第十三章 轴对称（知识归纳+题型突破）（原卷版）

第十三章轴对称（知识归纳+题型突破）1.会判断轴对称图形，能画出轴对称图形．2.理解垂直平分线的性质和判定．3.理解等腰三角形和等边三角形的性质和判定．一、轴对称轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．二、轴对称图形轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.（对称轴必须是直线）轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等.画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点.用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）；三、线段的垂直平分线概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．四、等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.五、等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.题型一轴对称图形的识别例题：12月2日是全国交通安全日，你认为下列交通标志不是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．下列图形是轴对称图形的是(

)A． B． C． D．2．下列2022年北京冬季奥运会体育图标中，是轴对称图形的是（

）A．B． C．D．题型三轴对称中折叠问题例题：如图，长方形纸片中，AB，DC边上分别有点E，F，将长方形纸片沿EF翻折至同一平面后，点A，D分别落在点G，H处．若，则∠DFE的度数是（

）A．75° B．76° C．77° D．78°【变式训练】1．如图1，将长方形纸片沿着翻折，使得点，分别落在点，位置．如图2，在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着翻折，使得点恰好落在延长线上的点处．(1)若，求的度数；(2)若，试用含的式子表示，并说明理由．2．如图1，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在点'处，BC为折痕．(1)如图1，若∠1＝25°，求∠BD的度数；(2)如果又将活页的另一角斜折过去，使BD边与B重合，折痕为BE，如图2所示，求∠CBE的度数．题型四线段的垂直平分线的性质例题：如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为20，△ABC的周长为32，则BE＝_______．【变式训练】1．已知，如图中，，边、的垂直平分线分别交于、，交、于、，连接与，则的周长＝______．2．如图，∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AE＝8，AC＝5，则BE的值为______．题型五线段的垂直平分线的判定例题：如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F(1)求证∶(2)若，求证：点P在的垂直平分线上．【变式训练】1．如图，为平分线上一点，于，于．

(1)求证：；(2)求证：垂直平分．2．如图，是的角平分线，分别是和的高．(1)求证：垂直平分；(2)若的面积是4，则．题型六坐标与图形变换——轴对称例题：（2021·山东·单县湖西学校八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．画出关于x轴对称的，并写出点、的坐标．【变式训练】1．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后△ABC的顶点均在格点上．(1)写出点A、B、C的坐标；(2)写出△ABC关于x轴对称的的顶点、、的坐标；(3)求．2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）．(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△．(2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：．(3)求△ABC的面积．(4)在x轴上画出点P，使QA＋QC最小．题型七等腰三角形的定义例题：等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（

）A．5 B．7 C．8 D．7或8【变式训练】1．在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（

）A．40° B．55° C．65° D．70°2．已知等腰三角形一边长为4，周长为10，则另两边长分别为（

）A．4，2 B．3，3 C．4，2或3，3 D．以上都不对题型八根据等腰三角形中三线合一求解例题：如图，中，，于点D，，若，则的度数为_____．【变式训练】1．如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DFAB交AE的延长线于点F，则DF的长是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分线交BC于点D．且BD＜CD，过点B作射线AD的垂线，垂足为E，则CDDE＝_______．题型九等腰三角形的性质与判定例题：如图，已知在四边形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足为E．(1)求证：BD＝BC；(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．【变式训练】1．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．(1)求证：AC＝CD；(2)若AC＝AE，求∠ACB的度数．2．如图，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．(1)当∠BAD＝20°时，∠EDC＝°；(2)当∠BAD＝____°时，△ABD≌△DCE？请说明理由；(3)△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出∠BAD的度数；若不能，请说明理由．题型十等边三角形的性质与判定例题：如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，．(1)求证；(2)连接，若，，求的长．【变式训练】1．如图，在△ABC中，∠BAC=∠B=60°，D点为BC