2024-2025学年辽宁省大连市高新区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省大连市高新区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）

1.（3分）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）

正面

2.（3分）下列各点在反比例函数丫二目的图象上的是（）

X

A.（1,6）B.（-6,1）C.（-3,2）D.（2,-3）

3.（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

C.

4.（3分）在RtZk/BC中，ZC=90°，AC=4fBC=3,则tan^的值为（）

5.（3分）关于x的一元二次方程2N-3%+c=0有实数根，则实数c的取值范围是（）

D

A.c<jB.c<-1C.c>|--c<]

6.（3分）如图，是。。的直径，ZE=30°,则（)

7.（3分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1,2,3,4,从中随机摸出两个小

球，则一次摸出的两个小球的标号之和为5的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

3234

8.（3分）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基木框架，其中方程

术是《九章算术》最高的数学成就，《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一

丈.问户高、广各几何？”大意有一扇形状是矩形的门，它的长比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈,

问它的长与宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸），设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为（）

A.x2+Cx+6.8）2=1（）2B.x2+（x-6.8）2—102

C.（x+6.8）2-x2=102D.x2+6.82=102

9.（3分）如图，在△NBC中，4B=AC,40_L2c于。，将/C边绕点/逆时针旋转50°得到线段

连接8E交于点尸，则乙4尸£=（）

10.（3分）一个球从地面竖直向上弹起，经过，秒时球的高度为人米，〃和f满足关系式〃=-5户+63则

球离地面不低于1米的持续时间是（）

A.0.2秒B.0.4秒C.0.6秒D.0.8秒

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）已知扇形的圆心角为120°,其面积为371s?2,则该扇形的半径为cm.

12.（3分）己知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流/（单位：/）与电阻R（单位：Q）是反比例

函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是24那么此用电器的

13.（3分）如图，RtzXCOB的斜边在y轴正半轴上，OC=2,Z56>C=30°,直角顶点C在第二象限，

将Rt△COB绕原点顺时针旋转90°后得到Rt△CXOBX,则点C的对应点的坐标

是___________________.

+2x+c沿着其对称轴上下平移，三平移后的抛物线的顶点在直线y=x+l上

时，平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为.

15.（3分）如图，点D,E分别在△NBC的边48,ACh,NADE=NC,以点/为圆心，适当长为半

径作弧，分别交/C边于点G,H,再分别以G,〃为圆心，大于^GH长为半径作弧，两弧在/R4C

内部交于点P,作射线AP分别交DE,8c于点M,N,若S四边形BCED=3S4/DE，AM=a,则NN=

（用含。的代数式表示）.

三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

16.（10分）（1）解方程：2x2-7x+4=0；

（2）已知二次函数y=x2+6x+c的图象经过/（0,1）,B（2,-1）两点，求二次函数的表达式.

17.（8分）互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递网点，今年八月份

完成快递的件数为40000件，十月份完成快递的件数为48400件.

（1）求该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率；

（2）由于十一月份有“双十一”活动，十一月份该网点完成的快递件数比十月份增长了30%,该网点

共有11名快递员，求该网点十一月份平均每位快递员投放多少件快递.

18.（8分）我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”.如图，杠杆8以尸为支点，

当C端上放置重物时，C端着地，。端到地面的距离。E是150c加；当工人用力按压。端，直至点。

着地落到E时,C端的重物被送到厂处，此时重物到地面的距离CF为90cm,求支点P到地面的距离PM.

19.（8分）某体育用品商店购进一批大连英博足球队球衣，每件的进价为80元，出于营销考虑，要求每

件球衣的售价不低于80元且不高于150元，在销售过程中发现，球衣每周的销售量y（件）与每件球

衣的售价x（元）之间满足的函数关系如图所示.

（1）求y与x之间的函数关系式及x的取值范围；

（2）球衣的销售单价定为多少元时，每周销售球衣所获利润最大？最大利润是多少元？

20.（8分）大连森林动物园坐落于大连市南部海滨白云山风景区内，如图1是大连森林动物园内的海达

索道，大连能看到海的索道.如图2是从莲花山观景台到南门一段索道的示意图，点/为莲花山观景

台，点3是海达索道在南门的停靠点.从山脚。处看/处的仰角为60°,从/处看2处的俯角为21

°,点/与点。之间的距离40=300加，点8到山脚的距离8c=40〃?.

（1）求点/到山脚CD的距离；

（2）求4?的长（结果精确到1加）.

（参考数据：sin21°心0.36,cos21°-0.93,tan21°"0.38,通心1.7）

（图I）（图2）

21.（8分）如图，△N8C内接于O。，48是O。的直径，点。在O。上，NC平分/AID,过点C作CE

。交的延长线于点E,延长EC交的延长线于E

（1）求证：即是。。的切线;

（2）若BF=4,CF=8,求/£的长.

22.（12分）如图，在RtZUBC中，ZACB=90°，点。在N2边上，连接CD,且/CD3=45°.

（1）如图1,设/4CDa,

①求N8的度数（用含a的代数式表示）；

②若a=15°,CD=3&,求的长.

（2）如图2,将△BCD沿CD折叠得到△CDE,DE交4C于点、F.

①求证：CF=BC；

②如图3,点G在线段50上，连接CG并延长交的延长线于点“，若/H=/A,祟栏，求瞿

CG3DG

的值.

（图1）（图3）

23.（13分）定义：若函数G和函数C2的图象关于直线x=m对称，则称函数。和C2关于直线

互为“友好函数”，函数G和。2的图象交点叫做“友好点”.

例如：函数G：y=x2+l关于直线x=2的“友好函数”为g：y=（x-4）2+l=x2-8x+17,“友好点”

为(2,5).

(1)求函数y=x2-2x关于直线》=-1的“友好函数”的表达式及“友好点”的坐标；

(2)函数y=》2-4x+l关于直线工=加的“友好点”的纵坐标为小当时，求"的取值范围；

(3)函数G：y=ax2-2ax-3aQWO)关于直线x=2的“友好函数”为C2,“友好点”为A.函数

3的图象的顶点为新，与了轴交点为G,函数。2的图象的顶点为N,与了轴交点为函数G与。2

的图象组成的图形记为W.

①若。=1,判断的形状，并说明理由；

②若GH=2AG,求a的值；

③点E(O,-2),点尸(4,-2),若印与线段跖有且只有两个交点，直接写出a的值或取值范

围.

2024-2025学年辽宁省大连市高新区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

题号12345678910

答案DACBBDAACD

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

2.【解答】解:设反比例函数表达式为了=旦，；«=孙=6,

X

4、V1X6=6,

.•.点（1,6）在反比例函数y=旦图象上，故本选项符合题意；

X

B、（-6）Xl=-6W6,

...点（-6,1）不在反比例函数了=且图象上，故本选项不符合题意；

X

C、（-3）X2=-6W6,

.•.点（-3,2）不在反比例函数了=旦图象上，故本选项不符合题意；

X

D、V2X（-3）=-6W6,

...点（2,-3）不在反比例函数了=反图象上，故本选项不符合题意.

x

故选：A.

3.【解答］解：N是中心对称图形，但不是轴对称图形，则/不符合题意;

3是轴对称图形，但不是中心对称图形，则2不符合题意；

C既是轴对称图形，又是中心对称图形，则C符合题意；

。是中心对称图形，但不是轴对称图形，则。不符合题意；

故选：C.

4.【解答］解：如图，tan4=［^=3

AC4

故选2.

5.【解答】解：.•・关于x的一元二次方程2N-3x+c=0有实数根,

△》0,即(-3)2-4X2・c20,

解得cW?.

O

故选：B.

6.【解答】解：：/4£0=30°,

/.ZAOD=2ZAED=60a,

故选：D.

一■次摸出的两个小球的标号之和为5的概率为-^•二［.

123

故选：A.

8.【解答】解：设矩形门宽为x尺，所列方程为无2+(x+6.8)2=102,

故选：A.

9.【解答】解：VAB^AC,ADLBC,

：.NBAD=NCAD,

设/BAD=NC4D=x,

:将/C边绕点/逆时针旋转50°得到线段/E,

C.AC^AE,NC/£=50°,

：.AE=AB,ZBAE=500+2x,

:./ABE=65°-x,

：.ZAFE=ZABE+ZBAD=65°,

故选：C.

10.【解答］解：当力=1时，-5产+6/=1,

解得4=巳匕=1，

.,.球不低于1米的持续时间是1-■^■=2■=0.8（秒）

故选：D.

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11.【解答】解：根据题意得3TT=12Q•兀二

360

解得R=3或R=-3（舍去），

所以该扇形的半径为3cm.

故答案为3.

12.【解答】解：设反比例函数关系式为：/=券，

把（4,9）代入得：左=4X9=36,

...反比例函数关系式为：/=磐，

当/=2时，则2=半，

：.R=1S,

故答案为：18.

13.【解答】解：过点Ci作CpDLc轴于点D,

由旋转得，GO=OC=2,ZC1OB]=ZBOC^3Q0,

・5=之0力=1，OD=^GC[=M,

乙乙

.,.点C的对应点Cl的坐标是（«,1）.

故答案为：（愿，1）.

14.【解答】解：,.）=--^-x2+2x+c=-（x-2）2+2+c,

•••设平移后的抛物线的解析式为了=（X-2）2+左，顶点为（2,k）

;平移后的抛物线的顶点在直线y=x+l上，

.,.左=2+1=3,

.,.y=——（尤-2）2+3,

2

当x=0时，＞=1,

••・平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为1,

故答案为：1.

15.【解答】解：由作法得平分/8/C,

■:/ADE=NC,ZEAD^ZBAC,

：.△ADEs^ACB,

S

.AADE（AN）2

^AACB那

四边形BCED=3S^ADE，

•'•^/\ACB=^/\ADEf

望）2」，

AM4

.\AN=—AM=-^-a.

22

故答案为：a.

三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

16.【解答】解：（1）：a=2,6=-7,c=4,

；.△=（-7）2-4X2X4=17,

.„-7±V17

••A,

2X2

.r7-\^17丫7+V17

(2)把/(0,1),B(2,-1)分别代入y=x2+fec+c得4，

(4+2b+c=-l

解得尸3,

Ic=l

.•.抛物线解析式为y=》2-3x+L

17.【解答】解：(1)设该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为x,

根据题意得：40000(1+x)2=48400,

解得：X[=0.1=10%,》2=-2.1(不符合题意，舍去).

答：该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为10%；

(2)根据题意得：48400X(1+30%)+11=5720(件).

答：该网点十一月份平均每位快递员投放5720件快递.

18.【解答】解：依题意得：DELEC,CFLEC,

J.DE//CF,

：.APDEsAPCF,

..»-P-E-DE—.

PFCF

又；DE=150cm,CF=9Qcm,

.PE_DE_150_5

"PF'CF—"^一§，

PFR„

同理可证：APMEs^FCE,

EF8

.PM=PE

"FC-EF，

.225

..PM-------cm,

4

答：支点尸到地面的高度为PM■为孥cw.

4

19.【解答】解：(1)设了与x之间的函数关系式为(鼠6为常数，且后W0).

将坐标/(90,110)和8(100,100)分别代入y=fcv+6,

(90k+b=U0

得w

4(100k+b=100，

解得尸1,

lb=200

与尤之间的函数关系式及x的取值范围为y=-x+200(804W150).

(2)设每周销售球衣所获利润为w元，则w=(x-80)y=(x-80)(-x+200)=-(x-140)2+3600,

V-l<0,对称轴为x=140,80QW150,

.•.当x=140时,y的值最大，y最大=3600.

答：球衣的销售单价定为140元时，每周销售球衣所获利润最大，最大利润是3600元.

20.【解答】解：（1）过点/作NELC。于点£,过点8作8于点尸,

由题意知：4D=300m,BC=EF=40m,ZADE=60°,ZBAG=ZABF=21

AR

在RtZXZDE中，sinZADE=—,

AD

：.AE=AD*sm60°=300X通-七255(m),

2

答：点/到山脚CD的距离为255米；

(2)'：AE=150-/3m,EF=40m,

:.AF=AE-EF=1504j-40(w),

AR

在RtZXZB/中，sinZABF=­

ABf

：.AB=—研0x15QV^-40^597(m),

sin210.36

答：的长为597米.

21.【解答】（1）证明：连接。C,

,・ZC平分N54D,

・•・/EAC=/FAC,

9：OC=CB,

：.ZFAC=ZOCA,

：./EAC=/OCA,

：.OC//AD,

'：EFLAD,

：.OC工EF,

TOC是O。。的半径，

，斯为。。的切线；

（2）解：设08=0。=》,贝I。/=x+4,

在RtZkOC尸中，OG+C照=O或,

BPx2+82=(x+4)2,

解得：x=6,

：.OB=OC=OA=6,

：.OF=W,4/=16,

OC//AE,

:•△OFCsAAFE,

22.【解答】(1)解：@\9ZACB=90°,ZACD=a,

：.ZDCB=9Q°-a,

•・•NCDB=45°,

：.Z5=180°-ZCDB-ZDC5=180°-45°-(90°-a)=45°+a；

②如图1中，过点。作于点

VZACD=15°,ZCDB=ZA+ZACD=45°,

AZA=30°,

VZACB=90°,

・・・NB=60°,

•:CHLDH,ZCDH=45°,CD=3小

:.DH=CH=3,

Vtan5=CH

BH

・二年春

:.BH=M，

：.BD=DH+BH=3+V3；

(2)①证明：由翻折变换的性质可知CE=CB,ZE=ZB=45°+a,ZCDBZCDE=45°,

VZCFE=ZFCD+ZCDF=45°+a,

:./E=NCFE,

：.CE=CF,

：.CF=BC；

②解：过点。作C7„5于点/

CG3

・••可以假设G7/=2左，CG=3k,

VZA=ZH,ZADF=ZHDG,

：.NAFD=NHDG,

*：ZAFD=/CDF+/DCF,ZHGD=/CDB+/DCG,

：.NDCF=/DCG,

•：CD=CD,/A=NH,

:•△ACD"AHCD(AAS),

:.AD=DH,AC=CH=5k,

■:/A=/H,AD=HD,ZADF=ZHDG,

:.AADFmAHDG(ASA),

：.AF=GH=2k,

VZCGB=ZDCG+ZCDG=45°+a=N5,

:,CG=CB=CF=3k,

.\AC=5k,

VZACB=90°,

"^5=VBC2+AC2=V(3k)2+(5k)2=

22

*：CG=CB,CJLBG,

：,JG=JB=7BC2-CJ2=J(3k)2-(1与仔k)'=

VZCDJ=45°,

:.CJ=DJ=如履晨

34

:.DG=JD-GJ=鼠4D=AB-BJ-DJ=晨

1717

.AD=_5

"DG-T

23.【解答】解：(1),：y=x2-2x=(x-1)2-1,

.••顶点(1,-1),它关于直线x=-1的对称点为(-3,-1),

“友好函数”为》=(x+3)2-l=x2+6x+8,

.两个函数图象关于直线x=-1对称，

・,•其交点必在直线x=-1上，将x=-1代入y=N-2x中，y=\-2X(-1)=3,

・•・“友好点”坐标为(-1,3)；

(2)由题意得麓=源-4加+1=(加-