高中数学学案1：高中数学人教A版2019 选择性必修 第二册 基本初等函数的导数

5.2.1基本初等函数的导数导学案

学习目标

1.能根据定义求函数y=c,y=x,y-x2,y-py=V%的导数.

2.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用.

重点难点

重点：基本初等函数的导数公式的简单应用

难点：根据定义求函数/=ay=x,y-x2,y=：,y=«的导数

知识梳理

原函数导函数

制x)=c(c为常数)f'C0=—

f(.x)=x°(aFQ,且

f(»=______

aWO)

f{x}=sinxf=_____

f{x}=cosXf'5=________

f[x)=a(a>0,且a2

f'(»=______

1)

f(x)=e"f'(分=—

f(A)=logaX(a>0,且

aWl)f'CO=_______

/'(x)=lnx

f(a=___

4

1.函数P==在x=2处的导数为______.

x

2.常数函数的导数为0说明什么？

3.对于公式“若/•(x)=x"(a©Q),则F(x)=ax—”，若把“aGQ”改为“a©R”,

公式是否仍然成立？

4.下列说法正确的个数为()

①若y=也，则=1x2=l；②若F(x)=sinx,则/1(x)=cosx；

13

③/'(»=F则f'(X)=--J.

XX

A.0个B.1个C.2个D.3个

5.（多选）下列结论正确的是（)

A.若尸=0,则/=0B.若y=5x,则p=5

111

C.若y=xT,则/=一针D.若y=久5,贝ljy'=-%i

,,,2Ji

6.右尸cos^-,则/=()

o

m11

A.一弓-B.--C.00-2

7.函数y=g在点，，J处切线的倾斜角为（）

JIJIJI3JT

A•飞Bc.-7-D•丁

-T0

学习过程

一、学习导引

由导数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的。在必修第一册中我们学过基本

初等函数，并且知道，很多复杂函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算

得到的。由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算

法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数。

本节我们就来研究这些问题。

二、新知探究

1.求函数在升处的导数的方法.

（1）求（Ao+AA）—/（Ao）.

/c-比及+AxlZI-比苞口

⑵求变化率旬=-------O---------

⑶求极限的VI（吊）=limW

2.怎样求导函数？

（1）求改变量Ay=F（x+Ax）—F（x）.

⑵求比值芸:/Dx+△才口一/]2]才口

AI

⑶求极限的/=-(x)=lim芸.

△LO

思考：导数与导函数有什么区别和联系？那么如何求几种常见函数的导数?

问题1.函数y=f(x)=c的导数

若y=c表示路程关于时间的函数，则y'=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为

0,即一直处于静止状态。

问题2.函数y=f(x)=x的导数

若y=%表示路程关于时间的函数，则y'=1可以解释为某物体的瞬时速度始终为1

的匀速直线运动。

问题3.函数y=f(x)=X?的导数

y'=2x表示函数y=好的图像，上点(%,y)处切线的斜率为2x,说明随着%变化,

切线的斜率也在变化。另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，

表明；

当久＜0时，随着久增加，|y1越来越小，y=/减少得越来越慢；

当%>0时，随着%增加，［y1越来越大，y="增加得越来越快；

若y=久2表示路程关于时间的函数，则/=2x可解释为某物体做变速运动,

它在时刻%解时速度为2x。

三、典例解析

例1.求下列函数的导数.

i/

(l)y=­;(2)y=-i=；

x[x

(3)y=lgx；(4)y=5'；(5)y=cos

1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.

2.对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必

要的运算失误.

3.要特别注意"［与Inx","a'与log,—,“sinx与cosx”的导数区别.

跟踪训练1.求下列函数的导数：

Y

⑴尸〒(x>0)；

(2)y=sin(n—x)；

(3)y=logx.

例2假设某地在20年间的平均通货膨胀率为5%,物价P(单位：元)与时间t(单

位：年)有如下函数关系

P(t)=Po(l+5%¥,

其中Po为t=0时的物价，假定某种商品的Po=l,那么在第10个年头，这种商品的价格

上涨的速度大约是多少？(精确到0.01元/年)

跟踪训练2质点的运动方程是S(t)=sint,则质点在方=时的速度为一；质点

运动的加速度为;

例3已知曲线

X

⑴求曲线在点p(l,1)处的切线方程;

⑵求过点0(1,0)的曲线的切线方程.

利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况

⑴若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；

⑵如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.

跟踪训练3当常数次为何值时，直线%=x与曲线为=f+N相切？请求出切点.

达标检涮

JI

1.设函数/1(x)cosX,则)

2

A.0B.1C.-1D.以上均不正确

2.下列各式中正确的是()

..,1..,In10

A.(log.)=-B.dogA)=-----

XaX

C.(3>=3xD.(3，”=3"ln3

3.若广(x)=*,g(x)=M,则满足f(x)+l=g'(x)的x值为

4.设函数F(x)=logaX,f'(1)=-1,则a=.

5.求与曲线/=丹分=汩在点夕(8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程.

6.已知两条曲线y=sinx,y=cosx,是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点

处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.

课堂小结

参考答案:

一、知识梳理

0；ax"-'；cosx-,—sinx；a*lna；e*；;-----；一

Tinax

1.解析：法一（导数定义法）：

..444_口Ax[f+4Ax

"Ay=DAx+2D2-22-DAx+2D2-1-DA^+202'

.AyAx+4

**△二一□△X+2E|2'

limlim

,IAyAx+4

y[~=-Ax―0-;~~।c「2=-1.

-sNxDA^+2n

法二（导函数的函数值法）：

..4_4_4AxE!2x+A

•△尸dx+Axd*——flUx+AxEf'

.Ay4lZl2x-|-AxD

',NxxUx+AxQ2'

limlim

Ay4El2x+Ax口8

：.y'=ALO、=—Ax-03-

△xxUx+X

|^2=-1=-l-

答案：一1

2.提示：说明常数函数f（x）=c图象上每一点处的切线的斜率都为0,即每一点处的

切线都平行（或重合）于x轴.

3.提示：当a©R时，/（x）=ax"一'仍然成立.

4.解析：只有③正确.

答案：B

5.（多选）答案：ABC

6.答案：C

7.答案：B

学习过程

二、新知探究

问题1.解：因为

Ay/(%+△%)/1(%)

△%△%

所以

.7/_UmAy_Um八一八

y——菽一Ax—OU—U

问题2.解：因为

Ax△%Ax

所以

.7,—lim3—Um1一］

y—Ax—O—A.—1

问题3.解：因为

△y/1(%+△%)-/(x)(X+AX)*2-34X2

△%AxAx

所以

y:阳冷△窝(2%+A%)=2%

三、典例解析

例1.［解］(1)：尸二=/5,.♦./=—5/6.

X

G、X22---/3-

(2)y=—=x2=%2,y=-X2

X22

(3)Vy=lg/=111八.

xln10

(4)Vy=5X,y'=5"ln5.

(兀)..

(5)y=cosl——^l=sinx,y'=cosx.

跟踪训练1.［解］⑴.:y=J=5(x>0),：♦/=(力)'

(2)y=sin(n—JT)=sinx,y'=cosx.

例2解：根据基本初等函数的导数公式表有，

p(t)=1.05，lnl.05

所以；pr(10)=1.0510lnl.05«0.08

所以，在第10个年头这种商品的价格约以0Q8元/年的速度上涨。

跟踪训练2解析：r(t)=S'(t)=cost,

(n、n1n」.1

HV=cosV=9-即质点在时的速度为$・

\OyJ乙O乙

Vv{t}=cost,・\加速度H(1)=/(t)=(cost)r=—sint.

［答案］7—sint

乙

例3［解］Vy=-,Z./=—7.

XX

⑴显然9(1,1)是曲线上的点，所以尸为切点，

所求切线斜率为函数在点尸(1,1)的导数，

X

即4=尸(1)=—1.

所以曲线在尸(1,1)处的切线方程为y—1=—(x—l),

即为x+y—2=0.

(2)显然0(1,0)不在曲线尸」上,

X

则可设过该点的切线的切点为/(a,

那么该切线斜率为4=F(a)=一±

a

则切线方程为/—1=—二(x—a).①

aa

将0(1,0)代入方程：0—1=—3(1—a).

aa

得a=J,代入方程①整理可得切线方程为尸一4x+4.

乙

跟踪训练3解：设切点为力（为，/+A）.2=2X,

'_1

2xo=l,苞2'

,<・<

\^+k=x0,1

故当/=；时，直线%=X与曲线%=x?+A相切，

且切点坐标为（；，jj

达标检测

1.解析：注意此题中是先求函数值再求导所以导数是0

答案：A

2.解析：由（log/）'=一一，可知A,B均错；由（3》=31n3可知D正确.

xlna

答案：D

3.解析：由导数的公式知，/（x）=2x,/（x）=3/

因为/1'（x）+l=g‘（X）