2025年中考数学三轮复习之图形的相似

第46页（共46页）2025年中考数学三轮复习之图形的相似一．选择题（共10小题）1．（2025•官渡区校级模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D、E分别为AB、AC上的中点．则AD⋅A．12 B．14 C．15 2．（2025•合肥一模）把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“类等腰四边形”．在“类等腰四边形”ABCD中，∠B＝∠C，E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥CD，则下列两条线段的比值与ABCDA．AEDE B．AECD C．BECE 3．（2025•拱墅区模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，若点C（4，1）的对应点F（12，3），则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（）A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：14．（2025•西青区校级一模）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝8，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（）A． B． C． D．5．（2025•武汉模拟）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，在AC上取一点E，使EC＝3AE，D为AB中点，EB与DC交于点F，若DB=23，∠ADE＝30°，则A．372 B．27 C．876．（2025•扬州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，射线CE交BA的延长线于点F，若AEED=12，AB＝A．2 B．43 C．3 D．7．（2025•茄子河区一模）如图，边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O，点E为AB边中点，连结ED、EC分别和AC、BD交于点M、N，点P是直线BD上一动点．下列结论：①AM＝EN；②S△DOM＝S△CON；③OM：ON＝1：3；④|PB﹣PD|的最大值是3a；⑤PA+PE的最小值是3．其中正确结论有（）A．②④ B．②③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤8．（2025•陕西校级二模）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC的边上，且DE∥BC，△ABC的中线AF交DE于点G．若四边形BDEC的面积与△ADE的面积相等，AG＝1，则FG的长为（）A．1 B．2-1 C．2 D9．（2025•沈丘县校级一模）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，且交AD于点E，则下列说法不正确的是（）A．△AEO∽△ACD B．4AE＝5AO C．DE=74 10．（2025•巴彦县校级模拟）如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，点G、F在边BC上，连接DG、EF，AC∥DG∥EF，AF与DG交于点H，下列结论错误的是（）A．HGAC=DEAE B．GFBF=DEBE二．填空题（共5小题）11．（2025•铁西区模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，且ADBD=12，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为12．（2025•越秀区校级一模）如图，△ABC中，E是AC边上的中点，点D、F分别在AB、DE上，且∠AFB＝90°，AD＝DF，若AB＝10，BC＝16，则EF的长为．13．（2025•青浦区一模）如图，AB∥CD∥EF，如果AD：DF＝3：2，那么BE：CE＝．14．（2025•西青区校级一模）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，且AEAC=12，若S△ADE＝1，则S四边形BCDE＝15．（2025•赛罕区校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，sinA=12，BD⊥AC，垂足为D，按如下步骤作图：①以A点为圆心，以大于12AB的长度m为半径作弧；②以B点为圆心，以同样大小为半径作弧，两弧交点分别为E，F；③连接EF，直线EF与AC交于点G，则AB与DG的比是三．解答题（共5小题）16．（2025•新乡模拟）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG，其中点E，F分别是点B，C的对应点．（1）如图1，连接DG，BE，则DGBE的值为（2）如图2，当点E恰好落在边CD上，连接BG交AE于点O，连接BE．①DE的长度为．②求证：OG＝OB．（3）若直线EB，DG交于点H，当BE＝8时，请直接写出BH的长．17．（2025•合肥一模）在△ABC中，AC=215，D为AB上一点，E为CD上一点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，交BE于点G，∠BAC＝∠BED，∠BAF＝∠（1）如图1，求证：AC⊥BC．（2）如图2，D为AB的中点．（i）求证：CE＝2DF；（ii）若AB＝12，DF＝1，求FGAF18．（2025•方山县一模）综合与探究综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你从中发现方法，完成解答．【初步研究】（1）如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别在线段BC，CD上，且AM⊥BN，则AMBN的值为【知识迁移】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E，F，G，H分别在线段AB，CD，AD，BC上，且GH⊥EF，求GHEF【深入探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝DC＝6，当BDAC=1219．（2025•武汉模拟）问题背景如图（1），在矩形ABCD中，E为DC上一点，F为BC上一点，且AE⊥EF，求证：△ADE∽△ECF．问题探究如图（2），以AE为边作等边△AEG，G点在CB的延长线上，当EF：GF＝2：7的时候，求△GEF与△AGE的面积之比．问题拓展如图（3），G在BC的延长线上，连接EG，当∠EGC＝∠EFA＝60°，EC=323，FG＝20．（2025•高新区校级模拟）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G．求重叠部分（△DCG）的面积．（1）小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤：解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DC＝DB＝DA．∴∠B＝∠DCB．（依据：）又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE＝∠B．∴∠FDE＝∠DCB．∴．∴∠AGD＝∠ACB＝90°，∴DG⊥AC．又∵DC＝DA，∴G是AC的中点，∴DG为△ACD中位线．∴CG=12AC=12×8＝4∴SDCG=12•CG•DG12×4×（2）“希望”学习小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，请解决下列两个问题：①求证：△AHD∽△ABC；②求出重叠部分（△DGH）的面积．（3）“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，当△DMN是以DM为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（△DMN）的面积是．

2025年中考数学三轮复习之图形的相似参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BDCACCBBCD一．选择题（共10小题）1．（2025•官渡区校级模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D、E分别为AB、AC上的中点．则AD⋅A．12 B．14 C．15 【考点】相似三角形的应用．【专题】三角形．【答案】B【分析】首先证明出△ADE∽△ABC，得到DEBC【解答】解：∵D、E分别为AB、AC上的中点，∴ADAB又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC∴AD⋅故选：B．【点评】此题考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．2．（2025•合肥一模）把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“类等腰四边形”．在“类等腰四边形”ABCD中，∠B＝∠C，E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥CD，则下列两条线段的比值与ABCDA．AEDE B．AECD C．BECE 【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】D【分析】证明△ABE∽△DCE，DE＝DC，则可得出答案．【解答】解：如图，∵AB∥DE，AE∥DC，∴∠B＝∠DEC，∠AEB＝∠C．∵∠B＝∠C，∠B＝∠AEB，∴∠AEB＝∠DEC＝∠C，∴△ABE∽△DCE，DE＝DC，∴ABCD=BE故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时运用等腰三角形的性质求解是关键．3．（2025•拱墅区模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，若点C（4，1）的对应点F（12，3），则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（）A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1【考点】位似变换；坐标与图形性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】C【分析】根据题意求出△ABC与△DEF的相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，点C（4，1）的对应点F（12，3），∴△ABC∽△DEF，且相似比为1：3，∴△ABC的面积与△DEF的面积之比1：9，故选：C．【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．4．（2025•西青区校级一模）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝8，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（）A． B． C． D．【考点】相似三角形的判定．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】A【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4．A、∵CDAC=24=故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项符合题意；B、∵ADAB故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；C、∵BDAB故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；D、∵BDBC故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．5．（2025•武汉模拟）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，在AC上取一点E，使EC＝3AE，D为AB中点，EB与DC交于点F，若DB=23，∠ADE＝30°，则A．372 B．27 C．87【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观；推理能力．【答案】C【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，结合题意得到AE＝DE，BC＝4，AC＝8，如图所示，过点E作EG⊥AD于点G，EG=33AG=33×3=1，AE＝2EG＝2＝DE，CE＝2AE＝6，如图所示，过点E作EH∥AD，交CD于点H，可证△CEH∽△CAD，EH=332，再证△EFH∽△BFD，得到EFBF=34，设EF＝3x，BF＝4x，BE＝【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，∴∠A＝30°，∵∠A＝∠ADE＝30°，∴AE＝DE，∵点D是AB中点，BD=2∴AD=BD=2∴tan∠∴BC=∴AC＝2BC＝8，如图所示，过点E作EG⊥AD于点G，过点E作EH∥AD，交CD于点H，∴AG=∴tan∠∴EG=∴AE＝2EG＝2＝DE，∴CE＝2AE＝6，由作图可知，△CEH∽△CAD，∴CECA∴EH=∵EH∥AD，即EH∥BD，∴△EFH∽△BFD，∴EHBD=EF设EF＝3x，BF＝4x，∴BE＝EF+BF＝3x+4x＝7x，在Rt△BEG中，EG=1由勾股定理得：BE=∴7x解得，x=∴BF=4故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．6．（2025•扬州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，射线CE交BA的延长线于点F，若AEED=12，AB＝A．2 B．43 C．3 D．【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】矩形菱形正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】由菱形的性质得AB∥DC，AB＝DC＝6，可证明△AFE∽△DCE，则AFDC=AEED=12【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∴AB∥DC，AB＝DC＝6，∵点F在直线AB上，∴AF∥DC，∴△AFE∽△DCE，∵AEED∴AFDC∴AF=12DC=12故选C．【点评】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△AFE∽△DCE是解题的关键．7．（2025•茄子河区一模）如图，边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O，点E为AB边中点，连结ED、EC分别和AC、BD交于点M、N，点P是直线BD上一动点．下列结论：①AM＝EN；②S△DOM＝S△CON；③OM：ON＝1：3；④|PB﹣PD|的最大值是3a；⑤PA+PE的最小值是3．其中正确结论有（）A．②④ B．②③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；轴对称﹣最短路线问题．【专题】矩形菱形正方形；图形的相似；解直角三角形及其应用．【答案】B【分析】连接MN和PC，根据四边形ABCD为菱形以及∠ABC＝60°，可以求出CE，AC，BD以及OA，OC，OB，OD，根据平行线分线段成比例求出AM和EN即可判断①，再求出OM和ON可以判断③，根据三角形面积公式求出△DOM和△CON的面积即可判断②，再根据P，D，B共线，即可求出其差的最大值即为BD，最后根据对称性求出PA+PE最小为CE．【解答】解：连接MN，PC，如图：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB＝CD＝BC，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝BC＝a，∴OA＝OC=12a，OB＝OD=∵E为AB中点，∴AE＝BE=12AB=12a，∴CE=32∴AMCM=AE∴AM=13AC=13a，EN=13CE=36a，∴AM＞EN，故①错误；∴OM＝AO﹣AM=16a，ON＝OB﹣BN=∴OM：ON＝1：3，故③正确；∴S△DOM=12OM•OD=324a2，S△CON=12ON∴S△DOM＝S△CON，故②正确；∵P，D，B共线，∴|PD﹣PB|≤BD=3a，故④∵BD垂直平分AC，∴PA＝PC，∴当P，E，C共线时，PA+PE最小，∴PA+PE≥CE=32a，故综上所述，正确的结论有②③④．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例以及菱形的性质，综合运用菱形的对称性是本题解题的关键．8．（2025•陕西校级二模）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC的边上，且DE∥BC，△ABC的中线AF交DE于点G．若四边形BDEC的面积与△ADE的面积相等，AG＝1，则FG的长为（）A．1 B．2-1 C．2 D【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】证明△ADE∽△ABC，得(DEBC)2=S△ADES△ABC=12，然后证明△【解答】解：∵△ADE与四边形DBCE的面积相等，∴S△∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴(DE∴DEBC∵DE∥BC，∴△AGD∽△AFB，∴AGAF∵△ADE∽△ABC，∴DEBC∴AGAF∴1AF∴AF=2∴FG＝AF﹣AG=2-故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．9．（2025•沈丘县校级一模）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，且交AD于点E，则下列说法不正确的是（）A．△AEO∽△ACD B．4AE＝5AO C．DE=74 【考点】相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．【专题】三角形；图形的相似．【答案】C【分析】先利用勾股定理求出AC的长，然后证明△AEO∽△ACD，再代入求值即可．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠ADC＝90°，OA=∴AC=AD∵OE⊥AC，∴∠AOE＝∠ADC＝90°，又∵∠EAO＝∠CAD，∴△AEO∽△ACD，故选项A正确，不合题意；∴AEAC即AE5整理得4AE＝5AO，故选项B正确，不合题意；∴AE=54∴DE=AD-故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握以上性质是解题的关键．10．（2025•巴彦县校级模拟）如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，点G、F在边BC上，连接DG、EF，AC∥DG∥EF，AF与DG交于点H，下列结论错误的是（）A．HGAC=DEAE B．GFBF=DEBE【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．【专题】三角形．【答案】D【分析】根据相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理逐项分析即可得解．【解答】解：∵AC∥DG∥EF，∴△FGH∽△FCA，CGBF=AD∴HGAC∵DG∥EF，∴DEAE=HFAF，∴HGAC=DE∵DG∥EF，∴△BEF∽△BDG，∴EFGD=BF故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2025•铁西区模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，且ADBD=12，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为24【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】24．【分析】因为DE∥BC，所以可判定△ADE与△ABC相似．相似三角形的性质为：相似三角形对应边成比例，且面积比等于相似比的平方．我们的求解计划是先根据已知的线段比例关系求出相似比，再根据相似比求出△ABC的面积，最后用△ABC的面积减去△ADE的面积，从而得到四边形BDEC的面积．【解答】解：设AD＝x，则BD＝2x，那么AB＝AD+BD＝x+2x＝3x．因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，它们的相似比等于对应边的比，即ADAB=x由相似三角形面积比等于相似比的平方可知，S△因为ADAB所以(AD∴S△∵S△设S△ABC＝ycm2，则3y根据比例的性质“内项之积等于外项之积”可得y＝3×9＝27（cm2）．∴S四边形BDEC＝S△ABC﹣S△ABC＝27﹣3＝24（cm2）．故答案为：24．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确推理运用．12．（2025•越秀区校级一模）如图，△ABC中，E是AC边上的中点，点D、F分别在AB、DE上，且∠AFB＝90°，AD＝DF，若AB＝10，BC＝16，则EF的长为3．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】3．【分析】先利用等角的余角相等得到∠ABF＝∠DFB，则DB＝DF，所以AD＝BD＝5，再证明△ADE∽△ABC，然后利用相似比求出DE＝8，由于利用DF＝AD＝5，于是计算DE﹣DF即可．【解答】解：∵AD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA，∵∠AFB＝90°，∴∠ABF+∠BAF＝90°，∠DFA+∠DFB＝90°，∴∠ABF＝∠DFB，∴DB＝DF，∴AD＝BD＝5，∵E是AC边上的中点，∴AE＝CE，∵∠DAE＝∠BAC，ADAB∴△ADE∽△ABC，∴DEBC∴DE=12×16∵DF＝AD＝5，∴EF＝8﹣5＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．13．（2025•青浦区一模）如图，AB∥CD∥EF，如果AD：DF＝3：2，那么BE：CE＝5：2．【考点】平行线分线段成比例．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】5：2．【分析】利用平行线分线段成比例定理求解．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴BCCE∴BECE故答案为：5：2．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．14．（2025•西青区校级一模）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，且AEAC=12，若S△ADE＝1，则S四边形BCDE＝【考点】相似三角形的性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据相似三角形性质可得到S△【解答】解：∵△ADE∽△ABC，且AEAC∴△ADE与△ABC相似比为12∴S△∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝4S△ADE＝4，∴S四边形BCDE＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了三角形相似的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．15．（2025•赛罕区校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，sinA=12，BD⊥AC，垂足为D，按如下步骤作图：①以A点为圆心，以大于12AB的长度m为半径作弧；②以B点为圆心，以同样大小为半径作弧，两弧交点分别为E，F；③连接EF，直线EF与AC交于点G，则AB与DG的比是2【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．【专题】计算题；图形的相似；尺规作图；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】连接BG，由作图可知EF为AB的垂直平分线，则G为AB的中点，由条件可知∠A＝∠DBC，设DC＝x，则BC＝2x，AC＝4x，可求出AB＝23x，CG＝2x，则DG＝x，可求出AB与DG的比．【解答】解：由题意得，EF为AB的垂直平分线，∵∠B＝90°，∴G为AB的中点，连接BG，∴AG＝BG＝CG，∵BD⊥AC，∴∠A＝∠DBC，∴sinA＝sin∠DBC=1∴DCBC设DC＝x，则BC＝2x，AC＝4x，∴CG＝2x，AB=AC2-DG＝CG﹣CD＝x，∴ABDG故答案为：23．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．（2025•新乡模拟）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG，其中点E，F分别是点B，C的对应点．（1）如图1，连接DG，BE，则DGBE的值为34（2）如图2，当点E恰好落在边CD上，连接BG交AE于点O，连接BE．①DE的长度为27．②求证：OG＝OB．（3）若直线EB，DG交于点H，当BE＝8时，请直接写出BH的长．【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．【答案】（1）34（2）①27；②见解析；（3）BH的长为33-4【分析】（1）由旋转的性质得到AD＝AC＝6，AB＝AE＝8，∠DAG＝∠BAE，求得ADAB=AG（2）①根据矩形的性质得到∠D＝90°，AB＝AE＝8，根据勾股定理得到DE=AE2②如图1，过点B作BM⊥AE于点M，由旋转可知AB＝AE，得到∠ABE＝∠AEB，根据平行线的性质得到∠ABE＝∠CEB，推出BE平分∠AEC．根据角平分线的性质得到BC＝BM．由旋转可知，AG＝AD＝BC，根据全等三角形的性质得到OG＝OB；（3）根据旋转的性质得到AD＝AG，AB＝AE，∠DAG＝∠BAE，求得∠ADH+∠ABH＝180°，得到∠DHB＝90°，得到△ABE为等边三角形，同理△ADG为等边三角形．如图2，令DH与BC的交点为I，根据三角函数的定义得到BH＝BI•sin60°＝（6-833）×32=33【解答】解：（1）解：由旋转的性质知AD＝AC＝6，AB＝AE＝8，∠DAG＝∠BAE，∴ADAB∴△DAG∽△BAE，∴DGBE故答案为：34（2）①解：四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AB＝AE＝8，∵AD＝6，∴DE=AE2故答案为：27；②证明：如图1，过点B作BM⊥AE于点M，由旋转可知，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CEB，∴∠CEB＝∠AEB，∴BE平分∠AEC．又∵∠C＝90°，BM⊥AE，∴BC＝BM．由旋转可知，AG＝AD＝BC，∴AG＝BM．∵∠GAO＝∠BMO＝90°，∠AOG＝∠MOB，∴△AOG≌△MOB（AAS），∴OG＝OB；（3）BH的长为33-4或由旋转得AD＝AG，AB＝AE，∠DAG＝∠BAE，∴∠ADG＝∠AGD＝∠ABE＝∠AEB．∵∠ABE+∠ABH＝180°，∴∠ADH+∠ABH＝180°，在四边形ADHB中，∠DAB＝90°，∴∠DHB＝90°，∵AB＝AE＝BE＝8，∴△ABE为等边三角形，同理△ADG为等边三角形．如图2，令DH与BC的交点为I，∴∠IDC＝30°，∠DIC＝∠BIH＝60°，∴CI=∴BH＝BI•sin60°＝（6-833）×3如图3，同理可得BH=3综上所述，BH的长为33-4【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键．17．（2025•合肥一模）在△ABC中，AC=215，D为AB上一点，E为CD上一点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，交BE于点G，∠BAC＝∠BED，∠BAF＝∠（1）如图1，求证：AC⊥BC．（2）如图2，D为AB的中点．（i）求证：CE＝2DF；（ii）若AB＝12，DF＝1，求FGAF【考点】相似形综合题．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）35【分析】（1）证明∠CAF＝∠BCD结合垂直的定义可推出结论；（2）（i）证明△ADF≌△BDH（AAS），得出DF＝DH，AF＝BH，∠DBH＝∠BAF＝∠CBE，再证明△CAF≌△EBH（ASA），得出CF＝EH，可推出结论；（ii）证明△AFC∽△GFE，可推出结果．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠BAF+∠CAF，∠BED＝∠CBE+∠BCD，∠BAC＝∠BED，∠BAF＝∠CBE，∴∠CAF＝∠BCD．∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF+∠ACF＝90°，∴∠BCD+∠ACF＝90°，即∠ACB＝90°，∴AC⊥BC；（2）（i）证明：如图，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H．∵D是AB的中点，AC⊥BC，∴CD＝AD＝BD，∴∠BAC＝∠ACD，∠ABC＝∠BCD．在△ADF与△BDH中，∠ADF∴△ADF≌△BDH（AAS），∴DF＝DH，AF＝BH，∠DBH＝∠BAF＝∠CBE，∴FH＝2DF＝2DH，∠EBH＝∠ABC＝∠BCD＝∠CAF，在△CAF与△EBH中，∠CAF∴△CAF≌△EBH（ASA），∴CF＝EH，∴CF﹣EF＝EH﹣EF，∴CE＝FH＝2DF；（ii）解：由（i）知CD=∵DF＝1，CE＝2DF＝2，∴EF＝CD﹣CE﹣DF＝3，∴CF＝CE+EF＝5．由（1）知∠CAF＝∠EBH，∴∠ACD＝∠BED，∵∠AFC＝∠EFG＝90°，∴△AFC∽△GFE，∴FGAF【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．18．（2025•方山县一模）综合与探究综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你从中发现方法，完成解答．【初步研究】（1）如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别在线段BC，CD上，且AM⊥BN，则AMBN的值为1【知识迁移】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E，F，G，H分别在线段AB，CD，AD，BC上，且GH⊥EF，求GHEF【深入探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝DC＝6，当BDAC=12【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．【答案】（1）1；（2）GHEF=mn；（3【分析】（1）先证明∠BAM＝∠CBN，再证明△ABM≌△BCN（ASA），可得AM＝BN，从而可得答案；（2）作EM⊥DC于点M，作GN⊥BC于点N，记GN、EF的交点为K，证明Rt△EMF∽Rt△GNH即可得到结论；（3）当CB＜AB时，如图，过B作AD的平行线交DC的延长线于S，过A作AR⊥SB于R，证明Rt△ABC≌Rt△ADC，证明AC⊥BD，如图，当CB＞AB时，过D作BC的平行线交BA的延长线于T，过C作CH⊥TD于H，再仿照（2）的方法结合三角函数可得答案．【解答】解：（1）∵四边形正方形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，∠BAM+∠AMB＝90°，∵AM⊥BN，∴∠AMB+∠CBN＝90°，∴∠BAM＝∠CBN，∴△ABM≌△BCN（ASA），∴AM＝BN；∴AMBN故答案为：1；（2）作EM⊥DC于点M，作GN⊥BC于点N，记GN、EF的交点为K，则EM∥AD∥BC，GN∥AB∥DC，∴EM⊥GN，EM＝AD＝BC，GN＝AB＝DC，又∵EF⊥HG，∠GKF＝∠EKN，∴∠HGN＝∠MEF，∴Rt△EMF∽Rt△GNH，∴GHEF即GHEF（3）当CB＜AB时，如图，过B作AD的平行线交DC的延长线于S，过A作AR⊥SB于R，∴∠S＝∠ADC＝90°＝∠R，∴四边形ARSD为矩形，∴AR＝SD，∵CB＝CD＝6，AC＝AC，∠ADC＝∠ABC＝90°，∴Rt△ABC≌Rt△ADC，∴AB＝AD，∴AC⊥BD，同（2）可得：△DBS∽△ACD，∴BSCD∴BS＝3，cos∠CBS=∴∠CBS＝60°，AR=∵∠CBS+∠ABR＝90°＝∠ABR+∠BAR，∴∠BAR＝∠CBS＝60°，∴AB=如图，当CB＞AB时，过D作BC的平行线交BA的延长线于T，过C作CH⊥TD于H，同理可得：AB＝AD，四边形TBCH为矩形，TD=12AD=12∴CH=设AB＝AD＝x，则AT=32∴x+解得AB=综上：AB为12-63【点评】本题是四边形的综合题，考查正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形和相似三角形．19．（2025•武汉模拟）问题背景如图（1），在矩形ABCD中，E为DC上一点，F为BC上一点，且AE⊥EF，求证：△ADE∽△ECF．问题探究如图（2），以AE为边作等边△AEG，G点在CB的延长线上，当EF：GF＝2：7的时候，求△GEF与△AGE的面积之比．问题拓展如图（3），G在BC的延长线上，连接EG，当∠EGC＝∠EFA＝60°，EC=323，FG＝【考点】相似形综合题．【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】问题背景：见解析；问题探究：215问题拓展：AG的长度为221【分析】问题背景：根据矩形的性质和垂直的定义得到两组对应角相等即可证明结论；问题探究：如图：过F作FH⊥EG，过G作GK⊥AE，设EF＝2x，则CG＝2x，CF＝5x，GF＝7x；根据等边三角形的性质和垂直的定义可得HF=12EF=问题拓展：先说明∠GEC＝30°，易得∠GEC＝30°；再解直角三角形可得EG＝3、CG=32、AE【解答】解：问题背景：在矩形ABCD中，AE⊥EF，∴∠D＝∠C＝90°，∠AED+∠FEC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠FEC，∴△ADE∽△ECF；问题探究：如图2，过F作FH⊥EG，过G作GK⊥AE，设EF＝2x，则CG＝2x，CF＝5x，GF＝7x，∵△AEG是等边三角形，∴∠KGE=12∠AGE=30°，GE＝AE∴∠HEF＝∠AEF﹣∠AEG＝30°，∴HF=∴HE=∴AE=∵∠KGE＝30°，GK⊥AE，∴EK=∴KG=∴s△问题拓展：AG的长度为221当∠EGC＝∠EFA＝60°，EC=323，∵∠BCE＝90°，∴∠GEC＝30°，∴EG=CEcos∴FC=∴EF=∵∠EFA＝60°，∠AEF＝90°，∴AE=∵△ADE∽△ECF，∴AEEF=AD解得：AD=∴BC=∴BG=∴AG=【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、解直角三角形的等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．20．（2025•高新区校级模拟）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G．求重叠部分（△DCG）的面积．（1）小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤：解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DC＝DB＝DA．∴∠B＝∠DCB．（依据：等边对等角）又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE＝∠B．∴∠FDE＝∠DCB．∴DG∥BC．∴∠AGD＝∠ACB＝90°，∴DG⊥AC．又∵DC＝DA，∴G是AC的中点，∴DG为△ACD中位线．∴CG=12AC=12×8＝4∴SDCG=12•CG•DG12×4×（2）“希望”学习小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，请解决下列两个问题：①求证：△AHD∽△ABC；②求出重叠部分（△DGH）的面积．（3）“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，当△DMN是以DM为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（△DMN）的面积是7516或【考点】相似形综合题．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】（1）等边对等角，DG∥BC．（2）①见证明过程．②7516（3）7516【分析】（1）由DC＝DB，利用等边对等角得∠B＝∠DCB，从而得DG∥BC．（2）①∵DE⊥AB交AC于点H，由∠ADH＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，得△AHD∽△ABC；②由△AHD∽△ABC，得∠2＝∠B，ADAC=DHCB，算出DH=154，由△ABC≌△FDE，得∠1＝∠B（3）当DM＝DN时，过D作DQ⊥MN，过M作MP⊥DN．由CD为Rt△ABC斜边中线，得DC＝DA＝5，证明△MDP∽△ABC，得DP：PM：DM＝3：4：5，再计算即可．当MD＝MN时，过M作MH⊥DN．证明△CND∽△ABC，再证明△MHN∽△ACB，得NH=34，故△DMN面积=12MH【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DC＝DB＝DA．∴∠B＝∠DCB．（依据：等边对等角）又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE＝∠B．∴∠FDE＝∠DCB．∴DG∥BC．故答案为：等边对等角，DG∥BC．（2）①∵DE⊥AB交AC于点H，∴∠ADH＝∠ACB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AHD∽△ABC；②∵△AHD∽△ABC，∴∠2＝∠B，ADAC∴58∴DH=又∵△ABC≌△FDE，∴∠1＝∠B，∴∠1＝∠2，∴GH＝GD，∵∠1+∠3＝∠2+∠A＝90°，∴∠3＝∠A，∴AG＝GD，∴AG＝GH，S△（3）当DM＝DN时，如图：过D作DQ⊥MN，过M作MP⊥DN．∵CD为Rt△ABC斜边中线，∴DC＝DA＝5，∴CQ＝AQ=12AC＝∴DQ=DC∵∠MDP＝∠B，∠MPD＝∠ACB＝90°，∴△MDP∽△ABC，∴DPBC∴DP6∴DP：PM：DM＝3：4：5，设DP＝3x，PM＝4x，DM＝5x，∴NP＝DN﹣DP＝5x﹣3x＝2x．∵△DMN面积=12MN•DQ=12∴MN•3＝5x•4x，∴MN=20∵MN2＝MP2+PN2，∴（203x2）2＝（2x）2+（4x∴x2=9∴△DMN面积=12MP•DN=124x•5x＝10当MD＝MN时，如图：∴∠MDN＝∠MND．过M作MH⊥DN．∵CD为Rt△ABC斜边中线，∴DA＝DC，∴∠NCD＝∠A，∠MND＝∠MDN＝∠B，∴△CND∽△ABC，∴∠CDN＝∠ACB＝90°，∴MH∥CD，∵H为ND中点，∴M为CN中点，∴MH=12CD∵△MHN∽△ACB，∴HNCB∴NH=3∴DN＝2NH=15∴△DMN面积=12MH•DN故答案为：7516【点评】本题考查了相似综合题的知识，利用AA证明相似是解题关键．

考点卡片1．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．2．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．3．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．4．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．5．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．6．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．7．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．8．菱形的性质（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（2）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab．（a、9．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．10