2024年中考数学二轮复习：二次函数与几何图形综合型（含解析）

2024年中考数学二轮专题复习（全国通用版）

二次函数与几何图形综合型专题

题型解读

二次函数综合题是中考的必考题，一方面考查了一次函数、二次函数的图象与性质，几何图形的

性质与判定，图形变换等；另一方面考查了方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、数学建

模思想等.主要类型包括：线段问题，角度问题，面积问题，全等、相似三角形存在性问题，平行四

边形存在性问题，特殊三角形存在性问题等.

类型一线段问题

解法指导

1.确定线段长

两点之间的距离可以根据两点坐标表示线段长度，已知点A（xi，-），点8（血，/），则

垃+（%-,也可以构造直角三角形，利用勾股定理求出.在求这类问题时首先应该明白

与龙轴平行的直线上点的纵坐标都相同，且两点间的距离是横坐标相减的绝对值；与y轴平行的直线

上点的横坐标都相同，且两点间的距离是纵坐标相减的绝对值.

2.线段数量关系问题

根据前面所得的线段长，结合题干中线段间的数量关系，利用勾股定理或相似三角形对应边成比

例，列出方程求解即可.（注意排除不符合题意的数值）

3.求线段最大值问题

根据前面所得的线段长的关系式，构建二次函数模型，利用二次函数性质求最值，可得到线段长

的最大值（注意自变量的取值范围）；求两条线段和的最小值时，常用“将军饮马”模型.

典例精析

例1如图1,已知抛物线y=-x2+bx+c经过A（0,3）和两点，直线AB

与无轴相交于点C,P是直线AB上方抛物线上的一个动点，尸。,无轴交AB于点D

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若PE//X轴交AB于点E,求PD+PE的最大值.

c=3,

解析：⑴将A（0,3）,3（1,一2）代入y=-J+Zzx+c,得＜79解得

24+/。=一了‘一•

所以该抛物线的解析式为y=-7+公+3.

(2)设直线AB的解析式为y=fcc+w.

/C、-J，1J

将4(0,3),8工,一2代入〉=丘+”，得卜_9解得｛=一展

5"一了[“=3.

3

所以直线A3的解析式为y=-|x+3.

33

在》=--x+3中，令y=0,则-—x+3=0,解得％=2.所以C(2,0).

因为尸O_Lx轴，PE〃x轴，所以N0EP=NACO,ZDPE=ZAOC=90°.所以RtZ\OPEsRt/\AOC

所以p必n=土PF，即P2D=O丝A=三3.所以pE=*2p£>.所以pQ+pE=5?pD

OAOCPEOC233

设P(a,-fl2+2a+3),则。[a,-ga+3；

所以PD=(-(r+2a+3)

所以。+差.

因为-±5<0,所以当。=7'时，PO+PE有最大值，最大值为24坦5.

3448

跟踪训练

1.如图，在平面直角坐标系中，经过点A(4,0)的直线AB与y轴交于点8(0,4).经

过原点。的抛物线产-尤2+bx+c交直线于点A,C,抛物线的顶点为D.

(1)求抛物线y=-x2+6x+c的解析式；

(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN〃y轴且MN=2时，求点M的坐

标.

类型二角度问题

解法指导

如果要证明两角相等，可通过平行线、等边对等角、轴对称或相似三角形求解；如果要构造一个

45。的角，可通过等腰直角三角形、同弧所对圆周角等于90。圆心角的一半、平分直角等解决；在二倍

角的问题中，可利用等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍，构造二倍角，再利用正切三角函数计算.

典例精析斗

例2如图2,抛物线>=0?+%无+c(aWO)与x轴交于Z^\

A(-2,0),B(8,0)两点，与y轴交于点C(0,4),连接AC,BC.

(1)求抛物线的解析式；70B

(2)尸是抛物线上一动点，当时，求点P的坐标.图2

解析：(1)由A(-2,0),8(8,0),设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8).

将C(0,4)代入y=a(尤+2)(尤-8),得4=-16a,解得。=-；.

2

所以抛物线的解析式为y=」(x+2)(x-8)=-1X+-X+4.

-442

(2)①当点尸在BC上方时，如图3所示.

因为所以PC〃A8所以C,尸两点的纵坐标相等.所以点P的纵坐标为4.

将力=4代入>=-—x2+—x+4,得4=-—/+—x+4,解得不=0,&=6.

4242

所以点P的坐标为(6,4).

图3图4

②当点P在BC下方时，如图4所示.

设PC交x轴于点H.因为所以HC=HB.

设HC=HB=m,贝l|OH=OB-HB=8-m.

在RtZ\COH中，由勾股定理，得OC2+OH2=CH2,即4?+(8-加2=m2,解得m=5.

所以。8=3.所以H(3,0).

设直线PC的解析式为y=kx+n.

[〃=4,k=—

将C(0,4),H(3,0)代入y=fci+〃，得＜解得《3

3k+〃=0,.

i[n=4.

4

所以直线PC的解析式为y=-§x+4.

4,34

y=——x+4,x——，

x=0,3所以点尸的坐标为f—»——

联立《；解得＜或<

y=4100

y=——x2+—x+4,y=----

42-9

<34100

综上，点尸的坐标为（6,4）或鼻，—刀

跟踪训练

2.如图，抛物线y=-7+bx+c与x轴交于A,8两点，与y轴交于点C,直线8c的解析式为y=x-3.

（1）求抛物线的解析式;

（2）点。是抛物线上一点，若/ACQ=45°,求点0的坐标.

第2题图

类型三面积问题

解法指导

在平面直角坐标系内，如果三角形的一边与坐标轴平行或重合，就把这边作三角形的底边，直接

用面积公式计算；如果三角形的三边都不与坐标轴平行或重合，可用“铅垂高”法.如图，过△ABC的

三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫做^A8C的“水平宽”（a）,

中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫做的“铅垂高”。7）,则SAABc='a/i，即三角形

2

面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.求图形面积的最值时，常利用二次函数的性质解决.

典例精析

例3如图5,已知直线y=：x+4与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线》二苏+及十。经过A,

C两点，且与工轴的另一个交点为5,对称轴为％=-1.

(1)求抛物线的解析式;

(2)。是第二象限内抛物线上的动点，设点。的横坐标为徵，求

四边形ABCD面积S的最大值及此时点D的坐标.

图5

4一

解析：(1)在y=§x+4中，当y=0时，％=-3,当x=0时，y=4,所以A(-3,0),C(0,4).

因为抛物线的对称轴为x=-1,所以5(1,0).

设抛物线的解析式为y=“(x-1)(X+3).

4

将C(0,4)代入y=a(x-1)(x+3),得4=-3a,解得a=--.

所以抛物线的解析式为y=-±(x-1)(x+3)=--x2--x+4.

333

(2)如图5,过点。作OE〃y轴交AC于点E

因为点O的横坐标为机，所以£)(加,—gm?一[m+4],根+“.

48(4)4

所以DE=--m2-—m+4-—m+4=--m2-4m.

3313J3

所以S^ADC=—DE,OA=—x।——m2—4m|x3=-2m2-6m.

22I3)

ii(3Y25

因为S^ABC=-AB-OC=-x4x4=8,所以S=S„ADC+S^ABC=-2m2-6m+8=-2m+-+一.

22V2

因为-2<0,所以当根=-士时，S取得最大值，最大值为2.

22

当根=-3时，-匕扇-§〃什4=--§、[_2]+4=5.所以此时点£＞的坐标为(一3,5].

2333I2J3I2J(2)

跟踪训练

3.如图，抛物线y=a？+b尤+c与x轴交于点4(-4,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,2).

(1)求这条抛物线所对应的函数解析式;

(2)点尸为抛物线上一点，连接CP,若直线CP把四边形C8B4的面积分为1：5的两部分，求点P

的坐标.

类型四相似三角形存在性问题

解法指导

探究两个三角形相似的存在性问题，往往没有明确指出两个三角形的对应角(尤其是以文字形式

出现让证明两个三角形相似)，或者涉及动点位置的不确定，此时应考虑不同的位置关系，分情况讨

论.

典例精析

例4

如图6,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(-1,0),8两点，交y轴于点C(0,3),顶点。的横

坐标为1.

(1)求抛物线的解析式;

(2)过点C作直线/与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E,连接A。，AE,DE,在直线/下

方的抛物线上是否存在一点过点〃作ME，/,垂足为凡使以M,F,E三点为顶点的三角

形与△AOE相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

图6

解析：(1)因为顶点。的横坐标为1,所以抛物线的对称轴为尤=1.

因为A(-1,0),所以8(3,0).

设抛物线的解析式为y=a(尤+1)(x-3).

将C(0,3)代入y=a(尤+1)(x-3),得3=-3a,解得a=-l.

所以抛物线的解析式为产-(x+1)(x-3)=-x12+2x+3.

(2)因为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,所以。(1,4).

由抛物线的对称性可知E(2,3).

因为A(-1,0),所以+42=2迅,DE=^/(2-1)2+(4-3)2=,AE=J(2+1J+3?

=3后.

因为(2石)2=(0)2+(30)I即小，所以△AOE是直角三角形，且NAE

止90。，匹

AE3

设M"-产+2什3)(Y0或1>2),贝！JEb二小2|,MF=3-(-尸+2什3)=t2-2t.

FF1MF1

因为NMbE=NAEO=90°,所以当△MEb与△A0后相似时，有——=—和——=一两种情况：

MF3EF3

①当空=!时，上二4=工，整理，得(t-2)2(t2-9)=0,解得t=2(舍去)或t=3或t=-3；

MF3t2-2t3

②当

竺时，1二#='，整理，得(t-2)2(9t2-l)=0,解得t=2(舍去)或t=!(舍去)或t

EF3|r-2|33

-..1.

3，

所以点"的坐标为(3,0)或(-3,-12)或卜

综上，存在点使以M,F,E三点为顶点的三角形与△&£>£相似，此时点"的坐标为(3,

0)或(-3,-12)或

跟踪训练

4.如图，已知抛物线y=-2f+b元+c与无轴交于点A,B(2,0)(A在B的左侧),与y轴交于点C,

对称轴是苫=,，尸是第一象限内抛物线上的任一点.

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点P作x轴的垂线与线段BC交于点垂足为若以P,M,C为顶点的三角形与△BMW

相似，求点尸的坐标.

类型五平行四边形存在性问题

解法指导

已知平行四边形的三个顶点，利用平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分的性质可以确定

第四个顶点；已知平行四边形的两个顶点，通过平移或者过中点作直线可以确定另外两个顶点.矩形

的存在性问题可转化为直角三角形的存在性问题来解决.菱形的存在性问题可转化为等腰三角形的存

在性问题来解决.正方形的存在性问题可转化为等腰直角三角形的存在性问题来解决.

典例精析

例5如图7,在平面直角坐标系尤中，己知抛物线y=a/+x+c经过A(-2,0),B(0,4)两

点，直线x=3与无轴交于点C.

(1)求a,c的值；

(2)P是抛物线上位于第一象限内的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F,G,

使8,F,G,P为顶点的四边形是以8尸为一边的矩形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说

明理由.

图7

解析：(1)把A(-2,0),B(0,4)代入y=/+x+c,得，一之+°-°，解得产--展

c=4，

i[c=44.

所以。的值为-工，C的值为4.

2

(2)由(1)知抛物线的解析式为y=-」/+x+4.

2

设P['-g/+r+4).

当B,F,G,尸为顶点的四边形是以8尸为一边的矩形时，有点尸在点G上方和点尸在点G下方两

种情况：

①当点P在点G上方时，如图8所示，过点P作尸HJ_y轴于点H,则/尸“8=/八76=/80/=90°.

因为四边形3PG尸是矩形，所以8P=GRNPBF=/BFG=90°.

KZCFG+ZBFO=ZBFO+ZOBF=ZOBF+ZPBH=ZPBH+ZHPB=900,所以/CFG=/OBE

ZHPB,/PBH=NBFO.所以APf/B2AFCG.所以CF=PH=3OF=3-t.

因为NPBH=NBFO,所以tan/PB#=tanN8F0.

匚匚zPHOBt4

所以一=—，R即n一；--------------，解得九=0(舍去)，t2=l.

BHOF二/+/+4-43—t

2

②当点尸在点G下方时，如图9所示，过点G作GN，y轴于点N,过点P作尸轴于点

同①可得MF=GN=3,OF=t-3,ZMPF=ZOFB,所以tan尸尸=tanNO尸A

MFOB34〜曰1+720Tl-^/20T...

所以——二——，即Rn「--------二——，解得ti=」——，t2=---(z舍去).

MPOF，由+4—44

2

所以OF=yT1.所以《吗Tl,o].

综上，存在点FG,使8,F,G,P为顶点的四边形是以8F为一边的矩形，点尸的坐标为(2,0)

跟踪训练

5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线>="2+6尤+2经过A(-；，0j,两点，与y轴交于

点C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点尸在抛物线上，过点尸作尸。，犬轴，交直线BC于点D若以P,D,O,C为顶点的四边

形是平行四边形，求点尸的横坐标.

类型六特殊三角形存在性问题

解法指导

探究等腰三角形存在性问题，常用“两圆一线”法，即分别以定长线段的两端点为圆心，以定长

为半径画两个圆，再作定长线段的垂直平分线，则圆上各点及垂直平分线上各点都是符合题意的等腰

三角形的第三个顶点(三个顶点在同一直线上的点除外)，如图①所示；探究直角三角形存在性问题,

常用“一圆两线”法，即以定长线段为直径画圆，再分别过定长线段的两端点作这条线段的垂线，则

圆上各点及垂线上各点都是符合题意的直角三角形的第三个顶点(三个顶点在同一直线上的点除外)，

如图②所示.

典例精析

例6如图10,抛物线y=o?+2x+c的对称轴是x=l,与x轴交于点A,B(3,0),与y轴交于点C,

连接AC.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)己知。是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作。无轴，垂足为M,OW交直线2C

于点N,是否存在这样的点N,使得以A,C,N为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点N

的坐标；若不存在，请说明理由.

解析：(1)因为抛物线y=a/+2x+c的对称轴是x=LB(3,0),所以A(7,0).

,.八、O(a—2+c=0,-jrfa=—1,

将A(-1,0),B(3,0)代入y=a?+2无+c,得《解得《

[9a+6+c=0,[c=3.

所以抛物线的解析式为y=-/+2x+3.

(2)由(1)可知C(0,3),故设直线3c的解析式为y=fcv+3.

将8(3,0)代入y=fcc+3,得女+3=0,解得左=7.

所以直线BC的解析式为y=-尤+3.

设。G,-P+27+3),则N(f,-f+3),其中0<t<3.

因为A(-1,0),C(0,3),所以AC2=12+32=10,AV=(f+1)2+(-Z+3)2=2於-4汁10,

C砰=F+(3+-3)2=2/.

当以A,C,N为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况：

①当AC=AN时，4。2=4解，即10=2--4什10,解得〃=2,a=0(舍去).

所以点N的坐标为(2,1)；

②当AC=CN时，AC2^CN2,即10=2巴解得君，t2=-下(舍去).

所以点N的坐标为(君，3-逐)；

③当AN=CN时，4储=。M，即2户-4什10=2匕解得f=之.

2

所以点N的坐标为段）

综上，存在这样的点N,使得以A,C,N为顶点的三角形是等腰三角形，点N的坐标为（2,1）或

（小，3-百）

跟踪训练

6.如图，抛物线y=-—无2+法+。经过点8（4,0）和点C（0,2）,与x轴的另一个交点为A,连接

2

AC,BC.

（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；

（2）如图，若。是线段AC的中点，连接8。，在y轴上是否存在点E,使得△BOE是以8。为斜边

的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

AO

第6题图

参考答案

—16+4Z?+c=0,解得ri'

1.解:(1)将A(4,0),0(0,0)代入厂--+人工+和得

c=0,[c=Q

所以抛物线的解析式为产-炉+4%.

（2）设直线A5的解析式为y=Zx+zn.

{4k+tn—0,（左二—],

将A（4,0）,B（0,4）代入厂乙+徵，得1解得《

[m=4,[m=4.

所以直线A8的解析式为y=-x+4.

设M（3-/+4）,则N（3-尸+4。，其中0&S4.

当点M在点N上方时，MN=-t+4-（-产+4f）=?2-5/+4=2,整理，得

产-5什2=0,解得仁三晅，仁把晅（舍去）.所以点用的坐标为

22

当点M在点N下方时，MN="2+4t-（“+4）=-r+5t-4=2,整理，得R-5什6=0,解得。=2,七=3.

所以点M的坐标为（2,2）或（3,1）,

综上，点M的坐标为（三姮，土叵]或（2,2）或（3,1）.

122J

2.解：（1）在y=x-3中，当y=0时，X=3,当x=0时，y=-3,所以3（3,0）,C（0,-3）.

一9+3b+c=0,fb=4,

将8(3,0),C(0,-3)代入丁=-/+法+小得。解得

c=-3,c=-3

所以抛物线的解析式为尸-?+4x-3.

(2)因为03=0C,所以NOC3=NOBC=45°.因为NACQ=45°，所以N3CQ=N0CA.

如图，过点C作/BCQ=/OCA交抛物线于点。，过点8作BE,8c交CQ于点E,过E点作£尸，无

轴于点F.

因为。4=1,0c=3,所以tan/0CA=，J^以tan/8CE=^=L

3BC3

因为BC=JOB：+oc?=3&,所以8后=应.

因为NOBC=45°,所以/班户=45°.所以尸=1.所以£(4,-1).

设直线CE的解析式为y=kx+a.

将E(4,-1),C(0,-3)代入y=fcv+a,得尸""-一!解得＜%=5

\a=-3,,

i[a=~：

所以直线CE的解析式为y=1x-3.

y=-x+4x-3,iy=.

3.解：(1)因为抛物线y=a/+6x+c与x轴交于点A(-4,0),B(2,0),所以设抛物线的解析

式为

y=a(x+4)(x-2).将C(0,2)代入y=a(x+4)(尤-2),得2=-8“，解得a=-1.

所以这条抛物线所对应的函数解析式为y=-工(尤+4)(x-2)=--%2--x+2.

442

(2)如图，设直线CP交x轴于点E

因为直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5的两部分，S&PCB：SNCA=gBE•(yc-yp):

X(yc-yp)=BE：AE,所以BE：AE=1：5或5：1.

因为A8=6,所以AE=5或AE=1,即点E的坐标为(1,0)或(-3,0).

因为直线CP过点C(0,2),所以设直线CP的解析式为y=fct+2.

7

将(1,0),(-3,0)分别代入〉=依+2,解得七-2或七］

7

所以直线C尸的解析式为y=-2x+2或尤+2.

14

y=—2,x+2,y=-x+2,X=—

-3x—6,3

联立11。或«।解得(舍去)或或＜

y=—x2----x+2,12y=-1010

42yx—x+2,y=—

=-429

-10)或H10

~9

4.解：(1)因为抛物线经过点3(2,0),对称轴是苫=工，所以A(-1,0).

2

所以抛物线的解析式为>=-2(x+1)(x-2)=-2X2+2X+4.

(2)设尸(f,-2r+2r+4),贝！IOH=t.所以BH=2-t.

由(1)知8(2,0),C(0,4),所以02=2,OC=4.

因为NCMP=NBMH,ZBHM=90°,所以当以P,M,C为顶点的三角形与△BMH相似时，有/

CPM=90°和/PCM=90°两种情况：

①当/CPM=90°时，如图①所示，则/8HM=/CPM=90°.

所以C尸〃x轴.所以点C与点尸关于抛物线的对称轴对称.

因为C(0,4),抛物线的对称轴为x=4，所以尸(1,4)；

2

第4题图

②当/PCM=90°时，如图②所示，过点P作尸轴于点E,则/尸£^=/8。^=/尸皿=90°.

所以ZPCE+ZCPE=NPCE+NBCO=9Q。.所以/CPE=ZBCO.所以△PECs△。。区

r-r-KIPECEt—2厂+2/+4—4A^jzg„/小+、3r>(335A

所以一=—,即Bn一=-------------,解得ri=0(舍去)，叁=一.所以用一,一

COBO424(48J

综上，点尸的坐标为(1,4)或

—a——b+2=0,a——1,