2024年中考数学三角形和四边形常考易错解答题专项训练（含解析）

2024年中考数学三角形和四边形常考易错解答题专项训练

1.如图，在,A5c中，ZBAC=90°,AB=AC,过点8作班'LAP于点孔过点C作CELAF于

点、E,以AE为边作△AED,使NADE=90。，AD=ED,连接DC,DF.

⑴求证：ABF^CAE-,

(2)求证：DC=DF.

2.如图，四边形A3CD是。的内接四边形，且AC13。，垂足为E,AB=DB,歹为DC延长线上

⑴求证：BC平分/ACF；

(2)若3E=3,DE=2,求AE和。的半径长.

3.正方形ABCD的边长为5,E、尸分别是AB,BC边上的点，且ZEDF=45。，将..ZME绕点。逆时针

旋转90。，得到△DCM.

(1)求证：ADEF^ADMF；

⑵若AE=2,求EF的长.

4.如图，ABC是边长为8的等边三角形,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上运动，满足AD=BE=CF.

⑴求证：ADF^.BED

⑵设AD长为x,的面积为y,求y关于x的函数解析式;

⑶结合（2）所得函数，求当。点运动到什么位置时，的面积最小？并求出这个最小值.

5.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

例题：如图①，已知四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，点、B,C,G在同一直线上，连接AF,

DH,

点"是AF的中点，连接。“，HE,求证:■Q且方餐=1.

HE

点拨1：如图②，延长E"交AD于点由题意可知短＞EF,易证：AMHqFEH（AAS）,可

得MH=HE,AM=EF,又因为=A",DE=CD-CE,且CE=EF,所以DM=DE,

所以点”是等腰直角三角形MDE斜边ME上的中点，所以DHLHE且瞿=1.

点拨2：如图③，延长DH使得HM=DH,连接DF,MF,可证得四边形AMFD是平行四

边形，且RE、M三点共线，所以AD=MF=CZ）,又因为Affi=MF—£F,DE=CD-CE,所以

ME=DE,所以点H是等腰直角三角形DE做斜边DM的中点，所以■且也=1.

HE

问题：如图④，四边形ABCD与四边形CEFG都是菱形，点8,C,G在同一直线上，且

ZADC=ZECG=60°,连接AF,点H是AF的中点，连接。f,HE,求证：DH1,HE且空=6.

6.如图，直线EF〃GH,点、B,A分别在直线E/，GH上,连接A3,在A3左侧作三角形ABC,

其中/ACB=90。，B.ZDAB=ZBAC,直线3D平分NFBC交直线G”于D

(1)若点C恰在直线所上，如图1,求ND助的度数.

(2)将A点向左移动，其它条件不变，如图2,请直接写出/O54的度数(不必说明理由)

⑶若将题目条件“/ACB=90。”，改为：“NACB=m”,点C在直线所上方，其它条件不变，求NDR4

的度数(用含机的式子表示)

7.如图，在葫芦河的右岸边有一高楼45,左岸边有一坡度i=l：2的山坡C尸，点C与点B在同一水

平面上，CP与A3在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼A3的高度，在坡底C处测得楼顶A

的仰角为45。，然后沿坡面CF上行了206米到达点。处，此时在。处测得楼顶A的仰角为30。.

⑴求DE的值.

(2)求楼A3的高度.

8.如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成.图2是其侧面结构示意图，面板A3固

定在支撑轴端点C处，CDLAB,量得面板长AB=20cm,支撑轴长CD=15cm,AC=17cm,支撑

轴CD与底座DE所成的角NCDE=30°.

（图1）（图2）

(1)求端点C到底座DE的高度；

(2)为了阅读舒适，将绕点。旋转后，点B恰好落在直线DE上，问：端点C离底座DE的高度降

低了多少加？(结果保留2位小数)

(参考数据：6。1.732,sin11.3°-0.196,cosl1.3°«0.981,tan11.3°®0.200)

PB1「

9.在一ABC中，AC=BC,NACB=90o,P是AB上一点，=是边AC上一点，连结PE,过P点

AB3

作交CB于点、F.

(1)如图1,若尸ELAC,求百；

PE

⑵如图2,若点E在边AC上移动，试探究喋是否为定值，并说明理由；

PE

(3)如图3,若点E与点C重合，作/垂足为Q,求证：PQ=：AB.

4

10.如图，四边形ABC。内接于o,AB=AD,AC为直径，E为AD一动点，连结BE交AC于点G,

交AZ)于点尸，连结DE.

A

⑴设—E为a,请用a表示NA4c的度数.

(2)当时，

①求证：DE=BG.

②当tanZABE=：,3G=5时，求半径的长.

4

11.如图，M是正方形ABCD的边BC上一点，E是8边的中点，AE平分NZMM.

MM

图I图2

⑴如图1,写出线段AM,AD和MC之间的数量关系；

(2)若四边形ABC。是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2,试判断(1)中的关系式是否成

立.若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

12.如图1,在矩形ABCD中，对角线AC,8。交于点。，点E在边AD上，NDBE=NDBC.

⑴求证：BED^,BOC.

(2)如图2,点尸在线段3。上，NBFE=NBCF,BD=2,求所的长.

13.如图，在矩形ABCD中，40=4,AB=6,对角线AC,BD交于点、0,点E,P分别是CD,DA

延长线上的点，且DE=3,AF=2,连接所，点G为所的中点.连接0E,交AD于点H,连接G”.

⑴猜想：H是OE的中点吗？并加以证明;

⑵求GH的长.

14.如图，△力BC中，点。是边AC上一个动点，过0作直线MNBC,设MN交NACB的

平分线于点E,交NACB的外角平分线于点F.

(1)求证：OE=OF；

⑵当点。在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.

⑶若AC边上存在点0,使四边形AECF是正方形，猜想ABC的形状并证明你的结论.

15.如图1,尸为正方形ABCD内一点，PA.PB:PC=1:2:3,求/APB的度数.

小明同学的想法是：不妨设丛=x,P3=2x,PC=3x,设法把上4,PB,PC相对集中，于是他将BCP

绕点8顺时针旋转90。得到BAE(如图2),然后连接PE,问题得以解决.

⑴求出图2中NAPB的度数；

请你参考小明同学的方法，解答下列问题：

(2)如图3,P是等边三角形A3C内一点，PA:PB:PC=3:4:5,求NAP3的度数.

16.如图1,在矩形ABCD中，点尸是对角线AC上的动点，连接。尸，过点A作AELDP,分别交OC

于点E,交DP于点、F.

图I

(1)当AP=A£>时，求证：AAPFsADEF;

⑵如图2,G是AD的中点，连接CG交DP于点M,AP=4PC.

①判断GM与MC的数量关系，并说明理由;

②若AD=8,求DEDC的值.

参考答案:

1.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、余角的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握证

明三角形全等的方法是解题的关键.

(1)由垂直的性质可得NAFB=NCE4=90。，再根据同角的余角相等可得NR4F=NACE,然后根

据AAS即可证明结论；

(2)由全等三角形的性质可得AP=C£,再根据等腰三角形的性质以及角的和差可得

ZDEC=ZDAE=45°,然后根据SAS证明-CDE%FD4(SAS),最后根据全等三角形的性质即可解

答.

【详解】(1)解：・・・5AE,CELAF,

：.ZAFB=ZCEA=9Q°,

：.ZC4E+ZACE=90°,

9：ZBAC=90%

：.ZC4E+ZBAF=90°,

AZBAF=ZACE,

在AAB尸和VC"中，

ZBAF=ZACE

<ZAFB=ZCEA,

AB=AC

：.ABF^CAE(AAS).

(2)解：ABF^CAE,

・•・AF=CE,

VZAT>E=90°,DA=DE,

：.ZDAE=ZDEA=45°,

：.ZDEC=ZCEA-ZDEA=45°,

：.ZDEC=ZDAE=45°,

在4.CDE和△mi中，

AF=CE

</DEC=NDAE,

DE=DA

/.FDA(SAS),

/.DC=DF.

2.⑴见详解

575

(2)r=-----

4

【分析】本题考查的是圆周角定理，垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形

是解题的关键.

(1)先根据45=/汨得出/4DB=NS4D,再由圆周角定理得出/AD3=NACB,由圆内接四边形的

性质可得出ZBCF=NBAD,故ZACB=4CF,据此得出结论；

(2)根据3E=3,DE=2可得出3D的长，故可得出A3的长，在RtA4BE■中，利用勾股定理求出AE

的长，同理可得出AO的长，连接3。并延长交于点M,交线段AD于点N,连接0。，由垂径定

理得出故点N是AD的中点，利用勾股定理求出BN的长，设。的半径为广，在RtQDN

中利用勾股定理求出厂的值即可.

【详解】(1)证明：,；AB=JDS,

/.ZADB=ZBAD,

,/NADB与ZACB是同弧所对的圆周角，

ZADB=ZACB,

:四边形ABC。是圆内接四边形，

ZBCF=ZBAD,

ZACB=ZBCF,

/.8C平分ZACF；

(2)解：,:BE=3,DE=2,

：.BD=3+2=5,

,/AB=DB,

：.AB=5,

在RtAABE中，AE=-JAB2-BE2=4

在RtZvWE中，AD^yjAE2+DE2=275,

连接3。并延长交(。于点M,交线段AD于点M连接0。,

D

,/BM是工。的直径，

8M平分圆，

•/AB=DB,

初=法，

AM=DB，

，点N是AD的中点，

/.BM1AD,DN=-AD=y/5,

2

在RtABDN中，BN=,5—DN?=26，

设：。的半径为，，则。。=r,ON=OB-r=2下-r

在RtODN中，DN2+ON2=OD2,

即(6)+(2有-厂)=r2

解得r=

4

3.(1)证明见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，

(1)根据旋转点的性质可得NADE=NCDM,OE=。"，ZEDM=90°,再利用边角边证明三角形全

等即可；

(2)设斯=无，根据正方形的性质，全等三角形的性质和旋转的性质表示出RtAEB尸各个边长，再

理由勾股定理求解即可；

熟练掌握知识点是解题的关键.

【详解】(1).•1.ZME绕点。逆时针旋转90。，得到ADCM,

ZADE=ZCDM,DE=DM,ZEDM=90°,

ZED尸=45。，

:.NFDM=/EDF=45。,

在^DEF和_DMF中，

DE=DM

</EDF=NMDF,

DF=DF

：.DEF"DMF(SAS)；

(2)•・•一/ME绕点。逆时针旋转90。，得到△DC",AE=2,

：.AE=CM=2,

•I正方形ABCD的边长为5,

・・.BE=5—2=3,BM=2+5=7,

设=

■:ADEF^ADMF,

：.EF=MF=x,

：.BF=BM-MF=BM-EF=l-x,

在RtAEB/中，由勾股定理得，EB2+BF2=EF2，

即32+(7-X)2=X2,

解得x=m，

29

gp£F=—.

7

4.(1)见解析

(2)丫=还/一6后+164

4

(3)当点。移到AB中点时，最小值为12不

【分析】(1)由题意易得AF=£D,ZA=ZB=60°,然后根据“SAS”可进行求证；

(2)分别过点C、F作SLAB,FGJ.AB,垂足分别为点H、G,根据题意可得S5c=16®,

AF=8-x,然后可得BG=#(8-X),由(1)易得ADF沿BED^CFE,则有

反

SADF=SBED=SCF£=^-x(8-x),进而问题可求解；

(3)由(2)和二次函数的性质可进行求解.

【详解】(1)证明：:aABC是边长为8的等边三角形，

AZA=ZB=ZC=60°,AB=BC=AC=8,

,:AD=BE=CF,

：.AF=BD=CE,

在△A。尸和-BED中，

AF=BD

<ZA=ZB,

AD=BE

：.ADF^BED(SAS)；

(2)解：分别过点C、/作CHLAB,FG±AB,垂足分别为点〃、G,如图所示:

在等边.ABC中，ZA=ZB=ZACB=60°,AB=BC=AC=8,

・•・CH=AC-sin60°=473,

:・sARC=LABCH=16B

ADC2'

设的长为无，贝IAD=3E=CF=x,AF=8-x,

，FG=AF-sin60°=^-（8-x）,

SADF=^AD-FG=^-x（S-x）,

同理（1）可知一ADP四一班7注_（?正，

,,SADF=SBED=SCFE=一无）'

1/二郎的面积为》

>,•y=SABC-3SADF=16代-3fx（8-x）=3fx2-6\/3x+16s/3；

（3）解：由（2）可矢口：>=乎/一6瓜+164=,豆（x-4y+12道,

:.a=巫〉Q,对称轴为直线x=4,

4

.•.当x=4时，y有最小值，即当点。移到A3中点时，最小值为12g.

【点睛】本题主要考查锐角三角函数、二次函数的综合、全等三角形的判定和性质及等边三角形的性

质，熟练掌握锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键.

5.证明见解析

【分析】延长交于点首先证明出一4W四_FE"（AAS）,得到MH=HE,AM=EF,然

后利用线段的和差得到。0=DE,然后证明出以汨是等边三角形，得到然后利用等边

三角形的性质和勾股定理求解即可.

【详解】如图所示，延长E"交于点M,

:四边形ABCD与四边形CEFG都是菱形，

/.ADEF

:.ZAMH=NFEH,ZMAH=ZEFH

又：点”是AF的中点，即AH=FH

/.AMH^,FEH（AAS）

：.MH=HE,AM=EF

VDMAD-AM,DE=CD-CE,且CE=EF,

DM=DE

,：ZADC=60。

MDE是等边三角形

"：MH=HE

：.DHLHE

：.ZHDE=90°-60°=30°

DE=2HE

•/DH2+HE2=DE2,即DH2+HE-=（2£ffi）2

:•解得DH=GHE

:.也=6.

HE

【点睛】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理知

识，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

6.(1)ZDBA=45°

(2)NZ)A4=45。

(3)ZDBA=—

【分析】(1)本题考查了平行线性质，以及角平分线性质，根据两直线平行，同旁内角互补求出

NC4D=90。，推出/CBA=45。，再根据直线8。平分NFBC,得到"87)=90。，利用

Z.DBA=Z.CBD-Z.CBA,即可求解.

(2)本题考查了平行线性质，以及角平分线性质和三角形的内角和定理，根据两直线平行，内错角

相等可得，2=/3,再根据三角形的内角和定理表示出N4、/5、再利用平角等于180。列式表示出

/D54整理即可得解.

(3)根据(2)的结论，即可解题.

【详解】(1)解：EF//GH,

：.ZACB+ZCAD=180°,ZDAB=Z.CBA,

NACB=90。，

.•.NGW=90°,

NDAB=NBAC,

ZCBA=ZDAB=-ZCAD=45°,

2

；直线3。平分NFBC,

:.ZCBD=90°,

ZDBA=Z.CBD-ZCBA=90。-45。=45°.

(2)解：如图，^ZDAB=ZBAC=x,即/1=N2=尤，

EF//GH,

.-.Z2=Z3,

在,ABC中，Z4=180°-ZACB-Z1-Z3=180°-ZACB-2x,

直线8。平分NFBC,

Z5=1(180°-Z4)=1(180°-180°+ZACB+2x)=1ZACB+x,

ZDBA=180°-Z2-Z3-Z5

=180°-X-(180°-ZACB-2X)-QZACB+.X

=180°T-180°+ZAC2+2X」/ACB-X

2

=-ZACB,

2

ZACB=90°,

..4)54=45。.

(3)解：由(2)可知，NACB=m时,

ZDBA=^m.

7.(l)DE=20m；

(2)楼AB的高度为(50+30』)米.

【分析】本题考查了解三角形的应用，勾股定理，矩形的判定与性质.

(1)由，=——=1：2,DE2+EC2=CD2,解得。石=20m；

EC

(2)过点。作。G,AB于G,过点C作CHLOG于"，则四边形O£BG、四边形OEC"、四边形

3CHG都是矩形，AB^BC,i^AB=BC=xm,则AG=(x-20)m,DG(x+40)m,在Rt_AT)G

中，—=tanZADG,代入即可得出结果.

DG

【详解】(1)解：在RtDEC中，

•/z=^|=1：2,DE2+EC2=CD2,CD=20后，

：.D£2+(2D£)2=(20^)2,

解得：DE=20m.

(2)解：如图，过点。作。于G,过点C作C"1.£>G于

•/DE=20m,

：.EC=40m,

VZACB=45°,AB1BC,

・•・AB=BC,

设AB=BC=xm,

则AG=(九一20)m,OG=(x+40)m,

在Rt一4DG中,

4G

——=tan/AZ)G

DG

解得：X=50+30A/L

经检验，x=50+30若是方程的解.

答：楼AB的高度为(50+30右)米.

8.(l)^-cm

(2)4.56cm

【分析】本题主要考查含30。的直角三角形的性质，勾股定理，三角函数值求高等，熟练掌握这些性

质是解题的关键.

(1)利用30。所对的直角边等于斜边的一半即可求得C到DE的高度；

(2)利用三角函数值求出旋转后点C离底座。E的高度，即可求出降低了多少.

【详解】(1)解：如图设点C到底座DE的高度为/?;

：NCDE=30°,CD=15cm；

•.•用,=—CD=—15cm；

22

•1.端点c到底座DE的高度为：^cm.

(2)如图为旋转后的图形;

A

C

EBD

AB=20cm,AC=17cm；

BC=AB—AC=3cm；

VCDLAB,CD=15cm；

在RjDCB中；

tanZCDB=—=0.2；

CD

Vtan11.3°®0.200；

ZCDB=11.3°；

旋转后端点C离底座OE的高度=CE>sin11.3。=15x0.196=2.94cm；

/.端点C离底座DE的高度降低了与-2.94=4.56cm.

2

9.⑴g

(2)三PF为定值，理由见解析

PE

(3)见解析

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角的判定和性质，平

行线分线段成比例：

(1)先证明四边形PECF是矩形，可得PE〃BC,CE=PF,再证得AE=PE,然后根据平行线分线

段成比例，即可求解；

(2)分别过E,尸作PG，AC,PH，CB,垂足分别为G,H,证明PEG^PFH,可得*=与，

PFPH

由(1)得：寥=＜，即可求解；

rCr2

PF11

(3)过点C作〃!9于点由(2)得：—证明PCMs^FPQ,可得=再

根据等腰直角三角形的性质，可得CM=342,即可求证.

【详解】(1)解：：PELAC,PFLPE,

：.APEC=ZEPF=ZACB=90°,

四边形尸£CF是矩形,

PE〃BC,CE=PF,

•：AC=BC,ZACB=90°,

・•・ZA=ZB=45°,

：.ZAPE=ZA=45°,

：.AE=PE,

PE//BC,

.AEAP

..PB_I

'~AB~3f

.PFCEBP

"^E~^E~AP~2；

PF

（2）解：隹为定值，理由如下：

PE

如图，分别过E,尸作尸G，AC,F"，C5,垂足分别为G,H,

：.ZPGE=ZPHF=ZGPH=90°,

PFLPE,

EPF=NGPH=90。,

：./EPG=NFPH,

：.PEGs.PFH,

.PEPG

••=,

PFPH

■/1、-曰PHI

由（）得：=

IrkjZ

.PFPH_I

**PE-PG-2；

（3）解：如图，过点。作居于点”,

・.・FQ±AB,

：./PMC=ZPQF=90°,

・•・ZCPM+ZPCM=90°,

VPFLPE,即NCP尸=90。，

ZCPM+ZFPQ=90°,

NPCM=ZFPQ,

••一PCMsjPQ,

,PQ=PF=1

9，~CM~7C~29

：.PQ=^CMf

'：AC=BC,ZACB=90°f

：.CM=-AB,

：.PQ=-AB.

oc

10.(1)ZBAC=-

⑵①见解析；②I君

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出NABC=NADC=90。，进而证明AABC当八40。，根

据全等三角形的性质以及同弧所对的圆周角相等得出々=/BAD=a,即可求解.

（2）①连接。G.证明△ABGZ^ADG,ADFG^ADFE,根据全等三角形的性质即可求解；

②过点。作垂足为根据£>£=33,同弧所对的圆周角相等得出N4BE=NFDE,则

tanZFDE=—,DE=5,进而求得EF=FG=3,FD=4,AF=6.由tanNGAF=——=KT

4AFAH6

得O〃=|,由勾股定理得AO=g«.

【详解】（1）AC为直径，

:.ZABC=ZADC=90°,

又，AB^AD,AC=AC,

ABCRADC(HL).

ABAC=ACAD=-NBAD,

2

/E=/BAD=cc,

Qf

，ZBAC=~.

2

(2)①连接0G.

AB=AD,ZBAG^ZDAG,AG=AG,

ABG旦ADG(SAS),

:.BG=DG,ZABG=ZADG.

ZABG=ZEDF,

:.ZADG=ZEDF,

又一EGIDF,DF=DF,

：.DFG-DFE(ASA),

:.DE=DG,GF=EF,

:.DE=BG.

②过点。作O”，AD,垂足为

A

C

3

tanZABE=-,BG=5,ZABE=ZFDE

4

3

/.tanZFDE=—,DE=5,

4

EF=FG=3,FD=4,

.•.BF=BG+GF=8.

3

.•.由tan/AB^=—,得A尸=6.

4

:.AD=AF+FD=\Q.

OHLAD,

，AH=-AD=5

2f

GFOH3

tanZGAF

~AF~~AH6

OH=-

2

由勾股定理得A0=JW+T/O'=*君.

2

【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以

上知识是解题的关键.

11.AD+MC

(2)结论AM=AD+MC仍然成立，证明见解析

【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形及矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三

角形的判定等知识，考查了基本模型的构造(平行加中点构造全等三角形)，综合性比较强，添加辅助

线，构造全等三角形是解决这道题的关键.

(1)从平行线和中点这两个条件出发，延长BC交于氤N,如图，证AADE必NCE,从而有

AD=CN,只需证明AM=NM即可.

(2)延长AE、BC交于点P,ilEMA=MP,再证AD=PC即可.

【详解】(1)解：延长A£、BC交于点、N,如图，

・・•四边形ABC。是正方形,

・•・AD//BC.

：.NDAE=NENC.

・.•AE1平分NZMM,

Z.DAE=ZMAE.

：.ZENC=ZMAE.

:.MA=MN.

・・・万是CO的中点，

DE=CE,

在VADE1和'中,

NDAE=ACNE

<ZAED=/NEC

DE=CE

.；ADE空NCE(AAS).

:.AD=NC.

：.MA=MN=NC+MC=AD+MC.

故AD+MC；

(2)结论AM=AD+MC仍然成立.

证明：延长AE、BC交于点P,如图

•・,四边形ABC。是矩形,

:.AD//BC.

:.NDAE=NEPC.

AE平分ND4M,

:.NDAE=ZMAE.

:.ZEPC=ZMAE.

在VAT归和一PCE中，

ZDAE=ZCPE

<ZAED=ZPEC

DE=CE

:^ADE^PCE(AAS).

:.AD=PC.

：.MA=MP=PC+MC=AD+MC.

12.(1)证明见解析

(2)BF=近

【分析】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，关键是会

利用相似三角形的性质求解.

(1)根据矩形性质和等腰三角形的性质，结合平行线的性质证得===

进而根据相似三角形的判定定理可得结论；

(2)证明EBbsFBC得至“BF?=BEBC,再由二3£/330C得到比＞.a)=鹿.3。，进而得到

BF-=BOBD,然后根据9=230=2求解即可.

【详解】(1)证明：在矩形ABC。中，

AD//BC,OB=OC,

:.ZEDB=ZDBC,Z.DBC=ZBCO,

又iZDBE=ZDBC,

Z.DBE=Z.OBC,Z.EDB=Z.BCO,

:.ABED^ABOC.

(2)ZBFE=ZBCF,Z.EBF=NFBC,

:.△EBFs/\FBC,

BEBF

BF2BEBC

BF-BC=,

ABED^ABOC,

BE_BD

B0~BC'

BOBD=BEBC,

:.BF2=BOBD,

在矩形ABCD中，BD=2BO=2,

BF=41■

13.(1)//是0E的中点，证明详见解析

【分析】(1)如图，取AD中点连接。“，根据矩形性质，可证得。〃是△相£»的中位线，再

由中位线性质，可得O河〃AB,OM^-AB,由平行线性质可得，NOMH=NEDH,ZMOH=ZDEH,

2

己知A3的值，可求出与。E长度相等，根据全等三角形判定(ASA),证得△OMHdEDH,可

得OH=EH,即可证得结论；

(2)如图，连接OF,由矩形性质可得NFMO=90。，由已知条件，求出府的值，即可利用勾股定

理求出。尸的值，由G是防中点，”是OE中点，根据中位线定义得G”是E0厂的中位线，根据中

位线性质，可得。尸，即可求出G”的值.

【详解】(1)解：H是OE的中点，

证明：如图，取AD中点连接。〃，

四边形ABC。是矩形，对角线AC,8。相交于点。,

是8。中点，ABCD,AB=DC,

M是AO中点，

:.OM是△ABO的中位线，

:.OM//AB//CD,OM=-AB

2f

:.ZOMH=ZEDHfZMOH=ZDEH,

AB=6,

OM=—AB=3,

2

DE=3,

:.DE=OM,

在△。%耳和_石丽中，

ZOMH=NEDH

<OM=ED,

ZMOH=ZDEH

.•.△OMH^AEDH(ASA),

:.OH=EH,

是。石的中点.

(2)解：如图，连接',

B

四边形ABC。是矩形，

.-.ZADC=90°.

OM//DC,

ZFMO=ZADC=90°,

AD=4,Af是AD中点，

:.AM=-AD=2,

2

AF=2,

:.FM^AF+AM^4,

•:在中，ZFMO^90°,OM=3,FM=4,

OF=>]OM2+FM2=5

G是E/中点，H是OE中点,

G”是一EC©的中位线，

:.GH=-OF=-.

22

【点睛】本题考查了矩形的性质，中位线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定

理解三角形，掌握相关性质，合理添加辅助线，证得丝及构造直角三角形求出OF的

值是解题关键.

14.(1)见解析；

⑵当点。在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形.见解析；

(3)ABC是直角三角形，理由见解析.

【分析】此题考查了正方形的判断和矩形的判定，需要知道平行线的特征和角平分线的性质是解题的

关键.

(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出—1=22,N3=/4,进而得出答案；

(2)根据49=CO,EO=R9可得四边形AECP平行四边形，再证明/ECF=90。利用矩形的判定

得出即可；

(3)利用正方形的性质得出AC，£7V,再利用平行线的性质得出，BC4=90。，即可得出答案;

【详解】(1),:MN交/ACB的平分线于点E,交/AC5的外角平分线于点F,

・・/2=/5,N4=/6,

•：MNBC,

・・Nl=/5,N3=N6,

・・Z1=N2,/3=/4,

：.EO=CO,FO=CO,

：.OE=OF；

(2)当点。在边AC上运动到AC中点时，四边形AFC厂是矩形.

证明：当。为AC的中点时，AO=CO,

9：EO=FO,

・・・四边形AEC尸是平行四边形，

・・,CE是NACB的平分线，C尸是/ACD的平分线,

/.ZECF=1(/ACB+ZACD)=90°,

平行四边形AECF是矩形.

(3)△ABC是直角三角形，

理由：：四边形AEC尸是正方形,

:.AC1EN,故N4OM=90。,

MNBC,

：.ZBCA=ZAOM,

：