2024-2025学年浙江省温州市高一年级上册10月联考数学学情检测试题（附解析）

2024-2025学年浙江省温州市高一上学期10月联考数学学情检测试题

亲爱的高一新同学，你是否已经适应了高中的学习生活？高中数学的学习同初中没有大的区

别，一是“运算”，二是“推理”，三是“图形”（即借助图形分析解决问题），同时要注意“文字

语言”、“符号语言”、“图形语言”之间的转换.愿你用上面的方法能轻松地完成这次考试，祝

你考出好成绩！

一、选择题：每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请

把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.设集合Z={3,5,6,8},3={4,5,7,8},则（）

A,{3,4,5,6,7,8}B,{5,8}C.{6,8}D.{8}

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解.

【详解】因为/={3,5,6,8},5={4,5,7,8）,所以213={5,8},

故选：B.

2.命题“*eR,x+120”的否定是（）

A.HxeR,x+1<0B.R,x+1>0

C.VxeR,x+1<0D.VxR,x+1>0

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称命题与存在性命题的关系,准确改写，即可求解.

【详解】根据全称命题与存在性命题的关系,可得：

命题“3xeR,x+120”的否定是"X/xeR,x+l<0”.

故选：C.

3.下列命题为假命题的是（）

A.若。>6,c>d,贝!Jac〉bdB.若。>方，c>d,贝！Ja-d>b-c

C.若a〉6〉0,则一7<-yD.若a>b>0,则白>JK

ab

【答案】A

【解析】

【分析】选项A,通过取特殊值，即可判断选项A的正误；选项B,利用不等式的性质，即可求解；选项

C和D,根据条件，通过作差，即可判断出选项C和D的正误.

【详解】对于选项A,取。=3/=-4,。=-2,d=-5,显然有。>6,,但。。=一6<20=仪/,所

以选项A为假命题，

对于选项B,因为。>6,c>d,则a+c>Z?+d,可得到Q—d>b—c,所以选项B为真命题，

对于选项c,因为。〉6〉0,由二—二="£=生耳卑包<o,得到二<与，所以选项c为

/b1a2b°a2b2a2b2

真命题，

对于选项D,因为。〉6〉0,由夜-加=:b>0,得到标>6，所以选项D为真命题，

yja

故选：A.

4.做一个体积为8m3,高为2m的长方体包装箱，则所用材料的最小值为（）

A.4m2B.8m2C.16m2D.24m2

【答案】D

【解析】

【分析】设底面的长和宽分别为am,Am（a〉0/>0）,即可得到ab=4,再由长方体的表面积公式及基

本不等式计算可得.

【详解】设底面的长和宽分别为am,Am（a>Q,b>0）,

因为体积为8m3,高为2m,

所以底面积为4m2,即ab=4,

所用材料的面积S=2ab+2Z）x2+2ax2=8+4（a+Z））

>8+4x2^=8+16=24，当且仅当a=b=2时取等号，

所以当底面的长和宽均为2m时，所用的材料表面积最少，其最小值为24m之.

故选：D

5.下列命题为真命题的是（）

人“。>6”是“力〉/”的充分不必要条件

B.-A\JB=A”是“BqA”的必要不充分条件

C.“a=1”是“a2=1”的充要条件

D.“x>1”是“x<2”的既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】举反例可得A错误，D正确；由集合间的关系可得B错误；当a=-1时可得C错误；

【详解】对于A,若。=0,6=-1,则但/〉/不成立，故A错误；

对于B,"ZU8=Z”是“5=4”的充要条件；

对于C,/=1时。=±1,所以/=1不能推出。=1,故c错误；

对于D,当x=3时满足x>l,但不满足x<2,充分性不成立；

当x=0.5时，满足x<2,但不满足x>l,必要性不成立，故D正确.

故选：D.

6.已知集合2=卜|1<%<。},5={x|l<x<2},若4n5=5,则实数a的取值范围为（）

A.a>2B.a>2C.a<2D.a<2

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集的结果，可得集合间的包含关系，建立不等式，可得答案.

【详解】由=则可得2Wa.

故选：B.

4

7.若x>0,则/（%）=2-x—（）

x

A,最大值为-2B,最小值为-2C,最大值为6D.最小值为6

【答案】A

【解析】

【分析】先用定义法证明函数/（x）在（0,2）单调递增，在（2,+co）单调递减，从而即可求出函数最大值.

【详解】任取0<苞</<2,

（4。4）//44）//4）

则=2—玉-2-X2---=（x2-xj+-------=（x2-xj1------,

卜X\J\x27\X2X\JIX2X\/

4

因为0<占<12<2,所以％2—项〉0，%2玉<4，故1----<0，

所以/（再）—/（々）<0即/（再）</（々）,

所以/（X）在（0,2）单调递增；同理可证/（x）在（2,+8）单调递减，

所以〃X）3=/（2）=—2.

故选：A.

8.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的祛码放

在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的祛码放在天平右盘中，再取出一些

黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.顾客实际购买的黄金（）

A.大于10g；B.小于10g；C.等于10g；D.不能判断大小.

【答案】A

【解析】

【分析】设出天平的左右臂及两次称得的黄金质量，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论.

【详解】设天平左臂长为。，右臂长为6,a手b,设第一次称得黄金为xg,第二次称得黄金为？g,

则6x=5a,ay=5b,即x=",j=—,而a〉0,b〉0,

ba

因此x+v=2+色=5（^+2）25x2、^^=10,

baba\ba

cih

当且仅当一=—,即。二人时等号成立，但awb,即等号不成立，则％+歹>10,

ba

所以顾客购得的黄金大于10g.

故选：A

二、选择题：每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部

选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的

位置上.

9.已知集合^={xeN|l<x<2},则下列结论成立的是（）

A.0^AB.2eAC.{x11<x<2}口ZD.{2}口/

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据条件得到幺={1,2},再利用元素与集合，集合与集合间的关系，对各选项分原判断即可求

解.

【详解】由题知幺={1,2},所以2eA,{2}A,即选项A,B和D正确,

33

对于选项C,显然有一e{x|l<x<2},但一仁幺，以选项C错误，

2iJ2

故选：ABD.

10.下列命题为真命题的是（）

A.若a〉6〉0,则以？〉6c2B.若a〉b〉0,则/

C.若a<6<0,则4〉口6〉/D.若a<b<0,则工〉工

ab

【答案】BCD

【解析】

【分析】选项A,通过取特殊值，即可判断；选项B,C和D,根据条件，通过作差比较，即可判断.

【详解】对于选项A,当c=0时，由a〉b〉0,得不到42〉加2,所以选项A为假命题，

对于选项B,因为。〉6〉0,由/=（。—b）（a+b）〉0,得到二〉〃，所以选项B为真命题，

对于选项C,因为a<6<0,由a?一。6=。（。-b）〉0,ab-b2=b{a-b）>0,得至1Ja?〉ab〉/，所

以选项C为真命题，

对于选项D,因为a<b<0,由工一;=号>0,得到工〉工，所以选项D为真命题，

ababab

故选：BCD.

11.关于x的方程af+2x+a=0恰有一个实数根的充分不必要条件可以是（）

A.a<2B.a=l或a=-lC.。=0或。=±1D.a-0

【答案】BD

【解析】

【分析】求出恰有一个实数根的等价条件后可得正确的选项.

【详解】若4=0,则原方程为X=0,恰有一个实数根，符合；

若"0,则A=4-4/=0，故。=±1,

故关于x的方程ax2+2x+a=0恰有一个实数根的等价条件为a=0或a=±1,

ABCD个选项中，只有BD对应的选项中的元素构成的集合为{0,±1}的真子集，

故选：BD.

三、填空题：每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.

12.设集合2=卜卜2_3》一4=。1,8=1/=1},则/|J5=.

【答案】{一1,1,4}

【解析】

【分析】首先化简集合A、B,再根据并集的定义计算可得.

［详解］因为幺=1x,2_3x_4=0}={—1,4},5=卜,2=

所以ZU8={-M,4}.

故答案为：{TL4}

13.根据下述事实，写出一个含有量词的命题是.

I3=I2>

I3+23=(1+2)2,

F+2,+33=0+2+3)2,

13+23+33+43=(1+2+3+4)2

【答案】V〃eN*，13+23+---+«3=(1+2+---+«)2

【解析】

【分析】根据条件，能过类比归纳，即可得出结果.

【详解】由题知，一个含有量词的命题是V〃eN*，F+23+…+/=。+2+…+〃y,

故答案为：eN*,F+23H---\-n3=(1+2H---

14.已知集合2={1,3,/},8={l,a+2},若ZU8=Z,则实数.

【答案】2

【解析】

【分析】

由已知及/U8=Z可得则a+2=3或0+2=/,分别解出。得值，再检验集合A、3满足互

异性即可.

【详解】由已知及ZU8=Z可得BDA,

所以a+2=3或。+2=口2,

当。+2=3即。=1时，此时/={1,3,1}不满足元素互异性，不符合题意,

当。+2=。2即。=一1或。=2,

若a=-1则/={1,3,1}不满足元素互异性，不符合题意，

若a=2则2={1,3,4},8={1,3},满足8UA,符合题意.

所以实数。=2,

故答案为：2.

四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出证明过程或演算步骤.

15已知全集。={xeN|x<10},集合2={1,2,3,4},3={4,5,6,7,8,9},求：

（1）AcB；

（2）d（ZU5）；

（3）（。⑷「尻

【答案】（1）Nc8={4}

（2）d（ZU8）={0}

（3）={5,6,7,8,9}

【解析】

【分析】（1）根据条件，利用集合交集的运算，即可求出结果；

（2）先求出全集U,利用集合并集的运算，得到4U8,再利用集合补集的运算，即可求解;

（3）用集合补集的运算得到。N,再利用集合交集的运算，即可求解.

【小问1详解】

因为N={1,2,3,4},8={4,5,6,7,8,9},

所以Nc8={4}.

【小问2详解】

因为。={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},又ZU8={1,2,3,4,5,6,7,8,9）,

所以a（NU5）={0}.

【小问3详解】

因为。={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,2,3,4},

所以常Z={0,5,6,7,8,9},又8={4,5,6,7,8,9},得至1]（立幺）口8={5,6,7,8,9}.

16.已知集合幺=卜,三1一4或x>l+a},5={x[x<-l或x22}.

（1）当。=-1时，求/U8；

（2）若“xeB”是“xeZ”的必要不充分条件，求实数。的取值范围；

（3）若“xeB”是“xeZ”的充分不充分条件，求实数。的取值范围.

【答案】（1）R

（2）（2,+00）

（3）（-co,1]

【解析】

【分析】（1）当a=-1时，得到/=R,结合并集的概念，即可求解；

（2）根据题意，转化为A是2的真子集，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解；

（3）根据题意，转化为8是A的真子集，分aWO和。〉0,两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.

【小问1详解】

解：当。=一1时，N={x|xW2或x>O}=R,所以ZU8=R.

【小问2详解】

解：因为是xeZ的必要不充分条件，可得A是2的真子集，

1—a<—1

则满足<c，解得a>2,所以实数。的取值范围为（2,+co）.

l+a>2

【小问3详解】

解：因为xe8是xe幺的充分不充分条件，可得5是A的真子集，

①当1一。之1+。时，即aWO时，此时/=R,符合题意；

a>0tz>0

②当1—a<l+a时，即。>0时，则满足l1—1,即解得0<。<1,

1+a<2a<1

综上可得，实数。的取值范围为

17.如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形N5CD和

EFG”构成的面积为200机2的十字形地域，计划在正方形ACVPQ上建一座花坛，造价为4200元/加2；在

四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/加之；再在四个空角（图中四个三角

形）上铺草坪，造价为80元/加2.设总造价为s（单位：元），长为x（单位：m）.当x为何值时，S最

【答案】x=JIUm时，S最小且S最小=118000兀.

【解析】

【分析】

先求出=4000x2+400000+38000(0<无<1072),再利用基本不等式求解.

X

【详解】解：由题意，有双=200一厂,又幺〃>0,有0<X<108.

4x

^200-x2?

5=4200X2+210X(200-X2)+80x2x

、4x,

42

=4200/+42000—210/+400000+1Ox-4000%

x2

240000

see2400000+38000(0<x<10V2)...2^4000X^+38000

=4000x+----------X

x

=80000+38000=118000

当且仅当4000x2=竺学3，即x=9时取

X

・•・当x=VTOm时，S最小且S最小=118000兀.

【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

18.在“基本不等式”应用探究课中，老师提出了下列问题：已知正实数。，6满足2。+6=1,求工+工的

a2b

最小值.

甲、乙两位同学对该问题给出了两种不同的解法，甲给出的解法是:

l=2a+b>Zy/labyjab<—\=>2^/2,>2.—=^L>2A/2XV2=4,

2。2yjaba2b2abyjab

所以—I—~的最小值为4.

a2b

„11（11I-,\ba1Jba59

乙给出的解法是：一+—=—+一\（2a+b）=2+—+—+->2.----+—=一,

a2blei2b）ab2\ab22

119

所以—।—~的最小值为一.

a2b2

（1）请你判断哪位同学的解法正确，并指出解法错误的原因；

（2）结合上面的材料，求解下面的问题：

12

①已知正实数。，6满足一+—=1,求2。+6的最小值，并求出取得最小值时。，6的值;

ab

211

②已知0<x<一,试求一+------的最小值，并求出取得最小值时x的值.

3x2-3x

【答案】（1）乙的解法正确，原因见解析

（2）①最小值为8,o=2,6=4；②最小值为2+石，x=l-—

一一3

【解析】

【分析】（1）利用基本不等式“一正二定三相等”的原则，分析甲乙的解法即可得解；

（2）①②利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

【小问1详解】

乙的解法正确；甲的解法错误原因如下：

甲的解法中，2a+b22"石成立的条件是2a=b=；,

而工+工22、口成立的条件是工=4,即a=26=2,

a2bVlaba2b5

显然两次基本不等式的等号不能同时成立，所以甲的解法错误.

【小问2详解】

12

①因为正实数e6满足一+7=1,

ab

所以2Q+〃=（2a+b）\+|^=2+2+?+2>2l--+4=8,

bJab\ab

b4Q

当2二一，即〃=2,6=4时，等号成立，

ab

2a+b的最小值为8.

2

@vO<x<y,.\2-3x>0,

+l^|x|>4+2.3(2-3%)3「

3+3(2-3x)+3xx—=2+VJ,

3x2-3x3x2-3x2

当3(2—3x)=4^,即》=1—立时，等号成立,

3x2-3x3

~+—-一的最小值为2+百.

x2-3x

19.迪卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公

式化而被后人认为是“解析几何之父”.高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“迪卡尔积”是一个很有趣

的问题.

设A,8是任意两个非空集合，则称集合Nx8={(a,6)|ae//e8}为“A与8的迪卡尔积”，并记集合

AxB的元素个数为Mx8].

(1)若/={0,1},B={1,2,3},求4xB与Bx4；

[Zx4]+81x[BxB]

(2)若[Zx8]=掰29,[图。[切，机为素数，且i----」；-----对任意素数加恒成立，求实

[AxB]

数。的取值范围，并写出当。取到最值时机应满足的条件及一组符合条件的集合A,B.

一11

(提不：当x2〃，且〃〉—/=时，式子—