2c=16t=16,

/.t=l,

/.a=5,c=3,/.b2=a2-c2=16.

22

•••椭圆c的方程为土+匕=1,故选D.

12.Ci|k<4Bt,e=-=—

a2\2/

即:<牛<1=l<4-k<4,解得0<k<3.

当k>4时,e=-=^p^f-,lY

a7k\2/

综上,实数k的取值范围为(0,3)ug,+8).

13.答案2

22

解析椭圆方程可化为L+匕口.

42

a2=4,b2=2,从而C2=2,C=V2.

因此,两焦点为(-V2,0),(V2,0),短轴的一个端点为(0,V2).

.•.构成的三角形的面积为』><2鱼X鱼=2.

2

14.答案①

解析x2+9y2=36化为标准方程为二+上1,故离心率ek拽=些二+匕1的离心率6」.

36463953

因为e1>e2,所以①更扁.

15.解析由题易知A(a,0),设F(-c,0).

I.a=3c.设P(x(),y),贝卜3cWx()W3c.

a30

=(-c-xo,-y0),B5=(a-x0,-y0),

APF•(-c-xo,-y0)•(a-x0,-y0)

=-ac+cx0-ax0+%o+羽

=-ac+cxo-axo+%o+b2-^-%Q

az

2

c2

--；XQ-(a-c)x0+b-ac

cr

22

三XQ-(a-c)x0+a-c-ac

2

三%Q-2CX0+5C

=-(X-9C)2-4C2.

90

22

・,・当x0=-3c时,PF•同有最大值,且最大值为12c.A12C=12,

.•.c2=1i,.•.a2=c9,[b2=a2-c2=c8,

22

•••椭圆的方程为L+匕=L

98

能力提升练

22

1.C由题图可设瓷盘所在椭圆的方程为W+勺1(a〉b>0),所以长轴长2a=8,短轴长

ar

2b=4,所以a=4,b=2,可得c=Va2-b2=2V3,因此焦距2C=4A/3,故选C.

2.A设P(x,y).当0<k<4时，不妨令A(-2,0),B(2,0),则同二(-2-x,-y),PB=(2-

x,-y),

：.PA•P5=x2+y2-4=|E4|X|PB|cosl20°|~PAX|而|.由

SAPAB^IPIXPBXsinl20°=-|ABX|y|二2|y|,得』方|X|而仁日.

22273

故有x?+y2一4=」|同|X|而|=-隼.

2V3

又•••点P在椭圆上，；4=4-尤，

k

(4-£)y24|y|

.।4k

依题意知0〈d—W%，

V3(4-k)

又0<k<4,V3k+4V^-4V3<0,

.•.0<k端.

3

当k>4时,不妨令A(0,-Vfc),B(0,Vfc),贝(-x,-Vfc-y),而=(r,Vfc-y),

：.PA-PB=x2+y2-k=|E4|X|PB|cosl20°=--1PAX\PB\.

2

由SAPAB^I?!x|PB|sinl20°」|AB|X|x|=Vfc|x|,

22

得」市|X|而仁空.

2V3

故有x2+y2-k=-i|PA|X|PB|=-半.

又•••点P在椭圆上，，y'k-?

.•.x2+k-，=-理

4V3

(k-4)/2〃|x|

4V3•

8〃

*•*l1xI|,-V5(k-4)'

依题意知0〈W2,

V3(k-4)

又•.•k〉4,...代k-4花4百20,，心12.

U[12,+8),故选A.

3.AB依题意,e=2=&,即1-（町=L_田2,所以工组,所以3=”,因此B正确;又

aaa

a2\\\a2/i22b?

a】>a2,所以椭圆G和椭圆C2一定没有公共点，因此A正确;设J”=m,其中0<m<l,则

ala2

有（青-出）-（靖-尻）=（l-n）2）（及-a分>0,即有谥-忧》成-丛,则山-aQ必-母,因此C

^HTM；(a-bi)-(a2-b2)-(1-m)•(ai-a2)>0,即有a「b〉a2-b2,则ai-a2>bi-b&因此D错

误.故选AB.

4.答案2V3

仁+^=1①

解析设P(x,y),则卜十「LU

(%2+y2=C2,(2)

由②得x2=c2-y2,代入①式得

SAPOF=_OFI,|y|=-XcX—=-b~=6,

22c2

.•.b'12,又b>0,

.,.b=2V3.

5.A设圆柱的底面半径为r,依题意知,最长母线与最短母线所在截面如图所示.

C

60:>

0产---4E

A'---------'R

AAB=DE=2r.

从而CD=’一=^r.

sin60°3

因此在椭圆中长轴长2a=^r,

3

短轴长2b=2r,

•22I242212一«

..c=a-b=-r-r=-r=c=—r.

333

/.e=-=-,故选A.

a2

6.D由题意知点P的坐标为或(-c,勺.

VZF1PF2=60°,A-^-=73,即2ac=Wb?=遮(£七)，

a

/.V3e2+2e-V3=0,

e=渔或e=-V3(舍去).

3

故选D.

2-—==—

7.A设H(Xo,yo),则y祢=(a%Q),而M(a,0),N(a,0),RMH••—^-^°

2z

a%%o+a%g-a%0-a

9V°)，•・•e=/fe俘，1)•故选A,

8.A连接F2Q,由已知PF2±PQ,且IPF2|=IPQ|,WAF2PQ是等腰直角三角形,设

PF2|=m,IQF21=n,由椭圆的定义得|PFi|=2a-m,|QFi|=2a-n,则有2a-m+2a-n=m,且

n=V2m,m=2(2-V2)a.

在Rt^FiPF2中，由勾股定理得,m，(2a-m)2=4c2,即[2(2-鱼)a]?+[2a-2(2-

2

V2)a]2=4C2,/.4(6-4V2)a2+(12-8V2)a=4c2,即(9-6V2)a2=c2,从而e=^9-6V2,又

a2

知0<e<l,.-.e=V6-V3,故选A.

9.C①由题意得a2=V5+l,b2=2,故e=口|=4,故椭圆士£;1是"黄金椭圆”；

②b?=ac,即a2-c2=ac,故e2+e-l=0,解得e=且或e=6（舍去），故该椭圆是“黄金椭

22

圆”；③由ZABF=90°得（a+c）2=a2+b?+b2+c2,化简可知e2+e-l=0,解得e=回或

一2

e=^（舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”；④由|FE「=|AFJ・|件8|,得（202=玄一

2

c）（a+c）,则e=?（负值舍去），故该椭圆不是“黄金椭圆.故选C.

10.解析如图所示，设椭圆的左焦点为F1，

连接AFbBFb则四边形AFBFi为矩形，

A|ABHFFI|=2C,|AF|+|BF|=2a.

V|AF|=2csina,|BF|=2ccosa,

/.2csina+2ccosa=2a,

・ii

.•.sin（a+加殍，守，

•••岳山,+：）6存，阴

，椭圆的离心率e6⑸耳

11.C直线与坐标轴的交点为（0,1）,（-2,0）.当焦点在x轴上时，设椭圆的方程为

4+4=1（a>b>0）,

由题意知，c=2,b=l,：.a=5,

•••椭圆的标准方程为f+y2=l;

22

当焦点在y轴上时,设椭圆的方程为f=l（a>b>0）,由题意知,b=2,c=l,.-.a2=5,/.

22

椭圆的标准方程为匕+匚1.故选c.

54

易错警示当不能确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上时,要分两种情况讨论,解题时

要防止遗漏导致解题错误,如本题有两种情况,得到两解.

12.B如图，延长PF2,FM交于点N,则APFiN为等腰三角形,M为FM的中

点，I丽/印|二；|I丽H电U曰•U哂H讯由图可知，当P在短轴端点

时