广西桂林市2024-2025学年高三下学期开学质量检测卷数学试卷 含解析

2025年春季高三开学质量检测卷数学注意事项：1.答题前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂择黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由并集运算的概念直接求解即可.【详解】因为集合，，所以.故选：A2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法运算法则计算可得结果.【详解】易知.故选：B3.已知向量，，.若，则（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直坐标运算性质求解即可．【详解】因为向量，，所以，所以，解得.故选：B.4.若，则（）A. B.6 C.11 D.13【答案】D【解析】【分析】由同角三角商的关系，弦化切即可求解；【详解】.故选：D5.已知抛物线上一点P到焦点F的距离为12，则点P的横坐标为（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】C【解析】【分析】根据焦半径公式即可求解.【详解】抛物线的焦点，准线.因为点到焦点的距离为12，所以点到准线的距离为，则.故选：C6.已知一个圆台状器皿（其厚度忽略不计）的下底面半径为3cm，上底面半径为9cm，容积为cm3，则该器皿的高为（）A.8cm B.9cm C.13cm D.10cm【答案】D【解析】【分析】利用圆台体积公式计算解方程可得结果.【详解】设该器皿的高为，易知上、下底面面积分别为；由题意可得，解得故选：D.7.在△ABC中，内角的对边分别为，，，，为BC边上一点，且，则（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由即可求解；【详解】根据题意得，则，解得.故选：D8.已知集合，若函数（，）有极值，则满足条件的共有（）A.121个 B.360个 C.396个 D.432个【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用导数求出有极值的值，再利用分步乘法计数原理计算得解.【详解】函数定义域为R，求导得，由函数有极值，得函数有变号零点，则，解得，，由，得，而，所以满足条件的共有个.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于双曲线，下列命题是真命题的是（）A.实轴长为2 B.焦点坐标为C.离心率为 D.渐近线方程为【答案】AC【解析】【分析】由双曲线方程得到，即可求解双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率及渐近线方程.详解】对于双曲线，，，则，所以双曲线的实轴长为，焦点坐标为，离心率为，渐近线方程为，即，故选项AC为真命题.故选：AC.10.已知函数则关于x的方程（为常数，且）的实数解的个数可能为（）A.4 B.1 C.8 D.7【答案】ABD【解析】【分析】先做出函数的大致图象，设，则，先根据的跟的个数及根的范围分类，再迭代求的个数即可.【详解】画出函数的大致图象，如图所示，设，则可化为，如图，，，当时，有1个根，即，此时方程有1个根；当时，有2个根，，时有3个根，时有1个根，此时方程有4个根；当时，有3个根，，，当时有3个根，当时有3个根，当时有1个根，此时方程有7个根；当时，有3个根，，，，当时有3个根，当时有2个根，当时有1个根，此时方程有6个根.当时，有3个根，，，当时有3个根，当时有1个根，当时有1个根，此时方程有5个根；当时，有3个根，，，当时有0个根，当时有1个根，当时有1个根，此时方程有2个根；当时，有1个根，，当时有1个根，此时方程有1个根；当时，有0个根，此时方程有0个根；故方程的实数解的个数可能为0或1或2或4或5或6或7，故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题主要考虑的图象的特殊点，设，则，根据根的个数和范围分类即可.11.如图，在棱长为10正方体中，P，H分别为棱，AD的中点，K是棱上任意一点，则（）A.平面BCKB.C.向量在向量上的投影向量为D.该正方体内可以装入1186个直径为1的小球【答案】ABD【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断A；根据线面垂直的性质定理判断B；结合数量积的运算律，根据投影向量的概念判断C；通过直观想象，由下至上第一层小球有个，第二层小球有个，奇数层均有100个，偶数层均有81个，结合上下两层相邻5个球的球心构成正四棱锥并求高，再确定层数，最后求解小球个数判断D.【详解】由正方体的性质知，因为平面，平面BCK，所以平面BCK，A正确.连接，.由正方体的性质易得，平面，所以，，所以平面，平面，所以，B正确.，，，则向量在向量上的投影向量为，C错误.由题意，由下至上第一层小球有个，第二层小球有81个，奇数层均有100个，偶数层均有81个，第一层与第二层中5个相邻球的球心构成的一个棱长都为1的正四棱锥，该四棱锥的高为，假设共有层小球，则总高度为，令，解得.因为，所以，小球共有13层，相邻两层小球共有个，所以该正方体内可以装入1186个直径为1的小球，D正确.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是C选项中小球的个数问题，要分析清楚每层的球的个数以及一共几层，有较强的空间想象能力和推理能力是解决此类问题的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数（）的最小正周期为，则______.【答案】8【解析】【分析】直接由最小正周期公式求解即可.【详解】根据题意可得，解得.故答案为：.13.现有一批同规格的羽毛球，由A，B，C三家工厂生产，其中A，B，C三家工厂分别生产3000个、4000个、3000个.A，B，C三家工程的次品率依次为0.02，0.04，0.03.现从这批羽毛球中任取一个，则这个羽毛球的次品的概率为______.【答案】0.031【解析】【分析】设任取一件羽毛球来自厂为事件、来自厂为事件、来自厂为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出从中任取一件，取到次品的概率.【详解】设任取一件羽毛球来自厂为事件、来自厂为事件、来自厂为事件，则彼此互斥，且,，设任取一件羽毛球，取到的是次品为事件，则.故答案为：.14.已知曲线C的方程为（），O为坐标原点，A为曲线C上任意一点，则线段OA长度的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先根据及求得，然后利用两点间的距离公式表示，最后利用导数研究其最值，即可得解.【详解】由题设得，因为，所以，解得.设，，则，令，，则，令，得或或.当或时，，单调递增；当时，，单调递减.，，，，所以的最小值为1，最大值为4，故线段OA长度的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点点睛：求出的表达式后，利用导数法研究其值域是解决本题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，求数列的前项积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式的基本量运算求出公差，进而求解通项公式即可.（2）先利用裂项相消法求得，然后求解前项积即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，则，解得，则，所以的通项公式为.【小问2详解】由（1）可得，所以，所以.16.春节将至，某商家统计了去年某商品的日营销费用x（单位：百元）与日销售量y（单位：百件），为今年的营销方案制定提供相关的数据参考，得到的数据如下表：日营销费用x/百元23456日销售量y/百件11.11.51.82.1已知y与x线性相关.（1）根据上表数据，求y关于x的经验回归方程；（2）请利用（1）中的经验回归方程，试估计当今的日销售费用为1000元时，日销售量为多少百件.参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（）.其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】（1）（2）3.24百件【解析】【分析】（1）求出的平均值，利用给定公式计算可求出y关于x的经验回归方程；（2）将代入回归方程即可估算出结果.【小问1详解】，，则，所以故关于的经验回归方程为.【小问2详解】将代入，得，故当今年的日营销费用为1000元时，日销售量约为3.24百件.17.如图，在多面体ABCDEF中，，，D为AC的中点，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABC.（1）证明：.（2）若平面AEF与平面BFC的夹角为，求DE的长.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，利用面面垂直进而得到平面ABC，进而可得结论；（2）以D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，求得平面平面AEF的一个法向量，平面BFC的一个法向量为，利用向量的夹角公式可求得.【小问1详解】因为四边形BDEF是矩形，所以.因为平面平面ABC，平面平面，平面BDEF，所以平面ABC.平面ABC，所以.【小问2详解】由（1）知平面ABC，因为为AC的中点，所以.以D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设，则，，，，，所以，，，.设平面AEF的法向量为，则，令，则，所以平面AEF的一个法向量.设平面BFC的法向量为，则，令，则，所以平面BFC的一个法向量为.因为平面AEF与平面BFC的夹角为，所以，解得，即.18.已知椭圆（）的离心率为，，分别是椭圆的左，右焦点.过点且斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点.的周长为8.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l的斜率为1，求线段AB的长；（3）若点P在椭圆上，且，试问是否存在直线l，使得的重心在y轴上？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，或或【解析】【分析】（1）运用椭圆定义，结合离心率公式计算即可；（2）直曲联立，运用弦长公式计算即可；（3）设直线l的方程为.直曲联立，借助韦达定理和中点坐标公式得到,根据重心坐标公式，求得，进而得，求出，代入椭圆方程，解得，得到直线即可.【小问1详解】因为的周长为8，所以，得.因为椭圆的离心率为，所以，，故椭圆的标准方程为.【小问2详解】由题意，，，所以直线的方程是，设，.由得，所以，，所以.【小问3详解】设直线l的方程为.由得，.设，，，线段AB的中点为H，则，，.若△ABP的重心在y轴上，则，即，所以.由，得，解得，所以，因为点P在椭圆上，所以，解得或.故存在直线l，使得△ABP的重心在y轴上，其方程为或或.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设函数，且函数的图象与的图象关于直线对称.①若不等式对恒成立，求t的取值范围；②过点可以作曲线的两条切线，切点为，，，证明：.【答案】（1）（或）（2）①②证明见解析【解析】【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程，（2）分离参数，构造函数，即可求导确定函数的单调性求解①，②构造函数，，利用导数求解单调性即可求解.小问1详解】由题意可得，由，得，则曲线在处的切线方程为，即，【小问2详解】由题意得，则.①不等式即，令，则.当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，所以，即的取值范围是.②证