2024北师大版七年级数学下学期第一次月考测试卷（解析版）【测试范围：整式的乘除~相交线与平行线】

2024-2025学年七年级数学下学期第一次月考卷

基础知识达标测

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

考前须知：

1.本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。

2.测试范围：整式的乘除〜相交线与平行线（北师大版2024）。

第I卷

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）下列计算正确的是（）

A.（-2.）2=-4*B.a3b2^a2b^a

C.（后）5=^7D.m2,m5=m7

【分析】根据同底数幕的乘法，幕的乘方与积的乘方，单项式除以单项式的法则进行计算，逐一判断即可

解答.

【解答】解：A、（-2a）2=4层，故/不符合题意；

B、aib2-^-a2b=ab,故8不符合题意；

C、（乂）5=610,故c不符合题意；

D、m2*m5=m1,故Z）符合题意；

故选：D.

2.（3分）华为Afafe20系列搭载了麒麟980芯片，这个被华为称之为全球首个7纳米工艺的4芯片，拥有

8个全球第一，7纳米就是0.000000007米.数据0.000000007用科学记数法表示为（）

A.7X107B.0.7乂10一8c.7X10一8D.7X109

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aXIO-",与较大数的科学记数法

不同的是其所使用的是负整数指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【解答】解：0.000000007=7X10-9.

故选：D.

3.（3分）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（）

A.（4x-3y）（3y-4x）B.（-4x+3y）（-4x-3y）

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11

C.(一天:+2y)(]K+2y)D.(3y+2x)(2x-3y)

【分析】根据平方差公式：(〃+b)Ca-b)=〃2-济和完全平方公式：(a±b)2=〃2±2"+属判断即可.

【解答】解：4(4x-3y)(3y-4x)=-(4x-3y)2,用的是完全平方公式，故选项/符合题意；

B、(-4x+3y)(-4x-3y)=(-4x)2-(3歹)2,用的是平方差公式，故选项5不符合题意；

111cC

C、(-~x+2y)(--x-2y)=(一/)2-(2y)2,用的是平方差公式，故选项C不符合题意；

D、(3y+2x)(3y-2x)=(3y)2-(2x)2,用的是平方差公式，故选项D不符合题意；

故选：A.

4.(3分)如图，对于下列条件：@Z1=Z2；@Z3=Z4；③/C=N5；④//+//DC=180°.其中

一定能得到ND〃8c的条件有()

A.①②B.②③C.①④D.③④

【分析】利用平行线的判定方法一一判断即可

【解答】解：①=

：.AB//CD；

@VZ3=Z4,

：.AD//BC；

③：NC=N5,

：.AD//BC,

(4)VZA+ZADC=180°

J.AB//CD,

故选：B.

5.(3分)如图，在河边的N处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿48的

路径走才能走最少的路，其依据是()

牧童H

______________B__________

河边

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A.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

B.垂线段最短

C.两点之间，线段最短

D.两点确定一条直线

【分析】根据垂线段最短判断.

【解答】解：在河边的/处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿48的路

径走才能走最少的路，其依据是垂线段最短.

故选：B.

6.（3分）下列说法中：①在同一平面内，不相交的两条线段一定平行；②两点之间直线最短；③两条直

线被第三条直线所截，同位角相等；④相等的角是对顶角；⑤等角的补角相等；⑥在同一平面内，过一

点有且只有一条直线与已知直线平行；不正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】分别根据线段的性质，平行线的定义，平行线的性质，余角和补角，对顶角的性质分别判断即可.

【解答】解：①在同一平面内，不相交的两条直线一定平行，原说法错误；

②两点之间线段最短，原说法错误；

③两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误；

④相等的角不一定是对顶角，原说法错误；

⑤等角的补角相等，原说法正确；

⑥在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误；

所以不正确的有①②③④⑥，共5个，

故选：D.

7.（3分）如果计算（2-〃工+3工2+州工3）（-4*2）的结果不含一项，那么别的值为（）

1

A.0B.1C.-1D.--

4

【分析】先计算单项式乘以多项式，再结合十项的系数为零即可得出答案.

【解答】解：,**（2-nx+3x2+mx3）（-4x2）

=-8X2+4WX3-12x4-4mx5,

又•・,计算的结果不含一项，

-4加=0・

••ATI—0.

故选：A.

8.（3分）如图，则/2+/3-/I的度数等于（）

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A'

石______

A.90°B.120°C.150°D.180°

【分析】过点/作4/〃BE,利用平行线的性质可得NA4b=N3,从而可得NCZ/=N3-N1,然后利用

平行于同一条直线的两条直线平行可得4方〃8,从而可得NC4尸+/2=180。，进而可得N3-Nl+N2=

180°,即可解答.

J/BAF=/3,

9：ZCAF=ZBAF-Z1,

：.ZCAF=Z3-Zl,

,:CD〃BE,

：.AF//CD,

・・・NC4尸+N2=180°,

・・・N3-Nl+N2=180°,

即N2+N3-Zl=180°,

故选：D.

9.（3分）若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影

部分中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留

空），则每个长方形的面积为（）

图1图2

A.5B.10C.20D.30

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【分析】利用方程思想列等式，再利用完全平方公式整理式子，确定小长方形的面积.

【解答】解：设长方形的长为。，宽为6,

由图1可知，（。+，）2-4M=40,即。2+〃=2仍+40①，

由图2可知，（2a+6）（a+26）-5a/>=100,BPa2+b2=50（2）,

由①-②得lab+40-50=0,

••cib=5,

即长方形的面积为5,

故选：A.

10.（3分）如图，AB//CD,E为AB上一点,且£F_LCD垂足为RZCED=9Q°,CE平分NAEG,且/

1

CGE=a,则下列结论：@^AEC=90°--a；②DE平分NGEB；（3）ZCEF=ZGED；@ZFED+ZBEC

A.①②B.②③④C.①②③④D.①③④

【分析】根据平行线的性质，角平分线和垂直定义逐个分析计算即可.

【解答】W：\'ZCGE=a,AB//CD,

:./CGE=NGEB=a,

.•.N4EG=180°-a,

平分N/EG,

11

・•・NAEC=ZCEG=-ZAEG=90°--a,

故①正确；

■:NCED=90°,

AZAEC+ZDEB=90°,

11

:./DEB=^a=/GEB,

即DE平分NGE5,

故②正确；

•：EF上CD,AB//CD,

：.ZAEF=90°,

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：・NAEC+NCEF=90°,

1

NCEF=~a,

1

,:/GED=/GEB-/DEB=5%

:・NCEF=NGED,

故③正确；

1

VZFED=90°-ZBED=90°--a,

1

ZS£C=180°-ZAEC=90°+~a,

:.NFED+/BEC=180°,

故④正确；

综上所述，正确的有①②③④，

故选：C.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）若5x-3v-2=0,则25x+23y=4.

【分析】根据同底数幕的运算法则即可求出答案.

【解答】解：：5x-3y=2,

原式=25"3y

=22

=4,

故答案为：4.

12.（3分）一个角的余角的3倍比这个角的补角少12°,则这个角的度数为51°.

【分析】先设这个角为x°,再根据互为余角和补角的定义求出这个角的余角和补角，然后根据这个角的

余角的3倍比这个角的补角少12°,列出方程，求出这个角即可.

【解答】解：设这个角为x°,则这个角的余角为（90-x）°,这个角的补角为（180-x）°,由题意得:

3（90-x）+12=180-x,

270-3x+12=180-x,

282-3x—180-Xf

2x—102,

x=51,

・••这个角的度数为51°,

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故答案为：51°.

13.(3分)已知多项式，-2/+依-1为被除式，除式为笈-1,商式为/-1+2,余式为1,则这个多项式

为-—2/+3x-1.

【分析1由题意得：x3-2x2+ax-1=Cbx-1)(x2-x+2)+1,整理为x3-2x2+ax-1=bx^-(fe+1)x2+

(2fe+l)x-1,得出6=1,4=26+1,进而得出6=1,a=3,代入多项式，一2/+办一1,即可得出答案.

【解答】解：由题意得：--2x^+ax-1—(bx-1)(/-%+2)+1,

.*.x3-2x2+ax-1=bx3-(6+1)x2+(2b+l)x-1,

••6=1,〃=2b+l,

・・b=l,a=3,

.*.x3-Ix^+ax-1=--2/+3x-1,

故答案为：X3-2X2+3X-1.

323

14.(3分)已知a—力=b—c=c—a=—J+7+=i,则Q6+6C+CQ的值等于—.

【分析】利用完全平方公式求出—,(6-C),(Q-C)的平方和，然后代入数据计算即可求解.

3

【解答】解:Va-b=b-c=c-a=—,

2999

.•.(a—b)=—>(fe-c)2=—,(c-a)2=元，

999

二•J—2ab+『=充，匕2-2儿+/=，。212ac+J=充，

乙j乙j乙j

999

2a2+2/+22-2ab-2bc-2ac=—+—+

c乙J乙J乙J

27

2

・・2(Q2+后+c)—2(ab+be+ac)=

a2+b2+c2=1,

27

2—2(ah+be+ac)=—,

23

:.abbe+ca=—,

23

故答案为：—.

15.(3分)观察下列各式及其展开式

(Q+6)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3。2方+3ab2+b3

(Q+6)4=tz4+4tz3Z)+6tz2/72+4tz/j3+Z)4

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td+b)5=a5+5a4b+10a3fe2+l0a2b3+5ab4+b5

请你猜想（2x-1）8的展开式中含/项的系数是112.

【分析】按照题目所给规律依次写出6,7,8次方的等式，就可以发现系数之间的规律，结合所要求的的

式子。换成2x,6换成-1.即可得到答案.

【解答】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为6,7,8的等式，右边各项的系数分

别为：

1,6,15,20,15,6,1；

1,7,21,35,35,21,7,1；

1,8,28,56,70,56,28,8,1；

故含一项的系数为：22X（-1）6X28=112.

16.（3分）如图1,将一条对边互相平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学模型如图2,AB//CD,折痕

分别为40,CB,若NDAB=2NGCB,DF//CG,则//£＞尸=60°.

DC

【分析】根据折叠的性质得出NGC8=/4,N7=NADF,根据已知条件得出/3=N2=a,进而得出/

FDC=ZFDA=Zl^a.

【解答】解：如图所示，

EF

图2

根据折叠可得/GC2=N4,N1=NADF,

设N7=ZADF=a,

■：AB//CD,

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AZ1=Z4+ZGCB=2ZGCB,N3=N7=a,Z6=ZFDC,

N3=NADF=a.,

'：AE//DF,CG//BH,DF//CG,

J.CG//AE,Z2=Z5,

AZ1=Z2=2ZGC5,

NDAB=2NGCB,

Z3=Z2=a,

ZFDC=Z5=Z2=a,

即AFDC=NFDA=N7=ci,

又：/7+/40尸+/尸。。=180°,即3a=180°,

解得：a=60°,

AZADF=60°.

故答案为：60°.

三.解答题(共8小题，满分72分)

17.(8分)简便运算：

(1)(-0.125)2024X82025；

(2)20242-2023X2025.

【分析】(1)利用积的乘方法则将原式变形后计算即可；

(2)利用平方差公式变形后计算即可.

【解答】解：⑴原式=(-0.125X8)2024x8

=(-1)2024X8

=8；

(2)原式=20242-(2024-1)X(2024+1)

=20242-20242+1

=1.

1

18.(8分)先化简，再求值：[(2x—y)9-4(x-y)(光+y)]+(-/)，其中4x=5y.

【分析】应用完全平方公式和平方差公式，将中括号中的式子展开，合并同类项后，在根据多项式除单项

式进行化简，将4尤=5y代入，即可求值.

一,1

【解答】W：[(2x-y)-4(x-y)(x+y)]十(一/)

1

=(4%2—4xy+y2—4%2+4y2)+(一/)

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1

=（-4xy4-5y27）+（一/）

=8x-10y,

当4x=5y时，原式=2X4x-10y=2X5y-10y=0.

19.（8分）塞的运算逆向思维可以得到“+"=j•/；amn=am^an；amn=（严）"等，在解题过程中，根

据算式的结构特征，逆向运用事的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解.

（1）若3加X9"X27那=3%求根的值.

（2）比较大小：若。=255,6=344,C=533,则°,.，的大小关系是什么?

【分析】（1）利用幕的乘方及同底数幕的乘法的逆运算求解；

（2）将°、6、c化简为相同的指数进行比较大小.

【解答】解：（1）V3mX9mX27m=312,

：.ynX（32）mX（33）m=312,

...3加x3^mX33加=312

m+2m+3m=12,

:.6加=12,

解得：m=2；

（2）・.・a=255=（25）11=32”,

6=344=（34）11=811

C=533=（53）11=125”，

V32<81<125,

A3211<8111<12511,

:.aVbVc.

20.（8分）如图，已知4D_LBC,EFLBC,垂足分别为。、F,N2+N3=180°,试说明：NGDC=N

2.请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由.

解：-：AD±BC,EF±BC（已知）

AZADB=ZEFB=90°（垂直的定义）,

:.EF//AD（同位角相等两直线平行）,

：.Z1+Z2=180°（两直线平行同旁内角互补）.

又：/2+/3=180°（已知），

.\Z1=Z3（同角的补角相等）,

：.AB//DG（内错角相等两直线平行）,

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：.ZGDC=ZB（两直线平行同位角相等）.

【分析】根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识一一判断即可.

【解答】解：'：ADLBC,EFLBC（已知）

AZADB=ZEFB=90Q（垂直的定义），

：.EF//AD（同位角相等两直线平行），

...Nl+N2=180°（两直线平行同旁内角互补），

又：N2+/3=180°（已知），

AZ1=Z3（同角的补角相等），

：.AB//DG（内错角相等两直线平行），

：.ZGDC=ZB（两直线平行同位角相等）.

故答案为：垂直的定义，同位角相等两直线平行，Z1,两直线平行同旁内角互补，同角的补角相等，DG,

内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等.

21.（8分）如图，直线/8、CD相交于点。，OE平分/NOC,0匹平分/NOD

（1）OE、O尸有什么位置关系，请说明理由；

（2）若N/OC：NAOF=2：3,求N2OE的度数.

11

【分析】（1）由角平分线的定义得到乙4OE=3"OC^AOF=~^AOD,再由平角的定义可得

2，2

11

乙EOF=^AOE+^AOF=~^AOD4--^OC=90°,据止匕可得结论；

（2）先证明尸=3/ZOE,再由（1）得到3NZOE+N/OE=90°,据此求出//OE=22.5°,再利用

平角的定义求解即可.

【解答】解：（1）OELOF,理由如下：

：。£平分//。。，平分N4OZ）,

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11

/.Z.AOE=-/-AOC/-AOF=~^AOD,

2，2

VZAOC+ZAOD=1SO°,

11

"EOF=/.AOE4-/-AOF=-Z-AOD+~^0C=90°,

：.OE.LOF；

(2)由(1)得N4OE+NAOF=90°,

VZAOC：ZAOF=2：3,

：.2ZAOE：ZAOF=2：3,

AZAOE：ZAOF=1：3,即N/Ob=3N/OE,

：.3ZAOE+ZAOE=90°,

・・・N/OE=22.5°,

/.ZBOE=\SO°-ZAOE=22.5°=157.5°.

22.(10分)问题情景：如图1,AB//CD.

(1)观察猜想：若NAEP=50：NCFP=40°.则NC的度数为90°.

(2)探究问题：在图1中探究，NEPF、NCEP与之间有怎样的等量关系？并说明理由.

(3)拓展延伸：若将图1变为图2,题设的条件不变，此时NE尸尸、/尸尸。与N/E尸之间有怎样的等量关

系？并说明理由.

【分析】(1)过点尸作P。〃/5,则P。〃/5〃8,根据两直线平行，内错角相等得到NQ尸E=N4^=

50°,NQPF=/CFP=4。。,贝UNE尸尸=NQ尸E+NQPb=90°；

(2)同(1)求解即可；

(3)过点尸作尸。〃则尸。〃45〃。。，根据平行线的性质得到N0PE=N/EP,ZQPF+ZPFD=

180°,MffiZQPF=ZEPF+ZAEP,即可得到NEP/+N4£P+NP冗。=180°.

【解答】解：(1)如图所示，过点尸作

,:AB〃CD,PQ//AB,

：.PQ//AB//CD,

：.ZQPE=ZAEP=50°,ZQPF=ZCFP=40°,

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AZEPF=ZQPE+ZQPF=90°,

故答案为：90°；

图1

(2)/EPF=/AEP+/CFP,理由如下：

如图所示，过点尸作尸。〃力5,

,:AB〃CD,PQ//AB,

：.PQ//AB//CD,

：・/QPE=/AEP,ZQPF=ZCFP,

：.ZEPF=ZQPE+ZQPF=ZAEP+ZCFP；

图1

(3)解：ZEPF+ZAEP+ZPFD=180°,理由如下:

如图所示，过点尸作尸0〃4&

■:AB〃CD,PQ//AB,

J.PQ//AB//CD,

:・NQPE=/AEP,ZQPF+ZPFD=\S0°,

ZQPF=ZEPF+ZQPE,

：.ZQPF=/EPF+/AEP,

：.ZEPF+ZAEP+ZPFD=1SO°.

23.（10分）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等

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式.如图1,在边长为a的正方形中剪掉一个边长为6的小正方形(a>6).把余下的部分沿虚线剪开拼

成一个长方形(如图2).图1中阴影部分面积可表示为：a2-b2,图2中阴影部分面积可表示为(a+6)

(a-6),因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2-b2=(a+6)(a-6).

【拓展探究】图3是一个长为2a,宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按

图4的形状拼成一个正方形.

(1)用两种不同方法表示图4中阴影部分面积:

方法1：(a+6)2-4ab,方法2：(a-b)2；

(2)由(1)可得到一个关于(a+b)2、(a-b)2>a，的等量关系式是(a+6)?-4ab=(a-b)?

(3)若a-6=5,ab—2,则(a+b)2—33；

【知识迁移】(4)如图5,正方形和正方形EFGH边长分别为a,b(a>b),若a+，=6,ab=6,

£是42的中点，则图中的阴影部分面积的和是」

图5

【分析】(1)根据大正方形的面积减去4个小长方形的面积，阴影部分面积面积等于边长为(a-6)的小

正方形的面积；

(2)根据两种方法得到的面积相等列出等式；

(3)根据完全平方公式变形求值即可求解.

11

(4)根据阴影部分面积等于4S,-S+7S，进行化简，结合已知条件，

2正方开外BCD^AHE梯开券EBC4正方/FGH

根据完全平方公式变形求值即可求解.

【解答】解：(1)方法1：(。+6)2-4ab,方法2：(a-b)2,

故答案为：(a+b)2-4ab,(a-b)2；

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(2)(a+b)2-4ab=(a-b)2,、

故答案为：)(a+b)2-4ab=(a-b)2；

(3),:a-b=5,ab=2,

(a+6)2=(a-b)2+4a6=25+8=33,

故答案为：33.

11

(4)阴影部分面积等于5s-S..„-S+»

2正方开外BCD^AHE梯般｛EBC4正方树GH

111111

=^a?-Tx-axb--(a+b)x5a+/7

zz<zz乙q

ab2b2

=——+—a+—

244

1?

=I(f,

・a+6=6,ab'=6,

(a-b)2=(a+6)2-4〃6=62-4X6=12,

1

J阴影部分面积等于］X12=3.

故答案为：3.

24.(12分)如图(a)所示，将一把含30°角的直角三角板4BC的2c边放置于长方形直尺DEFG的£F

边上.

(1)填空：Zl=120°,Z2=90°.

(2)如图(b)所示，现把三角板绕点B逆时针旋转