2023-2024学年广东省深圳市育才中学高一下学期段考二数学试题及答案

试题PAGE1试题2023-2024学年广东省深圳市育才中学高一（下）段考数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.虚数单位，（）A. B. C. D.2.已知向量，若，则x的值为（）A.6 B. C.16 D.3.已知m为一条直线，､为两个不同平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则4.若一个圆台的的正视图如图所示，则其侧面积等于（）A.6 B. C. D.5.对24小时内降水在平地上的积水厚度（）进行如下定义：0~1010~2525~5050~100小雨中雨大雨暴雨小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（）A.小雨 B.中雨C.大雨 D.暴雨6.在正三棱台中，已知，，侧棱长为2，则此正三棱台的体积为（）A. B. C. D.7.在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的值可以是（）A.4 B.6 C.8 D.108.已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（）A. B.复数的虚部为C.对任意复数都有 D.复数为实数的充要条件是10.已知向量，，，则下列说法正确的是（）A.若，则与夹角的余弦值为 B.若，则C.若，则与的夹角为锐角 D.向量在上的投影向量是11.正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说法正确的是（）A.平面B.平面C.异面直线与所成角为60°D.平面截正方体所得截面为等腰梯形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数满足，则的模为___________．13.已知，为单位向量，且它们之间的夹角为，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．14.平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知，，，，且.（1）求值；（2）求向量与向量夹角的余弦值.16.如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且为侧棱的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．（3）若F为侧棱的中点，求证：平面．17.四棱锥中，．（1）求证：平面平面；（2）当平面时，求直线与平面所成的角的正切值．18.设内角的对边分别为，已知，．（1）求角；（2）若，求的面积；（3）求的周长的取值范围．19.如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=DA．①求三棱锥Q−ABP的体积；②求二面角Q−AP−C余弦值．2023-2024学年广东省深圳市育才中学高一（下）段考数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.是虚数单位，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的计算算出答案即可.【详解】故选：C2.已知向量，若，则x的值为（）A.6 B. C.16 D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直关系的坐标表示计算作答.【详解】向量，则，又，因此，解得，所以x的值为16.故选：C3.已知m为一条直线，､为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】C【解析】【分析】根据线面关系和面面关系依次判断即可得出.【详解】对A，若，，则或，故A错误；对B，若，，则或，故B错误；对C，若，，则，故C正确；对D，若，，则与相交或或，故D错误.故选：C.4.若一个圆台的的正视图如图所示，则其侧面积等于（）A.6 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圆台的正视图可以看出圆台是一个下底面直径是4,上底面直径是2,圆台的高是2,根据这三个数据可以在轴截面上过上底的顶点向下底做垂线,根据勾股定理写出圆台的母线长,利用侧面积公式得到结果.【详解】由圆台的正视图可以看出圆台是一个下底面直径是4,

上底面直径是2,圆台的高是2,

根据这三个数据可以写出圆台的母线长是

圆台的侧面积是,

故选C.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5.对24小时内降水在平地上的积水厚度（）进行如下定义：0~1010~2525~5050~100小雨中雨大雨暴雨小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（）A.小雨 B.中雨C.大雨 D.暴雨【答案】B【解析】【分析】由圆锥的体积公式求出雨水的体积，再除以圆面的面积即可得解．【详解】由题可知，设圆锥形容器中积水水面半径为，所以，解得，所以积水厚度为，因此这一天的雨水属于中雨．故选：B6.在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算出三棱台的上下底面的面积，再根据底面边长与侧棱长求解三棱台的高，进而计算出三棱台的体积．【详解】正三棱台中，已知，，所以的面积为，的面积为，设，分别是，的中心，设，分别是，的中点，，，三点共线，，，三点共线，，，，，，过作，垂足为，则，，三棱台的高为，三棱台的体积为．故选：C．7.在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的值可以是（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，可得，求出的范围，结合选项得出答案.【详解】如图，过点作，垂足,则.若有两解，所以，则，即，得.故选：B8.已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题首先可根据题意将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半径，最后根据球的表面积计算公式即可得出结果.【详解】因为平面平面，，所以可将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，如图所示：则四面体的外接球即直三棱柱的外接球，因为底面三角形的外心到三角形的顶点的长度为，所以直三棱柱的外接球的半径，则球的表面积，故选：A.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（）A. B.复数的虚部为C.对任意复数都有 D.复数为实数的充要条件是【答案】AD【解析】【分析】根据复数的乘方判断A，根据复数的定义判断B，根据复数的平方运算和复数模的计算判断C，根据充要条件的定义判断D.【详解】对于A：，故A正确；对于B：复数的虚部为，故B错误；对于C：设，则，则，所以C错误；对于D：若复数为实数，则，设，，若，即，所以，则复数为实数，故复数为实数的充要条件是，故D正确；故选：AD.10.已知向量，，，则下列说法正确的是（）A.若，则与夹角的余弦值为 B.若，则C.若，则与的夹角为锐角 D.向量在上的投影向量是【答案】ABD【解析】【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项；由平面向量共线的坐标表示可判断B选项；分析可知且与不共线，求出的取值范围，可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，当时，，则，A对；对于B选项，因为，，，则，若，则，解得，B对；对于C选项，若与夹角为锐角，则，解得，且与不共线，所以，，所以，当且时，与的夹角为锐角，C错；对于D选项，向量在上的投影向量，D对.故选：ABD.11.正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说法正确的是（）A.平面B.平面C.异面直线与所成角为60°D.平面截正方体所得截面为等腰梯形【答案】ACD【解析】【分析】于A，连接，利用三角形中位线证得，结合线面平行判定定理即可判断A；对于B，取中点，连接，设正方体棱长为，根据线段长度结合勾股定理判断与是否垂直，即判断与是否垂直，从而可判断B；对于C，连接，根据正方体的面对角线性质，即可得异面直线与所成角的大小，从而判断C；对于D，连接，确定截面完整图形为四边形，再计算其四边长度与位置关系，即可判断D.【详解】对于A，如图，连接，因为，分别为棱和的中点，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，如图，取中点，连接，在正方体中，，所以四边形为平行四边形，所以，又分别为，中点，则，故，设正方体棱长为，则，故，所以不垂直于，故不垂直于，又平面，所以不垂直平面，故B错误；对于C，如图，连接，在正方体中，，即为正三角形，又因为，分别为棱和的中点，所以，故异面直线与所成角即为，故C正确；对于D，如图，连接，在正方体中，，所以四边形平行四边形，则，又，所以，所以四点共面，故平面截正方体所得截面为四边形，设正方体棱长为，则，所以，又，故截面为四边形为等腰梯形，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数满足，则的模为___________．【答案】【解析】【分析】设，则，由题意建立方程解出a，b，结合复数的几何意义即可求解.详解】设，则，由，得，则，解得，所以，所以.故答案为：13.已知，为单位向量，且它们之间的夹角为，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据数量积的定义求出，再根据数量积的运算律求出时的范围，最后再去掉与同向时的值，即可得解.【详解】依题意可得，令，解得，又当时，所以与的夹角为，所以若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为．故答案为：．14.平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．【答案】①.②.【解析】【分析】先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的倍，即可得出该六面体的体积；由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.【详解】每个三角形面积是，由对称性可知该六面是由两个正四面体合成的，可求出该四面体的高为，故四面体体积为，因为该六面体体积是正四面体的2倍，所以六面体体积是；由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为，所以，所以球的体积故答案为：；.【点睛】本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知，，，，且.（1）求的值；（2）求向量与向量夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意求出的坐标，由向量平行的判断方法可得关于的方程，即可得到结果；（2）设与的夹角为，由向量夹角公式计算即可得到结果.【小问1详解】因为，，，，则，因为，则有，解得.【小问2详解】可知，，设与的夹角为，则，所以，向量与向量夹角的余弦值为.16.如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且为侧棱的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．（3）若F为侧棱的中点，求证：平面．【答案】（1）证明见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）连接交于O，连接由线面平行的判定定理证明即可；（2）先求出到平面的距离，再代入棱锥的体积公式即可求出；（3）方法一先证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得；方法二先证明平面平面，再由面面平行的性质得到结果；【小问1详解】连接交于O，连接，为侧棱的中点，O是的中点，，平面平面；平面．【小问2详解】为侧棱的中点，到平面的距离等于S到平面的距离的一半，到平面的距离，【小问3详解】法1：设M为侧棱的中点，连结，，为侧棱的中点，F为侧棱的中点，，，四边形为平行四边形，，平面平面平面．法2：设G为侧棱的中点，连结．为侧棱的中点，G为侧棱的中点，，平面平面；平面．同理可证平面．，且都在平面内；，且都在平面内，所以平面平面．平面平面．17.四棱锥中，．（1）求证：平面平面；（2）当平面时，求直线与平面所成的角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）取的中点，利用勾股定理，分别证得，，进而证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面；（2）过点作交的延长线于点，由（1）知平面，得到平面，得出为与平面所成的角，在直角中，即可求解.【小问1详解】证明：取的中点，连接，因为，则四边形为边长为1的正方形，可得，由，可得，所以，又由，可得，所以，因为，且平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．【小问2详解】解：过点作交的延长线于点，连接,由（1）知平面，所以平面，所以为与平面所成的角，因为，所以为等腰直角三角形，所以，又因为平面，且平面，所以，所以．因为平面，且平面，所以，所以，即与平面所成角的正切值为．18.设内角的对边分别为，已知，．（1）求角；（2）若，求的面积；（3）求的周长的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式计算可得；（2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得；（3）由正弦定理将边化角，再化简得，再由求得的取值范围，即可得周长的取值范围.【小问1详解】因，由正弦定理可得，又，所以，即，所以，又，所以，则，又，所以.【小问2详解】因为，，，由余弦定理得，即，解得，所以的面积.【小问3详解】因为，，由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，，所