2024-2025学年陕西省西安市鄠邑四中高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省西安市鄠邑四中高二（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若物体的运动方程是s=t3+t2−1A.27 B.31 C.39 D.332.函数f(x)=x+sinx在区间[0,π]上的平均变化率为(

)A.1 B.2 C.π D.03.y=sinx(cosx+1)的导数是(

)A.cos2x−cosx B.cos2x+cosx C.cos2x+sinx D.cos4.已知f′(x)为f(x)的导数，且f′(2)=2，则limΔx→0[f(2−Δx)−f(2)A.−2 B.−1 C.1 D.25.函数f(x)=12x−sinx在[0,πA.π6−32,0 B.π6.函数y=f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列大小关系正确的是(

)

A.2f′(4)<f(4)−f(2)<2f′(2) B.2f′(2)<f(4)−f(2)<2f′(4)

C.2f′(4)<2f′(2)<f(4)−f(2) D.f(4)−f(2)<2f′(4)<2f′(2)7.若函数y=x3+x2+mx+1是RA.(13,+∞) B.(−∞,13]8.已知函数f(x)=lnxx−a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是A.(0,e) B.(−∞,e) C.(0,1e)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=(3x−5)ex，则下列结论中正确的是(

)A.函数f(x)在(23,+∞)上单调递减 B.函数f(x)的极小值点为x=23

C.函数f(x)无极大值 D.函数10.如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是(

)A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度

B.在t0时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度

C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度

D.在11.对于函数f(x)=xex，下列说法正确的是A.f(x)在x=1处取得极大值 B.f(x)有两个不同的零点

C.f(4)<f(π)<f(3) D.π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=f′(π2)sinx+cosx，则f′(π13.点P是曲线y=ex上任意一点，则点P到直线y=x的最小距离为

．14.曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x−y+1=0垂直，则a=______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=x+alnx(a∈R)．

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；

(2)若曲线y=f(x)在x=2处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值．16.(本小题15分)

(1)求曲线y=sinxx在点M(π,0)处的切线方程；

(2)已知函数f(x)=(x2−2x+1)17.(本小题15分)

已知函数f(x)=x2−2lnx．

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)求证：当x>2时，18.(本小题17分)

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加.已知年利润=(每辆车的出厂价−每辆车的投入成本)×年销售量．

(1)若年销售量增加的比例为0.4x，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式．

(2)若年销售量关于x的函数为y=3240×(−x2+2x+19.(本小题17分)

设函数f(x)=x2−(a+2)x+alnx(a∈R)．

(1)若x=3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)≥1，求a参考答案1.D

2.A

3.B

4.B

5.A

6.B

7.C

8.C

9.BCD

10.CD

11.AC

12.−13.214.−115.解：(1)当a=1时，f(x)=x+lnx，所以f′(x)=1+1x，

当x=1时，f(1)=1，f′(1)=1=1+1=2，切点为(1,1)，

则切线方程y−1=2(x−1)，即y=2x−1．

(2)因为f′(x)=1+ax(x>0)，所以f′(2)=1+a2=2，解得a=2，

则f(x)=x+2lnx，所以f(2)=2+2ln216.解：(1)因为y′=xcosx−sinxx2,y′|x=π=πcosπ−sinππ2=−1π，

所以所求切线方程为y−0=−1π(x−π),y=−1πx+1；

(2)因为f(x)=(x2−2x+1)ex，

所以f′(x)=(x2−2x+1+2x−2)ex=(x2−1)ex，

设过点(1,0)的切线切曲线于点(t,(t2−2t+1)et)，

则切线方程为y−(t2−2t+1)et=(t2−1)et(x−t)，又其过(1,0)，

所以0−(t2−2t+1)et=(t2−1)et(1−t)，

所以(t−1)2et=(t+1)(t−1)2et，

所以(t−1)2=(t+1)(t−1)2，

所以(t+1)(t−1)2−(t−1)2=t(t−1)2=0，解得t=0或t=1，

18.解：(1)由题意得：上年度的利润为(13−10)×5000=15000万元；

本年度每辆车的投入成本为10×(1+x)；

本年度每辆车的出厂价为13×(1+0.7x)；

本年度年销售量为5000×(1+0.4x)，

因此本年度的利润为p=[13×(1+0.7x)−10×(1+x)]×5000×(1+0.4x)

=(3−0.9x)×5000×(1+0.4x)

=−1800x2+1500x+15000(0<x<1)，

故本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式为p=−1800x2+1500x+15000(0<x<1)；

(2)本年度的利润为f(x)=(3−0.9x)×3240×(−x2+2x+53)=3240×(0.9x3−4.8x2+4.5x+5)，

则f′(x)=3240×(2.7x2−9.6x+4.5)=972(9x−5)(x−3)，

由f′(x)=0，解得x=59或x=3(舍去)，

当x∈(0,59)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x∈(519.解：(1)f′(x)=2x−(a+2)+ax=(2x−a)(x−1)x，x>0，

f′(3)=4−2a3=0，解得a=6，

所以f′(x)=(2x−6)(x−1)x，

令f′(x)=0得x=1或3，

所以在(0,1)上f′(x)>0，f(x)单调递增，

在(1,3)上f′(x)<0，f(x)单调递减，

在(3,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以f(x)在x=3是极值点，

所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，(3,+∞)，单调递减区间为(1,3)．

(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=2