高中数学学业水平考试仿真试卷

高中数学学业水平考试仿真试卷

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题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷人得分

一、选择题(共10题，共50分)

3

1、已知cosa=-5,a是第三象限的角，则sina=()

A.-

4

B.5

C.-

4

D.3

【考点】

【答案】C

3I..............-4

【解析】解：■.-cosa=-5,a是第三象限的角，贝I]sina=-一C°S_a=一弓，

故选：C.

【考点精析】掌握同角三角函数基本关系的运用是解答本题的根本，需要知道同角三角函数的基本关

系.(l)sin3a+cos2a=1(sin3a=l-cos3a,cos1a=l-siii3a)

<2)^^=tanasina=tanacosa,cosa=sinorj

cosaI由a)；(3)倒数关系：ftmacota=l.

2、如图，圆0内有一个内接三角形ABC,且直径AB=2,NABC=45°,在圆0内随机撒一粒黄豆，则它落在

三角形ABC内(阴影部分)的概率是(

1

A.2JT

B.21r

C.2兀

【考点】

【答案】D

【解析】解：圆0的直径AB=2,半径为1,

所以圆的面积为S圆=n72=11；

△ABC的面积为SAABC=2«2*1=1,

在圆0内随机撒一粒黄豆，它落在^ABC内（阴影部分）的概率是

故选：D.

【考点精析】利用几何概型对题目进行判断即可得到答案，需要熟知几何概型的特点：1）试验中所有

可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等.

3、圆x2+y2=1与圆（x+1）2+（y+4）2=16的位置关系是（）

A.相外切

B.相内切

C.相交

D.相离

【考点】

【答案】C

【解析】解:圆x2+y2=1的圆心（0,0）半径为1；圆（x+1）2+（y+4）2=16的圆心（-1,-4）,半径

为4,

圆心距为：J+16=",半径和为5,半径差为：3,两C（3,5）.

所以两个圆的位置关系是相交.

故选：C.

4、不等式2x+y-3W0表示的平面区域（用阴影表示）是（）

B.

【考点】

【答案】B

【解析】解：的出不等式2x+y-3W0对应的函数2x+y-3=0的图象，

取点(0,0),把该点的坐标代入不等式2x+y-3W0成立，说明不等式2x+y-3W0示的平面区域与

点(0,0)同侧，

所以不等式2x+y-3W0表示的平面区域在直线2x+y-3=0的右下方，并含直线.

故选B.

【考点精析】本题主要考查了二元一次不等式(组)所表示的平面区域的相关知识点，需要掌握不等

式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部才能正确解答此题.

n

5、已知tana=2,则tan(a-4)=()

1

A.4

1

B.3

1

C.2

D.-3

【考点】

【答案】B

ntana-11

【解析】解：,/tana=2,则tan(a-4)=1+tana=3,

故选：B.

【考点精析】解答此题的关键在于理解两角和与差的正切公式的相关知识，掌握两角和与差的正切公

.6tana±tan£

tan（ai/S）=-------------------

式：11千tanatan,

6、在AABC中，a=/b,A=120°,贝I]B的大小为（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

【考点】

【答案】A

【解析】解：..%=gb,A=120°,

ab1

二由正弦定理两=漏，可得：sinB=2,

又「BG（0°,60°）,

.,,B=30°.

故选：A.

【考点精析】利用正弦定理的定义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知正弦定

j----2----「2R

理：由14而3sinC

7、一支田径队有男运动员49人，女运动员35人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为24

的样本，则应从男运动员中抽出的人数为（）

A.10

B.12

C.14

D.16

【考点】

【答案】C

242

【解析】解：每个个体被抽到的概率等于我则应从男运动员中抽出的人数为49X=14,

故选：C【考点精析】通过灵活运用分层抽样，掌握先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性

别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽

取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本即可以解答此题.

8、已知集合凶={0,1},集合N满足MUN={0,1},则集合N共有（）个.

A.1

B.2

C.3

D.4

【考点】

【答案】D

【解析】解：M={0,1},集合N满足MUN={0,1},

则NUM,

故N=。，⑼，{1},{0,1}共4种可能，

故选：D.

【考点精析】通过灵活运用集合的相等关系，掌握只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集

合相等即可以解答此题.

9、直线x+2y+2=0与直线2x+y-2=0的交点坐标是()

A.(2,-2)

B.(-2,2)

C.(-2,1)

D.(3,-4)

【考点】

【答案】A

x+2y+2=0

【解析】解：根据题意，联立{2x+y-2=°,

x=2

解可得iy=-2,

即直线x+2y+2=0与直线2x+y-2=0的交点坐标是(2,-2)；

故选:A.

10、已知函数f(x)=ax(a>0,a手1)在[1,2]上的最大值和最小值的和为6,则a=()

A.2

B.3

C.4

D.5

【考点】

【答案】A

【解析】解：根据指数函数的性质：

当x=1时，f(x)取得最大值，那么x=2取得最小值，

或者x=1时，f(x)取得最小值，那么x=2取得最大值.

■■a+a2=6.

'.'a>0,a=#1,

a-2.

故选：A.

二、填空题(共5题，共25分)

11、已知函数f(x)=4-Iog2x,xe[2,8],则f(x)的值域是.

【考点】

【答案】[1,3]

【解析】解：..・函数f(x)=4-Iog2x在xW[2,8]时单调递减，

.•.当x=2时函数取最大值4-Iog22=3,

当x=8时函数取最小值4-Iog28=1,

・•・函数f(x)的值域为[1,3],

所以答案是：[1,3].

【考点精析】掌握函数的值域是解答本题的根本，需要知道求函数值域的方法和求函数最值的常用方

法基本上是相同的.事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)

值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的.

12、点P是直线x+y-2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为.

【考点】

【答案】aT

2

【解析】解：圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离d=7=&.再由d-r=-1,

知最小距离为'、口一1.

所以答案是：点一1.

【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与圆的三种位置关系(直线与圆有三种位置关系：无公共点

为相离；有两个公共点为相交，这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的

切线，这个唯一的公共点叫做切点).

13、已知函数f(x)=Asincox(A>0,3>0)的图象如图所示，则A,3的值分别是

【考点】

【答案】3,2

【解析】解：根据图象，可知最高点为3,最低点-3,

：.h-3.

27r

从图可以看出周期T=n,即&'=n,

3—2.

所以答案是：3,2.

14、把二进制数10011(2)转化为十进制的数为.

【考点】

【答案】19

【解析】解：10011(2)=1+1X2+1X24=19

所以答案是：19

【考点精析】解答此题的关键在于理解进位制的相关知识，掌握进位制是一种记数方式，用有限的数

字在不同的位置表示不同的数值.

15\不等式x2-5xW0的解集是.

【考点】

【答案】{x,0WxW5}

【解析】解：不等式x2-5xW0可化为

x(x-5)W0,

解得04W5,

・..不等式的解集是{x|0WxW5}.

所以答案是：{x|0WxW5}.

【考点精析】利用解一元二次不等式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求一元二次不等式

金+阮+60(或<0)加，。工=乂-4«7>0)解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判

断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;

规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.

三、解答题(共5题，共25分)

16、已知向量°二(sinx,1),b=(2cosx,3),xGR.

(1)当=入时，求实数人和tanx的值；

(2)设函数f(x)=",求f(x)的最小正周期和单调递减区间.

【考点】

【答案】

(1)解：向量(sinx,1),b=(2cosx,3),xGR.

Asinx=2cosx

当二人时，可得"xl=3

义=32

...玄讶=左皿，即tanx=1.

(2)解：函数f(x)=•,

.'.f(x)=2sinxcosx+3=sin2x+3.

Tn

----=乳

.1.f(x)的最小正周期T=2

Vf(x)单调递减.

—+2for<2x<—+2fcr

贝i]22kez,

kx+——+icr

得：4WxW4.

.・.f(x)的单调递减区间为[,],kez.

【解析】(1)根据向量的运算性质，向量相等即可求解.(2)根据函数f(x)=a-b,求出f(x)的解

析式，即可求出f(x)的最小正周期和单调递减区间.

17、已知数列｛an｝的各项均为正数，其前n项和为Sn,且an2+an=2Sn,n£N*.

(1)求a1及an；

(2)求满足Sn>210时n的最小值；

11111

(3)令加=4册，证明：对一切正整数n,都有与+与+与++，，〈机

【考点】

【答案】

(1)解：丫数列｛an｝的各项均为正数,其前n项和为Sn,且an2+an=2Sn,nGN*.

，当n=1时，a：+/=2/,且al>0,解得a1=1,

aa

■.■an2+an=2Sn,①，...n'+»~i=2SIi_1,②

①一②，得：个_3+，——=况,

整理，得：(an+an-1)(an-an-1-1)=0,

'.'an>0,.'.an-an-1=1,

二数列｛an｝是首项和公差都为1的等差数列，

.".an=n.

(2)解：二・数列｛an｝是首项和公差都为1的等差数列，an=n.

n(n+l)

.,.Sn=2

皿*10

,.,Sn>210,/.2,

整理，得n2+n-420>0,解得n>20(n<-21舍)，

二满足Sn>210时n的最小值是21.

11

⑶证明：由题意得么=铲，则bn4",

11

,数列｛a｝是首项和公比都是1的等比数列,

211彳一日

,4+&+&++="彳=314-J3

故对一切正整数n,都有++++<3.

22

【解析】⑴当n=1时，%+=2al,由此能求出a1=1,由an2+an=2Sn,得玛一广+an-l=2Sn-l,

从而(an+an-1)(an-an-1-1)=0,进而数列｛an｝是首项和公差都为1的等差数列，由此能求出an=n.(2)

n(n+1)n2.

求出Sn=-2一,由此能求出满足Sn>210时n的最小值.(3)由题意得"，从而数列｛九｝是首项

1£££1

和公比都是工的等比数列，由此能证明对一切正整数n,都有力+与+与++<手.

【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和的相关知识点，需要掌握数列｛an｝的前n项和sn与通项

应，("=1)

an的关系1％之2).才能正确解答此题.

18、如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB，平面ABC,Z\PAB是等边三角形，AC±BC,且AC=BC=2,0、D分

别是AB,PB的中点.

(1)求证：PA〃平面C0D；

(2)求三棱锥P-ABC的体积.

【考点】

【答案】

(1)解：丫。、D分别是AB,PB的中点,，0D〃AP

又PAC平面COD,ODu平面COD.'PA〃平面COD.

(2)解：连接0P,由4PAB是等边三角形，则OP_LAB又\,平面PAB,平面ABC,...0PJ■面ABC,且

—X2^=76

0P=2

'皿xOP-xL-女苧

，三棱锥P-ABC的体积V=332=3

【解析】(1)由0、D分别是AB,PB的中点，得OD〃AP,即可得PA〃平面COD.(2)连接0P,得0P，面

ABC,且0P=2”2电=但即可得三棱锥P-ABC的体积VmBCxOP=3x2X22X凡亍.

【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,

则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题.

1

19、已知函数f(x)=2+二的图象经过点(2,3),a为常数.

(1)求a的值和函数f(x)的定义域；

(2)用函数单调性定义证明f(x)在(a,+8)上是减函数.

【考点】

【答案】

(1)解：函数f(x)=2+x—a的图象经过点(2,3),

2+2—a=3,解得a=1；

/.f(x)=2+X—1,且x-1/0,贝l]x手1,

二函数f(X)的定义域为｛x|x彳1的

(2)解：用函数单调性定义证明f(x)在(1,+8)上是减函数如下；

设1Vx1Vx2,则

11-―一

f(x1)-f(x2)=(2+%一1)-(2+/T)=(x一1X/-D,

1<x1<x2,.,.x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,

.'.f(x1)>f(x2),

Af(x)在(1,+8)上是减函数.

【解析】(1)把点(2,3)代入函数解析式求出a的值；根据f(x)的解析式，求出它的定义域；(2)

用单调性定义证明f(x)在(1,