2024-2025学年广东省河源市东源中学高二下学期段考一数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省东源中学高二下学期段考一数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数f(x)=x−lnx的单调减区间是(

)A.12,+∞ B.0,12 C.2.已知函数f(x)=sinπx，则f′1A.−π B.0 C.π D.13.已知直线y=kx是曲线y=lnx的切线，则切点坐标为(

)A.(1e,−1) B.(e,1) C.(4.某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数st=t2+t+1表示，则该物体在A.0m/s B.1m/s C.2m/s D.3m/s5.函数f(x)=x3−3x(|x|<1)A.有最值，但无极值 B.有最值，也有极值

C.既无最值，也无极值 D.无最值，但有极值6.已知f′x是fx的导函数，f′x的图象如图所示，则fx的图象只可能是(

)A.B.C.D.7.已知函数f(x)=(2−a)x+a,x<0ex+ax2,x≥0在A.(0,1] B.−e2,1 C.−8.函数f(x)=2x3−ax2+2在0,2上的最大值为2A.[4,6) B.[6,+∞) C.(0,4) D.[4,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.(多选)下列函数中，在区间1,+∞上为增函数的是(

)A.y=sinx B.y=xex C.10.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位偶数，下列正确的选项有(

)A.如果个位数是0，则前3位有A53种排列

B.如果个位是2或4，则前3位有A41A42种排列

C.符合题意的四位偶数共有11.如图，c为函数fx的极小值点，已知直线gx=kxk>0与曲线y=fx相切于A、B两点，设A，B两点的横坐标分别为a，b，函数FxA.Fx有极大值，也有极小值 B.x=a是Fx的极小值点

C.x=b是Fx的极大值点 D.x=c三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若曲线f(x)=alnx−x−2在x=1处有最值，则实数a的值为

13.已知函数f(x)=lnx−ax−2在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值范围为

．14.瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中▵ABC为直角三角形，其直角顶点C在x轴上，点Dπ4,1是斜边AB上一点，其“欧拉线”是正切曲线y=tanx以点Dπ4四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分若fx=1(1)fx(2)fx在0,2上的最小值和最大值．16.(本小题15分已知首项为1的等差数列an满足：a(1)求数列an(2)若数列bn满足：a1bn+a2b17.(本小题15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=AD=PD=2AB=2，PB=(1)证明：直线AB⊥平面PAD；(2)若CD=CA=2，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．18.(本小题17分已知函数fx(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x+2y=2垂直，求实数a的值；(2)若函数g(x)=f(x)−x在区间1,+∞上为增函数，求实数a的取值范围(3)若f(x)在定义域内有两个零点，求实数a的取值范围．19.(本小题17分已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0(1)求椭圆C的方程；(2)求证：直线AB恒过定点；(3)求▵PAB面积的最大值．

参考答案1.D

2.A

3.B

4.D

5.C

6.D

7.B

8.D

9.BC

10.ABC

11.AB

12.1

13.1214.π−2415.(1)f由f′x>0解得fx的增区间为−∞,−3(2)f′x=x2+2x−3=0，x=−3(f1=1f2fxmax

16.【详解】(1)设an公差为d，又a所以a2又a1=1，即1+d2=2+2d，解得而d=−1时，不满足a1,a所以an(2)令Dn所以Dn+1两式相减有：Dn+1所以数列bn的前n+1项和为2⋅3n又D1=a所以Tn

17.【详解】(1)取AD的中点O，连接PO，因为PA=AD=PD，所以PO⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD，PO⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，所以PO⊥AB，又PB=5，PA=2,AB=1，所以所以PA⊥AB，又PA∩PO=P，PA,PO⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD．(2)连接OC，因为CD=CA=2，所以CO⊥AD，又PO⊥AD，所以∠COP是二面角P−AD−C的平面角，又平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥OC，以O为坐标原点，OC,OA,OP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，由(1)知，AB⊥平面PAD，又AD⊂平面PAD，所以AB⊥AD，且AB=1，则C(则AB=(1,0,0),设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z)则n⋅AB=x=0n⋅所以平面PAB的一个法向量为n=(0,设直线PC与平面PAB所成的角为θ，所以sinθ=所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为2

18.【详解】(1)f′x=1因为切线与直线x+2y=2垂直，所以1−a×−1(2)gx=lngx在1,+∞上单调递增，所以1x−ax−1≥0在1,+∞令1x=t∈0,1，则a≤t2−tmin，当t=(3)当a≤0时，f′x>0，则当a>0时，0<x<1a时，f′x>0；x>1a时，f1a=ln1a−12>0，解得0<a<1e，此时，f1=−12a<0，f所以ℎa所以有两个零点，故0<a<

19.【详解】(1)依题意有b=1,ca=∴椭圆C的方程为x2(2)如图，当直线AB的倾斜角为90设直线AB的方程为：y=kx+mm≠1联立y=kx+m,x24+y∴Δ=64k2m∴x∵∠APB=90∘又∵PA∴x∴k即k2∴5m2−2m−3