湖南省长沙市芙蓉区2025届九年级上学期1月期末数学试卷(含解析)

2024-2025学年湖南省长沙市芙蓉区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门基础学科，“数学”的英文缩写为“math”，构成“math”的四个英文字母中，属于中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.下列事件中，属于必然事件的是(

)A.在标准大气压下，水加热到会沸腾 B.三角形的两边之和小于第三边

C.经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D.抛掷一块石头，石头终将落地3.如图，四边形ABCD内接于，，则的度数是(

)A.

B.

C.

D.4.已知点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(

)A. B. C. D.5.如图，在四边形ABCD中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是(

)A.CA平分

B.

C.

D.6.把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析：式为(

)A. B.

C. D.7.10月10日，“竣越杯”2024湖南省青少年篮球超级联赛在长沙市六中开幕，本届赛事采取了主客场的赛制进行，即每两个队之间要进行两场比赛.最终，来自各地的多支本土校园篮球劲旅在为期一个月的时间内展开了56场比赛.若设共有x支本土校园篮球劲旅参加比赛，则x满足的关系式为(

)A. B. C. D.8.对于二次函数，下列说法正确的是(

)A.图象的开口向上 B.图象的对称轴是直线

C.图象的顶点是 D.当时，y随x的增大而增大9.刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为(

)A.1 B.3 C. D.10.如图，在中，，点D为线段BC上一动点不与点B，C重合，连接AD，作，DE交线段AC于点

下面是某学习小组根据题意得到的结论：

甲同学：∽；

乙同学：若，则；

丙同学：当时，D为BC的中点.

则下列说法正确的是(

)A.只有甲同学正确 B.乙和丙同学都正确C.甲和丙同学正确 D.三个同学都正确二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.已知关于x的方程的一个根是3，则它的另一个根是______.12.围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有6个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是______个.13.如图，在中，直径于点E，，，则的半径长为______.

14.如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是______.

15.如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，，则四边形ABCD的面积的最大值为______.

16.如图，在中，，点A在反比例函数的图象上，点B，C在x轴上，，延长AC交y轴于点D，连接BD，若的面积等于4，则k的值为______.

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题6分

计算：18.本小题6分

解方程：19.本小题8分

如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点

求m，a的值，并直接写出点B的坐标；

根据图象可得，不等式的解集为______.20.本小题8分

某市利用各类灵活多样的宣传方式、各种宣传载体，全方位开展“国家反诈中心APP”宣传推广活动，截至2023年底，注册人数已达万人.某社区工作人员为调查本社区居民对于“国家反诈中心APP”的了解情况，进行了一次问卷调查，本次问卷调查共设10个问题，每题10分，问卷调查结束后，根据问卷结果分为A：非常了解分、B：比较了解分、C：基本了解分、D：不太了解分四个等级并绘制了如下两幅不完成的统计图.

根据如图所示图标回答下面的问题：

在扇形统计图中，A等级对应的扇形圆心角为______，补全条形统计图；

若该社区共有居民8000人，请你估计对于“国家反炸中心APP”问卷调查得分不低于60分的人数；

为了更好的开展“国家反诈中心APP”宣传推广工作，社区准备招募两名宣讲人员，现有问卷调查为A的4人报名，其中男性1人，女性3人，若从中随机选取2人，求选取的为1男1女的概率.21.本小题8分

如图，在矩形ABCD中，，点E，F分别在边BC、AB上，且于点

如图1，当时，求证：；

如图2，，若，，求AH的值.22.本小题8分

“我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销大米时的台词．所推销大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋．为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元为正整数，每分钟的销售量为y袋．

求出y与x的函数关系式；

设“东方甄选”每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？

“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润不低于3875元，且让消费者获得最大的利益，求此时大米的销售单价是多少元？23.本小题8分

如图，AB是的直径，AC是的弦，半径，CE交AB于点F，过点C作的切线交AB的延长线于点

求证：；

若，，求图中阴影部分的面积.24.本小题10分

定义1：在平面直角坐标系中，点是平面内一点，我们称的值为点P的“2024芙蓉花”.如考虑点，因为，所以点的“2024芙蓉花”为

定义2：在平面直角坐标系中，图形G上所有点的“芙蓉花”中最大的值称为图形G的“2024最美芙蓉花”.

已知点P在抛物线的图象上，且P点的横坐标为，那么点P的“2024芙蓉花”是______；该抛物线的“2024最美芙蓉花”是______.

已知抛物线，是否存在某个合适的m的值，使得该抛物线的“2024最美芙蓉花”是若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.

已知：①点在二次函数的图象上，且点A的“2024芙蓉花”为；②二次函数和二次函数的“2024最美芙蓉花”相等；③AB是圆O的直径，点C为圆O上一定点点C不与点A和点B重合以长度分别为，，的三条线段刚好能构成一个三角形，且构成的三角形刚好和三角形ABC相似.求满足条件的a，b，c的值.25.本小题10分

如图，四边形ABCD内接于，对角线AC、BD交于点E且AC为直径，延长DA、CB交于点F，连接OD，若，请回答下列问题：

求证：∽；

若，求的值；

设，与四边形ABCD的面积之比为y，请求出y关于x的函数关系式.答案和解析：1.【答案】D

解析：解：A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、不是中心对称图形，不符合题意；

C、不是中心对称图形，不符合题意；

D、是中心对称图形，符合题意；

故选：2.【答案】D

解析：解：A、在标准大气压下，水加热到会沸腾，是不可能事件，故该选项不符合题意；

B、三角形的两边之和小于第三边，是不可能事件，故该选项不符合题意；

C、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，故该选项不符合题意；

D、抛掷一块石头，石头终将落地，是必然事件，故该选项符合题意．

故选：

3.【答案】B

解析：解：四边形ABCD内接于，，

，

故选：

4.【答案】D

解析：解：点，和都在反比例函数的图象上，

，，，

，

故选：

5.【答案】C

解析：解：在和中，，

如果∽，需满足的条件有：

①或AC是的平分线；

②；

故选：6.【答案】A

解析：解：将抛物线向左平移2个单位所得直线解析：式为：；

再向下平移5个单位为：

故选：

7.【答案】D

解析：解：根据题意得，

故选：

设共有x个队参加比赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛56场，可列出方程．

8.【答案】C

解析：解：，

，开口向下，顶点，对称轴是直线，

当时，y随x的增大而减小．

故选：

9.【答案】B

解析：解：如图，过A作于C，

圆的内接正十二边形的圆心角为，，

，

，

这个圆的内接正十二边形的面积为，

故选：

10.【答案】D

解析：解：在中，

，

，

，，

，

∽，

甲同学正确；

在和中，，

≌，

，

乙同学正确；

当时，

，

，

，

，

，

，

D为BC的中点，

丙同学正确；

综上所述：三个同学都正确．

故选：11.【答案】

解析：解：由题知，

因为关于x的方程为，

所以方程的两根之积为，

又因为方程的一个根为3，

所以方程的另一个根为

故答案为：12.【答案】24

解析：解：由题意，盒中棋子的总个数是个

故答案为：13.【答案】5

解析：解：直径于点E，，，

，

设的半径长为r，则，

在中，，即，

解得

故答案为：

14.【答案】或

解析：解：由图可知，对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，

函数图象与x轴的另一交点坐标为，

的解集是或

故答案为：或

15.【答案】

解析：解：设，四边形ABCD面积为S，则，

则：，当时，；

所以，四边形ABCD的面积最大值为

故答案为：

16.【答案】12

解析：解：作于E，连接OA，

，

，

，

，

，

∽，

，

的面积等于4，，

，

，

，

，

，

，

故答案为：17.【答案】原式

解析：根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、二次根式化简的计算方法，分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

18.【答案】解：原方程两边都乘，去分母得：，

整理得：，

解得：，

检验：当时，，

故原方程的解为

解析：利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．

19.【答案】或

解析：解：点在一次函数的图象上，

将，代入中，得，

点在反比例函数的图象上，

将，代入中，得，

解得

联立，解得：或，

点B的坐标为；

由图象得：当一次函数的图象位于反比例函数图象下方，即时，或，

故答案为：或20.【答案】

解析：解：依题意，总人数：人；

A等级对应的扇形圆心角：；

B等级的人数：人；

如图：

依题意，

“国家反炸中心APP”问卷调查得分不低于分的人数：人；

依题意，列出树状图：

总共有16种结果，满足选取的为1男1女的结果有7种，

则选取的为1男1女的概率：

21.【答案】证明：当时，，

矩形ABCD是正方形，

，

，

，

，

，

，

在和中，

，

≌，

；

解：在矩形ABCD中，，

，

，

，

，

，

∽，

，，，

，

解得：或舍去，

解析：根据题意可得矩形ABCD是正方形，再证明≌，即可；

证明∽，可得，从而得到，再由勾股定理，即可求解．22.【答案】解：由题意可得：

，

与x的函数关系式为；

由题意，得：

，

，抛物线开口向下，

当时，w最大，最大值4500，

答：当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元；

根据题意得：，

解得，，

为了让消费者获得最大的利益，

，

答：此时大米的销售单价是65元．

解析：根据销售单价每降1元，则分钟可多销售5袋，写出y与x的函数关系式；

根据“东方甄选”每分钟获得的利润w元等于每袋的利润乘以销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；

根据“东方甄选”每分钟获得的利润w元等于每袋的利润乘以销售量以及保证捐款后每分钟利润不低于3875元，列出方程，求出方程的解，再根据让消费者获得最大的利益，进行取值即可．

23.【答案】证明：如图，连接OC，

为的切线，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

解：，，

，

，

，

，

解析：连接OC，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，得到；

根据三角形面积公式、扇形面积公式计算即可．24.【答案】

解析：解：当时，，

，

，当时，，

该抛物线的“2024最美芙蓉花”是：，

故答案为：，；

假设存在，

，该抛物线的“2024最美芙蓉花”是，

，，

，

；

，点A的“2024芙蓉花”为，

，

①，

由题意得，

，，

二次函数和二次函数的“2024最美芙蓉花”相等，

，

②，

是的直