第六章《计数原理》章末题型大总结（4大方法14类高频题型讲练）（原卷版）

第06讲第六章计数原理章末题型大总结

Q知识导图

计

数

应

原

理用

通项

，+W/

题型01分类讨论思想

【典例1】（2024高三・全国•专题练习）大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了

算术基本定理：每一个比1大的数（每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列

素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的

自然数N（N不为素数）能唯一地写成N=p：.p>（其中p,是素数，%是正整数，14”左，

P\<Pz<<么），将上式称为自然数N的标准分解式，且N的标准分解式中有q+4++出个素数.从

120的标准分解式中任取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为（）

A.6B.13C.19D.60

【典例2】（2324高二下•湖南长沙•开学考试）甲、乙、丙等5名同学参加语数外三科知识竞赛，每人

随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的

概率为.

【典例3】（2324高二上•上海•课后作业）用1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的正整数？其

中有多少个偶数？

【变式1]（2024•河南•模拟预测）某惠民医院开展“关爱健康，守护生命，服务老人”的义诊活动，需

要临时从某科室中抽调3名医护人员，已知该科室现共有3名医生和4名护士.为了保障医院工作正常

运作，该科室内至少需要留有1名医生和2名护士，则不同的抽调方案共有（）

A.72种B.36种C.30种D.18种

【变式2]（2024•江苏苏州•模拟预测）现有一只蜜蜂沿如图所示的用8个完全一样的正方体搭建的几

何体的棱并按照箭头所指的相互垂直的三个方向从A点飞行到5点，可能的飞行路径共有种（用

数字作答）.

【变式3]（2324高二上•全国•课后作业）某人需要在一天的上午乘车从A地到5地再转车赶到C地,

现已知A地至5地以及B地至C地的汽车时刻表如下：

从A地到5地的汽车时刻表从3地到C地的汽车时刻表

车次发车到站车次发车到站

16:308:0017:208:40

27:309:0028:209:40

38:3010:0039:2010:40

49:3011:00410:2011:40

问此人在这天从A地到达C地有多少种不同的乘车方案?

题型02整体思想

【典例1】（2024高三・全国•专题练习）2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天.某

单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人.若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而

且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（）

A.1440种B.1360种

C.1282种D.1128种

【典例2】（2425高二下•全国•课后作业）四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生

乙不相邻，且女生4和女生3相邻，则不同排法的种数有（）

A.288种B.144种C.96种D.72种

【变式1］（2425高三上•福建泉州•阶段练习）七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲、乙渔船要

排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（）

A.96种B.120种C.192种D.240种

【变式2］（2425高二下•全国•课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了

“村晚通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出

顺序有如下要求："杂技节目"排在后三位，"相声"与"小品"必须相继演出，则不同的演出方案有（）

A.240种B.188种C.144种D.120种

题型03主元思想

【典例1】（2024高三•全国•专题练习）甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与

丙之间恰好有一名同学的概率为（）

1111

A.-B.-C.D.-

8642

【典例2】（2425高三上•四川内江•阶段练习）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和

梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3

人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.甲、乙两人要在同一个舱内，则不同的安排方案共

有•

【典例3】（2024高三•全国•专题练习）7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，

也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

【变式1】（2324高二下•内蒙古•期中）从6人（包含甲）中选派出3人参加A,B,C这三项不同的

活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加A和8活动，则不同的选派方案有（）

A.60种B.80种C.90种D.150种

【变式2］（2425高三•上海•课堂例题）七个人排成一行，则甲在乙左边（不一定相邻）的不同排法数

有种.

题型04“正难则反”思想

【典例1】（2425高三上•重庆涪陵•开学考试）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决

出了第1名到第5名的名次（无并列情况）.甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说："你不是最差的.”对乙说：

“很遗憾，你和甲都没有得到冠军."对丙说："你不是第2名.“从这三个回答分析，5名同学可能的名次排

列情况种数为（）

A.44B.46C.48D.54

【典例2】（多选）（2425高二下•全国•课后作业）某市文化局组织了一次“送戏下乡”活动，共有7个

节目，且小品和相声各一个，若小品不排在第一位，相声不排在最后一位，则不同的排法种数为（）

A.A：+C&A；B.A；-2A：C.A：+A：A；D.A；-2A：+A；

【典例3】（2425高二上•全国•课前预习）5名学生和1位老师站成一排照相，问老师不排在两端的排

法有多少种？

【变式1】（2425高三上•重庆・开学考试）第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛（CCFNOI2024）于

2024年7月16~22日在重庆市育才中学成功举办.在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5名育才新教师

参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有

一名新教师参加.若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有（）种

A.108B.114C.150D.240

【变式2］（2425高三上•云南昆明•期中）甲口袋中有标号为1、2、3的三张卡片，乙口袋中有标号为

4、5、6、7的四张卡片，从两个口袋中不放回地随机抽出三张卡片，每个口袋至少抽一张，则抽到

的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法共有种（用数字作答）

题型05两个计数原理的综合应用

【典例1】（2425高三上•浙江杭州•阶段练习）现有三对双胞胎共6人排成一排，则有且只有一对双胞

胎相邻的排法种数是（）

A.180B.240C.288D.300

【典例2】（2425高二下•全国•课后作业）结合排列组合，解决下列问题.

⑴将6封不同的信放到7个不同的信箱中，有多少种放法？

（2）将6封不同的信放到5个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？

⑶将6封相同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？

⑷将4封标有序号A,B,C,。的信放到四个标有A,B,C,。的信箱中，恰有一组序号相同，则有

多少种放法？

【典例3】（2425高二下•全国•课后作业）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女

学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？

⑴老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；

（2）4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；

（3）2名老师之间必要有男女学生各1人.

【变式1】（2425高二下•全国•课后作业）2023年春节旅游业回暖，人们纷纷外出游玩，游览祖国美好

河山.现有6名游客去A,B,C,。四个景点游览，要求每个景点都有人游览，且甲和乙不去同一个景

点，则不同的游览方式共有种（用数字作答）.

【变式2］（2425高三・上海•课堂例题）4件不同的礼品，按以下各种情况，各有几种分法?

⑴平均分成两堆；

(2)平分给两人；

⑶分成两堆，一堆3件，一堆1件;

(4)分给两人，一人3件，一人1件.

题型06数字排列问题

【典例1】(2324高二下•江苏宿迁•期中)0~9共10个数字.

⑴可组成多少个无重复数字的四位数；

(2)可组成多少个无重复数字的五位偶数；

⑶可组成多少个无重复数字的大于或等于30000的五位数；

⑷在无重复数字的五位数中，50124从大到小排第几.

【典例2】(2024高二•全国•专题练习)从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，排成一个无重

复数字的五位数.求：

⑴共有多少个五位数？

(2)其中偶数排在一起的有多少个？

⑶其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？

(4)其中两个偶数不相邻的有多少个？

【典例3】(2425高二•江苏•课后作业)已知一个两位数中的每个数字都从1,2,3,4中任意选取.

⑴如果两位数中的数字不允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数?

(2)如果两位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？

【变式1】(2024高三•全国•专题练习)用0,1,2,3,4,5这六个数字，可以组成多少个满足下列条件的整

数？

⑴可以组成多少个无重复数字的四位数？

(2)可以组成多少个恰有两个相同数字的四位数？

【变式2](2324高二下•江苏•期中)有0,1,2,3,4,5六个数字.

⑴能组成多少个无重复数字的四位偶数？

(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？

⑶能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？

题型07涂色问题

【典例1】（2425高二上•全国•单元测试）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域

AB.CZXE涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）

C\DE

A.120种B.720种C.840种D.960种

【典例2】（2425高三上•福建福州•期中）如图，对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两

个地区不能用同一种颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的着色方法有种.

【典例3】（2324高二下•山西临汾•期中）如图，这是一面含A,B,C,D,E,b六块区域的墙，现

有含甲的五种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有一种不同的涂

色方法；若区域。不能涂甲油漆，则共有种不同的涂色方法.

D

【变式1】（2425高三上•广西南宁•开学考试）在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻

区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色.

①若区域涂2种颜色，区域及F,G,8涂另外2种颜色，则有种不同涂法.

②若区域A民涂4种颜色（AB,CD涂的颜色互不相同），区域£EG,H也涂这4种颜色

（瓦涂的颜色互不相同），则有种不同涂法.

【变式2］（2425高三上•重庆长寿•开学考试）某次文化艺术展，以体现了中华文化的外圆内方经典的

古钱币造型作为该活动的举办标志，举办方计划在入口处设立一个如下图所示的造型现拟在图中五个

不同的区域栽种花卉，要求相邻的两个区域的花卉品种不一样.

现有木绣球、玫瑰、广玉兰、锦带花、石竹等5各不同的品种.

（1）（0共有多少种不同的栽种方法；

题型08全排列问题

【典例1】（2324高二下•广东•期中）某种产品的加上需要经过4,B,C,D,E,F,G七道工序，要

求4,3两道工序必须相邻，C,。两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（）

A.960种B.836种

C.816种D.720种

【典例2】（2324高二下•甘肃•期末）甲、乙、丙等7名学生准备利用暑假时间从A,B,C三个社区

中选一个参加义务劳动，若甲、乙、丙恰好去三个不同的社区，则所有不同的选择种数为.

【典例3】（2324高二下•北京丰台•期末）2024年春节期间，全国各大影院热映《第二十条》、《飞驰

人生2》、《热辣滚烫》、《熊出没.逆转时空》4部优秀的影片.现有4名同学，每人选择这4部影

片中的1部观看.

⑴如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？

（2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《第二十条》、《飞驰人生2》，那么共有多

少种不同的选择方法？

⑶如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？

【变式1］（2324高二下•安徽安庆・期末）某寝室4名室友拍毕业照，4位同学站成一排，其中甲乙两

位同学必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法种数有（）

A.24种B.12种C.8种D.6种

【变式2】（2324高二下・江苏扬州•阶段练习）用0,1,2,3,4,5这6个数字可以组成多少个符合

下列条件的无重复的数字？（列式并计算）

⑴六位数；

（2）六位奇数；

（3）能被5整除的六位数；

⑷组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？

⑸六位数中数字1,2始终相邻的数

题型09元素位置有限制问题

【典例1】（2425高三上•重庆•阶段练习）我校田径队有十名队员，分别记为AB.CRERGHJ.K,

为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队.其中将AdC2E五人排成一行形成甲队，要求A

与8相邻，C在。的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求尸与G不相邻，则不同的排列方法

种数为（）

A.432B.864C.1728D.2592

【典例2】（2425高二下•全国•课后作业）用0,1,2,3,4,5组成一个没有重复数字的六位数，

该六位数是5的倍数且奇数与偶数相间，则满足条件的这样的六位数有个.

【典例3】（2425高三上・贵州贵阳•阶段练习）今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅

游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安顺黄果树瀑布、荔波小七孔、西江千户苗寨.赤水丹霞、兴

义万峰林、铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以

上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共

有种不同的游览顺序方案.（用数字作答）

【变式1］（2425高二下•全国•课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》

《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地

放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的

排列种数为（）

A.5760B.5660C.5642D.5472

【变式2］（2425高二下•全国•课后作业）从5个男生和4个女生中选出5人去担任英语、数学、物理、

化学、生物的课代表.分别求出符合下列条件的安排方法种数：

⑴有女生但不少于男生；

（2）女生甲不担任物理课代表；

⑶女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表.

题型10相邻与不相邻问题

【典例1】（2324高二下•湖北武汉•阶段练习）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则

下列说法正确的是（）

A.如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法

B.如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法

C.如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法

D.如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法

【典例2】（2324高二下•陕西西安•期中）某种产品的加工需要经过6道工序.

⑴若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序？

（2）若其中某3道工序必须相邻.问有多少种加工顺序？

⑶若其中某3道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序？

【典例3】（2324高二上•辽宁抚顺•阶段练习）某次介绍会需要安排6个产品的介绍顺序，其中3个产

品来自A公司，2个产品来自5公司，1个产品来自C公司.

⑴求8公司的2个产品的介绍顺序相邻的方案数；

（2）求同一个公司产品的介绍顺序不相邻，C公司的产品既不是第一个介绍，也不是最后一个介绍的方案

数.

【变式1】（多选）（2425高二下•全国•课后作业）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序,

第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目，

则（）

A.若要求4个音乐节目排在一起，则有A：A；种不同的排法

B.若要求曲艺节目甲必须在曲艺节目乙的前边，则有A；种不同的排法

C.若要求3个舞蹈节目不能排在一起，则有A：A；种不同的排法

D.若要求音乐节目、舞蹈节目、曲艺节目分别相邻演出，则有A：A；A；种不同的排法

【变式2］（2425高二上•全国•课后作业）三个女生和五个男生排成一排.

⑴如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？

（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？

⑶如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？

（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

⑸如果男生甲、乙之间必须排两个女生，可有多少种不同的排法？

题型11分组分配问题

【典例1】（2024高三•全国•专题练习）将6本不同的书，甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2

本，一人得3本，有多少种不同的分配方式？

【典例2】（2024高三•全国•专题练习）现在4本不同的书，按以下方式进行分配.

⑴分成两堆，每堆2本，则有多少种分法；

（2）分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法；

⑶分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法；

（4）分给甲、乙两人，一个3本、一人1本，则有多少种分法.

【典例3】（2324高二下•江苏泰州•阶段练习）五个不同的小球，全部放入编号为1,2,3,4的四个

盒子中.回答下面几个问题（写出必要的算式，并以数字作答）：

⑴可以有空盒，但球必须都放入盒中的放法有多少种？

（2）四个盒都不空的放法有多少种？

⑶恰有一个空盒的放法有多少种？

【变式1】（2425高二上•全国•课堂例题）6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的

分配方法？

⑴每组2本（平均分组）；

（2）一组1本，一组2本，一组3本（不平均分组）；

⑶一组4本，另外两组各1本（局部平均分组）.

【变式2］（2324高二下•安徽六安•期中）6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法?

⑴分给甲、乙、丙三人，每人两本；

（2）分为三份，每份两本；

⑶分为三份，一份一本，一份两本，一份三本;

（4）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.

（要求:以上4题最终答案均要用数字作答）

题型12二项展开式及其逆应用

【典例1】（2324高二下•山东临沂•期中）若实数q=2-0,则胪-2&尸+22黑4°-…+产等于（）

A.-32B.32C.-64D.64

【典例2】（2425高二上•上海•假期作业）设S=（x-l）4+4（x-iy+6（x-iy+4（x-l）+l,它等于下式

中的（）

A.（x-2）4B.（x-1）4C.%4D.（x+1）4

【典例3）（2425高二上•全国•随堂练习）代数式（尤+1?-4（尤+1）3+6（x+l）2-4（尤+1）+1可化简为.

【变式1］（2324高二下•河南洛阳•期中）C°-32fl+C；,-32"-2+C<32,-4++&，变=（）

A.42"B.4"-1C.10"D.10"-1

【变式2］（2324高二下•山东荷泽•阶段练习）（X-1）5+5（X-1）4+10（X-1）3+10（X-1）2+5（X-1）=（）

A.x5+1B.尤'-I

C.（X+1）5-1D.（尤+1）5+1

题型13特定项（特定项系数）

【典例1】（2324高二下•山东荷泽•期中）（«+或-21的展开式中无理项的项数为（）

A.3B.4C.5D.6

【典例2】（2425高三上•福建南平•期中）若仆+4丫2尤-4］的展开式中各项系数的和为2,则

a=，该展开式中的常数项为.

【典例3】（2324高二下•河南郑州•期末）已知二项式，x+点］（”eN*）的二项展开式中二项式系数

之和为256.

⑴求展开式中，的系数；

（2）求展开式中所有的有理项.

【变式1】（多选）（2425高三上•甘肃白银•期中）对于二项式下列说法正确的是（）

A.展开式中的常数项为:B.展开式中的常数项为:

42

C.展开式中的有理项有3项D.展开式中的有理项有4项

【变式2］（2425高三上•四川眉山•阶段练习）将3个班分别从2个景点中选择一处游览，共有〃种不同

的选法，则在［-七］的展开式中，含/项的系数为.

题型14二项式系数（含最值问题）

【典例1】（2425高二下•全国•课后作业）（2x-y）6的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分

别为（）

A.第1项和第3项B.第2项和第4项

C.第3项和第1项D.第4项和第2项

【典例2】（2024•贵州•模拟预测），一的展开式中，二项式系数最大的项的系数是.（用数字

作答）

【典例3】（2024高三•全国•专题练习）已知（d+-r）”的展开式中，第四项的系数与倒数第四项的系

数之比为则展开式中二项式系数最大的项的系数为.

【变式1］（多选）（2324高二下•安徽合肥•阶段练习）已知（l-2x）"=%+q尤+%/+…+4/,展开

式中的所有项的二项式系数和为64,下列说法正确的是（）

A.〃=8B.%=1

C.%=—160D.+|生|+…+=3'-1

【变式2］（2324高二下•重庆九龙坡•期中）在。+4的展开式中，若第7项与第8项的二项式系数之

比为1:2,贝！）"=.

题型15系数（含系数最大，小项）

【典例1】（2324高二下•江苏南通•期中）在以下两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线

上，并完成解答.

①所有项的系数之和与二项式系数之和的比为729:64；

②前三项的二项式系数之和为22.

问题:在12近+工］(n>2,neN*）的展开式中,

⑴证明展开式中没有常数项;

（2）求展开式中所有的有理项.

12

【典例2】（2324高二下・四川内江•阶段练习）用二项式定理展开2x+

⑴求展开式中的常数项；

（2）求展开式中系数最大的项的二项式系数.（用数字作答）

【典例3】（2324高二下•河北保定•阶段练习）在的展开式中，第3项的二项式系数是第2

项的二项式系数的4倍.

⑴求”的值;

(2)求-2x的展开式中的常数项;

⑶求展开式中系数绝对值最大的项是第几项？

【变式1］（2324高二下・浙江杭州•期中）已知（2犬+三］的展开式中，所有二项式系数的和为32.

⑴求”的值;

（2）若展开式中,的系数为80,求a的值.

X

【变式2］（2324高二下•宁夏石嘴山•期中）已知x-小的展开式中，二项式系数最大的项只有第

五项.

⑴求”的值；

（2）求该展开式中的常数项.

⑶求其展开式中系数最大的项.

题型16二项式系数和与系数和

【典例1】（2324高二下•天津和平•期中）已知（6-的展开式中，第4项和第9项的二项式系数

相等.

⑴求n；

（2）求展开式中x的一次项的系数；

⑶设展开式的所有项的系数和为展开式的所有偶数项的二项式系数和为M求M+N.

【典例2】（2324高二下•四川遂宁•期中）已知二项式/+三J^cN*）的展开式中，给出下列

条件：

①第二项与第三项的二项式系数之比是1：4；②各项二项式系数之和为512；③第7项为常数项；

从上面三个条件中选择一个合适的条件补充在上面的横线上，并完成下列问题.

⑴求实数”的值；

（2）展开式中二项式系数最大的项；

⑶求卜«-2）［无+%］的展开式中的常数项.

【典例3】(2324高二下•江苏淮安•期中)若(>2x)7=CIQ+4%+-+%工7・求:

(1)4+。2++%；

(2)|%|+同++|%|・

【变式1](2324高二下•山东聊城•期中)(结果可用指数暮的形式表示)

2023

设(1-3域°23=%+4(1+彳)+%(l+x)2---Fa2023(1+x)(xeR).求：

(2)求G+4+a5H+<2JO23的值；

(3)求同+同+同T---的值.

52345

【变式2】(2324高二下•江苏扬州■期中)已知(1-3x)-a0+a^x+a2x+a3x+a4x+a5x.

⑴求小;

(2)求同+同+同+同+|。5|-

题型17二项式定理应用

【典例1】(2324高二下•吉林•期中)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研

究，设a,心机(">0)均为整数，若。和^被机除得的余数相间，则称a和6对模机同余，记为"Nmod间，

2

如9和21被6除得的余数都是3,则记9三21(mod6).若"/mod8),且“=CM+C>2+CU22++C^-2%

则6的值可以是()

A.2022B.2023C.2024D.2025

【典例2】（2324高二下•广东茂名•期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深

的研究，设4砥相>0）均为整数，若。和6被加除得的余数相同，则称”和6对模加同余，记为“三6

（modm）,如9和21被6除得的余数都是3,则记9三21（mod6）.若"三b（modlO）,且

。=<4+%2+*22++C*2"，则6的值可以是（）

A.2010B.2021C.2019D.1997

【典例3】（2324高二下•山东济宁•期中）2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计

分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确

选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一

个正确选项得3分;若某小题正确选项为三个,漏选一个正确选项得4分,漏选两个正确选项得2分）.已

知在某次新结构数学试题的考试中，某同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项，

第三小题随机地选了一个选项，这位同学的多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）共有〃种情

况，则7"除以36的余数是.

【变式1］（2324高二下・江苏徐州•期中）已知。也〃?（〃?>0）为整数，若。和6被m除得的余数相同,则

称。和6对模机同余，记为。三。（modm）.如9和21除以6所得的余数都是3,贝!J记为9三21（mod6）,

若仁心+44+*啰++C第2”，。三6（modl0）,则b的值可以是（）

A.2024B.2023C.2022D.2021

【变式2］（2324高二下•广西玉林•期末）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深

的研究，对于两个整数a,b,若它们除以正整数加所得的余数相同，则称。和b对模机同余，记为

217

a=b{modni）a=C°7+C；7x6+C；7x6+...+C［^x6,a三6（mod8）,贝!|匕的值可以是（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

题型18杨辉三角形

【典例1】（2324高二下•黑龙江哈尔滨•期末）当时，将三项式（炉+x+l）"展开，可得到如图所示

的三项展开式和“广义杨辉三角形”：

广义杨辉三角

3+"1)。=1第0行1

(N+x+lpM+x+l第1行111

(N+x+l)2=x4+2x3+3x2+2x+1第2行12321

3+x+1)3=X6+3》5+6/+7》3+6/+3》+1第3行1367631

2487652

(x+x+l)=x+4x+10x+16x+19x4+16x3+1QX+4X+1第4行14101619161041

若在（1+加，+.》+1）5的展开式中，/的系数为T5,则实数a的值为（）

B.-1C.2D.-2

1

【典例2】（2324高二上•山东德州•期末）将杨辉三角中的每一个数C：都换成西尸，得到如图所

示的莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”

两个数之和，如果,22（〃为正整数），则下列结论中正确的是（）

第。行；

第1行I）

A.当，=2023时中间的两项相等，且同时取得最大值

B