2024年中考数学试题分类汇编：图形的相似（含位似）（解析版）

2024年中考数学真题专题分类精选汇编

专题22图形的相似（含位似）

一、选择题

1.（2024江苏连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、

丁，其中是相似形的为（）

一HBiB

甲乙内丁

A,甲和乙B,乙和丁C.甲和丙D.甲和丁

【答案】D

【解析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性

质，进行判断即可.

由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是

相似形.

故选D.

2.（2024四川内江）已知一BC与△44。相似，且相似比为1:3,则。与△44。的周长

比为（）

A.1:1B.1:3C.1:6D.1:9

【答案】B

【解析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键.

vAABC与△44。相似，且相似比为1：3,

“5C与△44G的周长比为1：3,

故选B.

3.（2024重庆市B）若两个相似三角形的相似比为1:4,则这两个三角形面积的比是（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

【答案】D

【解析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解

即可.

:两个相似三角形的相似比为1:4,

，这两个三角形面积的比是I2：42=1:16.

故选：D.

4.（2024黑龙江绥化）如图，矩形045C各顶点的坐标分别为。（0,0）,4（3,0）,5（3,2）,。（0,2）,

以原点。为位似中心，将这个矩形按相似比!缩小，则顶点8在第一象限对应点的坐标是（）

3

A.（9,4）B.（4,9）

【答案】D

【解析】本题考查了位似图形的性质，根据题意B横纵的坐标乘以上,即可求解.

3

依题意，5（3,2）,以原点。为位似中心，将这个矩形按相似比;缩小，则顶点8在第一象限对应点

的坐标是

故选：D.

5.（2024湖南省）如图，在中，点£>,£分别为边45,ZC的中点.下列结论中，错误的

是（）

ADE//BCB.AADEs^ABCC.BC=2DED.S△./LDUI-E,=-2S.BC

【答案】D

【解析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断

A、C；由相似三角形的判定和性质可判断B、D,掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和

性质是解题的关键.

【详解】：点。，E分别为边AB,4C的中点,

DE//BC,BC=IDE,故A、C正确；

•1,DE//BC,

:.AADEs^ABC,故B正确;

•1,LADEs^ABC，

■-S.ADE=^ABC,故D错误;

故选：D.

6.（2024山东威海）如图，在YABCDdp,对角线/C,BD交于点O,点E在BCk,点F在CD

上，连接AF,EF,EF交4c于点、G.下列结论错误的是（）

B.^AEVBC,AFLCD,AE=AF,则£/〃6。

C.若EF〃BD,CE=CF,则ZEAC=ZFAC

D.AB=AD,AE=AF,则EF//BD

【答案】D

【解析】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形

的性质与判定；根据相似三角形的性质与判定即可判断A,根据题意可得四边形C4是N5CD的角

平分线，进而判断四边形48CD是菱形，证明RtANCE也RtA4FC可得CE=C/则ZC垂直平分

EF,即可判断B选项，证明四边形48CD是菱形，即可判断C选项，D选项给的条件，若加上

BE=DF,则成立，据此，即可求解.

【详解】解：：四边形4SCO是平行四边形，

/.AD=BC,AB=CD

CEADCEBC

A.一=一，即一=一，又/ECF=4BCD,

CFABCFCD

：.ACEFsACBD

ZCEF=ZCBD

：.EF//BD,故A选项正确，

B.^AELBC,AFLCD,AE=AF,

...C4是N8CD的角平分线，

ZACB=ZACD

•••AD//BC

：.ADAC=ZACB

：.ADAC=ZDCA

：.AD=DC

...四边形48CD是菱形，

，AC1BD

在RtAZCE,RtA4FC中，

'AE=AF

<AC=AC

/.Rt^ZCE也RtA4FC

CE=CF

又,：AE=AF

：.AC±EF

/.EF//BD,故B选项正确，

C.VCE=CF,

ZCFE=ZCEF

,/EF//BD,

：.ZCBD=ZCEF,ZCDB=ZCFE

：.ZCBD=ZCDB

：.CB=CD

四边形/BCD是菱形，

ACLBD,

又：EF//BD

ACLEF,

VCE=CF,

：./C垂直平分EF,

AE=AF

：.ZEAC=ZFAC,故C选项正确；

D.^AB=AD,则四边形/BCD是菱形,

由=N尸，且=9时，

可得/C垂直平分E尸，

•/AC1BD

：.EF//BD,故D选项不正确

故选：D.

二、填空题

1.（2024江苏盐城）两个相似多边形的相似比为1：2,则它们的周长的比为______.

【答案】1：2#J

2

【解析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多

边形的性质是解题的关键.

•••两个相似多边形的相似比为1：2,

，它们的周长的比为1：2,

故答案为：1：2.

2.（2024云南省）如图，N5与S交于点。，且/。〃助.若等黑点=:，则

OB+OD+BD2

AC

【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明△/COs△5。。，根据相似三角形周长之比等

于相似比，即可解题.

AC//BD,

:.AACOSABDO,

.AC_OA+OC+AC1

"BD~OB+OD+BD2'

故答案为：y.

3.（2024四川成都市）如图，在RtZk45C中，ZC=90°,2。是的一条角平分线，E为AD

中点，连接8E.若BE=BC,CD=2,则BD=

D

［答案］Vn+i

【解析】连接CE,过E作跖工CD于尸，设8£>=x,EF=m,根据直角三角形斜边上的中线性

质和等腰三角形的性质证得C尸=。尸=！(20=1,NEAC=NECA,NECD=NEDC=NBEC,

2

进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到ZCED=2NCAE,AC=2EF=2m,证

明ACBESACED,利用相似三角形的性质和勾股定理得到加2=3+2%；根据角平分线的定义和相

似三角形的判定与性质证明AC48s△必E得到2加2=(x+l)(x+2),进而得到关于X的一元二次

方程，进而求解即可.

【详解】连接C£，过£作£尸工。£)于尸，设3O=x,EF=m,

•：N4CB=90。,E为40中点，

CE-AE-DE,又CD=2,

CF=DF=-CD=1,NEAC=NECA,ZECD=ZEDC,

2

ZCED=2NCAE,AC=2EF=2m,

•••BE=BC,

:./BEC=/ECB,则Z8EC=NEDC,又/BCE=/ECD,

：.KBESACED,

CECB

——=——，ZCBE=ZCED=2NCAE,

CDCE

：.CE2=C£>-CS=2（2+x）=4+2x,

则加2=斯2=尊2_52=3+2步

VAD是AABC的一条角平分线，

ZCAB=2NCAE=ZCBE,又ZACB=ZBFE=90°,

△CABs小FBE9

.AC_BC

''~BF~~EF

...2Z!L=£±Z,则2加2=(x+l)(x+2),

x+1m

：-2(3+2x)=(x+l)(x+2),gpx2-%-4=0.

解得/=旧+1(负值已舍去)，

2

故答案为：MZ±1.

2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中

位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有

一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键.

4.（2024湖北省）AZ）£F为等边三角形，分别延长阳，DE,EF,到点4B,。，使

DA=EB=FC,连接45,AC,BC,连接AF并延长交/C于点G.若AD=DF=2,贝!!

NDBF=,FG=.

【答案】①.30°##30度②.

55

【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理.利用三角形的外角性

质结合E8=EF可求得NDAF=30°；作C818G交5G的延长线于点X,利用直角三角形的性

质求得CH=1,FH=日证明A/G/SACG〃，利用相似三角形的性质列式计算即可求解.

【详解】解：：ADEF为等边三角形，DA=EB=FC,

：.AD=DF=EB=EF=2,NDEF=ZDFE=60°,

...NDBF=ZEFB=-NDEF=30°,ZAFB=ZEFB+ZDFE=90°,ZEFB=ZGFC=30°,

2

作CHLBG交BG的延长线于点H,

A

：.CH=^CF=1,FH=^^3

,：ZAFB=ZH=90°,

：.AF//CH,

・•・小AGFs^CGH,

AFFG4FG

•------,即nn二二~尸，

CHGH1y/3-FG

解得EG=36，

5

故答案为：30°,-V3.

5

S]

5.（2024四川乐山）如图，在梯形/BCD中，/。〃3C,对角线ZC和8。交于点O,若首幽=3,

、ABCD3

【解析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识.熟练掌握平行线间的距离,

相似三角形的判定与性质是解题的关键.

s-AD-d

设4D,5c的距离为d,则谓幽2即迎=工，证明△ZOQSACOB,则

,△BCD-BCd3BC3

2

AD2

，计算求解即可.

^/\BOCBC

【详解】解：设5C的距离为d，

ADd

S*21„n1

...△4BD=4------=-,即——=-,

SABCD-BC-d3BC3

2

AD〃BC,

：.ZADO=ZCBO,ZDAO=ZBCO,

AAODSACOB,

6.（2024河北省）如图，AA5C的面积为2,为BC边上的中线，点A,G，C2,C3是线段

的五等分点，点A,D-。2是线段的四等分点，点A是线段3片的中点.

（1）△/GR的面积为；

（2）△与。4。3的面积为.

【答案】①.1②.7

【解析】【分析】（1）根据三角形中线的性质得以4即=；S^BC=1，证明

AAQD^AACD（SAS）,根据全等三角形的性质可得结论；

⑵证明△48。段“B/XSAS）,得S△/2=%9=1,推出G、〃、81三点共线，得

S△阳G-S△阳A+黑/马一2,继而得出S△阳。4一4s△叫G一8,S△阴％=3s△典n=3,证明

4

^C3AD3^CAD,得/3功3=984^=9,推出S△仁乌=§8根3皿=12,最后代入

~SMC4D3+844与鼻即可.

【详解】解：（1）连接用A、为口、4G、4c3、C3D3,

A45c的面积为2,为5C边上的中线,

S&ABD-S—CD-QS&ABC-万2-1,

.•点A,G，G，G是线段的五等分点，

AC=AC]=GG=C2c3=c3c4=1cc4)

.•点A,A，3是线段的四等分点,

AD=AD1=DQ、=DH3=—DD3,

.•点A是线段AB1的中点,

•.AB=AB.=-BB.,

121

在A4CQ和AZCD中,

AC,=AC

<NGg=ZCAD,

AD,=AD

：.AAQD^AACD(SAS),

,=S“CD=1，NC]D/=NCDA,

A4G。的面积为1,

故答案为：1;

(2)在△/耳A和△45。中,

ABX=AB

</B]AD]=ABAD,

ADX=AD

：.AABD(SAS),

S△典A=S£ABD=1，NBRA=ABDA,

・・,/&M+/S4=180。，

・・・ZBlDlA+ZC1D1A=180°f

・・・G、⑸三点共线,

S△阳G一§△阳A+-1+1—2,

AC,=GG=c2c3=c3c4,

'''S△阳c4=4s△阳G=4'2=8,

>=DQ2=D2D3,sAABR=i,

'''S△用A=3s△阳4=3x1=3,

在△/。3。3和△ZC£>中，

•.♦g=3=也，ZC.AD.=ACAD,

ACAD33

/."AD3s'AD,

=坐［=32=9,

S.CADIACJ

••%G/Z)3=^^ACAD=9x1=9,

AC,=GG=c2c3=c3c4,

44

x

,,S△g△=-^AC3AD,=y9=12,

•,^ABtc4D3=S△ACR+SAABR-SAAB1c4=12+3-8=7,

△用。4。3的面积为7,

【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点

的意义，三角形的面积.掌握三角形中线的性质是解题的关键.

7.(2024武汉市)如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由

四个全等的直角三角形和中间的小正方形"AP。拼成的一个大正方形48CD.直线"P交正方形

45CD的两边于点E,F,记正方形48CD的面积为E，正方形"AP。的面积为邑.若

5,

BE=kAE(k>1),则用含左的式子表示吩的值是

A

E

F

B*C

k2+\

【答案】

(1-IP

【解析】作EG_LNN交ZN于点G,不妨没MN=a,设£G=1,通过四边形MVP。是正方形,

推出NEMG=NPAW=45°,得到EG=MG=1,然后证明AZEGSA/BN,利用相似三角形对

Ap1/G1

应边成比例，得到一-=—=--=——，从而表示出ZG,"N的长度，最后利用

ABBNANk+1

s

2222

E=AB=BN+AN和S2=MN=/表示出正方形ABCD和MNPQ的面积，从而得到.

【详解】解：作EGLNN交ZN于点G,不妨设MN=a,设EG=1

•.•四边形MAP。是正方形

ZPMN=45°

NEMG=NPMN=45°

EG=MG=1

在△NEG和A/BN中，ZEAG=ZBAN,ZAGE=ZANB=90°

:.AAEG^AABN

AEEGAG

"AB~BN~AN

•/BE=kAE(k>1)

:.AB=AE+BE=AE(k+l)

.AE1-AG1

"AB~BN~AN^k+\

:.BN=l+k

由题意可知，AABNdDAM

:.BN=AM=l+k

:.AG=AM-GM=l+k-X=k

.-GAGk1

"AN^AM+MN~k+l+a~k+1

a—k~—1

AN^AG+GM+MN=k+l+k2-l=k2+k

：.正方形ABCD的面积E=AB-=BN2+AN2=（k+1）2+（V+kf=（k+1）2（k~+1）,

正方形MNPQ的面积邑=MN2=/=（公一i）2=（左+1）2*—ip

.E二（左+1）2街+1）

-

■-52（左+1）2（A—1）2

'：k>\

k+1）2WO

,HF+i

•瓦一（01）2；

k-+\

故答案为：rr-

（I）

【点睛】本题考查了弦图，正方形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的

面积，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能画出合适的辅助线构造相似三角形是解题的关键.

三、解答题

1.（2024湖北省）小明为了测量树N5的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：

方案一：如图（1）,测得。地与树48相距10米，眼睛。处观测树Z5的顶端A的仰角为32。：

方案二片如图（2）,测得C地与树Z5相距10米，在C处放一面镜子，后退2米到达点E,眼睛。

在镜子C中恰好看到树N5的顶端A.

已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树22的高度.（结果保留整数，tan32°a0.64）

【答案】树45的高度为8米

【解析】本题考查了相似三角形的实际应用题，解直角三角形的实际应用题.

方案一：作DEJ.AB，在Rta/r>£中，解直角三角形即可求解；

方案二：由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可.

【详解】解：方案「：作DEJ.AB,垂足为E,

则四边形BCQE是矩形，

£>£=8C=10米，

在Rtz\ZD£中，ZADE=32°,

AAE=DE-tan32°«10x0.64=6.4（米），

树48的高度为64+1.6=8米.

方案二：根据题意可得N/CB=/DCE,

ZB=ZE=90°,

：.AACB^DCE

ABBCAB10

——=——，即an——=——

DECE1.62

解得：AB=8米，

答：树48的高度为8米.

2.（2024武汉市）问题背景：如图（1）,在矩形48CD中，点E,E分别是48,BC的中点，

连接AD,EF,求证：ABCDS^FBE.

问题探究：如图（2）,在四边形/BCD中，AD//BC,/BCD=90。,点E是N3的中点，点尸

在边上，AD=2CF,EF与BD交于点、G,求证：BG=FG.

EG

问题拓展：如图（3）,在“问题探究”的条件下，连接NG,AD=CD,AG=FG,直接写出一

GF

的值.

A_____________D4________DX__________D

FF/E/\

CB

图⑴图(2)图⑶

【答案】问题背景：见解析；问题探究：见解析；问题拓展:

5

【解析】【分析】问题背景：根据矩形的性质可得48=CD,ZEBF=ZC=90°,根据点E,F分

BEBF1

别是25,的中点，可得一=—=—,即可得证;

ABBC2

问题探究：取5。的中点〃，连接EH,HC,得£女是△48。的中位线，根据已知条件可得9平

行且等于尸C,进而可得ERC"是平行四边形，得EF〃HC,则NGFB=NNC8,根据直角三角

形中斜边上的中线等于斜边的一半得出=进而可得=,等量代换可得

NGBF=NGFB,等角对等边，即可得证；

问题拓展：过点下作则四边形VFCD是矩形，连接/尸，根据已知以及勾股定理得

出0竺=正；根据色）的结论结合已知可得GZ=GP=G3,证明ER垂直平分25,进而得出

AF5

FA=FB,证明A4FG之ABFG,进而证明ABEGSAEA",进而根据相似三角形的性质，即可

求解.

【详解】问题背景：••,四边形4SCO是矩形，

/.AB=CD,ZEBF=ZC=90°,

,:E,E分别是48,5C的中点

•BEBF_1

"AB~BC~2'

BEBF1

即nn---=----=—,

CDBC2

：.ABCDs^FBE；

问题探究：如图所示，取5。的中点〃，连接EH,HC,

是48的中点，〃是的中点,

/.EH=-AD,EH//AD

2

又：AD=2CF,

：.EH=CF,

,ZAD//BC,

J.EH//FC

，四边形E/fCF是平行四边形，

EF//CH

/.ZGFB=ZHCB

又•.♦/8Cr>=90°,a是8。的中点,

HC=-BD=BH

2

：.ZHBC=ZHCB

ZGBF=ZGFB,

：.GB=GF,

问题拓展：如图所示，过点歹作JWLZ。，则四边形MFCD是矩形，连接4F，

AM=MD=FC=-AD,

2

设ZD=2a,则“=CD=2a,AM=a

在RtA/A/F中，AF=b+（2a）2=氐，

,:AG=FG,由（2）BG-FG

/.AG=BG,

又,：E是AB的中点，

EF垂直平分AB

AF=BF,ZBEG=90°,

在AAFGQBFG中，

AG=BG

GF=GF

FA=FB

AAFG^BFG（SSS）

设ZGBF=ZGFB=a,则ZGAF=AGFA=a

ZBGE=ZGBF+NGFB=2a,

又：AD//BC

NMAF=NAFB=AGFA+ZGFB=2a

/.NMAF=ZEGB

又；ZBEG=ZAFM=90°

ABEGSAFMA

.EGEGZMa

,•布一瓦一而一甚一『

【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形

中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解

题的关键.

3.（2024四川广元）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培

养动手能力，创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基

本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决.

C

A

AD匕DB

图1图2

C

ADB

图3图4

在“BC中，点D为边4B上一点连接3.

（1）初步探究

如图2,若/ACD=/B,求证：.4c2=AD•AB:

（2）尝试应用

如图3,在（1）的条件下，若点。为N3中点，BC=4,求3的长;

（3）创新提升

如图4,点E为CD中点，连接BE,若NCDB=NCBD=30。