同济大学第五版工程数学线性代数课后习题答案

同济大学第五版工程数学线性代数课后习题答案第一章行列式习题111.证明：（1）根据行列式定义，\(n\)阶行列式\(D=\sum(1)^{\tau(p_1p_2\cdotsp_n)}a_{1p_1}a_{2p_2}\cdotsa_{np_n}\)。对于上三角行列式\(D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\)，其非零项只有\(a_{11}a_{22}\cdotsa_{nn}\)，且该项列标排列为\(12\cdotsn\)，逆序数\(\tau(12\cdotsn)=0\)，所以\(D=a_{11}a_{22}\cdotsa_{nn}\)。同理可证下三角行列式\(D=\begin{vmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\a_{21}&a_{22}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdotsa_{nn}\)。2.计算下列各行列式：（1）\(\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=2\times21\times1=3\)。（2）\(\begin{vmatrix}a&b\\b&a\end{vmatrix}=a^2b^2\)。（3）\(\begin{vmatrix}x+1&x\\x&x1\end{vmatrix}=(x+1)(x1)x^2=x^21x^2=1\)。（4）\(\begin{vmatrix}1&0&0\\2&3&0\\4&5&6\end{vmatrix}=1\times\begin{vmatrix}3&0\\5&6\end{vmatrix}0\times\begin{vmatrix}2&0\\4&6\end{vmatrix}+0\times\begin{vmatrix}2&3\\4&5\end{vmatrix}=1\times(3\times60\times5)=18\)。3.求解方程\(\begin{vmatrix}x&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}=0\)。解：原行列式\(=x(x^21)1(x1)+1(1x)\)展开得\(x^33x+2=0\)，即\((x1)^2(x+2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)。

习题121.利用行列式性质计算下列行列式：（1）\(\begin{vmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{vmatrix}\)解：将第2、3、4行都加到第1行，得\(\begin{vmatrix}10&10&10&10\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{vmatrix}=10\begin{vmatrix}1&1&1&1\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{vmatrix}\)然后将第1行的\(2\)倍加到第2行，\(3\)倍加到第3行，\(4\)倍加到第4行，得\(10\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&1\\0&1&2&1\\0&3&2&1\end{vmatrix}\)再将第2行的\(1\)倍加到第3行，\(3\)倍加到第4行，得\(10\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&1\\0&0&4&0\\0&0&4&4\end{vmatrix}=10\times1\times1\times(4)\times(4)=160\)。（2）\(\begin{vmatrix}a&b&c\\a&a+b&a+b+c\\a&2a+b&3a+2b+c\end{vmatrix}\)解：将第3行减去第2行的2倍，第2行减去第1行，得\(\begin{vmatrix}a&b&c\\0&a&a+b\\0&a&a+b\end{vmatrix}=0\)。2.计算下列行列式：（1）\(\begin{vmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&5\\3&4&5&6\\4&5&6&7\end{vmatrix}\)解：将第2、3、4行都减去第1行，得\(\begin{vmatrix}1&2&3&4\\1&1&1&1\\1&2&2&2\\1&3&3&3\end{vmatrix}=0\)（因为有两行元素相同）。（2）\(\begin{vmatrix}1&1&1&1\\a&b&c&d\\a^2&b^2&c^2&d^2\\a^3&b^3&c^3&d^3\end{vmatrix}\)解：这是范德蒙德行列式，根据公式\(D=\prod_{1\leqj\lti\leqn}(a_ia_j)\)，这里\(n=4\)，\(a_1=1,a_2=a,a_3=b,a_4=c,a_5=d\)，所以\(D=(ba)(ca)(da)(cb)(db)(dc)\)。

习题131.按第3列展开下列行列式，并计算其值：（1）\(\begin{vmatrix}1&0&a\\1&1&b\\1&1&c\end{vmatrix}\)解：按第3列展开得\(a\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}b\begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix}+c\begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix}\)\(=a(11)b(10)+c(10)=b+c\)。2.用克莱姆法则解下列方程组：（1）\(\begin{cases}2x_1+x_25x_3+x_4=8\\x_13x_26x_4=9\\2x_2x_3+2x_4=5\\x_1+4x_27x_3+6x_4=0\end{cases}\)解：系数行列式\(D=\begin{vmatrix}2&1&5&1\\1&3&0&6\\0&2&1&2\\1&4&7&6\end{vmatrix}\)计算\(D=27\)。\(D_1=\begin{vmatrix}8&1&5&1\\9&3&0&6\\5&2&1&2\\0&4&7&6\end{vmatrix}=81\)，\(x_1=\frac{D_1}{D}=3\)。\(D_2=\begin{vmatrix}2&8&5&1\\1&9&0&6\\0&5&1&2\\1&0&7&6\end{vmatrix}=108\)，\(x_2=\frac{D_2}{D}=4\)。\(D_3=\begin{vmatrix}2&1&8&1\\1&3&9&6\\0&2&5&2\\1&4&0&6\end{vmatrix}=27\)，\(x_3=\frac{D_3}{D}=1\)。\(D_4=\begin{vmatrix}2&1&5&8\\1&3&0&9\\0&2&1&5\\1&4&7&0\end{vmatrix}=27\)，\(x_4=\frac{D_4}{D}=1\)。

第二章矩阵及其运算习题211.已知\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}3&1&2\\2&3&1\end{pmatrix}\)，求\(A+B\)，\(AB\)，\(3A2B\)。解：\(A+B=\begin{pmatrix}1+3&2+1&3+2\\2+2&3+3&1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&3&5\\4&6&2\end{pmatrix}\)。\(AB=\begin{pmatrix}13&21&32\\22&33&11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}\)。\(3A2B=3\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}2\begin{pmatrix}3&1&2\\2&3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}36&62&94\\64&96&32\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4&5\\2&3&1\end{pmatrix}\)。2.计算下列乘积：（1）\(\begin{pmatrix}4&3&1\\1&2&3\\5&7&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\times7+3\times2+1\times1\\1\times7+(2)\times2+3\times1\\5\times7+7\times2+0\times1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}35\\6\\49\end{pmatrix}\)。（2）\((1,2,3)\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}=1\times3+2\times2+3\times1=10\)。（3）\(\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}(1,2)=\begin{pmatrix}2&4\\1&2\\3&6\end{pmatrix}\)。3.设\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&4\\0&5&1\end{pmatrix}\)，求\(3AB2A\)及\(A^TB\)。解：先求\(AB=\begin{pmatrix}1\times1+1\times(1)+1\times0&1\times2+1\times(2)+1\times5&1\times3+1\times4+1\times1\\1\times1+1\times(1)+(1)\times0&1\times2+1\times(2)+(1)\times5&1\times3+1\times4+(1)\times1\\1\times1+(1)\times(1)+1\times0&1\times2+(1)\times(2)+1\times5&1\times3+(1)\times4+1\times1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&5&8\\0&5&6\\2&9&0\end{pmatrix}\)。\(3AB2A=3\begin{pmatrix}0&5&8\\0&5&6\\2&9&0\end{pmatrix}2\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&13&22\\2&17&20\\4&29&2\end{pmatrix}\)。\(A^T=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)，\(A^TB=\begin{pmatrix}1\times1+1\times(1)+1\times0&1\times2+1\times(2)+1\times5&1\times3+1\times4+1\times1\\1\times1+1\times(1)+(1)\times0&1\times2+1\times(2)+(1)\times5&1\times3+1\times4+(1)\times1\\1\times1+(1)\times(1)+1\times0&1\times2+(1)\times(2)+1\times5&1\times3+(1)\times4+1\times1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&5&8\\0&5&6\\2&9&0\end{pmatrix}\)。

习题221.计算下列矩阵的幂：（1）\(\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^n\)解：设\(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，\(A^2=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\)，\(A^3=A^2A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}\)，通过归纳可得\(A^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}\)。（2）\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}1^n&0&0\\0&2^n&0\\0&0&3^n\end{pmatrix}\)。2