2024-2025学年浙江省宁波市慈溪市高三（上）期末数学试卷+答案解析

2024-2025学年浙江省宁波市慈溪市高三(上)期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合.1-{JIMU,..12।-1•,li'j[2,I*-，且.1/>j.12-|,则-()

A.6B.3C.3D.6

2.已知•一；；，则：.()

A.'fB.1C.v12D.2

3.已知，「，厂是两个不共线的向量，若向量2不十："；，一共线，贝I()

A.6B.4C.-1D.

4.我国19岁射击运动员盛李豪在2024年巴黎奥运会上夺得了男子10米气步枪金牌，他在决赛的最后10

枪成绩为1。,9，】0.7，KM，W.Q，】0.5，98，10.7,9.9，10.5，106,则这10枪成绩的第40百分位

数是()

A.Hlr,B.1(1J5C.10.1D.HI25

5.在WC中,内角/,B,C所对的边分别是a,b,c,若止+而C，b1，则△ABC的面

积是()

A.1B.C.1D.1

sI2

6,已知函数/(t+I)1是奇函数，则/(0)+/(2)()

A.2B.1C.1D.2

7.已知正四面体48CD的棱长为2,点E是的中点，点尸在正四面体表面上运动，并且总保持/>/、〃「，

则动点尸的轨迹周长为()

A.4B.3V/3C.|+v3D.2+2v3

8.已知’"I,则()

疝II。CO6O

A."订—1B.aui(a+切=一；C.>ui(<k-3)■0D.，>|=—

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知直线/：，­Iu和圆C：贝!]()

A.当/与圆C相切时，一、,1

B.当/为圆C的一条对称轴时，“1

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C.当“二1时，/与圆。没有公共点

D.当“」时，/被圆C截得的弦长为卜一'

5

10.已知函数，，（/1,则（）

A.当ofcI时，f（af{b

B.当0voVb<1时，/（。）>/（b）

C.当1•«i（1且「•3・，,•时，!।«.'।-f\C-i

o

D.当人|且1"时，!\-115

b

11.胆式瓶创于南宋龙泉窑，康熙时期以郎红釉胆式瓶为贵.如图是18世纪的窑变红釉胆瓶，其优美的造型

可看作图中曲线。的一部分.已知曲线。上的点到1什11的距离与到〉轴的距离之积为6,若曲线。上的点

小"在第一象限，则（）

A.'、的最大值为、3

B.।I*

牙❹

C,曲线C的内接矩形的面积最大值为24

D.一个胆式瓶的剖面图可近似看作曲线CHu121,若一正四面体可在胆式瓶内任意转动I忽略胆式瓶

的厚度），则该正四面体棱长的最大值为4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.函数v••HI:（J」的最小正周期是.

13.已知11—『+M）（1+=*+。”-■">则"」.1用数字作答1

14.已知/,匚是双曲线C：二丁1“.u/,川的左、右焦点，过作斜率为1的直线交C于点/,

a26*2

且/在第一象限，若"1"/"为坐标原点I,则。的离心率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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15.।本小题13分）

•>I

甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采用5局3胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为一，乙获胜的概率为，且

33

每局比赛结果相互独立.

I求赛完4局且乙获胜的概率；

2若规定每局获胜者得2分，负者得1分，记比赛结束时甲最终得分为X,求X的分布列和数学期望.

16.।本小题15分J

如图，在四棱锥四ABCD中，ABjlCD,ADCD2ABZ.BAD»Wf>侧面尸/。是正三角

形，侧面广1。底面/BCD,M是尸。的中点.

（1）求证:4.”〃平面P8C；

求平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值.

17.I本小题15分）

已知函数JMr-1：1，山.

III当“I时，求曲线”「一在点壮—处的切线方程；

I，若Jr•，I',求a的取值范围.

18.本小题17分）

已知点1\是椭圆£：「,小「”，上一点，£的焦距为？

I2/<1*Cr

I求E的方程；

⑵过E的右焦点作斜率不为。的直线/，交E于尸，。两点，“，1是£的左、右顶点，记直线.1P,

的斜率分别为i,

「求:的值；

，”设G为直线A/与直线AQ的交点，记，〃Q的面积为S,的面积为求占的最小值.

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19.।本小题17分，

设a,J，定义：g.M为a,6的最大公约数，卜为a,6的最小公倍数，且具有以下性质：

①小“"—,I',；②当小，，时，,''''

IE知数列卜,卜,卜」的通项公式分别为“3一2”，儿、3-1,其中“，、【令g=”,」「，求数

列｛「｝的通项公式；

」已知有限数列)满足“，V•，且1,臼,....”一川为给定常数.若对一、，且

I':"-1」、「时，都有H.,1,'I.

⑺当时，证明：，-；

'.'illEHj：''11''

1。1,同[02,0]](Oa-nOwl2

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：因为集合」'：..HL..!1；'I,''1'

若.1/11-12•-3|-则.1，即”-6

故选：.1.

由已知结合集合的交集运算即可求解.

本题主要考查了集合交集运算，属于基础题.

2.【答案】C

2-t(2-»)(1-2i)-5i

【解析】解:

14-21-(1+2i)(l-2i)-1-4P

t-l|=|-»-l|=(-1尸=>/2.

故选：「.

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.

3.【答案】D

【解析】解：，「，八,是两个不共线的向量，若向量21+："；，1左9T共线，

则,,解得,।

故选：〃

根据已知条件，结合平面向量共线的性质，即可求解.

本题主要考查平面向量共线的性质，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：将数据从小到大排序为文、，）9,100,1HI,105,Hr.,loti,10

nUI,yI=,则।,3•1.10■li>।I,

因为，I是整数，所以第40百分位数是第4项与第5项数据的平均值，

：・r

nnHlHi.2X1*1101,

即2

故选：B

根据百分位数的性质即可求解.

本题考查了百分位数，属于基础题.

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5.【答案】B

【解析】解:由八1及-'-，/―1可得-1laHinC,

又余弦定理可得：/，/-卜2abci«C>

则i(a3+1-2aa»C)+1=lasinC>

整理可得：l'.'jblI-111<-2II,

所以、=163|“：「>H。，即-九”"1/一,

可得、in「+；>v''二或、<：，

即、i川「•.，I或)<-I,COB,二晶，

在△4BC中,C€(0,ir),.一(O.1),

可得「'」-：，所以，:「，

所以sinC=COB/M审，

此时A0,此时i，i“、，5=0,

解得“「'，

2

又因为3I,所以、^rbmiC01xX1X■

故选：/;

由题意及余弦定理得IrJl'i-ui1'•7'-i11,由判别式大于等于0,可得、in/\-।11的关系,

再由角C的范围，可得、山「的值，丙求出。的值，代入三角形的面积公式，可得该三角形的面积.

本题考查三角形的面积公式，考查正弦定理的应用，考查转化思想，属于中档题.

6.【答案】A

【解析】解：根据题意，函数/>,T：-1是奇函数，则/ir•11-I♦。，I「1।1,

令j1W：/(2)+/(0)=2

故选：

根据题意，由奇函数的定义可得/1>­•I-I•/•,.b-10,令,r=】，计算可得答案.

本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及函数的对称性，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：根据题意可得.UBC,DE上BC，又AErDEE，

!i(,平面4DE,

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,〃的轨迹为.的边上的点，

二可得动点尸的轨迹周长为-v3.22•2\3

故选：/),

根据题意易得P的轨迹为/U)/的边上的点，从而可求解.

本题考查动点轨迹问题的求解，属基础题.

8.【答案】C

【解析】解：已知'2a，

tunacosa

则"|上，•1'I•Ir-•I*>2«•t•I九rill"♦''"I…r，

31asinacueia

BP'"IIIl'•1K-fI-Ur,

即、ill”->।*.

故选：厂.

结合两角和与差的三角函数求解.

本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题.

9.【答案】BCD

【解析】解：根据题意，圆C：」「1,其圆心为,半径为1,

依次分析选项：

对于/,当/与圆C相切时，有”L1,解可得〃1：/错误；

v1+I

对于3,当/为圆C的一条对称轴时，圆心《，”在直线/上，

则有“」。，解可得“1,8正确；

对于C,当〃「时，圆C的圆心为12.山，半径为1，

圆心到直线/的距离d=',।'[71,直线/与圆相离，没有公共点，C正确；

v1+45

对于。，当“？时，圆。的圆心为；上I”，半径为1,

圆心到直线/的距离，/',1「'，

6+43

故/被圆C截得的弦长/2.1।屋、，。正确.

V55

故选：BCD.

根据题意，由直线与圆的位置关系分析/、C、D,由圆的对称性分析8,综合可得答案.

本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题.

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10.【答案】AC

【解析】解：因为，'一「，，，-

尸+I

1

对于A,因为h!)=1—=f(x),

X*,,b+1

w+1

所以当I时，/(«)f(b),故4正确;

对于5,当」】时，

1

/(")=.2上]=1

I，

1+—

X

因为U」」在I。1I上单调递减，

X

所以21在山11上单调增，

工+一

X

所以当1)•〃LI时，/(〃)</(b),故5错误;

对于C,由B可知函数“fr在I。”上单调增,

又因为〃・丁)■・T-八"，

H十一

X

所以，；「,I是R上的奇函数，

所以函数在1-1.山上单调递增，

当/-I时，”r-1在11.-X।上单调递增，

X

]

所以21在11.-J上单调减，

工+一

X

由《可知，:11,

a

所以1、11且-L时，

a

作出函数的图象，如图所示：

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所以「「小。小，故C正确；

对于。，当b>1且I•“八时,

b

因为八八-八L,如图所示：

0

所以/⑷>/(b),故。错误.

故选：4C

由题意可得卜」，从而判断4

X

结合对勾函数的性质，判断出函数在I上单调增，从而判断8；

判断出函数为R上奇函数，再判断出函数的单调性，作出图象，从而判断C,/)

本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了数形结合思想，属于中档题.

11.【答案】ABD

【解析】解：设为曲线上任意一点，则、一一“”,6，

对/：当“-I时，J所以、(，是x的最大值，故N正确；

_„,,,,：«>36

对5：由IJ-♦I.7ll,Jh-1/-I'--J',,

▼wa

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又点.“「，一“,在第一象限，所以殖1♦加〈4+,故8成立;

才0TQ

对c：将曲线向下平移4个单位，所得曲线方程为JN，『，n,与原曲线形状一致.

设I为新曲线上位于第一象限的一点，则曲线C内接矩形的面积为4xy,

因为小，1",\in「，因为.，」，所以…<1,

VX1

即曲线C内接矩形的面积小于24,故C错误；

对。：设正四面体的棱长为a,则其外接球的半径为

4

若要正四面体在胆式瓶内任意转动，需要圆/.『与曲线"相切，

当I时，两曲线在y轴右侧切于点|.山，故。的最大值为L故。正确.

故选：asn

列出曲线的方程，根据定义，可判断的真假；将曲线向下平移4个单位，化简曲线方程，表示曲线内接

矩形的面积，根据X的取值范围判断C的真假；把问题转化成正四面体的外接球与曲线C相切，可求。的

最大值.

本题主要考查曲线与方程，考查运算求解能力，属于中档题.

12.【答案】2

【解析】【分析】

由已知中函数的解析为，/「':，我们可以求出对应-值，代入/一，即可得到函数

233

u-JI的最小正周期.

本题考查的知识点是正切函数的周期性，其中根据函数的解析式求出-值，是解答本题的关键，在解答过

程中易将正切型函数的周期公式误记为凹而产生错解.

【解答】

解：,函数V•.1111,

故答案为：？

13.【答案】85

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【解析】解：根据11・J」的展开式九._(；「.，，，—k12Ki,

当与1配对时，,二，故/的系数为「1.'i•,

当与，配对时，，2,故，的系数为-("：15,

当与「配对时，，I,故，’的系数为「一1”,

故%120•1()15=卜；.

故答案为：、1

直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果.

本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题.

14.【答案】<5

【解析】解：设过/作斜率为:的直线的倾斜角为,，，则\'/

；贝叱公盍.

cior(>i，://，可得」「“一.一加，F,Id\、》工

由双曲线的定义可得"i-=2o,=Uu»@=g,/\

则|.1/［入，\Al\I”，

所以iI.\1\-U.，即1，”.【,「，

可得，-"-v''5.

a

故答案为：、/;

由题意可得可得.I\1”，，再由直线」/的斜率和双曲线的定义可得，1/.,\1的值，由勾股定

理可得a,c的关系，可得双曲线的离心率的大小.

本题考查双曲线的性质的应用，属于中档题.

15.【答案】解：；1，设“赛完4局且乙获胜”为事件/,则事件/发生就是乙前3局中获胜2局输1局，且

第4局获胜，

1219

/(l.ll-(--II--llI-';

333327

2\的可能取值为J,-1,1,4,5,6,

则P(X-3：J|'

J

21„12

/,IA--ii-firn,

,,133327

第11页，共16页

P(XS1)=“3,、3,，3,

P(X=6)=±

'327

X的分布列如表所示：

X:;-11456

•>、、X

PH.

27277812727

【解析】I由相互独立事件的概率乘法公式求解即可；

的可能取值为-3,1,1,4,5,6,求出对应的概率，即可得X的分布列和数学期望.

本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】解：1，证明：取尸C中点N,连接MV,NB,

因为M为尸。中点，所以「门，且一"\'<!>,

又因为.1〃('〃，.1〃所以，.IB—"V，

即四边形ABNM为平行四边形，

所以」““、，

因为」1/'/平面PBC,BNc平面PBC,

所以1"平面

2)因为平面/MD_L平面48cD,\BKD，

平面48CD,平面平面

所以平面尸4D，

第12页，共16页

建立以N为原点，AB,AD所在直线为x轴、y轴的空间直角坐标系,

则〃，山，＜'IIOt,广山.上八八，ill',\h2..I..IsJi,

所以2.Uh-BP2.2.2\3nH.\/i2.3.\3|.

设平面P3C的一个法向量再=i.r:,

则|小弊=。，即广'一，

I疥诉（）-2/+2y+2v：S:。

取ffi-\2,I.\3।,

设平面地。的一个法向量为M,

则（IT7M7--2u+:协-V工，）

I7FB?=2a+46=0

取“-2.1.1,

、3

ntIf4+1+7

所以＜5-—而”.-Gi-、，X

即平面P3C与平面〃3c的夹角的余弦值为"

8

【解析】llj先证四边形NEW为平行四边形，得到I"HX,即可得证；

，建立以N为原点，AB,所在直线为x轴、y轴的空间直角坐标系，分别求出平面尸8C和平面M5C

的一个法向量，利用向量法求解即可.

本题考查线面平行的判定，以及向量法的应用，属于中档题.

17.【答案】解：11当“1时，/，」-.rInj1,II,

X

所以:又/2―1In2,

4

第13页，共16页

所以In2)?、，即」2'72hi2-1•,

所以曲线“，一在点I士/I处的切线方程为，2',iJin211

；L令，.1-1(11.-'；*r.1-।，I,则1J1，

XX

I"当〃“时，“，」H,所以“I/I在III.•XI上单调递增，

但当」.।I时，f।,，\,所以此时不满足题意；

|“|当〃I)时，⑺一在”L"i上单调递减，在1".4XI上单调递增，

所以"I厂"川"I"-nhi”-7),

若H•.、I’则，，，H显然成立；

若〃,I,令力M--HhiI*,则力叠11h.1；I),所以，””I在[1.~।上单调递减，

又力I，;H,所以1u-f；

综上所述，“•〃・一即Q的取值范围是小，

【解析】11对/一求导，利用导数的几何意义可得切线斜率，由点斜式可得切线方程；

L令W,।,)11.---/»rrI”，对"「「I求导，分n”和“」两种情况讨论，即可求解满足条件

的。的取值范围.

本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于

中档题.

18.【答案】解：⑴因为点、片，\是椭圆£上一点，且焦距为2,

''2'

(33

所以《«iJI，/',

[<?-V=1

解得][.

则椭圆E的方程为1;

43

(2)(“设直线/的方程为.r小”I1‘尸协)，Q"」.如)，

X■9HU+1

联立《.，消去X并整理得|3〃广-I"广+-

3广41/二12

k

由韦达定理得.%~t/j-_；，!八也-一r~j，

•>

所以功.办也，

第14页，共16页

因为&_11a---幼如一gj2(»i+版)-Vi协+3g_\

A，V'*1-»'|•21•31•3Q3,9yl+岫3

z(lh+W)+3供

1小设直线,I〃的直线方程为u

所以直线.13的方程为“—M