带电粒子在匀强磁场中的运动-高考物理一轮复习（解析版）

考点31班场一带电粒子在匀强磁场中的运动

1.通过实验，认识洛伦兹力。能判断洛伦兹力的方向，会计算洛伦兹力的大

小。

新课程标准

2.能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。了解带电粒子在匀

强磁场中的偏转及其应用。

预测此后高考对本专题会结合最新科技及生活实际，根据左手定则考查考查

命题趋势带电粒子在磁场中运动的匀速圆周运动模型的构建与应用.以此培养学生的

物理观念、科学思维及科学态度

/匕活实践类生活和科技等

试题情境

学习探究类带电粒子在磁场中的运动

考向一、对洛伦兹力的理解和应用

考向二、带电粒子在有界匀强磁场中的运动

考向三、带电粒子在磁场中运动的多解问题

考向四、“数学圆，，方法在电磁学中的应用

考向一、对洛伦兹力的理解和应用

(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面。

(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。

(3)用左手定则判断洛伦兹力方向，但一定分清正、负电荷。

2.洛伦兹力与电场力

洛伦兹力电场力

V/)且V

产生条件电荷处在电场中

不与B平行

大小F=qvB(vJ_B)F=qE

力方向与一定是F，B,正电荷受力与电场方向相同，负

场方向的关系F±v电荷受力与电场方向相反

任何情况下可能做正功、负功，也可能不做

做功情况

都不做功功

作用效果只改变电荷的速度方向，既可以改变电荷的速度大小，也

不改变速度大小可以改变运动的方向

【典例11（2022年广东省普通高中学业水平选择性考试）7.如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ

划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一

速度从立方体左侧垂直。yz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面

的投影中，可能正确的是（）

【答案】A

【解析】AB.由题意知当质子射出后先在MN左侧运动，刚射出时根据左手定则可知在MN受到y轴正方

向的洛伦兹力，即在MN左侧会向y轴正方向偏移，做匀速圆周运动，y轴坐标增大；在MN右侧根据左

手定则可知洛伦兹力反向，质子在y轴正方向上做减速运动，故A正确，B错误；

CD.根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于xOy平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没

有运动，z轴坐标不变，故CD错误。

故选Ao

【典例2】（2022贵阳摸底）如图所示,a、b两根长直导线垂直纸面放置，两导线内通有大小相等、方向相反

的电流，O点在纸面与导线平面的交线上且到两导线距离相等，MN是过O点且垂直于导线平面的竖直线,

一个带电粒子从M点以速度v沿MN方向运动，粒子重力不计，下列说法正确的是（）

A.粒子沿MN方向先做加速运动后做减速运动

B.粒子沿MN方向一直做匀速直线运动

C.粒子偏向MN左侧先做加速运动后做减速运动

D.粒子偏向MN右侧先做减速运动后做加速运动

【答案】B

【解析】根据右手螺旋定则和磁场叠加原理可知，两通电直导线在直线MN上所产生的合磁场方向始

终沿MN方向，当带电粒子沿MN方向运动时，其运动方向正好与合磁场方向平行，则带电粒子不受洛伦

兹力作用，故粒子将一直做匀速直线运动，选项B正确.

练习1、（202。浙江省1月高中学业水平考试）下列表示运动电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向正确的是

（）

•一夕・F・

B•2

D

【答案】D

【解析】A图和B图中v〃:B,所以电荷所受洛伦兹力为零，选项A、B错误；根据左手定则可知，C图中

电荷所受洛伦兹力方向向上，D图中电荷所受洛伦兹力方向向右，选项C错误，D正确。

练习2、（2022•大连模拟）真空中竖直放置一通电长直细导线，俯视图如图所示。以导线为圆心作圆，光滑绝

缘管ab水平放置，两端恰好落在圆周上。半径略小于绝缘管半径的带正电小球自a端以速度vo向b端运动

过程中，下列说法正确的是（）

A.小球先加速后减速

B.小球受到的洛伦兹力始终为零

C.小球在ab中点受到的洛伦兹力为零

D.小球受到洛伦兹力时，洛伦兹力方向竖直向外

【答案】C

【解析】根据安培定则可知，直导线产生的磁场的磁感线如图中虚线所示,

洛伦兹力始终与小球运动方向垂直，故不做功，小球速率不变，A错误；当运动到ab中点时，磁感线

与速度方向平行，所受洛伦兹力为零，自a端到中点洛伦兹力竖直向下，中点至b端洛伦兹力竖直向上，B、

D错误，C正确。

【巧学妙记】

1.洛伦兹力的特点

(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。

(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。

(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。

(4)洛伦兹力永不做功。

人—一'■考向二、带电粒子在有界匀强磁场中的运动

1.确定圆心

方法一若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F±v,分别确定两点处洛伦兹力F

的方向，其交点即为圆心，如图甲。

方法二若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出此两点的连线(即过这两点

的圆弧的弦)的中垂线，中垂线与过已知点速度方向的垂线的交点即为圆心，如图乙。

2.确定半径

。力?(偏向角)

利用平面几何关系，求出该圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几何特点：

粒子速度的偏向角(cp)等于圆心角(a),并等于AB弦与切线的夹角(弦切角0)的2倍(如图)，即。=a=20

=COto

3.求解时间

粒子在磁场中运动一周的时间为T,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为a时，其运动时间可由下式表

示：

a

t=------为弧长)。

360°

4.运动轨迹

(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)。

直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)

图a中粒子在磁场中运动的时间

T1tm

t=5=^

图b中粒子在磁场中运动的时间

(._9>(.0>2nm2m(Ji—0)

图c中粒子在磁场中运动的时间t=±r=碧

Jiqt)

(2)平行边界磁场

带电粒子在平行边界磁场中运动时的半径R与平行边界距离d之间的关系如图所示.

d=7?](l-cos0)

d=2R2d=Rsin0d=H(l+cos0)(/=i?(l-cos0)

甲乙丙丁

(3)圆形边界磁场

沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)

R

粒子做圆周运动的半径「=布气

粒子在磁场中运动的时间1=含7=错^，0+a=90°

O)

(4)三角形边界的磁场

带电粒子在三角形边界的磁场中运动时常常涉及临界问题。如图所示，正AABC区域内有匀强磁场,

某正粒子垂直于AB方向从D点进入磁场时，粒子有如下两种可能的临界轨迹:

（1）粒子能从AB边射出的临界轨迹如图甲所示。

（2）粒子能从AC边射出的临界轨迹如图乙所示。

（5）矩形边界的磁场

带电粒子在矩形（正方形）边界的磁场中运动时，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题，如图所示。

【典例3】（多选）（2022年辽宁省普通高中学业水平等级性考试）8.粒子物理研究中使用的一种球状探测

装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P

点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器

上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（）

A.粒子1可能为中子

B.粒子2可能为电子

C.若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点

D.若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点

【答案】AD

【解析】AB.由题图可看出粒子1没有偏转，说明粒子1不带电，则粒子1可能为中子；粒子2向上偏转,

根据左手定则可知粒子2应该带正电，A正确、B错误；

C.由以上分析可知粒子1为中子，则无论如何增大磁感应强度，粒子1都不会偏转，C错误；

D.粒子2在磁场中洛伦兹力提供向心力有/3=机匚

r

mv

解得「=行可知若增大粒子入射速度’则粒子2的半径增大’粒子2可能打在探测器上的Q点',D正确。

故选AD。

【典例4］（2022年6月浙江省普通高中学业水平等级性考试）22.离子速度分析器截面图如图所示。半径

为R的空心转筒P,可绕过。点、垂直xOy平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其

上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板

Q,板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为-q（q>0）>速度大小不同的离

子，其中速度大小为vo的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探

测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。

（1）①求磁感应强度B的大小；

②若速度大小为vo的离子能打在板Q的A处，求转筒P角速度（0的大小；

（2）较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为0,求转筒转

动一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小；

6v

（3）若转筒P的角速度小于口，且A处探测到离子，求板Q上能探测到离子的其他0,的值（&为探测点

R

位置和O点连线与x轴负方向的夹角）。

邕工遐M

【答案】⑴①八%‘②。=*+吸，k=。，1，2,3…；⑵F=器**号.。，

1,2,...；(3)0'=—71,—71

66

【解析】（1）①离子在磁场中做圆周运动有“%5=誓

则武嗯

qR

7lR

②离子在磁场中的运动时间t=-

2%

jr

转筒的转动角度狈=2E+2

2

co—(4Z^+1)fk=0,1,2,3...

（2）设速度大小为v离子在磁场中圆周运动半径为R',有R=Htan—

2

e

v—tan^

R

离子在磁场中的运动时间「=（兀-。）一

V。

转筒的转动角度co't'=2mr+0

转筒转动角速,度（2小〃兀音+0）节v

nn=0,1,2,.

动量定理厂&=Nmv

a!

厂(2nji+0)Nmv10

F=--------------Stan—,n=0,1,2,.

2(兀一8)兀R2

（4左+l）v(2/771+O'}v6yo

（3）转筒的转动角速度1―产n0

K

,,八，5一2〃

其中k=1,0—-----71,n=0,2

6

可得夕=』7r

6

练习3、（2020•全国I卷）一匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示,

ab为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径.一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子,

在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率.不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时

间最长的粒子，其运动时间为（）

b

771m-5兀m

A•丽B.丽

-471m—371m

r------D------

J3qB2qB

【答案】c

【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动qBv=甲,1=甲，可得粒子在磁场中的周期T=鬻，粒子在磁

AAm

场中运动的时间t=^-T=黑，则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间

越长.采用放缩圆解决该问题，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆心必在ac直线上，将粒子的轨迹半径由零

逐渐放大.当半径E0.5R和它1.5R时，粒子分别从ac、bd区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等

于半个周期.当0.5R<r<1.5R时，粒子从半圆边界射出，逐渐将轨迹半径从0.5R逐渐放大，粒子射出位置

从半圆顶端向下移动，轨迹圆心角从兀逐渐增大，当轨迹半径为R时，轨迹圆心角最大，然后再增大轨迹

半径，轨迹圆心角减小，因此当轨迹半径等于R时轨迹圆心角最大，即轨迹对应的最大圆心角9=兀+号=*,

4

粒子运动最长时间为1=殳=今箸=器故选C.

练习4.（2022湖北荆门调考）如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B,在

xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成0角（0<9<兀）、以速率v发射一个带正电的粒子（重力不计），则

下列说法正确的是（）

A.若。一定，v越大,则粒子在磁场中运动的时间越短

B.若。一定，v越大,则粒子在磁场中运动的角速度越大

C.若v一定,。越大，则粒子在磁场中运动的时间越短

D.若v一定，0越大,则粒子在离开磁场的位置距0点越远

【答案】C

【解析】粒子运动周期丁=鲁,当e—定时,粒子在磁场中运动的时间t=?=^T,s2兀

'亍'

由于t、co均与V无关，故A、B错误.当V一定时，由「=翟知，r一定，当0从0变至与的过程中，9越

0qz

大，粒子离开磁场的位置距O点越远；当0大于齐寸，0越大,粒子离开磁场的位置距O点越近，故D错误.故

选c.

【巧学妙记】

带电粒子在磁场中运动的临界极值问题

1.解题关键点

⑴关注题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等关键

词语，作为解题的切入点。

(2)关注涉及临界点条件的几个结论

①粒子刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的

轨迹与边界相切。

工我一一*3=^考向三、“数学圆”方法在电磁学中的应用

题型一“平移圆”模型

粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上

的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径

相同，若入射速度大小为则半径如图所示

适用条件V0,R—

111

轨迹圆圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直

心共线线与入射点的连线平行

将半径为R—%°的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这

界定方法

种方法叫“平移圆”法

题型二“旋转圆”模型

粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强

磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初

适用条件

速度大小为V0,则圆周运动轨迹半径为R—个凸，如图所示

P

如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P

为圆心、半径R一战的圆上

Xxxx

轨迹圆圆

XX/XXQXXXX

心共圆

XX\xJ./X

XXXX

将半径为R一15°的圆以入射点为圆心进行旋转,从而探索出

界定方法

临界条件，这种方法称为“旋转圆”法

题型三“放缩圆”模型

粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强

适用条件磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随

速度的变化而变化

如图所示（图中只画出粒子带正电的情景），速度V越大，运动

半径也越大.可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨

迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP，上

XXXXXX

轨迹圆圆心共线P'

XX

x:/x至4\x

XXXXXX

以入射点P为定点，圆心位于PP，直线上，将半径放缩作轨迹圆，

界定方法

从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法

题型四“磁聚焦”模型

1.带电粒子的会聚

如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场

圆半径相等（R=r）,则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出.（会聚）

证明：四边形OAOB为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO,（即竖直方向），可知从A点

发出的带电粒子必然经过B点.

2.带电粒子的发散

如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B,圆心为O,从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子,

以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场

半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行.（发散）

证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，OiA、

O2B>03c均平行于PO,即出射速度方向相同（即水平方向）.

【典例5】（2020•全国卷m,18）真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面,

磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图7所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知

电子质量为m,电荷量为e,忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感

应强度最小为（）

A3mv-mv

B.一

A•京ae

r3mv-3mv

Jae

【答案】C

【解析】为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆周运动的半径

最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r,圆心为M,磁场的磁感应强度最小为B,由几何关系有后存+

r=3a,解得r=ga,电子在匀强磁场中做匀速圆周运动有evB=mE，解得B=鬻，选项C正确。

j1qae

【典例6］（多选）（2021•海南高考）如图,在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀

强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的P（0,小L）点，以相同的速

率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为a（0WaW180。）。当式=150。时,

粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则（）

A.粒子一定带正电

B.当a=45。时，粒子也垂直x轴离开磁场

C.粒子入射速率为叫地

D.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3小L

【答案】ACD

【解析】根据题意可知粒子垂直x轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A正确；当a=150。时，粒

子垂直x轴离开磁场，运动轨迹如图甲，

2BL

粒子运动的半径为r=需全=26L,洛伦兹力提供向心力qvB=mv，解得粒子入射速率V=^O

UU1111

若a=45。，粒子运动轨迹如图乙，根据几何关系可知粒子离开磁场时与x轴不垂直，B错误，C正确；粒

子离开磁场的位置距离O点最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图丙，根据几何关系可知（2r）2=（小L）2

2

+xm,解得Xm=34L,D正确。

练习5.（2022•山东省青岛市高三下二模）如图所示，竖直放置的半环状ABCD区域内存在匀强磁场，磁场

方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B=0.5T.外环的半径Ri=16cm,内环的半径R2=4cm,外环和

内环的圆心为O,沿0D放置有照相底片.有一线状粒子源放在AB正下方（图中未画出），不断放出初速度

大小均为vo=1,6x106m/s,方向垂直AB和磁场的相同粒子，粒子经磁场中运动，最后打到照相底片上，经

检验底片上仅有CD区域均被粒子打到.不考虑粒子间的相互作用，粒子重力忽略不计，假设打到磁场边界

的粒子被吸收.

p

(2)求粒子的比荷V；

(3)若照相底片沿0P放置，求底片上被粒子打到的区域的长度.

［解析］(1)由左手定则可知，粒子带正电.

(2)如图所示，设粒子的质量为m,带电荷量为q,在磁场中做匀速圆周运动的半径为R,依题意有2R

=RI+R2，R=10cm

由牛顿第二定律qvoBn1^

代入数据解得$3.2x107c/kg

(3)若照相底片沿OP放置，则底片上被粒子打到的区域长度为MN的长度，如图所示，在AOiOM中，

由几何关系有OM2=R2—(R—R2)2,解得OM=8cm

MN=R-OM,联立代入数据解得MN=2cm

练习6.(2022•北京市丰台区高三上期末)如图所示，ABCD与MNQP均为边长为1的正方形区域，且A点为

MN的中点.ABCD区域中存在有界的垂直纸面方向的匀强磁场，在整个MNQP区域中存在图示方向的匀

强电场.质量为m、电荷量为e的电子以大小为vo的初速度垂直于BC射入正方形ABCD区域，且都从A

点进入电场，已知从C点进入磁场的粒子在ABCD区域中运动时始终位于磁场中，不计电子重力，求：

(1)匀强磁场区域中磁感应强度B的大小和方向；

(2)要使所有粒子均能打在PQ边上，电场强度E至少为多大;

(3)ABCD区域中磁场面积的最小值是多少.

［解析］(1)由洛伦磁力提供向心力可得ev0B=-^

由题意则有r=l

解得B=詈，方向为垂直纸面向外

(2)沿AN方向进入电场的粒子能打在PQ边上则所有粒子都能打在PQ边上，在匀强电场中做类平抛运

动，则有eE=ma

1=到2

(3)图中阴影部分为磁场最小范围，由几何关系可知

Smin=2X

练习7、(多选)(2022•湖北省武汉市第二中学高三上模拟)如图所示，直角三角形边界ABC内存在垂直于纸面

向外的匀强磁场，磁感应强度为B,AC长为2L,AB长为L。从AC的中点D连续发射不同速率的相同粒

子，方向与AC垂直，粒子带正电，电荷量为q,质量为m,不计粒子重力与粒子间的相互作用，下列判断

正确的是()

A.以不同速率入射的粒子在磁场中运动的时间一定不等

B.BC边上有粒子出射的区域长度不超过坐L

C.AB边上有粒子出射的区域长度为(小一1)L

D.从AB边出射的粒子在磁场中的运动时间最短为器

【答案】BC

【解析】若不同速率入射的粒子在磁场中运动时都从AC边射出，则运动的时间相等，A错误；如图甲，

当粒子的速度无穷大时可认为粒子不发生偏转从E点射出，从BC边上有粒子出射的区域在BE部分，由几

何关系知长度不超过Ltan30。=坐L,B正确；

由图乙可知，AB边上有粒子出射的区域为BF之间，由几何关系可知：六=为工，解得r=（2小一3）L,

则BF=L—嬴R=（小一1）L,C正确；从AB边上出射的粒子在B点射出时时间最短，粒子在磁场中运动

轨迹所对的圆心角为60。，则粒子在磁场中的运动时间最短为t=J=^,D错误。

练习8、（2022陕西西安八校联考）如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感

应强度大小为B,磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向（均平行于纸面）且速度大小

相等的带正电的粒子（重力及粒子间的相互作用不计），已知粒子的比荷为k,速度大小为2kBr,则粒子在磁

场中运动的最长时间为（）

A

/XX▼XX\

/XXXX•

\XXXX!

\XXXX/'

AkBB-2kB

兀兀

C3kBD.4kB

【答案】C

【解析】粒子在磁场中运动的半径为R=^=鬻=2r,周期为T=鬻虚，当粒子在磁场中运动时

间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，弦长最大值为磁场区域圆的直径2r,根据几何关系

T兀

可得轨迹所对圆心角为60。，故tmax=%=菽，选项C正确.

练习9.（多选）（2022•山东省日照市高三下二模）如图所示，纸面内半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向

外的匀强磁场，磁感应强度大小为B,一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电荷量为q,

质量为m,速度为v=喈，则以下说法正确的是（）

A.对着圆心入射的质子，其出射方向的反向延长线一定过圆心

B.对着圆心入射的质子，其在磁场中的运动时间最短

C.所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场

D.所有质子在磁场中做圆周运动的半径都相同

【答案】ACD

【解析】首先可以确定朝着圆心射入的质子，其做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供：Bqv=m?,

将速度代入，解得：r=R,那么由几何关系知道该质子最后沿着0C方向从0点的正下方C点射出磁场，

故A正确;再假设从任意点E水平射入的质子,其做匀速圆周运动的圆心为D,由几何知识可知四边形DEOC

是菱形，所以DC=OE=R,所以从任意点水平入射的质子也从。点的正下方C点射出，故C正确；质子

在磁场中做圆周运动的速率v相同，质子运动轨迹越长，质子的运动时间越长，对着圆心入射的质子运动

轨迹不是最短，因此对着圆心入射的质子在磁场中的运动时间不是最短的，故B错误；根据以上分析可知,

所有质子在磁场中做圆周运动的半径都相同，故D正确.

【巧学妙记】

分析方法

⑴数学方法和物理方法的结合:如利用"矢量图""边界条件"等求临

界值，利用"三角函数""不等式的性质""一元二次方程的判别式”等

求极值。

⑵一个“解题流程"，突破临界问题。

女一考向四、带电粒子在磁场中运动的多解问题

类型1带电粒子的电性不确定形成多解

如果粒子的电性不确定，带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子

在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图所示，带电粒子以速度V垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹

为a；若带负电，其轨迹为b。

类型2磁场方向不确定形成多解

有些题目只知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向

不确定而形成的多解。

如图所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面

向外，其轨迹为b。

类型3临界状态不唯一形成多解

带电粒子在洛伦兹力作用下在有界磁场中运动时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去,

也可能转过180。从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图所示。

类型4运动的周期性形成多解

带电粒子在组合场或交变场中运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解，如图所示。

【典例7］（多选）（湖北省2022年普通高中学业水平等级考试）8.在如图所示的平面内，分界线SP将宽

度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸

面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B,SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的

正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30。角。已知离子比荷为k,不计重力。若离子从P点射

出，设出射方向与入射方向的夹角为仇则离子的入射速度和对应0角的可能组合为（）

;XXXX;

；XXXX；

L*5

1

A.-kBL,0°B.|kBL,0°C.kBL,60°D.2kBL,60°

3

【答案】BC

【解析】若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图

根据几何关系则有R=L

v2

qvB-m—

R

可得v=-kBL

m

根据对称性可知出射速度与SP成30。角向上，故出射方向与入射方向夹角为0=60。。

当粒子上下均经历一次时，如图

因为上下磁感应强度均为B,则根据对称性有尺=,乙

2

根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m~~

可得v="人=^kBL

2m2

此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为0=0。。

通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足

_qBL1

v—7--------7——--------kBL（口=1,2,3）

2n-l.......

此时出射方向与入射方向的夹角为0=60°；

当粒子从上部分磁场射出时，需满足丫=a=上®（n=l,2,3……）

2nmIn

此时出射方向与入射方向的夹角为0=0%

故可知BC正确，AD错误。

故选BC。

【典例8】（2022•东北三省四市教研联合体4月模拟二）如图所示,宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为

B,MM，和NN，是它的两条边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒

子不能从边界NN，射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少？

【答案】（2+陋）等（q为正电荷）或（2—也）嘿（q为负电荷）

【解析】题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷，所以分情况讨论。

若带电粒子带正电荷，当粒子入射速率最大时，轨迹是图中与NN相切的：圆弧，

则轨迹半径R=^

Bq

又d=R—Rsin45。

抽汨2+V^Bqd

解得丫=---m------

3

若带电粒子带负电荷，当粒子入射速率最大时，轨迹是图中与NN相切的彳圆弧，

则轨迹半径

Bq

又d=R'+R'sin45°

2—也Bqd

解得v'=

X

X

练习10、（2022•广东省汕头市高三二模）如图所示，边长为L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的

匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B,顶点A处有一粒子源，粒

子源能沿/BAC的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、带电荷量均为+q,不计粒子重力及粒

子间的相互作用，则粒子能通过B点时发射的速率丫。为（）

A2qBL3qBL2qBLqBL

m2m3m7m

【答案】D

【解析】粒子带正电，且经过B点，其可能的运动轨迹如图所示,

O1xX°2XXXXX

xx460xxx

X

XX

XX

XXXfixXxCx

所有圆弧所对圆心角均为60°,所以粒子运动半径r=W（n=1,2,3,…），粒子在磁场中做圆周运动，洛

伦兹力提供向心力，有qvoB=mT",解得vo=*^=^^（n=1,2,3,…），故A、B、C错误，D正确。

练习11、（多选X2022•北京市朝阳区校际联考）如图所示，一磁感应强度为B的匀强磁场垂直纸面向里，且

范围足够大.纸面上M、N两点之间的距离为d,一质量为m的带电粒子（不计重力）以水平速度vo从M点

垂直进入磁场后会经过N点，已知M、N两点连线与速度vo的方向成30。角.以下说法正确的是（）

xx

XX

XXX

A.粒子可能带负电

B.粒子一定带正电，电荷量为端

dD

C.粒子从M点运动到N点的时间可能是二

3Vo

D.粒子从M点运动到N点的时间可能是当

3Vo

【答案】BCD