第二章导数及其应用基础检测卷（解析版）

第二章导数及其应用基础检测卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函数的导数，根据导数与0的关系得出减区间.【详解】函数的定义域为，，令，则单调递减区间为.故选：B2．若曲线在点处的切线与直线垂直，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】由切线与直线垂直可得切线斜率为2，再对曲线求导，根据导数的几何意义结合条件即得.【详解】直线的斜率为，由题设知：在处的切线的斜率为，而，∴，可得.故选：C.3．一个质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系，则质点在时的瞬时速度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数求得正确答案.【详解】.故选：B4．设函数，当自变量x由改变到时，函数的改变量为（

）A． B． C． D．都不对【答案】C【分析】由函数增量的定义写出的表达式即可.【详解】由题意知：.故选：C5．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用导数的几何意义，结合函数的图象，即可判断选项.【详解】由函数的图象可知：当时，单调递增，且增速变缓慢，，表示直线的斜率，根据导数的几何意义可知，，故选：B6．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求导后代入求解即可.【详解】对两边同时求导，得，令，得.故选：C7．已知函数，其导函数记为，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根据给定条件，变形函数并求出，再探讨导函数的奇偶性作答.【详解】函数定义域为，令，则的定义域为，，又，故是奇函数，所以，故，所以.故选：B.8．已知函数的导函数为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，对等式两边求导，再令，求出，从而求得的值【详解】因为，所以，令，则，，则，所以.故选：A.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得09．下列求导运算正确的是（

）A．若，则 B．C． D．【答案】AC【分析】根据求导公式依次判定选项即可得到答案.【详解】对于A，若，则，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误．故选：AC10．函数的图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，函数的定义域为，当时，，函数在上单调递增，故B正确；当时，，，所以在上单调递增，故D正确；当时，当时，；当时，；故A正确；C错误.故选：ABD.11．如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（

）A．为函数的单调递减区间B．为函数的单调递增区间C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极小值【答案】AC【分析】对于AB选项，利用函数的单调性和导数的正负关系进行判断；对于CD选项，利用函数的极值点的定义判断.【详解】由图象可知，时，，所以为函数的单调递减区间，故A正确；由图象可知，时，，所以为函数的单调递减区间，故B错误；由图象可知，，且当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故函数在处取得极大值，故C正确；由图象可知，，故不是函数的极值点，故D错误，故选：AC.三．填空题本题共3小题，每小题5分，共15分12．若上的可导函数在处满足，则．【答案】6【分析】导数的定义可得答案.【详解】，则.故答案为：.13．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围．【答案】【分析】由题意，即，构造函数，利用导数求出最大值即可.【详解】存在，使得可得，构造函数，其中，则，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.故答案为：.14．设函数，若的两个极值点为，且，则实数a的值为.【答案】9【分析】由题意得，进一步结合韦达定理以及即可求解.【详解】，由已知，从而，所以，经验证此时，符合题意.故答案为：9.四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步15．（13分）已知函数.(1)求这个函数的导数；(2)求这个函数的图像在点处的切线方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据导数的运算法则计算可得；（2）求出切线的斜率，再利用点斜式计算可得.【详解】（1）因为，所以，即；（2）因为点在切线上，且，所以切线方程为，即.16．（15分）已知函数且在处取得极值.(1)求a，b的值；(2)求函数在的最大值与最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用来求得的值.（2）结合（1）求得在区间上的最值，由此确定正确结论.【详解】（1），依题意，解得.，所以在区间上递增；在区间上递减.所以在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意.（2），，由（1）知，在区间上的最大值为，最小值为.17．（5分）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为(2)【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得；（2）通过代入不等式整理成在上存在实数解问题，故可转化成求函数在得最小值问题，计算即得.【详解】（1）当时，，∴，由，得，由，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）原条件等价于：在上存在实数解．化为在上存在实数解，令，

则，∴在上，，得，故在上单调递增，∴的最小值为，∴时，不等式在上存在实数解．18．（17分）（1）求函数的最值．（2）求函数（是自然对数的底数）的最值．（3）已知a为常数，求函数的最大值．【答案】（1）最小值；最大值；（2）最大值为，无最小值；（3）答案见解析【分析】（1）（2）求导判单调性求得最值；（3）求导，分，，三种情况判单调性求最大值【详解】（1），令，由，解得或．当变化时，，的变化情况如下表：＋－＋由表可知，当时，有最小值；当时，有最大值（2）由题意知的定义域为R．，令，解得当时，，单调递增；当时，，单调递减．故函数的最大值为，无最小值．（3）．若,则，函数单调递减，∴当时，有最大值．若，则令，解得．∵，∴只考虑的情况．①若，即，（如下表所示）则当时，有最大值②若，即，则当时，，函数在区间上单调递增，∴当时，有最大值综上可知，当，时，有最大值；当，时，有最大值当，时，有最大值．19．（17分）若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质．①在上的导数存在；②在上的导数存在，且（其中）恒成立．(1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由．(2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．【答案】(1)函数在区间上具有性质；(2)存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是；(3)的最大值为.【分析】（1）令，按照题目所给定义，求出和，并判断是否恒成立即可；（2）先利用为奇函数且在处取得极值求出实数，的值，再按照题目所给定义，求出，即可求出的取值范围；（3）分离参数得，构造函数，通过的最小值，即可确定正整数的最大值.【详解】（1）令，，则，，，，当时，恒成立，∴函数在区间上具有性质；（2）∵，∴，∵在处取得极值，且为奇函数，∴在处也取得极值，∴，解得，∴，，当时，令，解得；令，解得；故在单调递减，在单调递增，满足在处取得极值，∴，当时，恒成立，∴存在实数，使在区间上恒成立，∴存在实数，使得在区间上具有性质，的