高中数学北师大版（2019）必修第二册第二章平面向量及其应用综合强化2

高中数学北师大版（2019）必修第二册第二章平面向量及其

应用综合强化2

第I卷（选择题）

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一、单选题

1.已知向量万,3的夹角为9,W=2同=2,向量^=必+防，且%,昨口，2],则向量

夹角的余弦值的最小值为（）

A屈R2币r73n3历

77214

一?一1—

2.AABC中，若A8=AC=5,8C=6,点E满足。七=百04+1。5,直线CE与直线A8

相交于点。，则8SNADE=（）

3.在AABC中，是角A8,C的对边，已知A=?,a=7,则以下判断错误的是（）

49乃

A.AABC的外接圆面积是深；

B.bcosC+ccosB=7；

C.b+c可能等于14；

D.作A关于8C的对称点4,则|A4'|的最大值是苧.

4.在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,S为4ABe的面积，且

2s=/一（力一0）2,则3的取值范围为（）

5.若面积为1的，满足"=2AC,则边8c的最小值为（

A.1B.72C.75D.2

6.已知平面向量£石满足|£|=2,3|=6，且I而+（1-2X）5|（XCR）的最小值立，则

2

|£+eR）的最小值为（）

A.立B.1C.2D.1或2

2

二、多选题

7.已知AABC的内角分别为A,B,C,满足5讪4：51115闷11。=1112:1114:1«（，>0）,且

CA.CB=mAB2则以下说法中正确的有（）

A.若AABC为直角三角形，则,=20；

B.若〃?=：，则为等腰三角形：

O

C.若y4,则AA8C的面积为上帝2；

4

7T2

D.若C>一，l|lij-±<w<o.

«.一般的，力石的夹角可记为«石），已知同一个平面上的单位向身满足

（词+（砌+（词=%,则归十五一4的取值可以是（）.

A.V5-1B.1C.2D.72+1

第n卷（非选择题）

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三、填空题

9.在锐角三角形48。中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足从一/=的，则

二7-一二的取值范围为___________.

tanAtanB

10.已知3，Z，鼻是空间单位向量，且满足6©=02=4,《=；，若向量，

S=3/^+（l-A）?Ae/?,则鼻在5方向上的投影的最大值为.

11.设q,6为单位向量，非零向量8=的+灼，x,yeR.若4,e2的夹角为y，

则甯的最大值等于________.

闻

12.如图，在平面四边形中，ABLBC,AD1DC,AB=AD=\,NB4D=与，

射线BC上的两个动点E,广（E在线段BC上，且不与3,C重合）满足DC平分/EOF,

则当4BE+BF最小时，tanNEQ"的值是.

试卷第2页，共4页

D

A

B

四、解答题

13.如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为

曲线段QSM,该曲线段为函数,，=羯皿3(4>0,3>0),“£[0,4]的图像，且图像的最高

点为S(3,26)；赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全，限定

(1)求的值和M，P两点间的直线距离；

(2)折线段赛道MNP最长为多少？求此时点N的坐标.

14.在△瓦G中，”为AG上一点，FH=2HG,3sinF=sinZEHG,"是线段所的

延长线上一点.

(1)证明：ZMEG=ZHEG；

(2)若“G=3,EH=2,求EG.

15.已知。为AABC的外心，^iiE.OAsinZBOC+OfisinZAOC+OCsin^AOB=6.

16.在①耳=-若一，②.:"="③2s=-石丽•前三个条件中任选

cosC2a+csin5-sinCa+c

一个补充在下面的横线上，并加以解答.

在AABC中，角A,B,C的对边分别为b,。且______,作使得四边形

A8CO满足NACZ)=(,AD=g,求BC的取值范围.

c

B

AD

试卷第4页，共4页

参考答案

1.A

【分析】

依题意可得8四月==柔J

22

、

2rz、zy

XXXiX

•2u-

令一3y2,=++4-+3

2--+1

yy—kyy

+2xy+4y-xL/>2

通过换元可得,所以，当〃=T时，可得的最小值.

【详解】

依题意可得同=1,W=l,贝.方=同.问8$9=lx2x；=|,

a=a（xayb\=xd2iyab=x+y,

32=(x"+肪)=x2d2+2xydb+y2b2=x2+2xy+4y2,则同=^x2+2xy+4y2,

〜，,一、acx+yIx2+2xy+y2L3y2

t,cos〈&"一同.同一42+2/+4y2-J/+2盯+4yx2+2xy+4y2

令”，39则3=V+24也仕［+2⑶+4/2+「j+3,

x~+2xy+4y-uy\y)\y)(yJ

令，=土，由x,yw［l,2］得fw不2,

yl_2」

则9=(/+l)2+3e弓,12,所以：,4，故〃cJ；

u4u447

所以，当〃时，cos（瓦④有最小值Jl〃

故选:A.

【点睛】

I4一

关键点点睛：本题关键点是：令〃=,：厂.1,通过换元得到〃€4-7-

x+2xy+4y_

2.A

【分析】

本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出8（0,0）、C（6,0）、A（3,4）,然后根据A、B、

O三点共线以及C、E、。三点共线得出诙=］卞+［而，再然后根据向量的运算法则得

答案第1页，共17页

8—八八口BADC

出觉二-、84=(3,4),最后根据cos/ADE=时闻即可得出结果.

【详解】

因为A8=AC=5,BC=6,所以8(0,0),C(6,0),A(3,4),

设丽=眉十,而，

因为A、B、D三点共线,所以才>0,y>0fx+y=l,

—■2—•1—•--

因为CE=cA+=CB,C、E、。三点共线，所以15.5,

71575---------

xy

21

联立=：,解得工=三，y=j,CD=-CA+^CB,

Ay5555

x+y=l

因为丽一(6,0),C4-(3,4)，所以方=*弓］，反-

因为丽=(3,4),

故选：A.

【点睛】

方法点睛：木题考查向量的几何应用，可借助平面直角坐标系进行解题，考查应用向量的数

量积公式求夹角，考查向量共线的相关性质，体现了数形结合思想，是难题.

3.D

答案第2页，共17页

【分析】

对4利用正弦定理可求得AABC的外接圆半径，即可求解AABC的外接圆面积；对后利

用余弦定理角化边，即可求解；对C：利用正弦定理边化角，再结合两角和差的正弦公式,

即可求解；对Q：利用三角形面积公式和余弦定理，及均值不等式，即可求解.

【详解】

解：对4：•/A=y,a=7,

•••由正弦定理可得言T方=2R,即AABC的外接圆半径R=4巨，

T3

.•.△ABC的外接圆面积是开川=九x［殍］=等，故A选项正确;

由余弦定理可得反。SC……+c•号@-故6选项正确;

对。:

对C：由正弦定理可得匕+C=2/?(sinB+sinC)==14cosa

71n

——<a<—

33

・•)+ce(7,14],故C选项正确;

对。：设A关于BC的对称点我H,A到的距离为人,

即h=*bc,

—ah=—bcsin—,

223

又由余弦定理可得1=y+/-次cos?=〃+c2-bc..2bc-bc=bc,当且仅当b=c时等号成立,

所以g夸乩若“，即加吟

所以|A4'I的最大值是7石，故。选项错误.

故选：D.

4.D

【分析】

根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得tang,进而求得4的各个三角

函数值，再利用正弦定理边化角求得与关于。的函数表达式，根据锐角三角形的条件得到

C

0<g-C<A<［,利用三角函数的性质求得取值范围即可.

22

【详解】

答案第3页，共17页

解：△ABC中£?u/Z+M-⑦ccosA，S=：bcsin4,

2

由2s=/-仍一。)2,得从sinA=2Z?c•一次cosA,/.sinA=2(1-cosA)；

nnf.AA.A,,.A.A1

lip2sm—cos—=4sin'—,.sin—>0,..tan—=—,

222222

5.C

【分析】

由已知利用三角形的面积公式可得4。2=工，由余弦定理可求BC2sin4+4cosA=5,利用

sinA

辅助角公式和正弦函数的性质即可求解.

【详解】

解：•.•△ABC的面积S=1,且AB=2AC,

二5AAflC=|AB.AC«sinA=AC，sinA=I，

AC2=----,

sin4

•••根据余弦定理得：

BC2=AB2+AC2-2ABACCOSA

=4AC2+AC2-2-2ACACCOSA

=5AC2-4AC2•cosA=(5-4cosA)AC2=""小.,

sinA

即sc、三竺出，

可得叱sinA+4cosA=5,

答案第4页，共17页

BC'sinA+4cosA=JBC'+16sin(A+a)=5,

贝I」JM+16=——-——25,

人Jsin(A+a)

解得：BCNB

即边8c的最小值为百.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角形的面积公式、余弦定理和辅助角公式的应用，以及正弦函数的性质在解.三角

形中的应用，考查了化简和运算能力.

6.D

【分析】

3

设/(x)=\xa+(\-2x)b『，M石=/,则/(X)=(16-4。/(2-12)x+3,由M的最小值为:，

+4

得4'(16二4?：3；(,-12)；',且］6-4/>0,解得"0或，=3,然后分2种情况考虑

4x(16-41)4

|£+.y5|(ywR)的最小值，即可得到本题答案.

【详解】

f(x)=|xa+(\-2x)bI2,ab=t»

则fM=ax2+2x(1-2x)ab+(\-2x)2b

=4x2+2x(1-2x)t+3(l-4x+4x2)

=(16-今)/+⑵-12)x+3

因为|法+(l-2x)6|(x£&)的最小值年,

2

所以，刈的最小值为小

4x6-4r)x3-(2/-12)-3

(1=K16-4r>0,

4x(16-4z)4

解得1=0或f=3,

当1=0,即a•b=0时,

\a+yb|=\]4+2ya-b+3y2=^4+3y2>2>

答案第5页，共17页

所以|£+防|("R)的最小值为2；

当，=3,即［.5=3时'

\a+yb|=y)4+2ya-b+3y2=J3y2+6y+4=5/3(j+1)2+1>1»

所以|a+wR)的最小值为1,

综上，|£+防|(yeR)的最小值为1或2.

故选：D

【点睛】

本题主要考查向量的模的计算与二次函数值域的综合问题，考查学生的推理分析能力和计算

能力.

7.BD

【分析】

利用正弦定理边角互化设。=幼2b=kl〃4=2k1〃2,c=kbu,结合两边和大于第三边求得2

V1V8,讨论『.判断选项A,利用余弦定理得m的式子判断8D,•利用面积公式判断C

【详解】

根据题意，依次分析4个结论：

对于A,根据题意,若于nA：sinB：sinC=/n2：InA：Int,则a：b：c=ln2：/〃4：Int,

故可设。=幼?2,b=kln4=2kln2tc=klnt,k>0.

则有b・aVcVHa,贝1］依〃2VcV30〃2,变形可得2VfV8,

当4vrv8时;c最大,若AA3C为直角三角形，则"+从-d=0,即5&2加22_左2/〃2/=0,

解得1=2百;

当2<ZK4时；若AABC为直角三角形,则/+。2_/=0,即3公加22T2历若=0,解得

综上：1=2有或/=26,故A错；

rfiWiNK7不八「/a2+b2-c2a2+b2-c25k2In22-c2

由题息，CACB=abcosC=ab---------------=---------------=----------------=me2-,

2ab22

.CACB5k2In22-c25k2ln221

••m=---------=---------------=----------------.

c22c22c22

若m=则爱毕一!=:解得k4,故b=c,/BC为等腰三角形：8正确；

82c228

对于C,当，=4,加2时，则6=劭?4,c=klnt=kln4,则有b=c=2a,此时等腰△ABC

答案第6页，共17页

底边上的高为力=J//一巨=正4m2，三角形面积为=巫&2^2,c错；

V4224

nk2ln2?I

对于。，当C>g厕有。2+/-/<0,即弘明22—。2<0,解得0<y由选项A方的解

2c~5

析知kln2<c<3以〃2综合两式得-<地2<1,故阳=触％?=坐2

选项D正确；

综合可得BD正确;

故选：BD.

8.ABC

【分析】

结合题意，讨论满足小@+卡,»+何今二4的情况，分别研究归+万一目即可

【详解】

由题意可知，当且"在£3之间时，满足,用+（瓦分+但£）=乃，

如图所示，不妨令OA=a,OB=b,C。=c,

贝|J易矢口£+B=丽，a+h-c=OD-OC=CDf

结合图象可知当C点在OO上时，|3.=夜-1,

当点。与点A或点3重合时，|。4皿=1，

此时，V2-l<|fl+S-c|<l；

当办"且弓在正之间时，满足值今+（£曰+但今=乃，

如图所示，不妨令方=工方=反由=2,

过点。作如〃AC,且|oq=|ACj,连接。C,则易知8C4为平行四边形,

答案第7页，共17页

y

D_____

彳A

又易知£一"=)一反=卞=丽，则£+否一"=£-2+5=丽+丽=丽，

结合图象可知当8点与C点时，忸&哂=1，

当8点与A点重合时，忸=6，

此时1平+配4工6；

当办_LI且2在反之之间时,满足(G碑+(“)+«,£)=%,

同理当£J.3且否在a,c之间时，有1工卜+〃一。卜＞/5；

综上可知：&-1平+万一布造

故选：ABC

f.2⑸

9.1,亍

【分析】

由余弦定理化简己知式，再由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换得B=2A,由锐角

三角形求得A8的范围，待求式切化弦，通分后利用已知条件化为」由正弦函数性质

可得范围.

【详解】

因为加一々2=女，由余弦定理得/=/+c?-%C8S8，所以〃C=/-2^CCOSB,

c=2acosB+a,

由正弦定理得sinC=2sinAcosB+sinA,所以

sinA=sin(A+8)-2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB-2sinAcosB=cos4sinB-sinAcosB

=sin(8-A),

因为AABC为锐角三角形，所以A=B—A,B=2A,C=%—3A,

答案第8页，共17页

由卦得匹已升

11_cosAcosB_sinBcosA-cosBsinA_sin(B-A)_sinA_1

tanAtanBsinAsin4sinAsinBsinAsinBsinAsinBsinB

【点睛】

本题考查都得用正弦定理和余弦定理求三角函数的取值范围，解题关键是由正弦定理和余弦

定理变形化简得出三角形中角的关系，从而再由锐角三角形得角的范围.再把待求式化为某

个角的函数，从而求得取值范围.

10.且.

3

【分析】

一e,b

先确定-3在B方向上的投影用百计算，对该式子利用数量积相关公式化简，再用换元法

转化为求二次函数的最大值.

【详解】

&在B方向上的投影为筲.

工电/(32冢+(1-为可=3石£+(1-板§

Wa。+(1-4)局《(324+(1一2)0

把卜卜(2卜同二1，不区二小鼻二小三二3代入整理得,

.1

rA+-

%b_2

答案第9页，共17页

e*b

所以时的最大值为

3

故答案为:警

II.2

【分析】

由题意，可得&£=曰,仍|=序=&+&y+y]，从而可得当x=0时，曷=°；当xwO

\X\=|.t|IX：

时，由Jx2+y/3xy+y2NX?+若jy+y2匚折，再利用二次函数的性质可彳喘的

x24

最大值，比较大小即可得答案.

【详解】

解：,«2为单位向量，61和6的夹角等于'，

.一一..乃退

一日•e>=1x1xcos——=——»

1~62

当％=0时,R0777=0；

闻

非零向量力=xet+ye2，

.Jb\=\jb=旧+2型|=6+丁=yjx2+\/3xy+y2>

・••当XOO时，

I*「Ml.II»|1

面&+右冷，+『2必2+6守+),2卜+亭

故当2=-立时，党取得最大值为2,

x2闻

综上，崂取得最大值为2.

故答案为：2.

12.>/3

【分析】

7[

由已知求得BC,设NC£>E=NCDF=9(0<G<y),利用正弦定理把CE、6用含有。的

代数式表示，可得4BE+BF,换元后利用导数求最值.

【详解】

答案第10页，共17页

解：如图,

在平面四边形A6CD中，AB±BC,ADYDC,AB=AD=\f/6AD=管,

可得BC=OC=技

•・・E在线段8C上(不含端点)，且0c平分NEQR

设NCOE=NC。尸=8(0<6<-),

3

CE石氐in。

在△8E中，由正工=.产小,可得—二.不小.

sin(—+0]sin(—+6)

33

CFx/3氐inO

在AC。尸中，由5皿。一°.妨/2万，可得一°、/2乃Q.

sin(—+^)sin(—+^)

同Gsin。•x/Jsin。

)十(岛

・•・4BE^BF=4(75~.产小.2兀八、)

sm(一+夕)sin(—+^)

3

5百+6sin。_4x/5sin®x/5sin。473sin(9

56+

£

sin(--^)sin(—+0)—cos<9--sin<9cos®+—sin®

2222

5^sin2^--sin^cos^

_jz10>/3tan2<9-18tan^

=5y/3+—^r——2

2

-cos2<9--sin2^tan<9-3

44

令x=tan0W(0,6),

2

10y/3x-I8xf_6(向-1)(瓜-9)

则函数y=2

X2-3P-3)

，当x=lan6=当时，函数)，取得最大值，即4BE+B尸取得最小值,

此时tanZEDF=tan29=-2⑦117-=石.

1-tan0

故答案为：73.

【点睛】

本题考查三角形的解法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题.

答案第II页，共17页

13.(1)A=26,3=9，|MP|二5km；(2)MNP最长为如叵km,此时点N的坐标为

63

(12+69+4厅

6,•

【分析】

(1)由图得到A及周期，利用三角函数的周期公式求出口，将M的横坐标代入求出M的

坐标，利用两点距离公式求出IMH：

(2)由余弦定理得A/ZG+N尸+A/N・NP=25,利用均值不等式求解，且有MN=NP求出坐

标.

【详解】

(1)依题意，有4=2714=3,又T=仝，・,・/=2，

4co6

:.y=25/3sin—A\当x=4时，/.y=2V3sin=3

63

・・・加(4,3),又〃(8，。)，

A^P=^42+32=5

(2)如图，在△MNP中，NMNP=120°,MP=5,

由余弦定理得MN2+NP2-2MNNPcos/MNP=MP2

即MN2+NP2+MN，NP=25,

故(MN+NP)?-25=MN•NPWMN+NP

2

从而:(MN+NP『K25,即+

当且仅当MN=N尸时，折线段赛道MNP最长.

因为NMNP=120。,MN=NP=—f

3

所以NiW/W=30。，

答案第12页，共17页

34

又sinZMPO=j,cosZMPO=-

所以sinZOPN=sin(30°+NMPO)==(o<>+NMPO)=4x/^-3,

4HB,coscos3

所以勺=8-NPcos/OPN=8-W^=与包

ZP./cpz5>/34+369+46

y=NPsinZ.OPN-------x----------=-----------,

八3106

弘/12+69+4

故'I-，飞一)

14.(1)证明见解析；(2)EG二屈.

【分析】

(1)先利用诱导公式及正弦定理得所=3切，再由FH=2HG得AEFG,△£/；面积的关

系，即可得/"EG,NFEG的关系，即可得证；

(2)先由余弦定理求出NE”产的余弦值，即可求出N£”G的余弦值，再利用余弦定理即可

求出EG.

【详解】

FHEF

解：(1)在△QH中，由正弦定理

sinFsinNEHF

V3sinF=sinZEHG=sin(乃一ZEHF)=sin/EHF,:.EF=3EH,

又FH=2HG>**•^^EFG=3S&F.HG1

A3x1EHxEGsinZGEH=-EFKEGsinNEFG=-x3EHxEGsin/FEG,

222

/.sin"EH=sinZ.FEG，

♦：G〈/HEG</FEG<九，：,4HEG+NFEG=Tr,

JZMEG=7：-ZFEG=ZHEG.

(2)°：HG=3,:•FH=2HG=6,VEH=2,・••由(1)知，EF=3EH=6,

在△)H中，由余弦定理知，cosZ.EHF=FH—£//—£F62+22-621

2FHxEH2x6x26'

Z.cosZ.EHG=cos(万一NEHF)=-cosZEHF=

6

JEG2=EH2+HG2-2EHxHGcosZEHG=22+33-2x2x3x15,

・・・EG=府.

答案第13页，共17页

【点睛】

关键点睛：木题考查的知识是“掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量

问题”.解决本题的关键是根据F〃=2”G的△所G,△E//G面积的关系，即可得NHEG,

/尸EG的关系.

15.证明见解析

【分析】

以A为坐标原点，A8为％轴的正半轴，设8（w，x）,C（孙为），。小，为），结合三角形所在边的

直线方程，利用叉积运算，分别得到凡8叱,与八%,5“8,进而得到

方xS△物+砺+元xS&g=6,再结合三角形面积公式和|砺R丽|=|反证明即

可.

【详解】

C在x轴的上方，则%A08=gx2%，直线BC的方程是以X+（电-f）y-X2y3=0，

因为点A与点。必在直线8C的同侧，且一七为＜0，

所以有与%-%为+与%一£%＜°，得S^BOC=3（七%+乙出一%出一“2%）•

直线AC的方程是/“一毛丁=0,由于点（1,0）与点。必在直线AC的同侧，且为xl-^xO,。,

所以有/外一S为＞。，得S△,0c=1（xoy3-x3yo）.

于是OAx+OBxS^A0C+OCxS^AOB=0»

又S.BOC=；|而||反|sinZBOC,

S"=；I丽1@IsinZA08，

答案第14页，共17页

1—.—.

S^A0C=-\OA\\OC\sinZAOC,

又|函=|西=|两，

所以次sin/BOC+砺sinZAOC+OCsinAAOB=0.证毕.

16.(0,2).

【分析】

根据题意，选择①②③求得设/加c=e,则NCAO=g—e,NCOA=e+g,在

326

△AC。中，由正弦定理求得AC=2sin(O+g),在“IHC中，由正弦定理求得可得

BC=-^sin(6>+-)sin<9=—sin(26>--)+l,结合0<9<三和三角函数的性质，即可求解.

V36333

【详解】

若选①：由岑=-4一,根据正弦定理可得笔=

cosc2a+ccosC2sinA+sinC

即2sinAcosB+sinCeosB=-sin5cosC,

即2sinAcos8=-sin8cosc-sinCeos8=-sin(8+C)=-sinA,

可得cos8=—』，因为Ae（0,笈），所以4=生

23

设NBAC=6,则/。4。二工一夕/。。4=0+生,

26

ACAD

在中，由正弦定理得

sinZ4DCsinZACD

［犯“ADsinZADC百"in矽+台

可得AC——：————-----------^--2sin(<9+—),

sinZACDsin^6

y

在5c中，由正弦定理得笠=鸟，

sinBsinu

AC・sine_2sin@+asin。

4jr

可得8C==-sin(。+一)•sin。

sinB.24

sin——V36

3

sin6+gcos6)sin0=爰(*sin2。+gsin0cos8)

1-cos20.6A、

sin26+2sin6cos。)=x------------+sm26)

2

答案第15页，共17页

=丧(sin29-丛cos26)+1=―—'sin(26-y)+l,

因为OvGv],可得_?<26_?告

当26—1=]时，即。=g,可得逆sin2+1=2,

33333

当20—?=时，即9=0,可得手sin(—§+1=0,

所以的取值范围是(0,2).

sinAb+c

选②：由,根据正弦定理可得F

sinfi-sinCa+cb-ca+c

可得/+4=〃—,即I?+/一62=一々。，

又由余弦定理，可得cos八看卢-ac

2ac2

因为46(04),所以B=与，

设ZZt4C