2025中考数学复习冲刺之抛物线综合压轴问题（含解析）

专题11抛物线综合压轴问题

1.如图，已知抛物线y=ax，bx+5经过A(-5,0),B(-4,-3)两点，与x轴的另一个交点为C,顶

点为D连结CD.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为t.

①当点P在直线BC的下方运动时，求4PBC的面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点P,使得NPBC=NBCD?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图，抛物线丁=以2+法+。交丫轴于点并经过点。(6,0),过点A作轴交抛物线

于点B,抛物线的对称轴为直线x=2,D点的坐标为(4,0),连接A。，BC,BD.点E从A点出发，以

每秒四个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作所，A3于F,以所

为对角线作正方形EGEf/.

备用图

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点G随着E点运动到达上时，求此时m的值和点G的坐标；

(3)在运动的过程中，是否存在以B,G,C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接

写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由.

3.在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,抛物线y=经过点A与y

轴交于点C.

(1)求a,b的值；

(2)如图1,点D在该抛物线上，点D的横坐标为-2,过点D向y轴作垂线，垂足为点E.点P为y轴负

半轴上的一个动点，连接DP、设点P的纵坐标为t,△。砂的面积为S,求S关于t的函数解析式(不

要求写出自变量t的取值范围)；

(3)如图2,在(2)的条件下，连接。4,点F在。4上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H,连接。尸

交y轴于点G,点G为。咒的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N,连

接CN,PB,延长PB交AN于点M,点R在上，连接RN,若3cp=5GE,

ZPMN+ZPDE=2ZCNR,求直线RN的解析式.

4.如图，在平面直角坐标系中，直线y=--x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-1x"+bx+c

22

经过A,B两点且与x轴的负半轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当NABD=2NBAC时，求点D的坐标；

(3)已知E,F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B,0,E,F为顶点的四边形是平行四边形时，直接

写出所有符合条件的E点的坐标.

1,1

5.如图，抛物线y=^x+云+。与x轴交于A、B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C.直线y=gX-2

经过B、C两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M.PN±BC,

垂足为N.设

①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外).请直

接写出符合条件的m的值；

②当点P在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点P,使△产■?与△AOC相似.若存在，求出

点P的坐标；若不存在，请说明理由.

6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x?+bx+c与x轴分别交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于

点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式及对称轴；

(2)如图1,点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若NBPD=90°,求点P的坐标；

(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当ABMN为等边三角形时，请直接

写出点M的坐标.

图1备用图

1,5

7.如图，抛物线=—-一工一3与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B.

24

(1)求直线A5的解析式及抛物线顶点坐标；

(2)如图1,点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC，1轴，垂足为C,PC交AB

于点D,求PD+应)的最大值，并求出此时点P的坐标；

1,5

(3)如图2,将抛物线L:y=—/一一x-3向右平移得到抛物线〃，直线A3与抛物线〃交于M,N两

24

点，若点A是线段的中点，求抛物线£/的解析式.

专题11抛物线综合压轴问题(解析版)

1.如图，已知抛物线y=ax，bx+5经过A(-5,0),B(-4,-3)两点，与x轴的另一个交点为C,顶

(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为t.

①当点P在直线BC的下方运动时，求4PBC的面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点P,使得NPBC=NBCD?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析。

【解析】【分析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；

(2)①SAPBC=LPG(XC-XB),即可求解；②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可.

2

【解答】⑴将点A、B坐标代入二次函数表达式得：125a-5b+5=0,解得：

ll6a-4b+5=-3lb=6

故抛物线的表达式为：y=x?+6x+5…①，

令y=0,贝!Ix=-1或-5,

即点C(-1,0)；

(2)①如图1,过点P作y轴的平行线交BC于点G,

将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得:

直线BC的表达式为：y=x+l…②,

设点G(t,t+1)，则点P(t,t2+6t+5),

22

SAPBC=—PG(xc-xB)(t+1-t-6t-5)=--t-A^.t-6,

2222

•..卫＜0,...Sam有最大值，当t=-5时，其最大值为21；

228

②设直线BP与CD交于点H,

当点P在直线BC下方时,

VZPBC=ZBCD,.•.点H在BC的中垂线上,

线段BC的中点坐标为(-3,-2),

22

过该点与BC垂直的直线的k值为-1,

设BC中垂线的表达式为：y=-x+m,将点(-5-◎)代入上式并解得:

22

直线BC中垂线的表达式为：y=-x-4-@,

同理直线CD的表达式为：y=2x+2…④，

联立③④并解得：x=-2,即点H(-2,-2),

同理可得直线BH的表达式为：y=lx-1…⑤，

2

联立①⑤并解得：X=-W或-4(舍去-4),

2

故点P(-3,-1)；

24

当点P(P,)在直线BC上方时，

VZPBC=ZBCD,.\BP,//CD,

则直线BP，的表达式为：y=2x+s,将点B坐标代入上式并解得：s=5,

即直线BP，的表达式为：y=2x+5…⑥，

联立①⑥并解得：x=0或-4（舍去-4）,

故点P（0,5）；

故点P的坐标为P（-2,-工）或（0,5）.

24

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中

（2）,要主要分类求解，避免遗漏.

2.如图，抛物线丁=以2+法+。交y轴于点A（O,T）,并经过点。（6,0）,过点A作轴交抛物线

于点B,抛物线的对称轴为直线x=2,D点的坐标为（4,0）,连接AD,BC,60.点E从A点出发，以

每秒近个单位长度的速度沿着射线A。运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作所，于F,以所

为对角线作正方形EGEH.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当点G随着E点运动到达上时,求此时m的值和点G的坐标;

(3)在运动的过程中，是否存在以B,G,C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接

写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由.

14

【答案】(1)y=—x9—x—4

33

1612

(2)m=旦唁,一

5

36_81216426

(3),-或(3,-3)。或彳「

y5555

【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；

（2）求出直线BC解析式，通过4EGF为等腰直角三角形表示出G点坐标，将G点代入BC解析式即可求得

m的值，从而求得G点坐标；

(3)将矩形转化为直角三角形，当ABGC是直角三角形时，当4BCG为直角三角形时，当4CBG为直角三

角形时，分情况讨论分别列出等式求得m的值，即可求得G点坐标.

【详解】(1)将点A(0,-4)、C(6,0)代入解析式y=依2+法+。中，以及直线对称轴x=2,可得

-4=c

<0=36a+6b+c,

—2=2

、2a

1

。二—

3

4

解得<b=-—,

c=-4

14

二抛物线的解析式9为—4；

(2)VA(0,-4),D(4,0),

.".△A0D为等腰直角三角形，

轴交抛物线于点B,

AB(4,-4),

设直线BC解析式y=kx+b,

将B(4,-4),C(6,0)代入解析式得,

-04:=64』左+Z?'■k=2

b=-n)

直线BC解析式为y=2x-12,

由题意可得AE=也加，ZXADB为等腰直角三角形,

AAF=EF=^AE=m，

2

•.•四边形EGFH为正方形，

...△EGF为等腰直角三角形,

G\m+—m,-4-+—m\,

I22J

点G随着E点运动到达BC上时，满足直线BC解析式y=2x-12,

1

/.-4+-m=2|m+-m|-12,

2I2

空16,此时G弓

..m=

5I)

(3)B(4,-4)，C(6,0),

I22J

2

BC2=(6-4)2+(0+4)2=20,BG2=4f

CG2=(6—|机］+(0+4—=(6—|机),

要使以B,G,C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形,

需满足:

当ABGC是直角三角形时，BG2+CG2=BC29

(4—|加)+(6一+(4-3相］=20,

24

解得，㈣=1~,m2-2,

36_8

止匕时G或(3,-3)；

y,-5

当4BCG为直角三角形时，BC2+CG2=BG2<

20+(6—+(4—=(4—，

28

解得，m=M,

„*f426

此时G„

当4CBG为直角三角形时，BC2+BG2=CG2r

20+(4—|=[6一|+(4一，

Q

解得，m=-,

…门216

止匕时GI—

36_81216426

综上所述：点G坐标为或(3,-3)

y,-5T55

【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、等腰直角三角形的性质和判定，动点运

动问题，存在矩形问题，利用数形结合，注意分情况讨论是解题的关键.

521£_3

3.在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线丁=以2+6经过点A，点、B，与

2'T2，-8y

轴交于点C.

(1)求a,b的值;

（2）如图1,点D在该抛物线上，点D的横坐标为-2,过点D向y轴作垂线，垂足为点E.点P为y轴负

半轴上的一个动点，连接。尸、设点P的纵坐标为3△小尸的面积为S,求S关于t的函数解析式（不

要求写出自变量t的取值范围）；

（3）如图2,在（2）的条件下，连接Q4,点F在Q4上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H,连接近

交y轴于点G,点G为。尸的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N,连

接CN,PB,延长总交⑷V于点M,点R在上，连接RV,若3cp=5GE,

ZPMN+ZPDE=2ZCNR,求直线RN的解析式.

1

Cl———

23311

【答案】（1）(2)S=­t—(3)V=——XH——

224

b=--

2

521J__3

【解析】【分析】（1）将A,B代入抛物线y=/+6中，进行计算即可得;

2，-8

3

（2）由（1）得。，根据轴得。£=2,E，根据点P的纵坐标为t,得PE=—

2

即可得；

（3）过点C作CKJLCN,交NR的延长线于点K,过点K作KT，y轴于点T,根据二次函数的性质得

，则0C=—,根据轴，。石，丁轴得/切6=/。£6=90°,根据点G为。尸的

2

中点得DGn/G,根据AAS得△EHGgADEG,得HF=ED=2,HG=EG=-HE

2

,再运用待定系数法求得直线0A的解析式为y=*x,得出/（2,胃），可得==再由

3cp=5GE得出PQD,2V（1,-1）,再运用待定系数法求得直线BP的解析式为y=：x-l,进而推出

PNDE

——=—,证得APMN^ADPE,进而得出APMN+/PDE=90°,由ZPMN+APDE=2ZCNR

MNEP

得NCNR=45。,用AAS可证明△CKTgAJVCP,求得

K（；,2）,设直线RN的解析式为：y=ex+f,再运用待定系数法即可得.

521£_3

解：（1）•••抛物线y=经过A

2'T2，-8

3

—4+Z?

84

解得《

（2）解：由（1）得＞=————，点D的横坐标为—2

22

3

**•点D纵坐标为一

2

DE_Ly轴

:・DE=2,^|^0,|j

•••点P的纵坐标为t,

3

PE=——t,

2

11/3、3

；.S=-DE-PE=-x2x\--t\=-t+--,

22(2J2

(3)解：如图所示，过点C作CK_LCN,交NR的延长线于点K,过点K作KT，y轴于点T,

1,11

•.•>=—%---,当％=0时，y=—,

222

・・C7C——»

2

y轴，。石，y轴，

二ZFHG=ZDEG=90°,

•:煎G为DF中点，

DG=FG,

在△EHG和△DEG中，

ZFHG=ZDEG

<ZHGF=ZDEG

FG=DG

:.AEHGmADEG(AAS),

:,HF=ED=2,HG=EG=LHE,

2

521

设直线0A的解析式为：y=kx将点A（不?）代入得,

f2o

5721

—K=---,

28

解得，攵=三，

20

21

直线0A的解析式：y=-x,

21021

当x-2时，y=-x2=—，

2010

二尸喘），H（啜,

.•・公工修，

1025

1133

:.GE=—HE=—x—=——，

22510

,?3CP=5GE,

5531

/.CP=-GE=-x—

33102

/.P（0』），

•.•A7V〃_y轴，/W〃x轴，

3

V£（0,-）,

35

.\EP=--（-l）=-,

22

设直线BP的解析式为y=3+〃，则

13

—m+n=——

\28,

n=-l

5

m=—

解得，＜4,

n=-1

，直线BP的解析式为：y=-x-\,

4

当x=*时，y"1上

2428

・••点M的坐标为（一,

2

.....17.八25

MN=-----(―1)=—,

88

5

N一

24DE24

=4——-------

w--EP55,

215

82

.PN_DE

"~MN~~EP'

---ZPNM=ZDEP=90°,

/.APMN^ADPE，

：.NPMN=NDPE,

'：ZDPE+ZPDE=90°,

/.APMN+NPDE=90°,

■:ZPMN+NPDE=2ZCNR

：.ZCNR=45°,

•；CK±CN,

：.ZNCK=90°,

；•△0区是等腰直角三角形，

/.CK=CN,

ZCTK=ZNPC=90°,

ZKCT+ZCKT=90°,

ZNCP+NKCT=90°,

：.ZCKT=ZNCP,

在和ANCP中,

ZCTK=ZNPC

ZCKT=ZNCP

CK=NC

:.Z\CKT，\NCP(AAS),

CT=PN=~,KT=CP=~,

22

OT=CT—OC=2,

K(g,2),

设直线RN的解析式为：y=ex+f,将点K(g,2),得,

解得，j；，

f=—

I4

311

二直线RN的解析式为：y=—x-\—.

24

【点睛】本题考查了二次函数，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定于性质，等腰直角三角形的

判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，能够添加辅助线构造相似三角形或全等三角形.

4.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-Lx+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-2,x2+bx+c

22

经过A,B两点且与x轴的负半轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当/ABD=2/BAC时，求点D的坐标；

(3)己知E,F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B,0,E,F为顶点的四边形是平行四边形时，直接

写出所有符合条件的E点的坐标.

【答案】见解析。

【解析】(1)求得A、B两点坐标，代入抛物线解析式，获得b、c的值，获得抛物线的解析式.

(2)通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标.

(3)B、0、E、F四点作平行四边形，以已知线段0B为边和对角线分类讨论，当0B为边时，以EF=0B的

关系建立方程求解，当0B为对角线时，0B与EF互相平分，利用直线相交获得点E坐标.

【解答】(1)在y=—^"x+2中，令y=0，得x=4,令x=0,得y=2

AA(4,0),B(0,2)

把A(4,0),B(0,2),代入产Jx.bx+c，得

'c=2

<1,保

-yX16+4b+c=0

抛物线得解析式为行

(2)如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E,过点D作BE得垂线，垂足为F

'/ZABD=2ZBAC,AZABD=2ZABE

KPZDBE+ZABE=2ZABE

.\ZDBE=ZABE

.*.ZDBE=ZBAC

设D点的坐标为（x,则BF=x,DF=4X24X

：tan/DBE=l!LtanZBAC=^2.

BFAO

解得X1=O（舍去），X2=2

当x=2时,蒋*2得X+2=3

二点D的坐标为（2,3）

(3)

设E(m,-i-nri-2^'F('m,-ym2+yi[ri-2^

EF=(9时2)一(9m2Vml"2)।=2

解得rm=2,1rl2=2-2后ID3=2+2V2

当BO为对角线时，OB与EF互相平分

过点0作OF〃AB,直线OF支卷x交抛物线于点F（2+2、历，T-加）和（2-2、历，-1+a）

求得直线EF解析式为广.考"x+1或行号x+1

直线EF与AB的交点为E,点E的横坐标为-2/5-2或2a-2

/.E点的坐标为（2,1）或（2-2亚，1+V2）或（2+26，1-V2）或（-2-272>3+加）或

（-2+2加，3-0）

【点评】本题考查了待定系数法，2倍角关系和平行四边形点存在类问题，将2倍角关系转化为等角关系

是（2）问题的解题关键，根据平行四边形的性质，以0B为边和对角线是（3）问题的解题关键，本题综

合难度不大，是一道很好的压轴问题.

11

5.如图,抛物线yn—f9+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C.直线y=-X—2

22

经过B、C两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2^/P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D,M.PN±BC,

垂足为N.设朋■（〃（））.

①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）.请直

接写出符合条件的m的值；

②当点P在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点P,使△正■?与△AOC相似.若存在，求出

点P的坐标；若不存在，请说明理由.

1,31

【答案】（1）y=—x---x—2；（2）-2,---,1；（3）存在，（3,-2）

222

【解析】（1）由直线y=gx-2经过B、C两点得B（4,0）,C（0,-2）

将B、C坐标代入抛物线得

c=—2

8+4"。=。’解得

c=-2

i3

二抛物线的解析式为：y=-x2——x—2；

22

(2)①；PNL5C,垂足为N.M(m,O)

131

P(m,—m9tn—2),D(m,—tn—2)，

222

分以下几种情况：

222

解得叫=-2,相2=4（舍去）；

11,3

P是MD的中点时，MD=2MP,即一机―2=2（-m2一一m—2）

222

解得叫=-g,相2=4（舍去）；

y

1,31

D是MP的中点时，2MD=MP,即一加一一一in—2:2（一机—2）

222

解得叫=1,m?=4（舍去）；

・,・符合条件的m的值有-2,-1;

2

13

②•・,抛物线的解析式为：y=—V9——x—2,

22

AA(-1,0),B(4,0),C(0,-2)

.*.A0=l,C0=2,B0=4,

AOCO

——=——，又NAOC=NCOB=90°,

COBO

AAOC^ACOB,

ZACO=ZABC,

,/与△AOC相似

ZACO=ZPCN,

ZABC=ZPCN,

AB//PC,

1,3

.••点P的纵坐标是-2,代入抛物线y=5必一/x—2,得

二-2=-2

22

解得：石=0(舍去)，x2=3,

.♦.点P的坐标为:(3,-2)

【点睛】本题考查二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三

角形的判定和性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会

利用分类讨论的思想解决数学问题.

6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x,+bx+c与x轴分别交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于

点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式及对称轴；

(2)如图1,点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若NBPD=90°,求点P的坐标；

(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当ABMN为等边三角形时，请直接

写出点M的坐标.

图1备用图

【答案】(1)y=-X2+2X+3,对称轴X=1；(2)P(l,1)或(2,1)；

⑶或(1+有，-26-3)

333

【解析】(1)利用待定系数法求解即可.

(2)如图1中，连接BD,设BD的中点T,连接PT,设P(1,m).求出PT的长，构建方程求出m即可.

(3)分两种情形：当点M在第一象限时，48股是等边三角形，过点B作BTLBN交NM的延长线于T,设

N(1,t),设抛物线的对称轴交x轴于E.如图3-2中，当点M在第四象限时，设N(1,n),过点B

作BTLBN交NM的延长线于T.分别利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再利用待定系数法求解.

c=3

【详解】解：(1)把A(-1,0),点C(0,3)的坐标代入y=-x2+bx+c,得到〈,

-l-b+c=O

4=2

解得《

c=3

7

二抛物线的解析式为y=-X2+2X+3,对称轴x=-彳=1.

—2

(2)如图1中，连接BD,设BD的中点T,连接PT,设P(1,m).

图1

•.•点D与点C关于对称轴对称，C(0,3),

AD(2,3),

VB(3,0),

•••T(I，|),BD='(3—2)2+32=加,

VZNPD=90°,DT=TB,

.,.PT=—BD=^^,

22

解得m=l或2,

.\P(1,1),或(2,1).

(3)当点M在第一象限时，ABNIN是等边三角形，过点B作BTLBN交NM的延长线于T,设N(l,t),

作TJ±x轴于点J,设抛物线的对称轴交x轴于E.

图3-1

「△BMN是等边三角形，

ZNMB=ZNBM=60°,

VZNBT=90°,

/.ZMBT=30°,BT=6BN,

ZNMB=ZMBT+ZBTM=60°，

：.ZMBT=ZBTM=30°,

・・・MB=MT=MN,

VZNBE+ZTBJ=90°,NTBJ+NBTJ=90°,

・・・NNBE=NBTJ,

VZBEN=ZTJB=90°,

.,.△BEN^ATJB,

TJBJBT

••—二--二-----Vr3，

EBENBN

ABJ=V3t,可=2百，

AT(3+^/3t,2G),

VNM=MT,

.M(4+y/3t2y+%、

••1V1\--------,------------),

22

•点M在y-—x?+2x+3上，

x2_I_

.2^3+t_(4+y/3t9V4+^/5%.

..-------------I------------)十NX------------十o,

222

整理得，3t(473+2)t-12+473=0,

解得t=-2月(舍弃)或26-2,

3

Z.M)石,4乒\.

33

如图3-2中，当点M在第四象限时，设N(1,n)，过点B作BTLBN交NM的延长线于T.

图3-2

同法可得"吊一石…（—’一），

则有拒=-（4-岛）2+2义4一百"+3,

222

整理得，3n2+（2-473）n-12-473=0,

解得n=2>+4（舍弃）或2出一6,

33

AM（1+73,-26-3）,

3

综上所述，满足条件的点M的坐标为（三史，述二1）或（i+百，-26一3）.

333

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合等边三角形的判定与性质、勾股定理和一元二次方程求解计

算是解题的关键.

1,5

7.如图，抛物线L:y=—r—x-3与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B.

24

（1）求直线A5的解析式及抛物线顶点坐标；

（2）如图1,点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC，1轴，垂足为C,PC交AB

于点D,求PD+应）的最大值，并求出此时点P的坐标；

1,5

（3）如图2,将抛物线L:y=—/一一x-3向右平移得到抛物线〃，直线A3与抛物线〃交于M,N两

24

点，若点A是线段的中点，求抛物线£/的解析式.

31512M13

【答案】（1）直线A3的解析式为丁=^犬-3,抛物线顶点坐标为［工,一立（（2）当x=i时，PD+BD

16913_57133

的最大值为「也；P(3)y=-x2----x+—

32T，-32242

【解析】（1）先根据函数关系式求出A、B两点的坐标，设直线的解析式为>=丘+6,利用待定系数

法求出AB的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；

(2)过点D作OE'y轴于E,则DEHOA.求得AB=5，设点P的坐标为<x<4j,

则点D的坐标为—3,ED=x,证明△BDESABA。，由相似三角形的性质求出3。=；X,用含x

的式子表示PD,配方求得最大值，即可求得点P的坐标；

1121

(3)设平移后抛物线//的解析式y=](x-根>-五，将L'的解析式和直线AB联立，得到关于x的