2024-2025学年宁夏银川市银川一中高一（下）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年宁夏银川一中高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数z满足z⋅(1−i)=2i，则复数z对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知{a,b}是平面内的一个基底，则可以与向量mA.0 B.b−a C.a+3.在三角形ABC中，a=2，B=π3，b=23，则A.π6 B.π2 C.π6或π2 4.若两个非零向量a，b的夹角为θ，且满足|a|=2|b|，(aA.−23 B.−13 C.5.在平面直角坐标系xOy中，A(1,2)，B(3,3)则向量AB在向量OA上的投影向量为(

)A.(−125,−125) B.(6.在艺术、建筑设计中，把短对角线与长对角线的长度之比为2−1的菱形称为“白银菱形”.如图，在白银菱形ABCD中，若AD⋅AB=λACA.32−22B.3−227.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2+ab=c2，若角C的内角平分线A.8 B.4 C.16 D.128.如图，边长为4的等边△ABC，动点P在以BC为直径的半圆上.若AP=λAB+μAC，则λ+1A.[1,52]B.[12,1]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a=(t,−2),b=(−4,t)，则A.若a//b，则t=±22

B.若a⊥b，则t=0

C.|a−b|的最小值为10.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b−2a+4asin2A+B2A.角C一定为锐角 B.a2+2b2−c2=011.对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是(

)A.若a=2，A=30°，则b+2csinB+2sinC=2b+c2sinB+sinC=4

B.若a=8，b=10，B=60°，则符合条件的△ABC有两个

C.若点P为△ABC所在平面内的动点，且AP=λ(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC),λ∈(0,+∞)，则点P的轨迹经过△ABC的垂心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数z=2+i，则其共轭复数z13.已知△ABC的三个内角分别为A、B、C，C=2π3，求sin214.已知向量a，b为平面内的单位向量，且a⋅b=12，向量a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3c=2asinC．

(1)求A；

(2)若a=3，且△ABC的周长为16.(本小题15分)

如图，在△ABC中，已知|AB|=3，|AC|=23，∠BAC=30°，且BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．

(1)求|AP17.(本小题15分)

在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinA+bsinB=csinC+2bsinA．

(1)求角C的大小；

(2)若c=2，边AB的中点为D18.(本小题17分)

位于郑州海昌海洋旅游度假区内的“郑州之眼”摩天轮是目前中原地区最高的摩天轮.该摩天轮的最高点距离地面的高度约为105米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了60个座舱.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．

(Ⅰ)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求H(t)的解析式；

(Ⅱ)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为37.5米？

(Ⅲ)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔9个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为ℎ米，求ℎ的最大值及此时的时间t．19.(本小题17分)

设△ABC是边长为1的正三角形，点P1，P2，P3四等分线段BC(如图所示)．

(1)求AB⋅AP1+AP1⋅AP3的值；

(2)若Q1，Q2，…，Qk，…，Qn−1是线段BC的n等分点，AQ

参考答案1.B

2.C

3.B

4.A

5.B

6.C

7.A

8.D

9.ABC

10.BC

11.ACD

12.−1

13.3414.1215.解：(1)在△ABC中，由3c=2asinC及正弦定理得：3sinC=2sinAsinC，

因为sinC>0，所以sinA=32，

又因为0<A<π，所以A=π3或A=2π3；

(2)由△ABC的周长为3+3，a=3，得b+c=3，

在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA，

即3=(b+c)2−2bc(1+cosA)，则2bc(1+cosA)=6，

当A=2π3时，bc=6，于是b16.解：(1)设AP=tAM，

则根据题意可得AP=tAM=t2(AB+AC)=t2AB+tAN，

又P，B，N三点共线，∴t2+t=1，∴t=23，

∴AP=13(AB+AC)，

17.解：(1)已知asinA+bsinB=csinC+2bsinA，

则a2+b2=c2+2ab，

即a2+b2−c22ab=22，

即cosC=22，

又△ABC为锐角三角形，

则C=π4；

(2)已知c=2，C=π4，

又