第87讲、二项式定理（教师版）-2025年高考数学必刷题5000题

第87讲二项式定理知识梳理知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题（1）二项式定理一般地，对于任意正整数，都有：，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，（2）二项式的展开式的特点：①项数：共有项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次数从到，每一项中，，次数和均为；④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系数）．（3）两个常用的二项展开式：①（）②（4）二项展开式的通项公式二项展开式的通项：公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；②字母的次数和组合数的上标相同；③与的次数之和为．注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．2、二项式展开式中的最值问题（1）二项式系数的性质=1\*GB3①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．=2\*GB3②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．=3\*GB3③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．=4\*GB3④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，则，从而得到：．=5\*GB3⑤最大值：如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．（2）系数的最大项求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．知识点3、二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设，二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得：．（2）若，则①常数项：令，得．②各项系数和：令，得．③奇数项的系数和与偶数项的系数和（i）当为偶数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为．（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）（ii）当为奇数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为．（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）若，同理可得．注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．必考题型全归纳题型一：求二项展开式中的参数例1．（2024·河南郑州·统考模拟预测）的展开式中的常数项与展开式中的常数项相等，则的值为（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】的展开式中的常数项为，展开式中的常数项,所以,即,故选：D.例2．（2024·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】二项式的展开式的通项为，令，即，由于，故必为的倍数，即的可能取值为.故选：C例3．（2024·全国·高三专题练习）展开式中的常数项为－160，则a＝（

）A．－1 B．1 C．±1 D．2【答案】B【解析】的展开式通项为，∴令，解得，∴的展开式的常数项为，∴∴故选：B.变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知的展开式中的常数项为，则实数（

）A．2 B．-2 C．8 D．-8【答案】B【解析】展开式的通项为：，取得到常数项为，解得.故选：B变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知的展开式中第3项是常数项，则（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解析】的展开式的通项，当时，则，解得．故选：A【解题方法总结】在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则．题型二：求二项展开式中的常数项例4．（2024·重庆南岸·高三重庆第二外国语学校校考阶段练习）已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（

）A．36 B．30 C．15 D．10【答案】C【解析】令，则可得所有项的系数和为且，解得，∵的展开式中的通项，∴当时，展开式中的常数项为.故选：C例5．（2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）二项式的展开式中的常数项为（

）A．1792 B．－1792 C．1120 D．－1120【答案】C【解析】因为，令，得，所以二项式展开式中的常数项为．故选：C.例6．（2024·北京房山·高三统考开学考试）的展开式中的常数项是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题目可知，，令，解得，所以当时为常数项，此时，故选：A变式3．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）的展开式中的常数项为（）A．20 B．20 C．－10 D．10【答案】D【解析】因为，的展开式的通项公式为，令,得，令,得，所以的展开式中的常数项为：.故选：D变式4．（2024·全国·高三专题练习）若的展开式中存在常数项，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】的二项展开通式为，令，则一定是5的倍数，故选：C.变式5．（2024·全国·高三对口高考）若展开式中含有常数项，则n的最小值是（

）A．2 B．3 C．12 D．10【答案】A【解析】，令，得，则时，取最小值.故选：A【解题方法总结】写出通项，令指数为零，确定，代入．题型三：求二项展开式中的有理项例7．（2024·全国·高三专题练习）在的展开式中，有理项的系数为（

）A． B． C．5 D．10【答案】A【解析】的通项为，.当为有理项时，r既是奇数又能被3整除，所以，故展开式中有理项的系数为；故选：A.例8．（2024·全国·高考真题）二项式的展开式中系数为有理数的项共有（

）A．6项 B．7项 C．8项 D．9项【答案】D【解析】二项式的通项，若要系数为有理数，则，，，且，即，，易知满足条件的，故系数为有理数的项共有9项.故选：D例9．（2024·江西南昌·高三统考阶段练习）的展开式中所有有理项的系数和为（

）A．85 B．29 C． D．【答案】C【解析】展开式的通项为：，其中，当时为有理项，故有理项系数和为，故选：C.变式6．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考阶段练习）二项式展开式中，有理项共有（

）项．A．3 B．4 C．5 D．7【答案】D【解析】二项式展开式中，通项为，其中，的取值只需满足，则，即有理项共有7项，故选：D.变式7．（2024·安徽宣城·高三统考期末）在二项式的展开式中，有理项共有（

）A．项 B．项 C．项 D．项【答案】A【解析】写出通项公式，然后代入的值：，分别计算判断是否为有理项.的通项公式为，可知当时，或或，可得有理项共有项.故选：A.变式8．（2024·全国·高三专题练习）若的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数的取值为（

）A． B．或 C．或 D．【答案】B【解析】首先写出二项展开式的通项公式，由条件可知为整数，然后观察选项，通过列举的方法，求得正整数的值.的通项公式是设其有理项为第项，则的乘方指数为，依题意为整数，注意到，对照选择项知、、，逐一检验：时，，不满足条件；时，、、，成立；时，、5、8，成立故选：B.【解题方法总结】先写出通项，再根据数的整除性确定有理项．题型四：求二项展开式中的特定项系数例10．（2024·四川成都·校联考模拟预测）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（

）A．―4 B．84 C．―280 D．560【答案】B【解析】因为的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以．则又因为的展开式的通项公式为，令，所以展开式中的项的系数为．故选：B.例11．（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）展开式中的系数为（

）A．270 B．240 C．210 D．180【答案】A【解析】展开式的通项公式为，则原展开式中的系数为.故选：A例12．（2024·广东揭阳·高三校考阶段练习）的展开式中的系数是（

）A．20 B． C．10 D．【答案】D【解析】因为,展开式中的项是,则展开式中的系数是.故选:D.变式9．（2024·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的系数为（

）A． B．240 C． D．160【答案】C【解析】由展开式中各项的二项式系数之和为64，得，得．∵的展开式的通项公式为，令，则，所以其展开式中的系数为．故选：C.变式10．（2024·全国·高三专题练习）在二项式的展开式中，含的项的二项式系数为（

）A．28 B．56 C．70 D．112【答案】A【解析】∵二项式的展开式中，通项公式为，令，求得，可得含的项的二项式系数为，故选：A.变式11．（2024·北京·高三专题练习）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（

）A．5 B． C．10 D．【答案】A【解析】由题设，，∴当时，.∴含项的二项式系数.故选：A.【解题方法总结】写出通项，确定r，代入．题型五：求三项展开式中的指定项例13．（2024·全国·高三专题练习）在的展开式中，的系数为.【答案】66【解析】由题意，表示12个因式的乘积，故当2个因式取x，其余10个因式取1时，可得展开式中含的项，故的系数为.故答案为：66.例14．（2024·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）展开式中含项的系数为．【答案】-160【解析】变形为，故通项公式得，其中的通项公式为，故通项公式为，其中，，令，解得，故.故答案为：-160例15．（2024·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）的展开式中的系数为（用数字作答）．【答案】【解析】因为，设其展开式的通项公式为：，令，得的通项公式为，令，所以的展开式中，的系数为，故答案为：变式12．（2024·福建三明·高三统考期末）展开式中常数项是.（答案用数字作答）【答案】【解析】的展开式的通项为，,令,则或，或，所以常数项为，故答案为：变式13．（2024·江苏·金陵中学校联考三模）展开式中的常数项为.【答案】/6.5625【解析】可看作7个相乘，要求出常数项，只需提供一项，提供4项，提供2项，相乘即可求出常数项，即.故答案为：变式14．（2024·湖南岳阳·统考模拟预测）的展开式中，的系数为．【答案】30【解析】表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式选，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选，即可得到含的项，即可算出答案．表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式选，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选，即可得到含的项，故含的项系数是.故答案为：30变式15．（2024·广东汕头·统考三模）展开式中的系数是.【答案】【解析】因为是7个相乘，的展开式中项可以由4个项、3个项和0个常数项，或3个项、1个项和3个常数项相乘，所以展开式中的系数是.故答案为：.【解题方法总结】三项式的展开式：若令，便得到三项式展开式通项公式：，其中叫三项式系数．题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数例16．（2024·广西百色·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）的展开式中的系数为．【答案】90【解析】的通项，令，则；令，则，故的展开式中的系数为.故答案为：90．例17．（2024·河北保定·高三校联考开学考试）在的展开式中含项的系数是.【答案】【解析】二项式展开式的通项公式为，令，解得；令，解得.所以的展开式中含的项为，所以展开式中含项的系数是.故答案为：例18．（2024·江西南昌·高三统考开学考试）展开式中的系数是.【答案】5【解析】由题意知项和展开式中的相乘出现项，的通项公式为，分别令可得项的系数为，故展开式中的系数是，故答案为：5变式16．（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）的展开式常数项是.（用数字作答）【答案】7【解析】展开式第项，所以展开式中常数项是：，所以的展开式常数项是7.故答案为：7变式17．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知多项式，则.【答案】16【解析】令，则，因为的展开式的通项为，，所以令可得的展开式中一次项为，令可得的展开式的常数项为1，又因为的展开式的通项为，，所以令可得的展开式中一次项为，令可得的展开式的常数项为，所以.故答案为：16.变式18．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）的展开式中含项的系数为．（用数字作答）【答案】【解析】展开式通项为：，令可得展开式中含项的系数为：；令可得展开式中含项的系数为：；展开式中含项的系数为.故答案为：.变式19．（2024·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）设展开式中的常数项为，则实数的值为.【答案】【解析】的展开式通项为，，在的展开式中，令，可得，不合乎题意；在的展开式中，，令，可得，所以，展开式中的常数项为，解得.故答案为：.变式20．（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）展开式中的系数为.【答案】56【解析】展开式中含的项为：．故答案为：56．【解题方法总结】分配系数法题型七：求二项式系数最值例19．（2024·山东青岛·统考三模）若展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为．（用数字作答）【答案】28【解析】因为展开式的所有项的二项式系数和为，解得，则展开式为，可得第项的系数为，令，即，解得，所以展开式中第项系数最大，其二项式系数为.故答案为：28.例20．（2024·全国·高三专题练习）二项式的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含的项是．【答案】【解析】因为二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式中共有项，，故展开式的通项为，令，解得，故展开式中含的项是.故答案为：．例21．（2024·人大附中校考三模）已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中项的系数为20，则实数的值为.【答案】/0.5【解析】因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以，二项式的通项为，令，解得，所以展开式中项为，，解得.故答案为：.变式21．（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）二项式的展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，则，展开式中含的项的系数为．【答案】6【解析】第4项的二项式系数为且最大，根据组合数的性质得，，令，所以，则展开式中含的项的系数为.故答案为：6；.变式22．（2024·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为.【答案】【解析】由题意得，得，所以展开式中二项式系数最大的项为第6项，所以，故答案为：.变式23．（2024·湖北·校联考模拟预测）在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于．【答案】252【解析】的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，，通项公式为，令，求得，可得二项展开式常数项等于，故答案为：252．【解题方法总结】利用二项式系数性质中的最大值求解即可．题型八：求项的系数最值例22．（2024·海南海口·海南华侨中学校考一模）在的展开式中，系数最大的项为.【答案】【解析】因为的通项为，的通项为，∵展开式系数最大的项为，展开式系数最大的项为，∴在的展开式中，系数最大的项为.故答案为：.例23．（2024·江西吉安·江西省万安中学校考一模）已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，则展开式中系数最大的项为.（不用计算，写出表达式即可）【答案】和【解析】由题意可得，，所以，解得，的展开式的通项为令，解得，由于，所以或12，时，；时，，所以展开式中系数最大的项为和.故答案为：和例24．（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）的二项式展开中，系数最大的项为．【答案】【解析】由题意知：的二项式展开中，各项的系数和二项式系数相等，因为展开式的通项为，所以时，系数最大，该项为，故答案为：.变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为．【答案】【解析】令，则的展开式各项系数之和为，则；由的展开式通项公式知二项展开式的系数最大项在奇数项，设二项展开式中第项的系数最大，则，化简可得：经验证可得，则该展开式中系数最大的项为.故答案为:.变式25．（2024·全国·高三专题练习）若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为．【答案】5376【解析】展开式的通项公式为，由题意可得，，解得，设展开式中项的系数最大，则解得，又∵，∴，故展开式中系数最大的项为.故答案为：5376.变式26．（2024·全国·高三专题练习）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为.【答案】210【解析】由已知展开式中只有第6项系数为最大，所以展开式有11项，所以，即，又展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为.故答案为：210.变式27．（2024·安徽蚌埠·高三统考开学考试）若二项式展开式中第4项的系数最大，则的所有可能取值的个数为.【答案】4【解析】因为二项式展开式的通项公式为由题意可得，即，故，又因为为正整数，所以或9或10或11，故的所有可能取值的个数为4个，故答案为：4.【解题方法总结】有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组：，注意：系数比较大小．题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和例25．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知，则下列结论正确的是（

）A．展开式中所有项的二项式系数的和为B．展开式中所有奇次项的系数的和为C．展开式中所有偶次项的系数的和为D．【答案】ACD【解析】对于A，的展开式中所有项的二项式系数的和为，故A正确；对于B，令，则，，所以展开式中所有奇次项的系数的和为，展开式中所有偶次项的系数的和为，故B错误，C正确；对于D，，，故D正确.故选：ACD.例26．（多选题）（2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A，令，得到，故A正确；对于B，的通项公式为，令，得到，令，得到，所以，故B错误；对于C，令，得到，故C正确；对于D，令，则，又因为，两式相减得，则，故D正确.故选：ACD例27．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知，则（

）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】对于A，令，则，所以A正确，对于B，令，则，因为，所以，所以B错误，对于C，令，则，因为，所以，所以，所以C正确，对于D，令，则，因为，所以，所以D正确，故选：ACD.变式28．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】令，可得，A正确.，所以，B正确.令，可得①，则，C正确.令，可得②，①－②可得，所以，D错误.故选：ABC.变式29．（多选题）（2024·山东日照·三模）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由，令得，故A正确；由的展开式的通项公式，得，故B错误；令，得①，再由，得，故错误；令，得②，①-②再除以2得，故D正确.故选：AD变式30．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）设，则下列选项正确的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A，令，可得，故A正确；对于B，令得，故B错误；对于C，令得①，令得，②，由①+②再除以2可得，故C正确；对于D，令得①，令得，②，①-②再除以2可得，故D正确．故选：ACD．变式31．（多选题）（2024·河北·统考模拟预测）已知．则（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由，令得，故A正确；由的展开式的通项公式，得，故B错误；令，得①，再由，得，故C错误；令，得②，①②再除以2得，故D正确；故选：AD变式32．（多选题）（2024·全国·校联考三模）若在中，，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】令，则，故A错误；令，则，故B正确；由题可得，故C错误；由题，故D正确．故选：BD.变式33．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知，若，则有（

）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】令，则，已知式变为，解得，，，，，令，则有，两边对求导得，再令得，所以，故选：BCD．变式34．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由等式右边最高为项，且不含项，则且，即，故A错误，B正确；所以.C：等式两边同乘，原等式等价于，令，则，正确；D：，可得：，令，则，错误；故选：BC变式35．（多选题）（2024·安徽芜湖·统考模拟预测）已知，下列说法正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】对于A，令，则，A正确；对于B，展开式通项为：，展开式通项为：，展开式通项为：，令，则，又，，，或，，B错误；对于C，令，则；令，则；两式作和得：，，又，，C错误；对于D，，，，令，则，D正确.故选：AD.变式36．（多选题）（2024·福建宁德·统考模拟预测）若，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】令，则，即，故A正确；令，则，令，则，则，故B正确；，则，令，则，故C错误；由两边求导，得，令，则，故D正确.故选：ABD.变式37．（多选题）（2024·广西柳州·统考模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因为，令，得，故A正确；展开式的通项为，则，故B错误；令，得，故C正确；展开式的通项为，则，其中且，当为偶数时，；当为奇数时，，令，可得，故D正确.故选：ACD.变式38．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）若，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】当时，，故A对；，B对；令，则，∴，故C错；对等式两边求导，即令，则，∴，故D对，故选：ABD．【解题方法总结】二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等：．系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：（是系数），令得系数和：．题型十：求奇数项或偶数项系数和例28．（2024·北京东城·高三北京二中校考阶段练习）设，则．（用数字作答）【答案】【解析】因为，令，则①，令，则②，∴①－②得，所以，故答案为：例29．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设多项式，则.【答案】【解析】依题意，令，得到：，令，得到：，两式相加可得：，故.故答案为：例30．（2024·新疆·高三八一中学校考开学考试）已知，若，则．【答案】1【解析】令，可得，所以．令，得；令，得，两式相减求得．故答案为：1.变式39．（2024·全国·模拟预测）在的展开式中，的所有奇次幂的系数和为，则其展开式中的常数项为．【答案】【解析】设，令得：；令得：；两式作差得：，，；令得：，即展开式的常数项为.故答案为：.变式40．（2024·全国·高三专题练习）已知，则的值为．【答案】78【解析】令，可得，令，可得①令，则②所以②①可得：，所以，即故答案为：变式41．（2024·安徽·高考真题）已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于．【答案】－256【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，两式相加可得2(a0＋a2＋a4)＝32，两式相减可得2(a1＋a3＋a5)＝－32，则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.故答案为：－256变式42．（2024·全国·高三专题练习）已知的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小，则．【答案】255【解析】设，且奇次项的系数和为，偶次项的系数和为，则，，由已知得．令，得，即，即，所以，所以．所以．故答案为：变式43．（2024·全国·高三专题练习）已知，则的值为.【答案】313【解析】令求得，再令求得，两者结合可得结论．令得，令得，∴．故答案为：313．【解题方法总结】，令得系数和：=1\*GB3①；令得奇数项系数和减去偶数项系数和：=2\*GB3②，联立=1\*GB3①=2\*GB3②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．题型十一：整数和余数问题例31．（2024·河北·高三校联考期末）除以1000的余数是．【答案】24【解析】因为，所以除以1000的余数是：.故答案为：24例32．（2024·全国·高三专题练习）若，则被5除所得的余数为．【答案】1【解析】由题知时，，，故所以被5除得的余数是1.故答案为：1.例33．（2024·浙江金华·模拟预测）除以100的余数是．【答案】1【解析】，,由于是100的倍数，故除以100的余数等于，故答案为：1变式44．（2024·辽宁沈阳·统考一模）若，则被5除的余数是．【答案】4【解析】由题知，时，①，时，②，由①＋②得，，故，所以被5除的余数是4.故答案为：4.变式45．（2024·全国·高三专题练习）写出一个可以使得被100整除的正整数.【答案】1（答案不唯一）【解析】由题意可知，将利用二项式定理展开得显然，能被100整除，所以，只需是100的整数倍即可；所以，得不妨取，得.故答案为：1变式46．（2024·全国·高三专题练习）已知能够被15整除，其中，则.【答案】14【解析】，所以，因为是的整数倍，所以能够被15整除，要使能够被15整除，只需要能够被15整除即可，因为，所以.故答案为：14.题型十二：近似计算问题例34．（2024·全国·高三专题练习）用二项式定理估算.（精确到0.001）【答案】1.105【解析】.故答案为：1.105例35．（2024·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习）（精确到0.01）【答案】30.84【解析】原式故答案为：30.84．例36．（2024·全国·高三专题练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是.【答案】【解析】根据二项式定理可得：,故答案为：变式47．（2024·全国·高三专题练习）的计算结果精确到0.01的近似值是．【答案】1.34【解析】故答案为：变式48．（2024·全国·高三专题练习）（小数点后保留三位小数）．【答案】1.172【解析】，由二项展开式的性质易知，远小于，依次类推，故.故答案为：1.172.题型十三：证明组合恒等式例37．（2024·全国·高三专题练习）求证：【解析】构造发生函数，由此易发现，中所对应的系数应为恒等式的左端．所以，所以，所以，由此可得，所对应的项的系数为，既左边等于右边，则恒等式成立．例38．（2024·全国·高三专题练习）证明：．【解析】取函数，，则：①，②，将②用替换n，有：．其中的系数为．将①，②对应相乘，根据上述形式幂级数乘法定义有：，其中的系数为，由展开式的唯一性有：，，因此可得：．例39．（2024·全国·高三专题练习）证明：．【解析】由中n取，可得；由两边同乘或除得：．将以上两等式两边对应相加可得：．而等式左边，所以有．变式49．（2024·全国·高三专题练习）求证：.【解析】左边==1=右边.即证.变式50．（2024·全国·高三专题练习）（1）设、，，求证：；（2）请利用二项式定理证明：.【解析】证：（1）；（2）当，时，,所以结论成立.变式51．（2024·江苏·校联考模拟预测）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同而构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.（1）根据恒等式两边的系数相同直接写出一个恒等式，其中；（2）设，利用上述恒等式证明：.【解析】（1），等式左边的系数为，右边的系数这样产生：中的1与中的的系数的的积，即，中的系数与中的系数的的积，即，中的系数与中的系数的的积，即，中的系数与中的系数的的积，即，中的系数与中的系数的的积，即，所以.（2）当，且时，，由（1）得左边=，，，，右边，所以.题型十四：二项式定理与数列求和例40．（2024·北京·高三强基计划）设n为正整数，为组合数，则（

）A． B．C． D．前三个答案都不对【答案】D【解析】解法一设题中代数式为M，则．解法二设题中代数式为M，倒序相加可得，于是．故选：D.例41．（2024·全国·高三专题练习）（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，两边求导得，，两边乘以后得，，两边求导得，，取得.故选：A例42．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，两边同时除以x，得，又展开式中的系数为，所以，所以．故选：A．变式52．（2024·重庆永川·重庆市永川北山中学校校考模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依题意，，当时，，于是得.故选：B变式53．（2024·湖南邵阳·高三统考期末）已知，展开式中的系数为，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，展开式中的系数为，∴则，故选：B．变式54．（2024·北京·高三强基计划）设，对于有序数组，记为中所包含的不同整数的个数，例如．当取遍所有的个有序数组时，的平均值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用二项式定理可求平均值或者就的取值分类讨论后可求平均值.解法一分别计算1，2，3，4的“价值”，可得所求平均值为．解法二按的取值分类．N总数142843144424于是所求平均值为