第一章 全等三角形模型归纳（知识拓展）（原卷版）

第一章全等三角形拓展知识模型拓展1双垂直模型一、双垂直模型①双垂直中的角度关系②双垂直中的全等关系∠A=∠C∠A=∠C，∠AFB=∠E若AF=CE，则△ABF≌△CBE△ABC、△BEF为等腰直角三角形典例1例1如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线与F，E为垂直，则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC﹢CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE．其中正确结论的个数是（）．A．1B．2C．3D．4跟踪训练1如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，DF=5，AF=3，则CF=_______．拓展2三垂直模型二、三垂直模型模型描述△ABC是等腰直角三角形，图①为一条直线经过直角顶点A，过△ABC的外侧，图②、③为一条直线经过直角顶点A，过△ABC的内侧，BM与CN分别垂直于过A点的直线．核心结论：△ABM≌△CAN（AAS）图①：MN=BM﹢CN图②：MN=CN﹣BM图③：MN=BM﹣CN例2如图，锐角△ABC分别以A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线，垂足为M，N．求证：EM﹢FN=AB．例3．如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．（1）证明：DE=BD﹢CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD﹢CE是否还成立？如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图（3），D、E是直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．跟踪训练2王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合．（1）求证：；（2）求两堵木墙之间的距离．

拓展3手拉手模型三、手拉手模型模型要点：两个等腰三角形共顶点常考图形等边三角形手拉手等腰直角三角形（正方形）手拉手核心结论：①△ABE≌△CBD；AE=CD②∠AFC=∠EFD=60°核心结论：①△ABG≌△CBE；AG=CE②∠AHC=∠GHE=90°（AG⊥CE）例4如图，正方形BAFE与正方形ACGD共点于，连接、，求证：=并求出的度数.例5小明和同学小颖在学习了全等三角形后，研究了以下问题：（1）探索：如图2，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，试说明：BD=CE．（2）拓展：如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．试判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．跟踪训练3如图，为线段上一点，分别以、为边在同侧作等边和等边，交于点，交于点，求证：．拓展4半角模型四、半角模型模型描述从\t"/item/%E5%8D%8A%E8%A7%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B/_blank"正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线AE、AF，并连接EF构成的几何模型辅助线画法：延长CB，使BF′=DF，连接AF′（本质：旋转△ADF至△ABF′）核心结论：△ADF≌△ABF′（SAS），△AEF≌△AEF′（SAS），EF=DF﹢BE例6：如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．跟踪训练4如图，在四边形ABCD中，E、F分别是线段BC、CD上的点，且BE+FD=EF.求证：.1．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（

）A．8 B．4 C．3 D．22．如图，，则（

）A． B． C． D．3．如图，为等腰直角三角形，，．(1)求证：；(2)求证：4．如图，点C为线段上一点，在，中，，，，连接交于点E，连接交于点F，线段，交于点O，求证：

(1)(2)(3)5．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现．(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明；(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）6．如图，四边形和四边形是正方形，（正方形四条边都相等，四个内角都是直角）【感知】（1）某学习小组探究如下问题：如图1，连接，，直线于点H，交于点M，则与面积的大小关系是：_________．【探究】（2）该学习小组在探究（1）中面积问题时，发现M为中点，你认为是否成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【拓展】（3）经过以上探究，该学习小组也提出问题：若正方形和正方形的位置如图2所示，点M为中点，连接交于点H，那么与有怎样的关