2025年高考数学必刷题分类：第27讲、多元最值问题（学生版）

第27讲多元最值问题

知识梳理

解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元

法、三角代换法、齐次式等解题技能．

必考题型全归纳

题型一：消元法

例1．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足lnxyexlny，则yex的最大值

为______.

例2．（2024·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习）已知实数m,n满足：

lnt

mem(n1)ln(n1)t(t0)，则的最大值为___________.

m(n1)

例3．（2024·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）对任给实数xy0,不等式

x22y2cx(yx)恒成立,则实数c的最大值为__________.

题型二：判别式法

例4．（2024·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）若x,yR，4x2y2xy1，则当

x______时，xy取得最大值，该最大值为______.

例5．（2024·全国·高三竞赛）在ABC中，2cosA3cosB6cosC，则cosC的最大值为

_______________．

axb

例6．（2024·高一课时练习）设非零实数a，b满足a2b24，若函数y存在最大

x21

值M和最小值m，则Mm_________.

1

变式1．（2024·江苏·高三专题练习）若正实数x,y满足(2xy1)2(5y2)(y2)，则x

2y

的最大值为________．

变式2．（2024·全国·高三专题练习）设a,bR，0，若a2b24，且ab的最大值

是5，则___________.

题型三：基本不等式法

xyyz

例7．设x、y、z是不全是0的实数.则三元函数fx,y,z的最大值是_____.

x2y2z2

例8．（2024·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）若实数x,y满足2x2xyy21，则

x2y

的最大值为________.

5x22xy2y2

abbc

例9．（2024·全国·高三专题练习）已知正数a,b,c，则的最大值为_________．

2a2b2c2

题型四：辅助角公式法

例10．（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）设角、均为锐角，则sinsincos

的范围是______________．

例11．ycos()coscos1的取值范围是．

题型五：柯西不等式法

例12．（2024·广西钦州·高二统考期末）已知实数ai，biR，（i＝1，2…，n），且满足

222222

a1a2an1，b1b2bn1，则a1b1a2b2anbn最大值为（）

A．1B．2C．n2D．2n

例13．（2024·陕西渭南·高二校考阶段练习）已知x，y，z是正实数，且xyz5，则

x22y2z2的最小值为______.

例14．（2024·江苏淮安·高二校联考期中）已知x2y2z21，a3b6c16，则

222

xaybzc的最小值为______.

变式3．（2024·全国·高三竞赛）已知x、y、zR，且sx2y5z10，

tx1y1z1，则s2t2的最小值为.

A．35B．410

C．36D．45

变式4．（2024·全国·高三竞赛）设a、b、c、d为实数，且a2b2c2d240.则

3a2bc4d的最大值等于.

A．2B．0C．2D．22

题型六：权方和不等式法

11

例15．（2024·甘肃·高三校联考）已知x>0，y>0，且1，则x+2y的最小值为

2xyy1

____________.

21

例16．已知实数x,y满足xy0且xy1，则的最小值是

x3yxy

a2b2

例17．已知a1,b1，则的最小值是．

b1a1

122

变式5．已知x,y0,1，则x2y2的最小值是．

xy

题型七：拉格朗日乘数法

例18．x0，y0，xyxy17，求x2y3的最小值．

例19．设x,y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是．

题型八：三角换元法

例20．（2024·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）已知函数f(x)3x33x3x3x3，

若f(3a2)f(b21)6，则a1b2的最大值是________

例21．（2024·浙江温州·高一校联考竞赛）2x2xyy21，则x2xy2y2的最小值为

______.

题型九：构造齐次式

2xyxy

例22．（2024·江苏·高一专题练习）已知x0，y0，则的最大值是______.

x28y2x22y2

3a1

例23．（2024·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知实数a,b0，若a2b1，则

bab

的最小值为（）

A．12B．23C．63D．8

ab

例24．（2024·天津南开·高三统考期中）已知正实数a，b，c满足a22ab9b2c0，则

c

的最大值为____________．

题型十：数形结合法

例25．（2024·全国·高三专题练习）函数fxx2axb（a，bR）在区间[0，c]（c0）

上的最大值为M，则当M取最小值2时，abc_____

xlnx,x0

例26．（2024·江苏扬州·高三阶段练习）已知函数fx，若x1x2且

2x4e,x0

fx1fx2，则x1x2的最大值为（）

15

A．2eB．2e1C．5eD．e

e2

xlnx,x0

例27．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx，若x1x2且fx1fx2，

x1,x0

则x1x2的最大值为（）

A．22B．2C．2D．1

x,0x1,

变式6．（2024·江苏·高三专题练习）已知函数fx若存在实数x1，x2满

ln2x,1x2,

足0x1x22，且fx1fx2，则x2x1的最大值为（）

ee

A．B．1C．1ln2D．2ln4

22

题型十一：向量法

例28．（2024·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）17世纪法国数学家费马在给朋友

的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角

形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在ABC中，若三个内角均小于120，则当点P

满足ÐAPB=ÐAPC=ÐBPC=120°时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人

们称为费马点．根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b和c是平面内两个互相垂

直的向量，且|b|2,|c|3，则|ab||ab||ac|的最小值是_____________．

例29．（2024·浙江嘉兴·高一统考期末）已知平面向量a，b，c满足a1，b2，|a|2ab，

b

c(c)0，则|ca|2|cb|2的最小值为________.

2

例30．（2024·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校联考期末）已知向量a，b满足

a