初中数学自主招生难度讲义-9年级专题23 圆与圆的位置关系

专题23圆与圆的位置关系

【阅读与思考】

两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.圆与圆

相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质.

解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有：

1.相交两圆作公共弦或连心线；

2.相切两圆作过切点的公切线或连心线；

3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形.

熟悉以下基本图形和以上基本结论.

【例题与求解】

【例1】如图，大圆⊙O的直径ABacm，分别以OA，OB为直径作⊙O1和⊙O2，并在⊙O与⊙O1

和⊙的空隙间作两个等圆⊙和⊙，这些圆互相内切或外切，则四边形的面积为

O2O3O4O1O4O2O3

________cm2.（全国初中数学竞赛试题）

解题思路：易证四边形为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长.

O1O4O2O3

【例2】如图，圆心为A，B，C的三个圆彼此相切，且均与直线l相切.若⊙A，⊙B，

1

⊙C的半径分别为a，b，c（0cab），则a，b，c一定满足的关系式为（）

A.2bacB.2bac

111111

C.D.

cabcab

（天津市竞赛试题）

解题思路：从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的基本

辅助线.

【例3】如图，已知两圆内切于点P，大圆的弦AB切小圆于点C，PC的延长线交大圆于点D.求证：

（1）∠APD=∠BPD；

（2）PAPBPC2ACCB.（天津市中考试题）

解题思路：对于（1），作出相应辅助线；对于（2），应化简待证式的右边，不妨从AC·BC=PC·CD

入手.

【例4】如图⊙O1和⊙O2相交于点A及B处，⊙O1的圆心落在⊙O2的圆周上，⊙O1的弦AC与⊙O2

交于点D.求证：O1D⊥BC.

（全俄中学生九年级竞赛试题）

解题思路：连接AB，O1B，O1C，显然△O1BC为等腰三角形，若证O1D⊥BC，只需证明O1D平分∠

BO1C.充分运用与圆相关的角.

【例5】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1,AB=2，DC=22，点P在边BC上

2

运动（与B，C不重合）.设PC=x，四边形ABPD的面积为y.

（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

1

（2）若以D为圆心，为半径作⊙D，以P为圆心，以PC的长为半径作⊙P，当x为何值时，⊙D与

2

⊙P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积.（河南省中考题）

解题思路：对于（2），⊙P与⊙D既可外切，也可能内切，故需分类讨论，解题的关键是由相切两圆

的性质建立关于x的方程.

【例6】如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交

BN

于另一点P，延长AP交BC于点N，求的值.（全国初中数学联赛试题）

NC

解题思路：AB为两圆的公切线，BC为直径，怎样产生比例线段？丰富的知识，不同的视角激活想象，

可生成解题策略与方法.

【能力与训练】

A级

1.如图，⊙A，⊙B的圆心A，B在直线l上，两圆的半径都为1cm.开始时圆心距AB＝4cm，现⊙A，⊙

3

B同时沿直线l以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A运动的时间为_______秒.

（宁波市中考试题）

2.如图，O2是⊙O1上任意一点，⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，E为优弧AB上的一点，EO2及延长线

交⊙O2于C，D，交AB于F，且CF＝1，EC＝2，那么⊙O2的半径为_______.

（四川省中考试题）

（第1题图）（第2题图）（第3题图）

3.如图，半圆O的直径AB＝4,与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M.设⊙O1的半径为y，AM的长

为x，则y与x的函数关系是_________________.（要求写出自变量x的取值范围）

（昆明市中考试题）

4.已知直径分别为115和153的两个圆，它们的圆心距为151，这两圆的公切线的条数是

__________.

5.如图，⊙O1和⊙O2相交于点A，B，且⊙O2的圆心O2在圆⊙O1的圆上，P是⊙O2上一点.已知∠AO1B

＝60°，那么∠APB的度数是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

（甘肃省中考试题）

6.如图，两圆相交于A、B两点，过点B的直线与两圆分别交于C，D两点.若⊙O1半径为5，⊙O2

的半径为2，则AC：AD为（）

A.3:25B.25:3C.25:1D.5:2

（第5题图）（第6题图）（第7题图）

7.如图，⊙O1和⊙O2外切于点T，它们的半径之比为3:2，AB是它们的外公切线，A，B是切点，AB

＝46，那么⊙O1和⊙O2的圆心距是（）

2039

A.56B.10C.106D.

13

8.已知两圆的半径分别为R和r（Rr），圆心距为d.若关于x的方程x22rx(Rd)20有两

相等的实数根，那么这两圆的位置关系是（）

A.外切B.内切C.外离D.外切或内切

4

（连云港市中考试题）

⌒

9.如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，点O1在⊙O2上，点C为⊙O1中优弧AB上任意一点，直线CB

交⊙O2于D，连接O1D.

（1）证明：DO1⊥AC；

⌒

（2）若点C在劣弧AB上，（1）中的结论是否仍成立？请在图中画出图形，并证明你的结论.

（大连市中考试题）

图1图2

10.如图，已知⊙O1与⊙O2外切于点P，AB过点P且分别交⊙O1和⊙O2于点A，B，BH切⊙O2于点B，

交⊙O1于点C，H.

（1）求证：△BCP∽△HAP；

（2）若AP:PB＝3：2，且C为HB的中点，求HA:BC.

（福州市中考试题）

11.如图，已知⊙B，⊙C的半径不等，且外切于点A，不过点A的一条公切线切⊙B于点D，切⊙C于

点E，直线AF⊥DE，且与BC的垂直平分线交于点F.求证：BC＝2AF.

（英国数学奥林匹克试题）

5

12.如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点.正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过

△ABC得内切圆圆心O，且点E在半圆弧上.

（1）若正方形的顶点F也在半圆弧上，求半圆的半径与正方形边长的比；

（2）若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r4，求半圆的直径AB.

（杭州市中考试题）

B级

1.相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，这两圆的圆心距为_______.

2.如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C.若AB＝8，BC＝1，则AM＝

_______.

（黑龙江省中考试题）

（第2题图）（第3题图）（第4题图）

3.已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，

那么这条锁链拉直后的长度为___________cm.

4.如图，已知PQ＝10，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P.正方形ABCD的顶点A，

B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q.若AB＝mn，其中m，n为整数，则

6

mn___________.

（美国中学生数学邀请赛试题）

5.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点M，且分正方形为4个三角形，⊙O1，⊙O2，⊙O3，

⊙O4，分别为△AMB，△BMC，△CMD，△DMA的内切圆.已知AB＝1.则⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4

所夹的中心（阴影）部分的面积为（）

(4)(322)(322)

A.B.

164

(4)(322)4

C.D.

416

（太原市竞赛试题）

（第5题图）（第6题图）（第7题图）

6.如图，⊙O1与⊙O2内切于点E，⊙O1的弦AB过⊙O2的圆心O2，交⊙O2于点C，D.若AC：CD:BD

＝2:4:3，则⊙O2与⊙O1的半径之比为（）

A.2:3B.2:5C.1:3D.1:4

7.如图，⊙O1与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公

切线平行，则⊙O1与⊙O2的半径之比为（）

A.2:5B.1:2C.1:3D.2:3

（全国初中数学联赛试题）

8.如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线，交⊙O2于点C，过点B作两圆的

割线分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.

（1）求证：PAPEPCPD

（2）当AD与⊙O2相切且PA＝6，PC＝2，PD＝12时，求AD的长.（黄冈市中考试题）

9.如图，已知⊙O1和⊙O2外切于A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，切点为B，C.连接BA并延长交⊙O1

于D