2025年河南省郑州市惠济区中考数学第一次联考试卷

第1页（共1页）2025年河南省郑州市惠济区中考数学第一次联考试卷一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）﹣3的绝对值是（）A．3 B． C． D．﹣32．（3分）天地正清明，最美四月天.2024年清明假期，河南省文化和旅游市场热度延续、高潮迭起．三天假期，旅游总收入112.5亿元．与2023年同期相比，接待人次增长9.9%（）A．1.125×102 B．112.5×108 C．1.125×109 D．1.125×10103．（3分）要说明命题“两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（）A．1+3＝4 B．﹣1+3＝2 C．0+3＝3 D．﹣1+（﹣3）＝﹣44．（3分）下列不等式中，与﹣x＞1组成的不等式组无解的是（）A．x＞2 B．x＜0 C．x＜﹣2 D．x＞﹣35．（3分）关于x的方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，m的值可以是（）A．﹣1 B．1 C． D．26．（3分）在平面直角坐标系中，某个图形上各点的纵坐标保持不变，而横坐标变为原来的相反数（）A．该图形是轴对称图形且关于y轴对称 B．该图形是轴对称图形且关于x轴对称 C．该图形是中心对称图形且关于原点中心对称 D．该图形是任意图形均可7．（3分）中国古代“四大发明”有造纸术、指南针、火药和活字印刷术．小明购买了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（纪念卡片背面完全相同），小亮从中随机抽取两张（）A． B． C． D．8．（3分）某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：龙门石窟、洛邑古城、龙门海洋馆、洛阳博物馆．为了解学生想法，校方进行问卷调查（每人选一个地点），那么选择龙门石窟的有（）A．120人 B．240人 C．360人 D．480人9．（3分）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为﹣1，1，x，7，点C在线段BD上且不与端点重合，BC，CD能围成三角形（）A．1＜x＜7 B．2＜x＜6 C．3＜x＜5 D．3＜x＜410．（3分）如图1，点E在正方形ABCD的边BC上，且BE＝，点P沿BD从点B运动的到点D，设B，PE+PC＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则最高点N的纵坐标a的值为（）A．6 B．3+ C． D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若一次函数y＝﹣x+b（b是常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是（写出一个即可）．12．（3分）某校为了解九年级1000名学生一分钟跳绳的情况，随机抽取50名学生进行一分钟跳绳测试，获得了他们跳绳的数据（单位：个）跳绳的个数/个115≤x＜135135≤x＜155155≤x＜175175≤x＜195x≥195人数/人2513246根据以上数据，估计九年级1000名学生中跳绳的个数不低于175个的人数为人．13．（3分）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经损坏，且每个侧面与底面所夹的角都为α（0°＜α＜90°），则这座金字塔原来的高为m（用含α的式子表示）．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，边AC的长为半径作，以边BC为直径作半圆交边AB于点D，则图中阴影部分的面积为.15．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝，将边AC绕点A旋转，点C的对应点是点D，BD．当△CAD是等腰直角三角形时，BD的长为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（1）计算：；（2）化简：．17．某校所在城市中学段跳远成绩达到596cm就很可能夺冠，该市跳远记录为609cm．该校要从甲、乙两名运动员中挑出一人参加全市中学生跳远比赛．李老师记录了二人在最近的10次选拔赛中的成绩（单位：cm），并进行整理、描述和分析．a．甲、乙二人最近10次选拔赛成绩：甲：585，596，610，612，597，600，613；乙：613，618，580，618，593，590，598b．甲、乙两人最近10次选拔赛成绩的统计表：平均数中位数方差达到596cm的次数达到610cm的次数甲运动员成绩601.6600.565.8493乙运动员成绩599.3595.5284.2154根据以上信息，回答下列问题：（1）分析这两名运动员的成绩各有什么特点？（2）你认为李老师会让谁去参加比赛？请说明理由．18．如图，点A，B为⊙O上的两点，BO，AB（∠AOB＜90°）．（1）请用无刻度的直尺和圆规，过点B作OA的平行线（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若（1）中所作的平行线与⊙O交于点C，连接AC，请说明理由．19．如图，四边形ABCD的顶点B，C在x轴上，AD∥BC，顶点A的坐标为（﹣5，4）B＜﹣5，双曲线y＝（x＜0）经过点A．（1）求反比例函数的解析式；（2）请用无刻度的直尺和圆规作出∠DAB的平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（3）上问中所作的角平分线与x轴交于点E，若点C的坐标为（3，0），AB＝．求证：四边形AECD是菱形．20．如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线DE时，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角．（1）请仅就图2的情形证明∠APB＞∠ADB．（2）经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73）．21．生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．脉搏率f是单位时间心跳的次数，动物的体重W（单位：g）与脉搏率f存在着一定的关系．如表给出一些动物体重与脉搏率对应的数据，图2画出了1lgf与lgW的散点图（lgX是一种运算，如1g100＝2，lg2≈0.3，lg3≈0.5）．动物名鼠大鼠豚鼠兔小狗大狗羊体重W25200300200050003000050000脉搏率f6704203002001208570为了较好地描述体重W和脉搏率f的关系，现有以下两种模型供选择：①f＝kW+b；②lgf＝klgW+b．（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；（2）不妨取表1中豚鼠和兔的体重、脉搏率数据代入所选函数模型，求出lgf关于lgW的函数表达式．（参考数据：1g200≈2.3，lg2000≈3.3，lg300≈2.5．）22．“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m022.533.54竖直高度y/m00.80.8750.90.8750.8根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21，记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为l1，第二次训练落入沙坑点的水平距离为l2，请比较l1，l2的大小．23．综合与实践课上，老师让同学们用“木工尺”探究三等分任意角∠MON的方法．如图1为“木工尺”示意图，它是由两条宽度相同且互相垂直的直尺组成的，下面是同学们的探究过程，请仔细阅读【操作实践】如图2，小明画OM的平行线l1，使得l1与OM的距离等于尺宽AD，在AC上取点E，使AE等于尺宽AD，使得AB经过点O，点D落在l1上，点E落在ON上，则OA小明过点D作DF⊥OM，垂足为点F，由题意得：DF＝AD，DA⊥OA，∴∠AOD＝∠FOD（）∵AE＝AD，OA⊥DE，∴OA垂直平分DE，∴OE＝OD，∴OA平分∠EOD（），∴∠EOA＝∠AOD．∴∠EOA＝∠AOD＝∠FOD．∴OA，OD三等分∠MON．任务：（1）请在括号内填写推理的依据．【类比迁移】爱动脑筋的小华受到上述方法的启发，想到了通过折叠矩形纸片三等分一个已知角的方法，他的前两个操作步骤如下（如图3）步骤1：在矩形纸片ABCD上折出任意角∠CBE．将矩形ABCD对折，折痕记为MN，再将矩形BCNM对折，展开矩形；步骤2：将矩形ABCD沿着FG折叠，使得点B的对应点B′落在PQ上，点M的对应点M′落在BE上．任务：（2）连接BB'，试证明BB'是∠EBC的一条三等分线．【拓展应用】（3）在上述小华折叠的条件下，若∠BM'B'＝75°，且G，B′，请直接写出BC的长．

2025年河南省郑州市惠济区中考数学第一次联考试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ADDAAACBCC一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）﹣3的绝对值是（）A．3 B． C． D．﹣3【解答】解：﹣3的绝对值是3．故选：A．2．（3分）天地正清明，最美四月天.2024年清明假期，河南省文化和旅游市场热度延续、高潮迭起．三天假期，旅游总收入112.5亿元．与2023年同期相比，接待人次增长9.9%（）A．1.125×102 B．112.5×108 C．1.125×109 D．1.125×1010【解答】解：112.5亿＝11250000000＝1.125×1010，故选：D．3．（3分）要说明命题“两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（）A．1+3＝4 B．﹣1+3＝2 C．0+3＝3 D．﹣1+（﹣3）＝﹣4【解答】解：两个负数相加，和一定小于其中一个加数，故选：D．4．（3分）下列不等式中，与﹣x＞1组成的不等式组无解的是（）A．x＞2 B．x＜0 C．x＜﹣2 D．x＞﹣3【解答】解：∵﹣x＞1，∴x＜﹣1；A、，无解；B、的解集是x＜﹣1；C、的解集是x＜﹣2；D、的解集是﹣3＜x＜﹣1；故选：A．5．（3分）关于x的方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，m的值可以是（）A．﹣1 B．1 C． D．2【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x+2m＝3有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣1）2﹣3m＞0，解得：m＜．故m的值可以为﹣1，故选：A．6．（3分）在平面直角坐标系中，某个图形上各点的纵坐标保持不变，而横坐标变为原来的相反数（）A．该图形是轴对称图形且关于y轴对称 B．该图形是轴对称图形且关于x轴对称 C．该图形是中心对称图形且关于原点中心对称 D．该图形是任意图形均可【解答】解：图形上各点的纵坐标保持不变，而横坐标变为相反数．故选：A．7．（3分）中国古代“四大发明”有造纸术、指南针、火药和活字印刷术．小明购买了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（纪念卡片背面完全相同），小亮从中随机抽取两张（）A． B． C． D．【解答】解：将造纸术、指南针，B，C，D，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的结果有：AB，共2种，∴他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率为．故选：C．8．（3分）某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：龙门石窟、洛邑古城、龙门海洋馆、洛阳博物馆．为了解学生想法，校方进行问卷调查（每人选一个地点），那么选择龙门石窟的有（）A．120人 B．240人 C．360人 D．480人【解答】解：调查总人数：360÷30%＝1200（人），选择龙门石窟的人数：1200×20%＝240（人），故选：B．9．（3分）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为﹣1，1，x，7，点C在线段BD上且不与端点重合，BC，CD能围成三角形（）A．1＜x＜7 B．2＜x＜6 C．3＜x＜5 D．3＜x＜4【解答】解：由点在数轴上的位置得：AB＝1﹣（﹣1）＝6，BC＝x﹣1，由三角形三边关系定理得：，不等式①恒成立，由不等式②得：x＞3，由不等式③得：x＜8，∴不等式组的解集是3＜x＜5，故选：C．10．（3分）如图1，点E在正方形ABCD的边BC上，且BE＝，点P沿BD从点B运动的到点D，设B，PE+PC＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则最高点N的纵坐标a的值为（）A．6 B．3+ C． D．【解答】解：连接AE，交BD于点P′，如图，由对称性得AP′＝CP′，∴P′E+P′C＝P′A+P′C＝AE，由两点间线段最短得，AE为所求最小值，设BE＝x，∵BE＝BC，∴BC＝6x＝AB，在Rt△ABE中，x2+3x4＝（）2，∴x＝1，∴BC＝7，∴CE＝2，当点P运动到点D处时，如图，在Rt△CDE中，DE2＝22+32，∴DE＝，∴PE+PC＝DE+DC＝+3，∴a＝+3．故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若一次函数y＝﹣x+b（b是常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是﹣1（答案不唯一）（写出一个即可）．【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+b（b为常数）的图象经过第二、三、四象限，∴k＜0，b＜0．故答案为：﹣3（答案不唯一）．12．（3分）某校为了解九年级1000名学生一分钟跳绳的情况，随机抽取50名学生进行一分钟跳绳测试，获得了他们跳绳的数据（单位：个）跳绳的个数/个115≤x＜135135≤x＜155155≤x＜175175≤x＜195x≥195人数/人2513246根据以上数据，估计九年级1000名学生中跳绳的个数不低于175个的人数为600人．【解答】解：由题意得：1000×＝600（人），即估计九年级1000名学生中跳绳的个数不低于175个的人数为600人．故答案为：600．13．（3分）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经损坏，且每个侧面与底面所夹的角都为α（0°＜α＜90°），则这座金字塔原来的高为65tanαm（用含α的式子表示）．【解答】解：如图，∵底部是边长为130m的正方形，∴BC＝×130＝65（m），∵AC⊥BC，∠ABC＝α，∴AC＝BC•tanα＝65tanα（m），故答案为：65tanα．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，边AC的长为半径作，以边BC为直径作半圆交边AB于点D，则图中阴影部分的面积为π﹣2.【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴∠A＝∠ABC＝45°，∴以边BC为直径的半圆面积＝×π×12＝π，∴扇形CAE的面积＝＝π，∵S△ABC＝×AC×BC＝2，∵阴影部分的面积＝以边BC为直径的半圆面积+扇形CAE的面积﹣Rt△ABC的面积，∴阴影部分的面积＝π+，故答案为：π﹣2．15．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝，将边AC绕点A旋转，点C的对应点是点D，BD．当△CAD是等腰直角三角形时，BD的长为．【解答】解：当∠DAC＝90°，且点D在AC上方时，过点D作BC的垂线，垂足为M，∵∠DAC＝∠ACM＝∠CMD＝90°，且AC＝AD，∴四边形ACMD是正方形，∴DM＝MC＝AC＝，∴BM＝．在Rt△BDM中，BD＝．当∠DAC＝90°，且点D在AC下方时，过点D作BC的垂线，垂足为N，∵∠DAC＝∠ACN＝∠CND＝90°，且AC＝AD，∴四边形ACND是正方形，∴CN＝DN＝AC＝，∴BN＝．在Rt△BDN中，BD＝．综上所述：BD的长为．故答案为：．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（1）计算：；（2）化简：．【解答】解：（1）＝+1﹣＝5+2．（2）＝•＝．17．某校所在城市中学段跳远成绩达到596cm就很可能夺冠，该市跳远记录为609cm．该校要从甲、乙两名运动员中挑出一人参加全市中学生跳远比赛．李老师记录了二人在最近的10次选拔赛中的成绩（单位：cm），并进行整理、描述和分析．a．甲、乙二人最近10次选拔赛成绩：甲：585，596，610，612，597，600，613；乙：613，618，580，618，593，590，598b．甲、乙两人最近10次选拔赛成绩的统计表：平均数中位数方差达到596cm的次数达到610cm的次数甲运动员成绩601.6600.565.8493乙运动员成绩599.3595.5284.2154根据以上信息，回答下列问题：（1）分析这两名运动员的成绩各有什么特点？（2）你认为李老师会让谁去参加比赛？请说明理由．【解答】解：（1）根据甲的平均数高于乙的平均数，甲的方差小于乙的方差，所以甲平均成绩高且比乙的成绩稳定；（2）甲10次成绩中有9次成绩达到5.96m，而乙10次成绩中只有5次达到5.96m，∴应该选择甲参加比赛．18．如图，点A，B为⊙O上的两点，BO，AB（∠AOB＜90°）．（1）请用无刻度的直尺和圆规，过点B作OA的平行线（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若（1）中所作的平行线与⊙O交于点C，连接AC，请说明理由．【解答】解：（1）如图，在OB的右侧作∠OBC＝∠AOB，则BC∥OA，则直线BC即为所求．（2）∠O＝2∠CAO．理由：∵BC∥OA，∴∠CAO＝∠BCA，∵∠O＝2∠BCA，∴∠O＝3∠CAO．19．如图，四边形ABCD的顶点B，C在x轴上，AD∥BC，顶点A的坐标为（﹣5，4）B＜﹣5，双曲线y＝（x＜0）经过点A．（1）求反比例函数的解析式；（2）请用无刻度的直尺和圆规作出∠DAB的平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（3）上问中所作的角平分线与x轴交于点E，若点C的坐标为（3，0），AB＝．求证：四边形AECD是菱形．【解答】解：（1）将A点代入双曲线y＝（x＜0），得，4＝，解得：k＝﹣20，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）；（3）∵AD∥BC，A（﹣5，∴D（0，2），∵C（3，0），∴CD＝＝5，∵BC＝，∴BO＝BC﹣CO＝﹣3＝，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB＝，∴EO＝BO﹣BE＝﹣＝8，∴EC＝EO+CO＝2+3＝3，∵AD＝5＝EC，AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∵EC＝5＝CD，∴平行四边形AECD是菱形．20．如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线DE时，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角．（1）请仅就图2的情形证明∠APB＞∠ADB．（2）经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73）．【解答】（1）证明：如图，设AD与圆交于M，连接BM．则∠AMB＝∠APB．∵∠AMB＞∠ADB，∴∠APB＞∠ADB；（2）解：∵∠APH＝60°，PH＝6m，∵，∴（m），∵∠APB＝30°，∴∠BPH＝∠APH﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，∵，∴（m），∴，答：塑像AB的高约为2.9m．21．生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．脉搏率f是单位时间心跳的次数，动物的体重W（单位：g）与脉搏率f存在着一定的关系．如表给出一些动物体重与脉搏率对应的数据，图2画出了1lgf与lgW的散点图（lgX是一种运算，如1g100＝2，lg2≈0.3，lg3≈0.5）．动物名鼠大鼠豚鼠兔小狗大狗羊体重W25200300200050003000050000脉搏率f6704203002001208570为了较好地描述体重W和脉搏率f的关系，现有以下两种模型供选择：①f＝kW+b；②lgf＝klgW+b．（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；（2）不妨取表1中豚鼠和兔的体重、脉搏率数据代入所选函数模型，求出lgf关于lgW的函数表达式．（参考数据：1g200≈2.3，lg2000≈3.3，lg300≈2.5．）【解答】解：（1）模型②最符合实际．∵图2中各点形成的图象基本呈直线形式，∴模型②最符合实际．（2）由题意得：．∵lg200≈2.5，lg2000≈3.3，∴．解得：．∴lgf＝﹣lgw+．22．“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m022.533.54竖直高度y/m00.80.8750.90.8750.8根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21，记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为l1，第二次训练落入沙坑点的水平距离为l2，请比较l1，l2的大小．【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为：（3．∴该运动员竖直高度的最大值为0.6米．设函数关系式为：y＝a（x﹣3）2+4.9．∵经过点（0，6），∴9a+0.8＝0，解得：a＝﹣0.3．∴函数解析式为：y＝﹣0.1（x﹣2）2+0.8．（2）取y＝0．第一次训练时，0＝﹣6.1（x﹣3）4+0.9．解得：x2＝0（不合题意，舍去），x2＝4．∴l1＝6．第二次训练时，4＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21．解得：x5＝0（不合题意，舍去），x2＝8.4．∴l1＝6.4．∵6＞2.4，∴l1＞l8．23．综合与实践课上，老师让同学们用“木工尺”探究三等分任意角∠MON的方法．如图1为“木工尺”示意图，它是由两条宽度相同且互相垂直的直尺组成的，下面是同学们的探究过程，请仔细阅读【操作实践】如图2，小明画OM的平行线l1，