27.2.1 相似三角形的判定课件 2024-2025学年人教版九年级数学

第二十七章27.2.1相似三角形的判定1.

两个三角形全等有哪些判定方法？2.我们学习过哪些判定三角形相似的方法？SSS、SAS、ASA、AAS、HL(1)通过定义（三边对应成比例，三角分别相等）(2)平行于三角形一边的直线(3)三边对应成比例新知导入知识点1两边成比例且夹角相等的两个三角形相似知识探究利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′,使∠A=∠A′,量出它们的第三组对应边BC和B′C′的长,它们的比等于k吗?另外两组对应角∠B与∠B′,∠C与∠C′是否相等?改变∠A或k值的大小,再试一试,是否有同样的结论?ABCA′B′C′知识探究

A′B′C′ABCED

【证明】在△ABC的边AB，AC上分别截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE，而∠A=∠A′，这样△ADE≌△A′B′C′知识探究三角形相似判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。几何语言：

ABCC′B′A′知识探究ABCA’B’C’BADBAC

反例：

归纳总结

如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.知识探究

已知∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A'＝120°，A'B'＝3cm，A'C'＝6cm，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.∵又

∠A＝∠A'∴△ABC∽△A'B'C'素养考点1利用两边成比例且夹角相等识别三角形相似

△ABC∽△A'B'C'.理由如下：解：∴知识探究1.

已知∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A'=40°，A'B'=16，A'C'=30，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.解：

∴△ABC∽△A'B'C'△ABC∽△A'B'C'

.

理由如下：∴∠A=∠A'又∵∵巩固练习解：∵AE=1.5，AC=2，

ACBED例2

如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的长.∴又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴∴素养考点2利用三角形相似求线段的长度提示：解题时要找准对应边.知识探究2.如图，在△ABC中，AC＞BC，D是边AC

上一点，连接BD．（1）要使△CBD∽△CAB，还需要补充一个条件是;（只要求填一个）（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2，

,求CD的长．ABCD解：（1）CD:CB＝BC:AC

（2）设CD＝x,则CA＝x＋2．当△CBD∽△CAB，且AD＝2，,有CD:CB＝BC:AC，即,所以x２＋2x－3＝0．解得x１＝1，x２＝－3．但x２＝－3不符合题意,应舍去．所以CD＝1．巩固练习证明：∵CD是边

AB上的高，

∴∠ADC=∠CDB=90°.∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=

90°.ABCD例3

如图，在

△ABC

中，CD是边

AB上的高，且，求证：∠ACB=90°．∵素养考点3利用三角形相似求角方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.知识探究3.如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别是AB、AC上的点，AE：AD＝AB：AC．试问:DE与AB

垂直吗?为什么?ABCDE证明：DE⊥AB．理由如下:∵AE：AD＝AB：AC,∴．又∠A＝∠A,∴△ABC∽△AED．∴∠ADE＝∠C＝90°．∴DE与AB垂直．巩固练习1.

如图，D是

△ABC一边

BC上一点，连接

AD，使△ABC∽△DBA的条件是

（）

A.AC:BC=AD:BD

B.AC:BC=AB:AD

C.AB2=CD·BC

D.AB2=BD·BCDABCD课堂检测2.

在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求证：△DEF∽△ABC.ACBFED证明：∵AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm，又

∵∠C=∠F=70°，∴△DEF∽△ABC.∴课堂检测3.

如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.证明：∵AD=AE，AB=AC，∴又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∴△ABC∽△ADE.ABCDE课堂检测

如图，在四边形

ABCD

中，已知

∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，

，求

AD

的长．ABCD解：∵AB=6，BC=4，AC=5，，

∴又∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，

∴，∴课堂检测

如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB=7.8，BD=4.8，AC=6，AE=3.9，试判断△ADE与△ABC是否相似，某同学的解答如下：解：∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8，∴AD=7.8-4.8=3.

∵∴这两个三角形不相似.你同意他的判断吗？请说明理由.

课堂检测解：他的判断是错误的.

∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8，

∴AD=7.8-4.8=3.∵，，

∴．又∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB

．新课讲解

知识点1相似三角形对应线段的比合作探究

如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ABCA'B'C'新课讲解练一练1.如果两个相似三角形的对应高的比为2:3，那么对应角平分线的比是

，对应边上的中线的比是______.2.

已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为3:4，若BC边上的高AD＝12cm，则B'C'边上的高A'D'＝______.2:32:316cm新课讲解如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么因此AB＝kA'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，从而结论相似三角形周长的比等于相似比.新课讲解

知识点2相似三角形面积的比合作探究

如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们的面积比是多少？ABCA'B'C'新课讲解由前面的结论，我们有ABCA'B'C'D'D新课讲解结论相似三角形面积的比等于相似比的平方．课堂小结相似三角形性质的运用相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形的性质相似三角形对应线段的比等于相似比当堂小练1.判断：(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍

()(2)一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍

()√×当堂小练3.

连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_____.1:21:42.

在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP，DQ是中线，若AP＝2，则DQ的值为()A．2B．4C．1D.C如图，两个三角形相似，则：相似比k＝对应边的比＝

的比＝

的比＝

的比．

对应角平分线对应中线相似三角形对应线段的性质对应高小结：一般地，相似三角形对应线段的比等于相似比.(1)对应角平分线的比等于

；

(2)对应边上的高的比等于

；

(3)对应边上的中线的比等于

．

2∶3

2∶3

1．(人教9下P37、北师9上P106)如图，若△ABC∽△DEF，相似比为2∶3，则：

2∶3

相似三角形周长的比＝

．

相似三角形周长的性质相似比2．若△ABC∽△DEF，周长比为2∶1，则下列说法错误的是(

)A．相似比为2∶1 B．对应中线的比为2∶1C．对应角的比为2∶1 D．对应高的比为2∶1C相似三角形面积的比＝

．

相似三角形面积的性质相似比的平方

C小结：相似三角形对应线段、周长和面积的性质的简单综合，注意其中只有面积比不同.4．【例1】若△ABC∽△DEF，面积比为9∶1，则下列说法正确的是(

)A．相似比为9∶1 B．对应中线的比为9∶1C．周长比为9∶1 D．对应角的比为1∶1D小结：应用相似三角形的性质求三角形的面积比.

B6．【例3】如图，在▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD