2025年高考数学必刷题分类：第3讲、等式与不等式的性质（教师版）

第3讲等式与不等式的性质

知识梳理

1、比较大小基本方法

方法

关系做差法做商法

与0比较与1比较

aa

abab01(a，b0)或1(a，b0)

bb

a

abab01(b0)

b

aa

abab01(a，b0)或1(a，b0)

bb

2、不等式的性质

（1）基本性质

性质性质内容

对称性abba；abba

传递性ab，bcac；ab，bcac

可加性abacbc

可乘性ab，c0acbc；ab，c0acbc

同向ac，cdacbd

可加性

同向同正ab0，cd0acbd

可乘性

可乘方性ab0，nN*anbn

【解题方法总结】

1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特

别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．

2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、

利用函数的单调性．

比较法又分为作差比较法和作商比较法．

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于

0或1比较大小．

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且

是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．

必考题型全归纳

题型一：不等式性质的应用

【解题方法总结】

1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．

2、充分利用基本初等函数性质进行判断．

3、小题可以用特殊值法做快速判断．

例1．（多选题）（2024·重庆·统考模拟预测）已知abc，ac0，则下列关系式一定成

立的是（）

A．c2bcB．bcac0

cb

C．abcD．2

bc

【答案】BD

【解析】因为ac0，所以abc0或0abc，

当abc0时，bcc2，A不成立，bcac0，abc，

cbcbcbcb

由0,0，故22，当且仅当，即bc时，等号成立，

bcbcbcbc

cb

因为bc，故等号不成立，故2；

bc

当0abc时，bcc2，bcac0，

不妨设0123，则abc，故此时C不成立，

cbcbcbcb

由0,0，故22，当且仅当，即bc时，等号成立，

bcbcbcbc

cb

因为bc，故等号不成立，故2；

bc

综上：BD一定成立.

故选：BD

例2．（多选题）（2024·山东·校联考二模）已知实数a,b,c满足abc，且abc0，

则下列说法正确的是（）

11

A．B．ac2bC．a2b2D．abbc0

acbc

【答案】BC

11

【解析】对于A，abc，acbc0，，A错误；

acbc

对于B，abc，abc0，a0，c0，bca0，ab0，

abbc，即ac2b，B正确；

22

对于C，ab0，abc0，ababab0，即a2b2，C正确；

对于D，abbcbacb20，D错误.

故选：BC.

例3．（多选题）（2024·全国·校联考模拟预测）若a0bc，则下列结论正确的是（）

aa

A．B．b2ac2a

cb

abb

C．D．ac2abbc

acc

【答案】ACD

aaa(bc)aa

【解析】∵a0bc，则bc0，bc0，∴0，即，A正确；

cbbccb

例如a1，b2，c3，b2a(2)24，c2a(3)29，显然49，B错误；

abba(cb)abb

由a0bc得cb0，ac0，∴0，即，C正确；

accc(ac)acc

易知ac0，ab0，bc0，

ac2(ab)(bc)(ab)(bc)2(ab)(bc)(abbc)20，

∴ac2abbc，D正确；

故选：ACD．

题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式

【解题方法总结】

比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用

函数的单调性．

比较法又分为作差比较法和作商比较法．

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于

0或1比较大小．

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且

是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：

bbb

若a0,b0，则1ba；1ba；1ba；

aaa

bbb

若a0,b0，则1ba；1ba；1ba．

aaa

1

例4．（2024·全国·高三专题练习）若0ab,ab1,则将a,b,,2ab,a2b2从小到大排

2

列为______.

1

【答案】a2aba2b2b

2

12

【解析】0ab,ab1，不妨令a,b，

33

45

则有2ab,a2b2，

99

1

有ba2b22aba，

2

1

即a2aba2b2b.

2

1

故答案为：a2aba2b2b.

2

例5．（2024·全国·高三专题练习）如果a>b，给出下列不等式：

11a

①；②a3>b3；③a2b2；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.

abb

其中一定成立的不等式的序号是________．

【答案】②⑥

11a

【解析】令a1,b1，，排除①，a2b2，排除③选项，11，排除⑤.

abb

当c=0时，排除④.由于幂函数yx3为R上的递增函数，故a3b3，②是一定成立的.由于

1222

a2b21abababa1b10，故a2b21abab.故⑥正

2

确.所以一定成立的是②⑥.

ba

例6．（2024·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；

acbd

2

（2）设x，yR，比较x2y2与xy(xy)2的大小.

11

【解析】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，从而得0.

acbd

ba

又a＞b＞0，所以.

acbd

（2）因为

2

x2y2xy(xy)2x4y4x3yxy3x3(xy)y3(yx)

2

332222y32

(xy)xy(xy)xxyy(xy)xy0，当且仅当x＝y时等

24

号成立，

2

所以当x＝y时，x2y2xy(xy)2；

2

当xy时，x2y2xy(xy)2.

2

例7．（2024·全国·高三专题练习）（1）试比较x1x5与x3的大小；

11

（2）已知ab，，求证：ab0．

ab

2

【解析】（1）由题意，x1x5x3

x26x5x26x940，

2

所以x1x5x3．

11ba

（2）证明：因为11，所以0，即0，

ababab

而ab，所以ba0，则ab0．得证．

题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围

【解题方法总结】

在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个

变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系．

例8．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足3x2y2,12xy4,

则（）

A．x的取值范围为(1,2)B．y的取值范围为(2,1)

C．xy的取值范围为(3,3)D．xy的取值范围为(1,3)

【答案】ABD

【解析】因为12xy4，所以24x2y8.因为3x2y2，所以55x10，

则1x2，故A正确；

因为3x2y2，所以62x4y4.因为12xy4，所以42xy1，所以

105y5，所以2y1，故B正确；

936114

因为3x2y2，12xy4，所以（x2y）,（2xy），则

555555

2xy2，故C错误；

2133312

因为3x2y2，12xy4，所以（x2y），（2xy），则

555555

1xy3，故D正确.

故选：ABD.

例9．（2024·广东·高三校联考期末）已知1ab3，3ab7，则5ab的取值范

围为（）

A．15,31B．14,35C．12,30D．11,27

【答案】D

mn5m2

【解析】设5abmabnabmnanmb，所以，

nm1n3

则5ab2ab3ab，又1ab3，3ab7

所以22ab6，93ab21，由不等式的性质得：112ab3ab27，

则5ab的取值范围为11,27.

故选：D.

例10．（2024·全国·高三专题练习）已知1a2，1b4，则a2b的取值范围是（）

A．7a2b4B．6a2b9

C．6a2b9D．2a2b8

【答案】A

【解析】因为1b4，所以82b2，

由1a2，得7a2b4.

故选：A.

例11．（2024·全国·高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当c0时，b2a3c且bca2，

a2c

则的取值范围是____________．

b

1

【答案】,

9

【解析】当c0时满足：b2a3c且bca2，

a2aaa

2a3c，即a22ac3c20，进而()2230，解得13．

cccc

c1c

所以或1，

a3a

2

a2cac2c2ccc

2f()，

ba2aaa

c1

令t,t,1，

a3

2

211

ft2tt2t，

48

1

由于t,1

3

轹1

所以ft在tÎ(-¥，-1]单调递增，在tÎê,+¥÷单调递减，

滕ê3

1骣11

当t时，f琪=，当t1时，f13，

3桫39

1

所以f(t)£

9

纟1

故答案为：ç-¥，ú．

棼9ú

题型四：不等式的综合问题

【解题方法总结】

综合利用等式与不等式的性质

例12．（多选题）（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知a0，b0，

4151

且满足a，b．则a2b2的取值可以为（）

abba

A．10B．11C．12D．20

【答案】CD

4151

【解析】因为a，b，

abba

ab

所以a24，b25，

ba

abab

故a2b2459211，

baba

abab

当a24，b25且，而ab时a2b2，即等号不能同时成立，

baba

所以a2b211，故AB错误，CD正确.

故选：CD.

例13．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知x2y211，则（）

1

A．xy1B．x2y

2

5

C．xxy1D．x2xy

4

【答案】ABD

1

22222222

【解析】由xy11得x2，x1xy，由于y0，所以0x1，

y1

所以x2y2=1-x2Î[0,1)，因此1xy1且xy0，故A正确，

2y1

2yxy=1

xy=，当y0时，y211，由于y2，当且仅当y1时，等号

y21yy

y

11

01

成立，故12，当y0时，x2y0，所以x2y，故B正确，

y2

y

2

x21yx212yy2x2y212x2y12x2y1x21y22，当且仅当

1

2y=1+y2Þy=1,x2=时取等号，故2x1yxxy2，所以C错误，

2

2

222155122

xxy=1xyxyxy，当且仅当xy取等号，又xy11，所以

2442

3333

x=,y=或者x=-,y=-等号成立，

2323

故选：ABD

11

例14．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则（）

ab

33

A．log0.2023alog0.2023bB．ab

bb11

C．D．ab的最小值为1

aa1ab1

【答案】BC

1111

【解析】由可知a0，b0，由不等式的性质可知，则0ab．

abab

选项A：因为对数函数ylog0.2023x为减函数，0ab，所以log0.2023alog0.2023b，故A

错误；

选项B：由函数yx3的单调性可知a3b3，故B正确；

bb1ba1ab1babb1

选项C：因为0，所以，故C正确；

aa1aa1aa1aa1

111

选项D：abab112ab111，

ab1ab1ab1

1

当且仅当ab1，即ab0时取得等号，显然等号不成立，故D错误．

ab1

故选：BC.

例15．（2024·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则a

的最大值是__．

【答案】6

3

【解析】∵a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，

∴b+c＝﹣a，b2+c2＝1﹣a2，

111

∴bc(2bc)[(bc)2(b2c2)]a2

222

1

∴b、c是方程：x2+ax+a20的两个实数根，

2

∴0

1

∴a24(a2)0

2

2

即a2

3

66

∴≤a≤

33

6

即a的最大值为

3

故答案为：6．

3

题型五：糖水不等式

【解题方法总结】

bmbama

糖水不等式：若ab0，m0，则一定有，或者．

amabmb

例16．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知bg糖水中含有ag糖(ba0)，若再

添加mg糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，

下列不等式中一定成立的有（）

aamama2m

A．B．

bbmbmb2m

21

C．a2mbmamb2mD．

3b13a1

【答案】ABD

aam

【解析】对于A，由题意可知，正确；

bbm

amam2mma2m

对于B，因为m2m，所以，正确；

bmbm2mmb2m

amamma2m

对于C，即amb2ma2mbm