江西省新余市2024-2025学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

江西省新余市2024-2025学年高三上学期第一次模拟考试数学试题考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三（1）班试卷标题：江西省新余市2024-2025学年高三上学期第一次模拟考试数学试题一、选择题（每题5分，共30分）要求：从每题给出的四个选项中，选择一个正确答案，并将所选答案的字母填在答题卡相应的位置上。1.若函数$f(x)=\sinx$的图象向右平移$\frac{\pi}{2}$个单位后得到的函数图象对应的解析式为（）A.$y=\sin(x-\frac{\pi}{2})$B.$y=\cosx$C.$y=\cos(x+\frac{\pi}{2})$D.$y=\sin(x+\frac{\pi}{2})$2.若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则复数$z$对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若$a,b$是方程$x^2-4x+m=0$的两个实根，则$m$的取值范围是（）A.$m\leq4$B.$m\geq4$C.$m>4$D.$m<4$4.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5=25$，$S_9=81$，则该数列的公差为（）A.2B.3C.4D.55.若函数$f(x)=x^3-3x+1$在区间$[0,1]$上单调递增，则实数$x$的取值范围是（）A.$x\in[0,1]$B.$x\in(0,1]$C.$x\in[0,1)$D.$x\in(-\infty,1]$6.若向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(1,-2)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值为（）A.-5B.-7C.-9D.-11二、填空题（每题5分，共30分）要求：将答案填写在答题卡相应的位置上。7.函数$f(x)=\log_2(x+1)$的定义域为__________。8.若复数$z=a+bi(a,b\inR)$，则$|z|$的值为__________。9.已知等差数列$\{a_n\}$的第一项为$a_1=3$，公差为$d=2$，则第10项$a_{10}$的值为__________。10.若函数$f(x)=x^2-4x+3$在区间$[1,2]$上单调递减，则实数$x$的取值范围是__________。11.若向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(1,-2)$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角余弦值为__________。12.若函数$f(x)=\sinx$的图象向右平移$\frac{\pi}{2}$个单位后得到的函数图象对应的解析式为__________。三、解答题（每题10分，共40分）要求：请将解答过程和答案填写在答题卡相应的位置上。13.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，求：（1）函数$f(x)$的定义域；（2）函数$f(x)$的值域；（3）函数$f(x)$在区间$(-\infty,0)$上的单调性。14.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5=15$，$S_8=40$，求：（1）该数列的首项$a_1$和公差$d$；（2）该数列的第10项$a_{10}$；（3）该数列的前$n$项和$S_n$的通项公式。15.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求：（1）函数$f(x)$的导数$f'(x)$；（2）函数$f(x)$的极值点；（3）函数$f(x)$的单调区间。16.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(1,-2)$，求：（1）向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的模；（2）向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角；（3）向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的数量积。四、证明题（每题10分，共20分）要求：请将证明过程填写在答题卡相应的位置上。17.证明：对于任意实数$x$，都有$(x+1)^2\geq4x$。18.证明：对于任意实数$x$，都有$\sin^2x+\cos^2x=1$。五、解答题（每题10分，共20分）要求：请将解答过程和答案填写在答题卡相应的位置上。19.已知函数$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$，求：（1）函数$f(x)$的定义域；（2）函数$f(x)$的值域；（3）函数$f(x)$在区间$(1,+\infty)$上的单调性。六、解答题（每题10分，共20分）要求：请将解答过程和答案填写在答题卡相应的位置上。20.已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，且对于任意$n\geq2$，都有$a_n=\frac{a_{n-1}}{2}+\frac{1}{3}$，求：（1）数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$；（2）数列$\{a_n\}$的通项公式$a_n$。本次试卷答案如下：一、选择题1.B解析思路：将$f(x)=\sinx$的图象向右平移$\frac{\pi}{2}$个单位，相当于将$x$的值减去$\frac{\pi}{2}$，所以解析式为$y=\cosx$。2.C解析思路：由$|z-1|=|z+1|$，可知$z$到点$1$和点$-1$的距离相等，因此$z$对应的点在$y$轴上，即第三象限。3.A解析思路：由韦达定理，$a+b=4$，$ab=m$，要使方程有实根，则判别式$\Delta=b^2-4ac\geq0$，即$16-4m\geq0$，解得$m\leq4$。4.A解析思路：由等差数列的性质，$S_5=\frac{5}{2}(a_1+a_5)=25$，$S_9=\frac{9}{2}(a_1+a_9)=81$，解得$a_1=3$，$d=2$。5.B解析思路：求导得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=\frac{2}{3}$，因此$x$的取值范围是$(0,\frac{2}{3}]$。6.A解析思路：向量的数量积公式为$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\theta$，其中$\theta$为$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角，所以$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\frac{-5}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{5}}=-\frac{5}{\sqrt{65}}$。二、填空题7.$(-1,+\infty)$解析思路：由对数函数的定义，$x+1>0$，解得$x>-1$。8.$\sqrt{a^2+b^2}$解析思路：复数的模是复数的实部和虚部的平方和的平方根。9.11解析思路：由等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=3$，$d=2$，$n=10$，解得$a_{10}=11$。10.$[1,2]$解析思路：由函数的单调性，$f'(x)=2x-4$，令$f'(x)=0$，解得$x=2$，因此$x$的取值范围是$[1,2]$。11.$\frac{-5}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{5}}$解析思路：向量的数量积公式为$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\theta$，其中$\theta$为$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角，所以$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\frac{-5}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{5}}$。12.$y=\cosx$解析思路：将$f(x)=\sinx$的图象向右平移$\frac{\pi}{2}$个单位，相当于将$x$的值减去$\frac{\pi}{2}$，所以解析式为$y=\cosx$。三、解答题13.（1）函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$；（2）函数$f(x)$的值域为$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$；（3）函数$f(x)$在区间$(-\infty,0)$上单调递减。解析思路：首先求出函数的定义域，然后求出函数的导数，判断导数的正负，从而确定函数的单调性。14.（1）该数列的首项$a_1=3$，公差$d=2$；（2）该数列的第10项$a_{10}=21$；（3）该数列的前$n$项和$S_n$的通项公式为$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)=\frac{n}{2}(6+2(n-1))=n^2+2n$。解析思路：利用等差数列的性质和前$n$项和的公式进行求解。15.（1）函数$f(x)$的导数$f'(x)=3x^2-6x+4$；（2）函数$f(x)$的极值点为$x=\frac{2}{3}$；（3）函数$f(x)$的单调区间为$(-\infty,\frac{2}{3})$和$(\frac{2}{3},+\infty)$。解析思路：求出函数的导数，令导数等于零，求出极值点，根据导数的正负判断函数的单调区间。16.（1）向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的模分别为$\sqrt{13}$和$\sqrt{5}$；（2）向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为$\frac{3\pi}{4}$；（3）向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的数量积为$-5$。解析思路：利用向量的模长公式、夹角公式和数量积公式进行求解。本次试卷答案如下：四、证明题17.证明：对于任意实数$x$，都有$(x+1)^2\geq4x$。解析思路：将不等式$(x+1)^2\geq4x$转化为$x^2+2x+1\geq4x$，即$x^2-2x+1\geq0$。这个不等式可以通过因式分解或者配方来证明。证明：$x^2-2x+1=(x-1)^2$，由于平方总是非负的，所以$(x-1)^2\geq0$对所有实数$x$都成立，因此原不等式成立。18.证明：对于任意实数$x$，都有$\sin^2x+\cos^2x=1$。解析思路：利用三角恒等式$\sin^2x+\cos^2x=1$直接证明。证明：由三角恒等式$\sin^2x+\cos^2x=1$，这是基本的三角恒等式，对于所有实数$x$都成立。五、解答题19.已知函数$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$，求：（1）函数$f(x)$的定义域；（2）函数$f(x)$的值域；（3）函数$f(x)$在区间$(1,+\infty)$上的单调性。解析思路：首先求出函数的定义域，然后求出函数的导数，判断导数的正负，从而确定函数的单调性，最后通过函数的极限确定值域。（1）函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$；解析思路：由于分母不能为零，所以$x-1\neq0$，解得$x\neq1$。（2）函数$f(x)$的值域为$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$；解析思路：由于分子是一个二次多项式，其顶点为$(\frac{3}{2},\frac{1}{4})$，所以函数在$x=1$处不连续，值域为整个实数集减去1。（3）函数$f(x)$在区间$(1,+\infty)$上单调递增。解析思路：求导得$f'(x)=\frac{2x^2-2x+2}{(x-1)^2}$，由于导数恒大于0，所以函数在该区间上单调递增。六、解答题20.已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，且对于任意$n\geq2$，都有$a_n=\frac{a_{n-1}}{2}+\frac{1}{3}$，求：（1）数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$；（2）数列$\{a_n\}$的通项公式$a_n$。解析思路：首先找到数列的递推关系，然后通过递推关系找到通项公式，