2024年中考数学试题分类汇编：二次函数的综合题（解析版）

2024年中考数学真题专题分类精选汇

专题13二次函数的综合题

一、选择题

1.（2024四川泸州）已知二次函数丁=依2+（2。—3）x+a—1（尤是自变量）的图象经过第一、二、

四象限，则实数。的取值范围为（）

93

A.—B.0<。<—

82

93

C.0<a<—D.1Wa<—

82

【答案】A

【解析】本题考查了二次函数图象与性质.利用二次函数的性质，抛物线与无轴有2个交点，开口向

上，而且与y轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可.

【详解】••,二次函数丁=加+（2。—3）x+a—1图象经过第一、二、四象限，

设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为占，尤,，由题意可得

△二(2a-3『-4a(a-1)〉0

2〃—3八

再+%=------->0

a

"1、八

玉•12=----20

a

a〉。

9

解得

8

故选：A.

"+1

2.（2024四川自贡）一次函数y=%-2〃+4,二次函数y+（〃_］）%_3,反比例函数y=----

x

在同一直角坐标系中图象如图所示，则〃的取值范围是（）

C.-l<n<lD.1<n<2

【解析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列

不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键.

【详解】解：根据题意得：

-In+4>0

n+1>0

解得：—1<77<1,

的取值范围是

故选：C.

二、填空题

1.（2024甘肃威武）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2

是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离无（单位：m）近似满足函数关

系丁=-0.02炉+0.3兀+1.6的图象，点5（6,2.68）在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货

车截面看作长CD=4m,高。E=1.8m的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内（填“能”

或“不能”）.

图1图2

【答案】能

【解析】本题主要考查了二次函数的实际应用,根据题意求出当x=2时，y的值，若此时y的值大于

1.8,则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可.

【详解】解：；CD=4m,5(6,2.68),

,,.6-4=2,

y=-0.02—+0.3x+1.6中，当x=2时，y--0.02x22+0.3x2+1.6-2.12,

•••2,12>1,8,

；・可判定货车能完全停到车棚内,

故答案为：能.

7

2.（2024广西）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点尸处）的高度OP是一m,出手后实心球沿

4

一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m,高度是4m.若实心球落地点为则

【解析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为y=a(x—5『+4,把点［(),5),代入即

可求出解析式；当y=。时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离.

【详解】以点。为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线。尸方向为y轴正半轴，建立平面

直角坐标系，

..•出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m,高度是4nl.

设抛物线解析式为：y=a(x—51+4,

把点代入得：25a+4=:,

9

解得：a=-----，

100

o9

・・・抛物线解析式为：y=——(x-5)+4；

100v7

o9

当丁=0时，-----(%-5)+4=0,

100v)

535

解得，xx——(舍去)，x2=—，

33

_35

即此次实心球被推出的水平距离OM为—m.

3

35

故答案为：一

3

3.(2024四川德阳)如图，抛物线y=0?+以+。的顶点A的坐标为1-5九)，与不轴的一个交点

位于。和1之间，则以下结论：®abc>0；®5Z?+2c<0；③若抛物线经过点(—6,%),(5,%)，则

%>%；④若关于x的一元二次方程62+法+°=4无实数根，则〃<4.其中正确结论是

(请填写序号).

【解析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解

题的关键是掌握二次函数的图象与性质.①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物

3

线的对称轴求出。=—匕，根据图象可得当％=1时，y=a+b+c<0,即可判断；③利用抛物线的

2

对称轴，设(-6,%),(5,%)两点横坐标与对称轴的距离为4，d],求出距离，根据图象可得，距离

对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断.

【详解】解：①V抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为-1,«

b___l

2a3

7〉。

即必>0,

2a3

由图可知，抛物线开口方向向下，即〃<0,

.,./?<0,

当％=0时，y=c>0,

abc>0,故①正确，符合题意；

②•••直线X=-g是抛物线的对称轴,

•._•A__—1，

2a3

b1八

••———〉0,

2a3

3

a=—b7

2

由图象可得：当x=l时，y=a+b+c<G,

：.-b+c<Q,即55+2c<0,故②正确，符合题意;

2

③•..直线x=-§是抛物线的对称轴，

设(-6,%),(5,y2)两点横坐标与对称轴的距离为4,d2,

a.d2<d[,

根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大,

；•%<%，故③错误，不符合题意；

..•关于X的一元二次方程+法+c=4无实数根,

n<4-,故④正确，符合题意.

故答案为：①②④

三、解答题

1.(2024甘肃临夏)在平面直角坐标系中，抛物线y=-必+云+。与x轴交于4(-1,0),B(3,0)

(2)如图1,点P是线段上方的抛物线上一动点，过点尸作垂足为。，请问线段尸。

是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点尸的坐标；若不存在请说明理由.

(3)如图2,点M是直线上一动点，过点M作线段MV〃OC(点N在直线下方)，己知

MN=2,若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标的取值范围.

【答案】(1)y=-x2+2x+3

(2)存在，最大值是P\—I

8U4J

3-g3+Vn

⑶一--<x“<0或3<%M<---

【解析】【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论

的思想进行求解，是解题的关键.

(1)两点式直接求出函数解析式即可；

(2)过点P作PEJ_x轴，交BC于点D,设P(m,一机2+2m+3),根据三角函数得到

PQ=PD-cosZOBC,得到当PD最大时，P。的值最大，转化为二次函数求最值即可；

(3)设M&T+3),得至求出点N恰好在抛物线上且MN=2时的/值，即可得出结果.

【小问1详解】

解：；抛物线y=-犬+法+c与x轴交于4(—1,0),5(3,0)两点，

y——(x+l)(x—3),

•*.y——d+2x+3；

【小问2详解】

存在；

*.*y=—x2+2%+3,

，当％=0时，y=3,

C(0,3)，

••・5(3,0),

:.OC=3=OB,

・•・NOBC=45°,

设直线的解析式为：y=kx+3,把3(3,0)代入，得：k=-l,

y——x+3,

过点P作轴，交BC于点、D,设尸(机,—n?+2m+3),贝八D(m,-m+3),

y

AO\EB^~x

,T(3Y9

PD=-m2+2m+3+m-3=-m~+3m=-m+一,

I2)4

•:PQ±BC,

：.ZPQD=90°=ZPEB,

•；ZPDQ=ZBDE,

:.NDPQ=NOBC=45°,

PQ=PD-cos45。=彳PD,

，当P£＞最大时，P。最大，

..pn_r3丫,9

I2)4

399r-

当机=2时，p。的最大值为三，此时尸。最大，为

248

【小问3详解】

设+3),则：xN—t,

当点N恰好在抛物线上时，贝U：N(t,-t2+2t+3),

：.MN=-t+3+t2-2t-3=t"-3t，

当跖V=2时，贝U：/—3/=2，

.‘口3+7173-717

解得：t=——--或”——--，

22

..•线段与抛物线有交点，

...点M的横坐标的取值范围是3-,<X”<0或3<与<3+7.

2.（2024甘肃威武）如图1,抛物线y=a（x—〃）？+左交x轴于O,4（4,0）两点,顶点为网2,2百）.点

C为。3的中点.

（1）求抛物线y=a（x-/z）2+上的表达式；

（2）过点C作垂足为H,交抛物线于点E.求线段CE的长.

（3）点O为线段Q4上一动点（。点除外），在OC右侧作平行四边形OCED.

①如图2,当点尸落在抛物线上时，求点尸的坐标；

②如图3,连接班），BF，求应）+5尸的最小值.

【答案】（1）>=—咚必+23

⑵B

2

（3）①42+后,G）②2s

【解析】【分析】（1）根据顶点为§（2,26）.设抛物线y=q（x—2>+2若，把4（4,0）代入解

析式，计算求解即可；

（2）根据顶点为3（2,2塔.点、C为OB的中点,得到C0,6）,当x=1时，y=—#+=孚，

得到浮］结合CH，Q4,垂足为H,得到。b=孚—G=¥的长.

（3）①根据题意，得。（1,君），结合四边形OCED是平行四边形，设尸（私行），结合点尸落在抛

物线上，得到岔=—无机2+26加，解得即可；

2

②过点2作BN，y轴于点N,作点D关于直线BN的对称点G,过点G作G"_Ly轴于点H,连接

DG,CH,FG,利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可.

【小问1详解】

..•抛物线的顶点坐标为3（2,2若）.

设抛物线y=a（x-2）2+2A/3,

把A（4,0）代入解析式，得a（4—2）2+2后=0,

解得a=—且，

2

y=-^-（x-2）2+26=-^-x2+2A/3X-

【小问2详解】

•.•顶点为3（2,26）.点C为03的中点，

'：CHLOA,

：.CH〃,轴，

的横坐标为1,

设,

当％=1时，=-—+273

m22

CE=^-73=—.

22

【小问3详解】

①根据题意，得C。,、疗），

•/四边形OCED是平行四边形,

点C,点F的纵坐标相同，

设川私6）,

:点尸落在抛物线上,

-\/3=，

解得m,=2+J5,wi,=2—J5（舍去）；

故/（2+后,G）.

②过点8作BN轴于点N,作点。关于直线RV的对称点G,过点G作GH，y轴于点连

接DG,CH,FG,

则四边形ODGH矩形，

OD=HG,OD\\HG,

•/四边形OCED是平行四边形，

OD=CF,OD11CF,

：.GH=CF,GH\\CF,

：.四边形CFGH是平行四边形，

FG=CH,

,/BG+BF>FG,

故当3、G、尸三点共线时，BG+BF取得最小值,

；BG=BD,

5G+3尸的最小值，就是5D+5尸的最小值，且最小值就是CH,

延长FC交y轴于点M,

•/OD//CF,

/.ZHMC=ZHOD=90°,

VC（1,V3）,

CM=T,OM=6

•.•3（2,26）,

•••ON=NH=26，

；•HM=ON+NH—OM=3瓜

HC=y/CM2+HM2=728=277-

故5。+5歹的最小值是2J7.

【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的

判定和性质，勾股定理，利用轴对称的性质求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称

的性质是解题的关键.

3.(2024深圳)为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并

分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为无，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择

不同位置测量数据如下表所示，设5。的读数为x,CD读数为y,抛物线的顶点为C.

©②③④⑤⑥

X023456

y012.2546.259

(H)描点：请将表格中的(羽丁)描在图2中；

(III)连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与龙的关系式；

(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-丸)2+左的顶点为C,该数学兴趣小组用

水平和竖直直尺测量其水平跨度为竖直跨度为CD,且=CD=n,为了求出该抛物线

的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程:

方案一：将二次函数y=a(x-左平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式

y=ax2.

①此时点8'的坐标为；

②将点8'坐标代入y=a/中，解得。=；(用含机，”的式子表示)

方案二：设C点坐标为仇女)

①此时点B的坐标为；

②将点8坐标代入,=a(x-/z)-+左中解得。=；(用含机，〃的式子表示)

(3)【应用】如图4,已知平面直角坐标系中有A,B两点，AB=4,且A5〃x轴，二次函

数G:必=2(x+〃y+左和C2：%=。(％+〃)2+6都经过A，8两点，且C1和。2的顶点P，。距线

段的距离之和为10,求a的值.

【答案】(1)图见解析，y=-x2；

4

(1、4n(1、4ri

(2)方案一：①彳；②丁；方案二：①〃+彳加，左+〃；②一T；

<2JmI2)m-

(3)。的值为；或.

22

【解析】【分析】(1)描点，连线，再利用待定系数法求解即可；

(2)根据图形写出点5,或点8的坐标，再代入求解即可；

(3)先求得4(—丸―2,8+左)，5(—场+2,8+4)，G的顶点坐标为？(—〃，k),再求得C1顶点距线

段AB的距离为|(8+左)—川=8,得至ijC2的顶点距线段AB的距离为10-8=2,得到C2的顶点坐

标为。(—始0+左)或。(—46+左)，再分类求解即可.

【小问1详解】

解：描点，连线，函数图象如图所示，

观察图象知，函数为二次函数，

设抛物线的解析式为y^ax2+bx+c,

c=0

由题意得＜4〃+2b+c=l,

16〃+4b+c=4

.1

ci———

4

解得2。，

c=0

与x的关系式为y=-；

4

【小问2详解】

解：方案一：①=CD=n,

：.D'B'=-m,

2

此时点5'的坐标为；

故答案：［gm，”］；

②由题意得a=n,

4n

解得a=--,

m

4〃

故答案为：一7;

m

方案二：①：C点坐标为（丸㈤，AB=m,CD=n,

DB=­m,

2

此时点B的坐标为\ji+-m,k+nj；

故答案为：+1■加，左+〃］；

②由题意得左+〃=—/z）+k，

4n

解得。=F，

m

4n

故答案为：--;

【小问3详解】

解：根据题意G和。2的对称轴为x=—丸，

则4（—丸―2,8+左），B（-h+2,S+k）,G的顶点坐标为P（-〃，k）,

AG顶点距线段AB的距离为|（8+左）-引=8,

G的顶点距线段AB的距离为10—8=2,

Q的顶点坐标为Q（-h,10+k）^Q（-h,6+k）,

当C2的顶点坐标为。（―入,10+左）时，y2=Q（X+/Z）2+10+左，

将A（—/z—2,8+人）代入得4。+10+左=8+左，解得a=-g；

当C2的顶点坐标为Q（-h,6+k）时，y2=++6+左，

将4（—〃一2,8+左）代入得4a+6+左=8+左，解得。=（；

综上，。的值为［或-

【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解

题关键.

（1）求y与x的函数表达式;

(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？

(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为加元的礼品，赠送礼品后，为确保该

种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值.

【答案】(1)y=-2X+80

(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元

(3)2

【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是:

(1)利用待定系数法求解即可;

(2)设日销售利润为w元，根据利润=单件利润x销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次

函数的性质求解即可;

(3)设日销售利润为w元，根据利润=单件利润x销售量-%x销售量求出w关于无函数表达式，然

后利用二次函数的性质求解即可.

【小问1详解】

解：设y与X函数表达式为、=履+),

12左+5=56

把x=12,y=56；尤=20,y=40代入，得〈

20左+b=40'

k=-2

解得《

b=80

与x的函数表达式为y=-2x+80；

【小问2详解】

解：设日销售利润为W元，

根据题意，得w=(x—10)-y

=(x-10)(-2x+80)

=-2X2+100X-800

=-2(X-25)2+450,

当x=25时，W有最大值为450,

；•糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元;

【小问3详解】

解：设日销售利润为w元，

根据题意，得w=-10-m)-丁

=(x-10-m)(-2x+80)

=-2x2+(100+2m)x-800-80m,

100+2m50+m

・••当％=_2x(_2)=2时'w有最大值为

_2^50+m^|+(100+2间^212^—800—80"，

,/糖果日销售获得的最大利润为392元，

..._2广。;"J+(100+2m)-800-80m=392,

化简得机2_60m+116=0

解得知=2,m2=58

b

当机=58时，x=-----=54,

2a

则每盒的利润为：54—10—58<0,舍去,

・••根的值为2.

5.(2024武汉市)16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖.火

箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直

线运行.某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直

于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线>和直线y=—gx+b.其

中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级.

图1图2

(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km.

①直接写出。，b的值；

②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km,求这两个位置之间的距离.

（2）直接写出。满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km.

【答案】（1）①。=一百，6=8.1；@8.4km

2

（2）-----<a<0

27

【解析】【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数

的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题

的关键.

（1）①将（9,3.6）代入即可求解；②将y=—1必+x变为y=—葭）+?,即可确定顶点

坐标，得出y=2.4km,进而求得当y=2.4km时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可；

（2）若火箭落地点与发射点的水平距离为15km,求得a=-2，即可求解.

27

【小问1详解】

解：①：火箭第二级的引发点的高度为3.6km

抛物线y+%和直线丁=—gx+b均经过点（9,3.6）

3.6=81a+9,3.6=——x9+b

2

解得a=—记"，6=8.1.

_11,

②由①知，y=-5%+8.1,丁=一+%

,最大值y=—km

4

当y=9—L35=2.4km时,

1

贝|]---X2?+%=2.4

解得西=12,%=3

又・.•％=9时,y=3.6>2.4

・•.当y=2.4km时,

则一工九+8.1=24

2

解得兄=11.4

11.4-3=8.4（km）

•••这两个位置之间的距离8.4km.

【小问2详解】

解：当水平距离超过15km时，

火箭第二级的引发点为（9,81。+9）,

将(9,81a+9),(15,0)代入丁=一；兀+乩得

81a+9=--x9+b,0=--xl5+Z?

22

,2

解得b=7.5,a=---

27

2

---<〃<€).

27

3两点（A在B的右边），交y轴于点C.

（2）如图（1）,连接AC,BC,过第三象限的抛物线上的点尸作直线尸。〃AC,交y轴于点Q.若

平分线段尸。，求点P的坐标；

（3）如图（2）,点O与原点。关于点C对称，过原点的直线E尸交抛物线于E,尸两点（点E在

无轴下方），线段。E交抛物线于另一点G,连接FG.若NEG/=90°,求直线OE的解析式.

【答案】⑴A(l,0),6(—5,0),Cl0,-1

⑵P-2,号

(3)y=--%-5

2

【解析】

【分析】（I）分别令x,y=0,解方程，即可求解;

（2）分别求得直线AC,3C,根据尸。〃AC得出尸。的解析式，设p1,g/2+2f—进而求得

。点的坐标，进而根据平分线段尸。，则PQ的中点在直线上，将点M的坐标代入直线

解析式，即可求解.

（3）过点G作轴，过点瓦尸分别作灯的垂线，垂足分别为T,S,证明△E71C”MGS尸，

得出ET•邠=GS-7G,先求得点。的坐标，设直线所的解析式为％=左科，直线ED的解析式

为%=%2%一5，联立抛物线解析式，设/=£,九F=/,%=g，根据一元二次方程根与系数的关

系，得出31=—5,eg=5fe+g=2k2-49进而求得ET,FS,代入石，尸S=GS-7G,化简后

得出e+g=-5,即2履—4=—5,进而即可求解.

【小问1详解】

15

解：由y=—x9+2x—，

22

当％=0时，y=-1-,则c[o,—g]

当y=0,-%2+2X--=0

22

解得：苞=—5,x2—1

；A在B的右边

AA（1,O）,B（-5,0）,

【小问2详解】

解：设直线AC的解析式为丁=近+人（左00）

将4（1,0），c[o,—g]代入得，

k+b=O

\5

b=——

I2

k=-

解得：]2

b=——

12

直线AC的解析式为y=|x-|

PQ//AC

设直线PQ的解析式为y=^x+b,

•••p在第三象限的抛物线上

设p1/,万/+2/—万］,（―5</<

,5,12c5

・・-t+h=-t+2t—

设尸。的中点为则M

由5(—5,0),C^0,-|j,设直线的解析式为y=《x—

将3(—5,0)代入得，

0=-5^--,

解得：k———

x2

...直线BC的解析式为y=

•e,平分线段尸。,

，M在直线上,

_____V__________—_______~_________

222—2

解得：％=-2/2=0（舍去）

159

当『=一2时，一产9+2/一—=一一

22

【小问3详解】

解：如图所示，过点G作7〃x轴，过点E1分别作灯的垂线，垂足分别为T,S,

ZEGT=90°-ZFGS=ZGFS

：.AETU^AGSF

.ETTG

,,瓦一五

即ET•邠=GS-7U

..•点。与原点o关于点cI。,一对称,

设直线EF的解析式为％=k{x,直线ED的解析式为%="5

y-hx

i」15

联立直线EF与抛物线解析式＜15可得，k,x=—x2+2%—，

y=-x92+2x——22

22

即gx2+（2-a）x_g=0

y2=k2x-5

二+2二

联立直线ED与抛物线解析式＜12c5可得,k2九一5二

y=-x2+2x——22

即gx2+（2—&）x+g=0

设砧=6,号=/,%=g，

ef=-5,eg=5,e+g=2k2-4,

•••f=-g

+2e_\1；g2+2g_；]=；(e+g+4)(e_g),

乙乙\乙乙J乙

FS=；/2+2/_|_J；g2+2g_[]=；(/+g+4)(/_g)

乙乙\乙乙J乙

,：ETFS=GSTG

•••(g_e)(/_g)=g(e+g+4)(e_g)><g(/+g+4)(/_g),

将/=-g代入得：e+g=-5

2&—4=—5,

••,

-2

直线DE解析式为y=——x—5.

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，一次函数与二次函数综合，中点坐标公式，相似三角形的性

质与判定，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键.

7.(2024湖北省)如图1,二次函数y=—f+法+3交x轴于4(—1,0)和8,交,轴于C.

(2)M为函数图象上一点，满足NM45=NACO,求M点的横坐标.

(3)如图2,将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为与，轴交于点O,记OC=d,记L顶

点横坐标为〃.

①求d与九的函数解析式.

②记L与x轴围成的图象为。，。与44BC重合部分(不计边界)记为W,若d随九增加而增加，且

W内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出九的取值范围.

【答案】(1)b=2-,

(2)m=—或机=一；

33

—1（〃〉<］）

（3）①d=<2:，〜八,；②”的取值范围为后或——

I—n（一1<n<\）

【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

⑵先求得5（3,0）,C（0,3）.作儿尤轴于点N,设M（m,—M+2〃?+3）,分当M点在无轴

上方和M点在x轴下方时，两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质，列式求解即可；

（3）①利用平移的性质得图象L的解析式为y=—（尤—”了+4,得到图象L与，轴交于点。的坐标

（0,-“2+4）,据此列式计算即可求解；

②先求得—或n21,AABC中含（0,1）,（0,2）,（1,1）三个整数点（不含边界），再分三

种情况讨论，分别列不等式组，求解即可.

【小问1详解】

解：•.•二次函数y=-x2+bx+3交无轴于A（-l,0）,

0=—1—b+3,

解得匕=2；

【小问2详解】

解：,:b=2,

y=一/+2x+3=—（x—1）~+4,

令y=0,则_（x_iy+4=0,

解得％=-1或x=3,

令y=0,贝ljy=3,

AA（-l,0）,3（3,0）,C（0,3），

作轴于点N,

设A/（肛—M+2m+3^,

当M点在x轴上方时，如图,

y

小、

■：ZMAB=ZACO,

Z\MAN^Z\ACO,

.PCAN印3_7〃+l

OAMN1—m2+2m+3

Q

解得机=1或-1（舍去）；

当M点在x轴下方时，如图，

AM47Vs△ACO,

.PCAN3=〃+l

"~OA~~MN'1-（-m2+2m+3）'

解得机=W或-i（舍去）；

3

...m=1—0t或机=8一；

33

【小问3详解】

解：①•.•将二次函数沿水平方向平移，

纵坐标不变是4,

图象L的解析式为y=一（*一"）~+4=-x2+2nx—rr+4,

_D（0,-a?+4）,

CD=d=|—+4-=卜/+1|,

由题意知：C、。不重合，则八W±l,

*一1(〃〉1或〃<1)

d=

l-n2(-l<n<l)

n2>1或〃<1)

②由①得」=

1-n2(-1<n<1)

则函数图象如图,

••・d随〃增加而增加，

.・・—1<〃<。或〃>1,AABC中含（0,1）,（0,2）,（1,1）三个整数点（不含边界），

当W内恰有2个整数点（0,1）,（0,2）时，

当％=0时，yL>2,当％=1时，<1,

-ZZ2+4>2

**-(l-n)2+4<f

,«-MV-\/2,〃N1+y/3或i〃K1-，x/s,

••-5/2<〃《1-y/3；

•.・一1v〃<0或〃>1,

••-1<〃<1-y/3；

当W内恰有2个整数点(0,1),(1,1)Ht,

当x=0时，1<九<2,当％=1时，yL>1,

,1<-H2+4<2

-(l-n)2+4>f

，-6<n<-A/2或0<n<6，1-^3<n<1+y/3，

V2<n<V3；

：或〃>1,

二行。<5

当W内恰有2个整数点(0,2),(1,1)时，

综上，”的取值范围为或—1＜附＜1—石.

【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的表达式及二次函数与线段的交点问题，也考查了

二次函数与不等式，相似三角形的判定和性质.熟练掌握二次函数图象的性质及数形结合法是解题的

关键.

8.（2024吉林省）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）

所示，输入x的值为-2时，输出y的值为1；输入尤的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3

时，输出y的值为6.

开始

(S1)(图2)

(1)直接写出k,a,6的值.

(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于尤的函数图像，如图(2).

I.当y随x的增大而增大时，求x的取值范围.

II.若关于尤的方程ax?+云+3一/=。(/为实数)，在0<x<4时无解，求/'的取值范围.

III.若在函数图像上有点P,Q(P与。不重合).尸的横坐标为相，。的横坐标为-加+l.小明对

P,。之间(含尸，。两点)的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随机的变化而

变化，直接写出相的取值范围.

【答案】(1)k=l,a=l,b=-2

(2)I：X<0H£X>1：II：/<2或/Nil；III：-iWniWO或

【解析】【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，一元二

次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的额关键.

(1)先确定输入无值的范围，确定好之后将x,y的值代入所给的y关于x的函数解析式种解方程或

方程组即可；

(2)I：可知一次函数解析式为：y=x+3,二次函数解析式为：y=V—2x+3,当x>0时，

y=x?—2x+3,对称为直线x=l,开口向上，故