2024年中考数学试题分类汇编：三角形及其全等（解析版）

2024年中考数学真题专题分类精选汇

专题16三角形及其全等

一、选择题

1.（2024福建省）在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CDLDE）按如图方

式摆放，若AB"CD,则N1的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】A

【解析】本题考查了平行线的性质，虫AB"CD,可得NCD5=60°,即可求解.

•/ABHCD,

：.ZCDB=60°,

:CD上DE,则NC£>£=90。，

Zl=180°-ZCDB-ZCDE=30°,

故选：A.

2.（2024黑龙江齐齐哈尔）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若Nl=50。，则N2的度数

是（）

A.30°B,40°C.50°D.60°

【答案】B

【解析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理.根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即

可求解.

如图所示,

由题意得/3=/l=50°,Z5=90°,N2=/4,

Z2=Z4=180°-90°-Z3=90°-50°=40°,

故选：B.

3.（2024内蒙古赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根，则这个三角形的

周长为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【解析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得

西=3,%=7,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3,腰长为7,进而即可求出三

角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.

【详解】解：由方程V-10x+21=0得，玉=3,x2=7,

3+3<7,

...等腰三角形的底边长为3,腰长为7,

这个三角形的周长为3+7+7=17,

故选：C.

4.（2024云南省）己知/尸是等腰AASC底边上的高，若点尸到直线N5的距离为3,则点尸

到直线ZC的距离为（）

37

A.—B.2C.3D.一

22

【答案】C

【解析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键.

由等腰三角形“三线合一”得到/厂平分/A4C,再角平分线的性质定理即可求解.

如图，

V力厂是等腰底边上的高,

4F平分/B4C,

，点F到直线AB,AC的距离相等，

:点E到直线48的距离为3,

二点/到直线NC的距离为3.

故选：C.

5.（2024安徽省）在凸五边形45CDE中，AB=AE,=£>£,尸是CD的中点.下列条件中，

不能推出4r与CD一定垂直的是（）

A.NABC=NAEDB.NBAF=NEAF

C.ZBCF=NEDFD.NABD=ZAEC

【答案】D

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等

三角形的判定的方法是解题的关键.

利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得

结论.

【详解】解：A、连接ZC、AD,

AAACS^AADE(SAS),

AC=AD

又•..点尸为CD的中点

/.AFLCD,故不符合题意;

B、连接斯、EF,

AB=AE,NBAF=NEAF，AF=AF,

：.AABF^AEF(SAS),

/.BF=EF，ZAFB=ZAFE

又：点尸为CD的中点，

CF=DF,

•••BC=DE,

：.ACBF^ADEF(SSS),

：.ZCFB=ZDFE,

：.ZCFB+NAFB=ZDFE+NAFE=90°,

：.AFVCD,故不符合题意；

C、连接斯、EF,

:点尸为的中点，

CF=DF,

■:NBCF=4EDF,BC=DE,

:.ACBF^DEF(SAS),

BF=EF,NCFB=ZDFE,

,/AB=AE,AF=AF,

：.AABF^AAEF(SSS),

/.ZAFB=ZAFE，

/.NCFB+NAFB=ZDFE+ZAFE=90°,

AFVCD,故不符合题意；

D、ZABD=ZAEC,无法得出题干结论，符合题意；

故选：D.

6.（2024四川广安）如图，在中，点。，E分别是/C,的中点，若NZ=45°,

ZCED=70°,则ZC的度数为（）

A.45°B,50°C.60°D.65°

【答案】D

【解析】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质定理，三角形的内角和定理，熟记性质并准确

识图是解题的关键.先证明可得NCD£=44=45。，再利用三角形的内角和定理可得

答案.

【详解】：点。，E分别是ZC,5C的中点，

DE//AB,

N4=45°,

ZCDE=ZA=45°,

•：ZCED=70°,

ZC=180°-45°-70°=65°,

故选D

二、填空题

1.（2024湖南省）一个等腰三角形的一个底角为40。，则它的顶角的度数是度.

【答案】100

【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，解答时根据等腰三角形两底角相等，求出顶

角度数即可.

【详解】因为其底角为40°,所以其顶角=180。-40°x2=100°.

故答案为：100.

2.（2024重庆市B）如图，在小中，AB=AC,4=36°,平分N/5C交ZC于点。.若

BC=2,则AD的长度为

c

g------------------

【答案】2

【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据

等边对等角和三角形内角和定理求出NC=ZABC=72°,再由角平分线的定义得到

ZABD=ZCBD=36°,进而可证明NZ=N4&D,ZBDC=ZC,即可推出4D=BC=2.

【详解】：在中，AB=AC,44=36°,

1/BD平分NABC,

：.ZABD=ZCBD=-ZABC=36°,

2

/.NZ=ZABD,ZBDC=ZA+ZABD=72。=NC,

AD=BD,BD=BC,

：.AD=BC=2,

故答案为：2.

3.（2024四川凉山）如图，ATIBC中，NBCD=30。,ZACB=80°,CD是边N5上的高，AE

是ZCAB的平分线，则NAEB的度数是.

【解析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义.先求出N/CD=50°,结合高

的定义，得ND4c=40。，因为角平分线的定义得NC/£=20。，运用三角形的外角性质，即可作答.

【详解】•.♦/BCD=30。，ZACB=80°,

/.ZACD=50°,

1/CD是边48上的高，

ZADC=90°,

NDAC=40°,

：“E是NC45的平分线,

ZCAE=-ZDAC=2Q°,

2

ZAEB=NCAE+ZACB=20°+80°=100°.

故答案为：100°.

4.（2024四川内江）如图，在“5。中，ZDCE=40°,AE=AC,BC=BD,则N/C5的度

数为；

【答案】1000##100度

【解析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差.

根据三角形的内角和可得NCD£+NCE£>=140。，根据/£=5c=5。得到

ZACE=ZAEC,/BCD=/BDC,从而N4CE+/BCD=140。，根据角的和差有

ZACB=ZACE+ZBCD-ZCDE,即可解答.

【详解】VZDCE=40°,

ZCDE+ZCED=180°-ZDCE=140°,

AE=AC,BC=BD,

：.ZACE=ZAEC,ZBCD=ZBDC,

：.ZACE+/BCD=ZCDE+ZCED=140°

ZACB=ZACE+/BCE=ZACE+ZBCD-ZCDE=140°-40°=100°.

故答案为：100°

5.（2024黑龙江绥化）如图，AB//CD,NC=33。，OC=OE.则N4=°.

【答案】66

【解析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得

N£=NC=33。，根据三角形的外角的性质可得/。。£=66。，根据平行线的性质，即可求解.

【详解】：OC=OE,ZC=33°,

/E=NC=33°,

ZDOE=ZE+ZC=66°,

■：AB//CD,

：.ZA=/DOE=66°,

故答案为：66.

6.（2024四川成都市）如图，△Z5C义△（?£>£,若ND=35。,ZACB=45°,则NOCE的度

【答案】1000##100度

【解析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出

ZCED=ZACB=45°,再利用三角形内角和求出NDCE的度数即可.

【详解】由△48C也△©£>£,40=35。，

ZCED=ZACB=45°,

•1,乙D=35°,

ZDCE=180。—/。—ZCED=180。—35°—45°=100°,

故答案为：100。

三、解答题

1.（2024云南省）如图，在和△/££）中，AB=AE,ZBAE=ACAD,AC=AD.

【答案】见解析

【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键.利

用“SAS”证明A4BC咨AAED,即可解决问题.

【详解】证明：；ZBAE=ACAD,

ZBAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC,即ABAC=ZEAD,

在AA8C和△/££>中，

AB=AE

<ABAC=/EAD,

AC=AD

"BgAAED(SAS).

2.(2024四川乐山)知：如图，4B平分NC4D,AC=AD.求证：NC=/D.

【答案】见解析

【解析】利用SAS证明ACAB2ADAB,即可证明NC=ND.

AB平分Z.CAD,

NCAB=/DAB,

在AC/3和中，

AC=AD

<ZCAB=ZDAB,

AB=AB

.-.ACAB^ADAB（SAS）,

ZC=ZD.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握SAS、AAS、ASA、SSS等全等三角

形的判定方法是解题的关键.

3.（2024江苏连云港）如图，N3与相交于点E,EC=ED,AC//BD.

DN'

（1）求证：AAEC义XBED；

（2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DXCN,使得点“在ZC上，点N在8。上.（不写

作法，保留作图痕迹，标明字母）

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到N/=N8,NC=N。，结合EC=ED,利用AAS即

可证明△NECSBED；

(2)作CO的垂直平分线，分别交于点连接。M,CN即可.

【小问1详解】

证明：・・•/C〃B£),

:.ZA=NB，ZC=ZD.

ZA=ZB

在△NEC和△BED中，＜ZC=ZD,

EC=ED

:.AAECaBED(AAS)；

【小问2详解】

解：：MV是CD的垂直平分线，

:.MD=MC,DN=CN,

由(1)的结论可知，NA=NB,AE=BE,

又：/AEM=/BEN,

则△ZEMMABEN,

/.ME=NE,

-CD±MN,

.,.CD是〃”的垂直平分线，

:.DM=DN,CM=CN,

：.DM=DN=CN=CM,

.•.四边形。MCN是菱形，

【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，平行线的性质，三角形全等的判定，菱形的判定，熟练掌握

垂直平分线的作法及三角形全等的判定定理是解题的关键.

4.（2024江苏苏州）如图，AASC中，AB=AC,分别以5,。为圆心，大于45c长为半径画

2

弧，两弧交于点。，连接BD,CD,AD,AD与BC交于点、E.

(1)求证：A4BD会—CD；

(2)若BD=2,ZBDC=120°,求的长.

【答案】(1)见解析(2)BC=26

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关

键是：

(1)直接利用SSS证明即可；

(2)利用全等三角形的性质可求出aBD4=NCD4=60°,利用三线合一性质得出0/，,

BE=CE,在RtASQE中，利用正弦定义求出BE,即可求解.

【小问1详解】

证明：由作图知：BD=CD.

在△48。和AZCD中，

AB=AC,

■：<BD=CD,

AD=AD.

.■△ABD^Z\ACD.

【小问2详解】

解：•:AABD'ACD,ZBDC=120°,

ABDA=ACDA=60°.

又<BD=CD,

DAISC,BE=CE.

•••BD=2,

BE=BD-sinZBDA=2x—=73.

2

BC=2BE=2A/3.

5.（2024江苏盐城）已知：如图，点/、B、C、。在同一条直线上，AE//BF,AE=BF.

若,则45=CO.

请从①C£〃。尸；②CE=DF；③NE=//这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结

论成立，并说明理由.

【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析

【解析】【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出

/A=/FBD,/D=/ECA,再由全等三角形的判定和性质得出/C=5。，结合图形即可证明；②

得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出结合图形即可证明；熟练

掌握全等三角形的判定和性质是解题关键.

【详解】解：选择①〃。尸；

•1,AE//BF,CE//DF,

/.N4=ZFBD,ZD=ZECA,

'：AE=BF,

：,AAEC^ABFD（AAS）,

/.AC=BD,

AAC-BC^BD-BC,即45=m

选择②CE=£>/；

无法证明△NEC也ABFD,

无法得出=CD；

选择③NE=NE；

•/AE//BF,

：.ZA=ZFBD,

AE=BF,ZE=ZF,

:."EC应BFD（ASA）,

：.AC=BD,

/.AC-BC^BD-BC,即45=m

故答案为：①或③（答案不唯一）

6.(2024四川南充)如图，在AZ8C中，点。为边的中点，过点8作〃/。交4D的延长

线于点E.

(1)求证：“BDE%CDA.

(2)若4D工BC,求证：BA=BE

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质：

(1)由中点，得到5。=CD,由5£〃/C,得到NE=ND4C,NDBE=NC,即可得证;

(2)由全等三角形的性质，得到ED=N£>,进而推出5。垂直平分ZE,即可得证.

【小问1详解】

证明：•.•。为的中点，

BD=CD.

BE//AC,

ZE=ADAC,/DBE=ZC；

'ZE=ZDAC

在ABQE和△CD/中，＜ND8E=NC

BD=CD

:.ABDE^CDA（AAS）；

【小问2详解】

证明：•:ABDE会MDA,

:.ED=AD

AD±BC,

：.BD垂直平分AE,

BA=BE.

7.（2024四川自贡）如图，在AZ8C中，DE//BC,/EDF=NC.

A

（1）求证：ZBDF=ZA；

（2）若NZ=45。，DF平分NBDE,请直接写出的形状.

【答案】（1）见解析（2）是等腰直角三角形.

【解析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定.

（1）由平行证明//££>=NC,由等量代换得到NED尸=//即，利用平行线的判定”内错角相等，

两直线平行”证明DF//AC,即可证明ZBDF=ZA；

（2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得=90°,D5=90°,据此即可得到是

等腰直角三角形.

【小问1详解】

证明：：£>£〃BC,

/.ZAED=ZC,

•1,ZEDF=