中职数学教案15章(一)

第十五章三角计算及其应用

【教学课题】15.1两角和与差的余弦公式

【教学目的】

1、通过两角和与差的余弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明

2、通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观房分析能力，培养学生的应用意识，提

高学生的数学素质

【教学重点】：两角和与差的余弦公式及其推导

【教学难点儿灵活运用所学公式进行求值、化简、证明

【教学过程】

复习提问

引入新课⑴向量的数量积

-*—*—•—♦—•—•

则

ab=a=(xl,^l),b=(x2,y2)ab=

(2)单位圆上的点的坐标表示

由图可知：-a-(),0P2=b=()则a•6=

问题1:cosNP0P2=cos(450-30°)=

问题2：由＜：05(45。-30。)=(：0545。＜：0530。+5诒45。5抽300出发，你能推广到对任意的两个角都成立吗？

问题3:两角和与差的余弦公式推导

(一)两角差的余弦公式

—♦—*

设a=(coscr,sincr),b=(co也sin/?),

a•b=COS6O:OJ^?+Sincisin/?

•/a-b=abcos^

1

cosg=cosctcos/3+sinasin/7

如果a—,e[0,乃],邮么0=c(一(3

故cos(cz-fl)=costzcos/?+sincrsin/?

实际上，当a-夕为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角都可转化。€[(),2乃)，使cos£=cos(a-p)。

综上所述，cos@-/?)=cosco的十sinasin/?,对于任意的角a,4都成立。

根据两角差的余弦公式，你可以猜猜cos(a+〃)=?

提示：令一?

(二)两角和的余弦公式

cos(a+/3)=cos«cos/?-sinQsin/7

结论：两角和与差的余弦公式C"

cos(a±〃)=costzcosy9+sinasinp

注：1.公式中两边的符号正好相反(一正一负)；

2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；

3.式子中a、B是任意的。

4式子的逆用，变形用

请用特殊角分别代替公式中a、B,你能求哪些非特殊角的值呢？(选择的特殊角可以是30°60°45°等)

(1)cos150=；(2)cos75°=；(3)cos1050=:...

若B固定，分别用兀,[■代替a,你将会发现什么结论呢？

(l)cos(^-+/?)=(2)cos(乃-p)=

(3)cos(^+/?)=(4)cos(3-/7)=

倘若让你对C(a土酎公式中的a、B自由赋值，你又将发现什么结论呢？

JI

(1)cos(a+—)=___________：(2)cos(a+a)=______________

4

(3)cos[(a+p^—a\=cos()cos()sin()siii()

(4)cos[(a+))一(a一4)]=cos(£os()sin()sin()

2Ji3j

例题：知sina=—,ae(一,;r),cos/?=一一,夕£(肛一万)，求cos(a+/?)的值。

2

解：由cr(=(—t7r),得

由余弦的和角公式得

cos(or+4)=coscrcos/?—sinorsinp

艮3、2f418+3石

注意：注意角夕、夕的象限，也就是符号问题.

45

己知都是锐角》cosa=—,cos(tz+/?)=-不求cos夕的值。

又由万£(0,巳)，则a+尸e(0,%)得

sin(a+,)=Jl-COS[a+Z7)

由余弦得第角公式得

cos/7=cos[(a+/7)—a]=cos(a+4)cosa+sin(a+/7)sina

(二)"2」

13513565

(1)cos80°cos20c+sin80nsin20a初步学会逆用公式。

(2)cos130°cos5°-sin130°sin5°

(3)COS2150-sin215°,为二倍龟公式埋下伏笔。

(4)cos800cos350+cos100cos55°,逐步学会把不符合公式结构变形使之符合。

(5)(2004全国高考题)没巳〕，若cosa=3,则J5cos(a+X]=________利月高考

k2J5\4J

题的引用让学生串连三角函数的相关知识。

(1).-(2).--(3).—(4).—(5).--

22225

3

知识网建构：

平面内两点间的距离公式

~~zzL

c.

|一UB任怠标—（|P）

【小结】赋值

1、牢记公式的求cosl50等逆诱导公式及其它、结构特点的，常通过诱导公式变形使之符合。

2、强调公式中a、B的任意性，是本节内容的主线，它赋予了公式的强大生命力。

注：逆用公式是学生认识和掌握公式的重要标志。通过步步加深的练习，加强学生对公式的理解和应用，引导学

生积极参与思维，培系学生观察，比较等思维能力，同时渗透了一种化归思想。

【作业】

【教学课题】两角和与差的正弦公式

【教学目的】

4

1、通过两角和与差的正弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明

2、通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的现哀分析能力，培养学生的应用意识，提

高学生的数学素质

【教学重点】两角和与差的正弦公式及其推导

【教学难点】灵活运用所学公式进行求值、化简、证明

【教学过程】

引导学生观察cos(a-B)与cos(a+。)、sin(a-B)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而引出

口”酎、S(o*B),o本节课我们共同际究公式的推导及其应用.

引入新课

首先回顾一下两角和与差的余弦公式：

8s(a+/7)=cosacos夕一sinasin夕；cos(a-/?)=cosacos/？+sinasin[3.

则：

sin(a+/?)===sinacosp+cosasin〃.

sin(tz-/7)=:

例1、利用和(差)角公式计算下列各式的值:

⑴、sin72cos42-cos72sin42：

(2)、cos20cos70-sin20sin70；.

变式训练：求sin75°,tan105°的值.

例2、已知sina=-3,a是第四象限角，求sin(X-a,cos|—+a,tan|a--的值.

5UJV4Jk4；

变式训练：

1.设a£(0,工)，若sina二一，则2sin(a+X)等于()

254

717

A.-B.-C.-D.4

552

2.已知sina=—,ae(一,n),cosB=--,B£(n,—).求sin(a-0),cos(a+0),tan(a+3).

3242

例3、化简41cosx->/6sinx

变式训练：化简：(1)V3sinx+cosx;

(2)A^2(sinx-cosx).

5

I、sin70cos370-sing30sin37。的值为()

11

VT3⑻VT3

--2-2-

3、若sin2xsin3x=cos2xcos3x,则x的值可以是()

(A)上⑻%⑹|(D)J

10

4、若cos8=，,ew(红,2乃l贝Usin0+—.

5<2)\3J

6、cos(a+⑶cosp+sin(6z+Q)sinp=.

【小结】

1、牢记公式的结构特点，学会逆用公式。不符合公式结构特点的，常通过诱导公式变形使之符合。

2、强调公式中a、。的任意性，是本节内容的主线，它赋予了公式的强大生命力。

注：逆用公式是学生认识和掌握公式的重要标志。通过步步加深的练习，加强学生对公式的理解和应用，引导学

生积极参与思维，培养学生观察，比较等思维能力，同时渗透了一种化归思想。

【作业】

【教后感】

【教学课题】二倍角公式

【教学目的】1・掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；

2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明.

【教学重点】1.二倍角公式的推导；

2.二倍痢公式的简单应用.

【教学难点】理解倍角公式，用单南的三角函数表示二倍角的三角函数.

【教学过程】

一、复习引入：

复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

sin(a+p)=sinacos/7+cosasin/3,{awR,0wR)(Sa+//)

6

cosQ+Q）=cosacos£-sinasin/?.（aeR./3eR）（C^p）

二、讲解新课：

二倍角公式的推导

在公式（S.+.），（C.+。）中，当。二"时，得到相应的一组公式:

sin2<7=2sin6zcos<7：（S2a）

22

cos2a=cosa-sinax（C2a）

因为sin2Q+cos2o=l,所以公式（C2a）可以变形为

cos2a=2cos2a-1或cos2a=l-2sin2a（%）

公式（S2J,（。2〃），（C））统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式.

探究：（1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角

的三角函数之间的互化问题.

act3a

：2）二倍角公式为仅限于%是a的二倍的形式，其它如他是勿的两倍，巴是巴的两倍，前是手的

242

两倍，巳是2•的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式.因此，要理解“二倍角”的含义，即当二二2时，

36P

a就是夕的二倍角.凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式.尤其是“倍角”的意义是相对的.

：3）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式.

、1+cos2a

cos~a=-----------,si/aJ—‘os2a这两个形式今后常用.

22

三、讲解范例：

例1不查表.求下列各式的值

2万•2%

(1)sin15cos15°；(2)cos——sin—

88

(3)l-2sin275°.

解：(1)sin15cosl5=—sin3()=-；

24

24・271V2

)cos----sin—=cos—=——;

8842

(3l-2sin275°=cosl50

2

例2不查表.求下列各式的值

7

,..5/r5冗、/.5万5万、a

(1)(zsin——+cos——)(sm----cos—)(2)cos4--sin

1212121222

(3)1+2cos20-cos20

s/,、/•5%5冗、,•5乃5万、•，5兀25n5K73

解：(1)(sin—+cos—)(sin---cos—)=sin---cos—=-cos—=一

12121212121262

，八4a.〈a2a.2a、，2a.2a、

(2)cos---sin—=(zcos—4-sin--)(cos^----sm—)=cosa

222222

(3)1+2cos29-cos2G=1+2cos20-2cos20+1=2

例3若tan。=3,求sin29-cos20的值.

3“2sincos^+sin2^-cos202tan<9+tan2^-17

解：sin29-cos20=--------；-------；--------=------------：-----=一

sin“e+cos-61+tan-05

例4已知sina=—,ae(―,K),求sin2a,cos2a,tan2a的值.

132

解：Vsina=—,aG(―,7i):.cosa=-71-sin2a=--

13213

120

**.sin2a=2sinacosa=-----

169

c1r•2119c120

cos2a=1-2sina=---tan2a=-----

169119

四、练习

(公式巩固性练习)求值：

1.sin22°30,cos22°30,=—sin45'-——2.2cos2--1=cos----

24842

c.，兀2兀兀6

3.sin"——cos'—=-cos—=----

8842

加7T7T*,717L兀—.兀7T1

4.8sin—cos—cos—cos—=4sin—cos—cos—=2sm—cos—=sian—=-

48482412242412121262

五、小结

要理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦公式进行简单三角函数式的化简、求值

与恒等式证明.

二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规

律.

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记:

8

【教学课题】正弦型函数的图像和性质

【教学目的】1.掌握正弦型函数的图像变换

2.根据正弦型函数图像图到出函数的性质.

【教学重点】1.图像的变换

2函数的性质

【教学难点】图像的变换

【教学过程】

1.A似8的物理意义

当>=Asin(0x+e),xw[0,+oo)(其中A>0,6y>())表示一个振动量时，A表示这个量振动时离开

平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间丁二—称为这个振动的周期，单位

C1)

时间内往复振动的次数f='=4"，称为振动的频率。3汇+夕称为相位，X=0时的相位夕称为初相。

T24

2.图象的变换

例：画出函数y=3sin(2x+2)的简图。

3

解：函数的周期为7=空=乃，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再左右拓展即可，先用

2

五点法画图：

冗717117154

X

~~612T~VLT

cn713兀

2x+—0冗2兀

32~2

3sin(2x+—)030-30

3

函数），=3sin（2x+工）的图象可看作由下面的方法得到的：

3

①下二国!!1图象上所有点向左平移（个单位，得到），=sin（x+?）的图象上；②再把图象上所点的横坐标

缩短到原来的;，得到），=sin（2x+?）的图象：③再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到

），=3sin（2x+。）的图象。

一般地，函数），=Asin（公K+o）,XGR的图象（其中4>0,/>0）的图象，可看作由下面的方法得到：

①把正弦曲线上所有点向左（当°>0时）或向右（当O<（）时）平吁移动|0|个单位长度：

②再把所得各点横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的,倍（纵坐标不变）：

（0

③再把所得各点的纵坐标伸长（当4〉1时）或缩短（当0<4<1时）到原来的A倍（横坐标不变）。

即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。

问题；以上步骤能否变换次序？

Vj=3sin（2x+-）=3sin2（x+^）,所以，函数y=3sin（2x+的图象还可看作由下面的方法得至小勺：

363

①y=sinx图象上所点的横坐标缩短到原来的;，得到函数），=sin2x的图象：

TF7T

②再把函数），=sin2x图象上所有点向左平移上个单位，得到函数），=$析2。+上）的图象：

66

③再把函数），=sin2（x+£）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到产3sin2（x+U）的图象。

66

3.实际应用

例1：已知函数），=44（1（。汇+夕）（A>（）,3>0）一个周期内的函数图象，如下图

所示，求函数的一个解析式。

解：由图知：函数最大值为最小值为-6,

又•・•A>0,:.A=6

,.T5乃717t

由图知一二一-----=-

2632

2力

：.T=n=—，：.（0=2,

（0

又・/（工+冯="，

23612

・••图象上最高点为（普，、/5）,

10

sfl=\/5sin(2x+(Py»即sin(^^+0)=1,可取0=—

所以，函数的一个解析式为y=Gsin(2x-与).

2.由已知条件求解析式

例2：已知函数y=Acos0yx+e)(A>0,。>0,0<8<万)的最小值是一5,图象上相邻两个最

高点与最低点的横坐标相差工，且图象经过点(0,-』)，求这个函数的解析式。

42

解：由题意：A=5,

Tn7i2TT

—=—,=—=---,

242。

a)=4,・,・),=5cos(4x+°),

又・・•图象经过点(0,-,/.一一=5cos0,即cos0=一,，

222

又♦:0<(p<兀,(p=—,

所以，函数的解析式为)，=5cos(4x+半).

例3：已知函数y=Asin(<v/+e)+4(A>0,co>0,101c乃)的最大值为2夜,

^).求这个函数的解析式C

最小值为一J5,周期为夸.且图象过点(0,—二

r[4_W2

A+B=2A/22

解：〈L=<L，

-A+B=-sl2V2

/n)=—

2

2乃24.

X•/=—=—>..3=3,

(D3

.3近—、工近

..y=-^―sin(3x+e)+-^-,

又•・•图象过点(0,-亨)，

.夜3拒.x/2..1

..-------=-------Sin69+——,..Sin69=——,

4222

又J°=一工或夕=一旦，

66

所以，函数解析式为y=芈sin(3x-令+g或产今2.八5%x/2

-sin(3x------)+——.

62

五、小结；

1.函数y=Asin(ox+0)与)，=sinx的图象间的关系。

2.由已知函数图象求解析式：

3.由己知条件求解析式。

六、作业:

11

(1)函数)，=*in(2x+9的图象可由函数)，=sinx的图象经过怎样的变换得到？

(2)函数y=3cos(2x+X)的图象可由函数y=cosx的图象经过怎样的变换得到？

4

(3)将函数y=sin%的图象上所有的点得到y=sin(x-])的图象，再将

y=sin(1j-y)的图象上的所有点可得到函数y=；sin(；x—()的图象。

(4)由函数y=2sin(3x+^)的图象怎样得到)，=sinx的图象

2

(5)已知函数y—Asin(。人•十0)(A>0,>0,|0|<不)的周期是半，最小值是-2,且图象过点(羊,0),

求这个函数的解析式：

(6)函数)，=Asin(3x+e)(A>0,<w>0,|^|<|)的最小值是一2,其图象相邻的最高点和最低点的横

坐标的差是3"，又图象经过点(0,1),求这个函数的解析式。

(7)如图为函数_y=Asin("x+»)(|^|<|,xwR)的图象中的一段，根据图象求它的解析式。

【教学课题】正弦定理

【教学目的】

12

1.掌握正弦定理推导过程：

2.会利用正弦定理证明简单三角形问题：

3.会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题；

【教学重点】：正弦定理证明及应用.

【教学难点】：

1.向量知识在证明正弦定理时的应用，与向量知识的联系过程:

2.正弦定理在解三角形时应用思路.

【教学方法】启发引导式

【教学过程】

投影仪、幻灯片三张

第一张：直角三角形边角关系（记作§5.9.1A）

在次△/比'中，已知8C'=a,AC=b,AB=c,则有

第二张：正弦定理（记作§5.9.1B）

形式1-a=b=」一二2R

sinAsinBsinC

形式2：/一=0一bcca

9-------=-------9-------=-------.

sinAsinBsinBsinCsinCsinA

形式3：a=2A,sinJ,b=2RsinB,c=2危in。

13

I.课题导入

师：在初中，我们己经会解直角三角形.就是说，已会根据直角三角形中已知的边与角求出未知的边与角,

而在直角三角形中，有如下的边角关系.（打出投影片§5.9.1A）

b

sinAsinBsinC

那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢?这也是我们这一节课将要研究的问题.

n.讲授新课

师：对于一L=，一=三这一关系的证明，我们一起来看下面的证法.

sinAsinBsinC

如图，在△/1比中，已知笈C=a,AC=b,AB=c,作△/8，的外接圆，0

为圆心，连接取并延长交圆于占'，设夕6'=2兄则根据直径所对的圆周角是直角

以及同弧所对的圆周角相等可以得到：=90°,乙C=4B'

...sinC=sin6'=----

2R

.・.—^―=2R

sinC

同理可得一J=2R,一^一=2R

sinAsinB

sinAsin8sinC

这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立.因此，我们得到下面的定理.

正弦定理在一个三角形中，各边和它所对的正弦的比相等，即

a_b_c

sinAsinBsinC

⑴已知两角和任一边，求其他两边和一角.

这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形惟解惟•，相疝容易,

⑵己知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.

此类问题变化较多,我们来看屏幕（给出投影片§5.9.10,图中列出了在△力欧中，己知a、6和4时解

三角形的各种情况，接下来，我们通过例题评析来进•步体会与总结.

例题评析:

［洌1］在△/阿中，己知。=10,4=45°,r=30°,求6（保留两个有效数字）.

分析：如图.此题属于已知两角和其中一角求对边的问题,直接应用正弦定理可

求出边协若求边6,则需通过三角形内角和为180°,求出角反再利月正弦定理求

出边b.

解：•••4180°-3+0=180°-(45°+30°)=105°,

b_c

sinBsinC

csin131Oxsin1050

/.h=«19

sinCsin30°

评述：（1）此类问题结果为惟一解，学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先利用内角和180°

求出第三角，再利用正弦定理.

（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器，但应注意如下约定：当计算器所示结果为准确数时，或者为

不少于四个有效数字的近似数而需要保留四个有效数字时，一律使用等号；保留的有效数字不少于四个时，使用

约等号.

［洌2］在△4/中，已知a=20,方=28,力=40°,求8（精确到1°）

和。（保留两个有效数字）.

分析：结合投影片§5.9.1C,此例题属于。sin力的情形，故有两解.

这样在求解之后呢，可以无需作进一步的检验，使学生在运用正弦定理求边、角时，

感到目的很明确，同时体会分析问题的重要性.

・・・sinQX8sin4。。

解:=0.8999,

，区=64°,员=116°

当笈=64°时，6=180°-(笈+刈=180°-(64°+40°)=76°,

,rtsinC.20sin760__

..ci=--------L=------------«30.

sinAsin40°

当氏=116°时，6=180°-(员+=180°-(1160+40°)=24°,

sinC-,20sin24°

・・G=------------=----------------«13.

sinAsin40°

评述：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理所求角有两种可能，但是都不符合题意，可以通过分析获得,

这就要求学生熟悉己知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符题意的解的取舍，也可通过

三角形的有关性质来判断，对于这一点，我们通过下面的例题来体会.

［例3］在△/阿中，已知&=60,5=50,4=38°,求6（精确到1°）和。（保留两个有效数字）.

分析：结合投影片§5.9.1C,此例题属于这一类情形，有一解，也

可根据三角形内大角对大边，小角对小边这一性质来排除8为钝角的情形.

解：已知“〈小所以4〈力，因此“也是锐角.

50sin38°

=0.5131,

a60

.\Z?=3i°

：.C=180°-(1+5)=180°-(38°+31°)=111°

.asmC60sin111°

..c=--------=--------------®91.

sinAsin38°

评述：同样是已知两边和一边对角，但可能出现不同的结果，应强调学生注意解题的灵活性.对于例3,如

果没有考虑到角/，所受限制而求出角//的两个解，进而求出边c两解，也可利用三角形内两边之和大于第三边,

两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符题意的解.

［洌4］在△力%中，已知a=28,£=20,A=l20°,求欢精确到1°）和c（保留

两个有效数字）.

分析：结合投影片§5.9.1C,此例题属于月为钝角且的情形，有一解.也

可应用正弦定理求解角4后，利用三角形内角和为180"排除角3为钝角情形.

..bsinA20sinl20°

解:.sin2?=-----------=0.6187

28

Z.fii=38°,氏=142°(舍)

15

...C=180°-(1+4)=22°

.tzsinC20sin22°

..c=--------=-------------®8.7

sinAsin120°

评述：(1)此题要求学生注意考虑问题的全而性.对于角B为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质

而得到.

(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围，己知两角一边或两边与其中一边的对角.

(3)对于已知两边夹角这一类型，符通过卜一节所学习的余弦定理求解.

师：为巩固本节我们所学内容，接下来进行课堂练习.

HL课堂练习

1.在比中(结果保留两个有效数字).

(1)已知1=45"，4=60”,求6：

(2)已知8=12,1=30°,B=120°,求a

解：(1)•••£180°-(力+8)=180°一(45°+60°)=75°

b_c

sinBsinC

,csinBV3sin60°

sinCsin75°

sinAsinB

.Z?sinA12sin30°,

..a=-----------=----------------«0.9A

sin4sin120°

评述：此题为正弦定理的直接应用，意在使学生熟悉正弦定理的内容，可以让数学成绩较弱的学生进行板演,

以增强其自信心.

2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到1)：

(1)6=11,a=20,Q30°：

(2)a=28,6=20,4=45°:

(3)c=54,6=39,C=U5°；

(4)a=20,。=28,1=120°.

解：⑴•・•」一b

sinAsinB

...flsinB20sin3(r

..sin/--------------==()9091

b11

••・4=65°,4=115°

当4=65°时，G=180°-(〃+4)=180°一(30°+65°)=85°

.c=^inG=llsin8£a22

sin8sin30°

当4=115°时，6=180°-(8+4)=180°-(30°+115°)=35°

sinBsin30°

.人人sinA20sin45°

(2).sin^=-----------=0.5051

28

，A=30°,氏=150°

由于月+艮=45°+150°>180°,故员=150°应舍去(或者由6〈力知4V4故〃应为锐角)

.\t?=180o-(45°+30°)=105°

.asinC28sinl()5°

..c=--------=--------------u3o8o

sinAsin45°

..bc

⑶丁-----=------

sinBsinC

,.cBs'mC39-sin115°

..sinZF=-------=------------

c54

.,.S=41°,员=139°

由于力Vc故8VC.•.员=139°应舍去

，8=41°,J=180°-(41°4-115°)=24°

sinBsin41°

⑷“业=2"“12>1

20

••・本题无解

评述：此练习目的是使学生进•步熟悉正弦定理，同时加强解斜三角形的能力、既要考虑到已知角的正弦值

求角的两种可能，又要结合题目的具体恃况进行正确取舍.

【小结】

通过本节学习，我们一起研究了正弦定理的证明方法，同时了解了向量的工具性作用，并且明确了利月正弦

定理所能解决的两类有关三角形问题：已知两角一边：已知两边和其中一边的对角.

【作业】

【教学课题】余弦定理

【教学目的】

1、通过实践与探究，会利用数量积证明余弦定理，提高数学语言的表达能力，体会向量工具在解决三角形

的度量问题时的作用

2、会从方程的角度理解余弦定理的作用及适用范围，并通过实践演算掌握运用余强定理解决两类基本的解

三角形问题

【教学重点儿余弦定理的发现、证明过程及其基本应用

【教学难点儿理解余强定理的作用及运用范围。

【教学过程】

复习提问

引入新课

一、温故引新样例激疑

1,正弦定理是三角账的边与角的等量关系。正弦定理的内容是什么？你能用文字语言、数学语言叙述吗？

你能用哪些方法证明呢？

正弦定理：在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等，即：-^—=—^-=—^=2/?,其中2R为

sinAsinBsinC

三角形外接圆的直径。

说明：正弦定理说明同一个三角形中，边与它所对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正盘2R,

使a=2RsinA,b=27?sinB,c=27?sinC。

2,运用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？

由‘一=〃一,」一=—^,可以解决''已知两角及其一边可以

求其他

sinAsinBsinBsinCC

边。”“已知两边及其一边的对角可以求其他角。”等解三角形问题。

/\求Q即

3,思考：如图，在AAAC中，已知AA8C=c,AC=/?,N8AC=A,

Z

BC。

本题是“已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。”的解三角形从

c的问

题。本题能否用正弦定理求解？

困堆：因为角3、C未知，较难求4。

二、类比探究理性演绎

（-）类比探究

当一个三角形的两边和它们的夹角确定后，那么第三边也是确定不变的值,也就是说角A的对边随着角A的

CACAC

当〃、c一定，A变化时，。可以认为是A的函数，4e（0,乃）。

当八=巳时，a2=b2+c2（勾股定理），为方便起见，考虑，7?关于A的的敷，记作/=/（©,即

2

-图=从+已

当A变化时，/怎样变化？考虑两种极端情况:

18

当A=/r时，则a2=(b+c)2=。2+/+2bc;

当4=0时，8'k/2=(/?-c)2=/?2+c2-2Z?c；

我们比较三种情形的异、同点：

当A=0时，则a?=b2+c2-2bc=b2+c2-2bc\,；

当人=工时，a2=b2+c2=b24-c1-2bc-0.

2

当A="时，则a2=(b+c)2=b2-t-c2+2bc=b2+c2-2bc(-\).

相同点：都含有〃+c、2；

不同点：一劝c的系数不同；

猜想：-乃(、的系数1、0、-1与A=0、巳、乃之间存在什么对应关系啖？

2

a2=b1+c2-2/?ccosA。

那么就得到了当角4为三个特殊角时的公式：a2=b2+c2-2bcccsA,这个公式是不是满足任意三角形

呢？凭感觉上述公式应该满足任意三角形，但是我们应该给出严格的证明。

(二)理性演绎

同学们来考虑，证明恒等式通常采用什么思考方法？OccosA这样的结构我们在什么地方遇到过？

证明：b2+c2-2/?ccosA=|AC'|2+1^^|2-2|y4C'||A/y|cosA