抽象函数的综合性质应用（10题型+高分技法+限时提升练）原卷版-2025年高考数学复习专练（新高考）

重难点2-2抽象函数的综合性质应用

明考情-知方向

三年考情分析2025年考向预测

近三年高考中抽象函数的性质考查主要集中在选择预计2025年高考中，抽象函数的性质仍将以选择

题和填空题中，偶尔也会在解答题中出现.题目难题和填空题的形式出现，且可能作为压轴小题。题

度从基础到较难不等，涉及多种函数性质的综合应目将继续考查学生的综合推理能力.可能出现创新

用，且难度逐年上升，题目更加注重综合推理能力，题型，如结合实际问题或新定义的函数性质进行考

常结合导数、不等式等知识点进行考查.查.

重难点题型解读

题型1抽象函数的定义域求解题型6抽象函数的奇偶性问题

题型2抽象函数的值域求解题型7抽象函数的周期性问题

题型3抽象函数的函数值求解o—抽象函数的综合'性质应用—°题型8抽象函数的对称性问题

题型9抽象函数解不等式问题

题型10抽象函数比较大小问题

题型1抽象函数的定义域求解

1、已知/(%)的定义域，求/'(gO))的定义域：若/(%)的定义域为［a,6］,则/'(gQ))中aWg(x)W6,解得x

的取值范围即为"g(x))的定义域.

2、已知的定义域，求/(x)的定义域：若f(g(x))的定义域为［a,切，则由aWxWb确定g(x)的范围，j

即为/(%)的定义域.

■

3、已知/(g(x))的定义域，求/'(h(x))的定义域：可先由/'(gO))定义域求得/"(X)的定义域，再由/"(X)的定\

义域求得/(h(x))的定义域.

4、运算型的抽象函数：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函

数的定义域，再求交集.

;注意：求抽象函数的定义域，要明确定义域指的是X的取值范围，同一个/下括号内的范围是一样的.

1.（24-25高三上•福建三明・月考）已知函数y=的定义域是[-1,2],则y=-3x）的定义域为（）

A.-pOB.-；,3C.[0,1]D.-pl

需的定义域

2.（24-25高三上•内蒙古呼和浩特・月考）已知函数y=-1）的定义域是[-1,3],贝I]y=

是（）

A.(-2,5]B.(-2,3]C.[-1,3]D.[0,2]

3.（24-25高三上・安徽亳州•月考）函数〃x+l）的定义域为[-2,2],函数g"）=b?"]'则8（无）的

定义域为（）

A.[0,2）U（2,4]B.[-1,2）U（2,3]

C.3,2）U（2,4]D.,,21（2,3]

4.（24-25高三上•湖南邵阳・月考）已知函数〉=/&工+1）的定义域是[2,4],则函数g（x）=京：'的定义

域为.

题型2抽象函数的值域求解

抽象函数的值域求解通常需要灵活运用多种方法.可以利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质来

推断值域；通过赋值法代入特殊值或参数简化问题；借助数形结合法直观观察函数图像的特征；或者

利用不等式、导数等工具研究函数的极值和最值.此外，还可以通过构造具体函数模型、分离常数、

；整体代换等技巧来求解值域.

i

1.（23-24高三上•上海・月考）已知函数y=/（"的值域为[-2,2],则函数y=〃2x+l）的值域为,

2.（24-25高三上•河南•期中）已知函数/（无）是定义在切上的图象连续不间断的奇函数，且

{y\y=f^,x^[O,a]\=[m,M],若加之—加，则/（无）的值域是（）

A.[m,M]B,C.[m,-m]D.

3.（24-25高三上•山西晋中•月考）已知函数的定义域为（0,+s）,若对于任意的无，ye（0,y）,都有

/（x）+/（y）=/（xy）+2,当x>l时，都有/（无）>2,且/⑶=3,则函数/⑺在区间工27]上的最大值为（）

A.2B.3C.4D.5

4.（24-25高一上•河北邯郸・期中）已知函数/（X）的定义域为R,且/（尤）+#（1-尤）+1=0,则函数，（x）的最

大值为（）

题型3抽象函数的函数值求解

1----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象

代数式的值，常用赋值法来解决.

常见的赋值情况：（1）第一层次赋值：常常令字母取-2,-1,。,1,2等；（2）第二层次赋值：若题中有条件

I

则再令字母取毛；第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对

;应的和或积（较多）或者差或商（较少）.

I

1.（24-25高三上•江西・月考）已知函数的定义域为R,</（x+y）-/（x-y）=2/（y）,则”0）=（）

A.0B.1C.2D.-1

2.（24-25高三上•山东潍坊•期中）已知定义在R上的函数"》）满足〃x—y+l）—〃x+y+l）=〃x）/（y）,

且/⑴=2,则〃2）+/（3）+/（4）=（）

A.2B.0C.-2D.-4

3.（24-25高三上•广西・月考）已知函数“X）的定义域为R,/（@=-2+夜，且

/（孙）=/（x）/（y）+2x+2y-6,则“-2）=（）

A.-2B.-4c.2A/2-2D.-20+2

4.(24-25高三上•河南•期中)已知函数的定义域为R,且/(x+y)+/(x—y)=2/(x)+2/(y),〃1)=1,

设4=/(小(”eN*),则£

589531

840760

题型4抽象函数的解析式求解

:①换元法：用中间变量表示原自变量X的代数式，从而求出犬X).

[②凑合法：在已知/(g(x))=h(x)的条件下，把h(%)并凑成以9。)表示的代数式，再利用代换即可求/Q)；

:③待定系数法：已知函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，求出出关系式中的未知系数.

j④利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式.

ii

，⑤赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出/(%)的表达式.

i⑥方程组法：一般等号左边有两个抽象函数(如/•(>),/(-”)),将左边的两个抽象函数看成两个变量，变换.

■变量构造一个方程，与原方程组成一个方程组，利用消元法求的解析式.

i______________________________________________________________________________________________________________________________1

1.(24-25高三上•全国・专题练习)设/■(%)是定义在R上的函数，且满足对任意无，儿等式

/(2y-x)=-2/(x)+3y(4x-y+3)恒成立，则的解析式为.

2.(24-25高三上•福建泉州•模拟预测)已知函数“X)满足〃x+y)=〃x)+〃y)+2孙，若"1)=1,则

“25)=()

A.25B.125C.625D.15625

3.(23-24高三下•四川德阳•模拟预测)已知函数尤)的定义域为R,且

/(x+y)-2/(x-y)+/(x)-2/(y)=y-2,则“2024)=()

A.0B.1C.2024D,2025

4.(24-25高三上•全国・专题练习)(1)已知定义在R上的函数满足/(-尤)+2〃尤)=尤+1,求外力的

解析式.

(2)若满足关系式/(x)+2/3)=3x,求/'(x)的解析式.

(3)已知定义在R上的奇函数/(x)与偶函数g(x)满足关系式/(尤)+g(尤)=/+x+a,求f(x)与g(x)的解

析式.

题型5抽象函数的单调性问题

i判断抽象函数单调性的方法：

(1)凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论.

(2)赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.

①若给出的是“和型”抽象函数/G+丁)=…，判断符号时要变形为：

/(^)-/(^1)=/((尤2一及)+%)一/(%)或/(^2)-/(^1)=/(%)一/((王一尤2)+%)；

②若给出的是“积型”抽象函数/(孙)=…，判断符号时要变形为：

-―/(儿)或)T(xJ=/(%)-/^2—•

IXJIX2j

1.(23-24高三下•湖南常德•三模)已知奇函数y=/(x)是定义域为R的连续函数，且在区间(0,+S)上单调

递增，则下列说法正确的是()

A.函数y=/(x)+Y在R上单调递增

B.函数y=/(x)-/在(0,+oo)上单调递增

C.函数y=炉/(元)在R上单调递增

D.函数y=/里在(0,+功上单调递增

2.(24-25高三上•全国・专题练习)定义在R上的函数满足对任意实数羽，都有〃x+y)=/(尤)+/(y)-l,

若x>0时，/(%)>1,则〃尤)()

A.先单调通减后单调递增B.在R上单调递增

C.在R上单调通减D.单调性不确定

3.(24-25高三上•全国•专题练习)函数〃x)的定义域为(0,+8),且对一切x>0,y>0都有“力=〃x)_,

当x>l时，有〃尤)>0.

⑴求”1)的值；

(2)判断〃x)的单调性并证明；

4.(24-25高一上・甘肃兰州・月考)/(无)是定义在R上的函数，对尤,yeR都有/(x+y)=f(x)+f(y),且当

元>0时，/«<0,且/(-L)=L

(1)求/(。)，/(一2)的值;

(2)求/(x)在［-2,4］上的最值.

题型6抽象函数的奇偶性问题

判断抽象函数奇偶性的关键是得到/(X)和/(-X)的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保

留〃X)和/(—X)的关系•

【注意】证明抽象函数奇偶性的实质是赋值，分析出赋值的规律.

(1)可赋值，得到一些特殊点的函数值，如/(0)，/(I)等；

(2)尝试适当的换元字母，构造出x和-x,如/(x+y)可令y=—x,/(肛)可令y=-1等；

(3)通过各类抽象函数的式子来积累一定的赋值技巧.

1.(24-25高三上•重庆・月考)已知函数的定义域为R,则“J=/(x)为奇函数”是"y=|〃无)|为

偶函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.(24-25高三上•山东济宁•期中)已知函数的定义域为R,满足〃x+y)-[〃x)+〃y)]=2024,则

下列说法正确的是()

A.是偶函数B.是奇函数

C./(x)+2024是奇函数D./(力+2024是偶函数

3.(24-25高三上・甘肃白银・月考)(多选)已知函数的定义域为RJ(x+y)-"力-/(y)=-2孙，"1)=3,

则()

A./(O)=OB./(-2)=-12

C.y=/(x)+d是偶函数D.丁=/(%)+/是奇函数

4.(24-25高三上•全国・专题练习)(1)已知函数〃x),xER,^\/a,bwR,都有/(a+》)=〃a)+70),

求证：〃尤)为奇函数；

(2)已知函数/(无)，xER,若W%,x2eR,都有“玉+%2)+〃%—,求证：为

偶函数；

(3)设函数的定义域为(T/),证明：〃尤)+/(r)是偶函数，是奇函数.

题型7抽象函数的周期性问题

i函数周期性的常用结论(。是不为。的常数)

(1)若〃X+Q)=〃X),则T=〃；(2)若=—则T=2〃；

(3)若/(x+〃)=—/(%),则T=2Q；(4)若/(X+〃)=/；),则T=2〃；

(5)若/(%+〃)=—-J，则T=2〃;(6)若/(x+a)=/(%+/?),则丁=M一4(awb).

1.(24-25高三上•广东广州・月考)已知函数/(%)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=^f(x)f(y),f(l)=-2,

2024

则Z"Q=()

k=\

A.-4B.4C.0D.-2

2.(24-25高三上•福建福州・月考)已知函数〃%)满足/⑴>0,/(2)=1,

/(x)/(y)=/(x+y)+/(x—y),(x,y£R)，则/(50)=()

A.-1B.0C.1D.2

3.(24-25高三上•河北承德・期中)设/Q)为定义在整数集上的函数，/(1)=1,/(2)=0,/(-1)<0,对任

2024

意的整数X,y均有/(x+y)=/(x)/(l-y)+/(lT)/(y),则》()()

i=l

A.0B.1012C.2024D.4048

4.(23-24高三上•江苏淮安・月考)函数/(X)的定义域为R,对任意x,yeR,恒有

“尤)+/(>)=27］言｝宁)，若"1)=；,，⑺=.

题型8抽象函数的对称性问题

ii

Ii00与eI

1、轴对称：

(1)函数丁=/(%)关于直线1=。对称=/(%+。)=/(。一元)=/(元)=/(24-元)。/(一元)=/(24+%)°

a।

(2)函数y=/(%)关于直线％=----对称="?—%)=/(〃-%)=/(%+").

2

；2、中心对称：

(1)函数y=/(%)关于点(。,0)对称=/(%)=-/(2〃一%)=/(%+〃)=一/(。一1)；

(2)函数y=/(%)关于点(。,。)对称o/(%+〃)=/(〃一尤)O/(—X)+/(2Q+X)=2/?.

13、函数的奇偶性和对称性的关系：

(1)若/(x+a)为奇函数，则了⑺关于(。,0)对称；

(2)若〃x+a)为偶函数，则〃尤)关于x=a对称；

(3)若〃的+0)为奇函数，则”九)关于(火。)对称；

(4)若/(g+0)为偶函数，则“X)关于％=0对称.

i

........-.-...-.-.-...-I.-...-.-.-...-.-.-...1

1.(24-25高三上•全国・专题练习)已知连续函数〃x)的定义域为R,若/(x+y)=〃x)+〃y)+2冲-2,

且/。)=4,则函数y=/(x)+x的图象的对称轴为直线()

A.x=—B.x=--C.x=lD.x=—l

22

2.(24-25高三上•山西太原•期中)(多选)已知定义域为Z的函数〃尤)满足对于任意x,yeZ,者口有

/(x+y)=/(x)/(l-y)+/(l-x)/(y),且/(1)=1,则下列结论正确的是()

A."2)=0B.7'(x)的图象关于点(1,0)对称

C.〃x)的图象关于直线x=l对称D./(2025)--1

47.(24-25高三上・全国・专题练习)(多选)已知函数/(无)的定义域为R,/(/(x+y))=/(x)+/(y),〃1)=1,

则()

A./(0)=0

B."X)的图象关于点(0,0)对称

C./。)的图象关于点G,0)对称

D.7(2024)=2024

4.(24-25高三上.江苏镇江•期中)定义在R上的函数g(x)满足y=g(2x+l)-2是奇函数，则g(x)的对称中

心为--------；若=g［士［++8Ijll［+…+§］普J("©N*)'则数列｛%｝的通项公式为---------

题型9抽象函数解不等式问题

0仅

利用单调性解不等式的相关结论

（1）正向结论：若丁=/（x）在给定区间。上单调递增，则当Vxi,zeD,且西＜々时，/（%1）＜/（%2）；

，当且X]〉4时，/（xj＞/（x2）.

（）逆向结论：若（）在给定区间。上单调递增，则当（）＜（々）时，＜；

2y=/xXI,X2GD,/N/%!x2

，当/（西）＞/（X2）时，

j当y=/（x）在给定区间。上单调递减时，也有相应的结论.

抽象函数解不等式的关键是利用奇偶性、对称性、周期性将变量转化到同一单调区间内进行求解.

i

1.（24-25高三上•辽宁抚顺・期末）若定义在R上的增函数y=〃x）满足〃l+x）+〃l-x）=O,则不等式

〃l+lnx）+〃x）＞0的解集为（）

A.RB.（0,+s）C.D.（0,1）

2.（24-25高三上•江苏淮安・月考）已知函数”元）对任意xeR满足〃尤）=〃T-尤），任意石，x2e（-^,-2],

4

且尤产马,都有/K）一“-一色）＞o,则不等式y（2x-2）＞『（x+l）的解集是（）

xl—x2

A.（-8,-1）口（3,+8）B.（-8,-1）

C.（3,+功D.（-1,3）

3.（23-24高三下•陕西西安・模拟预测）已知函数/（X）的定义域为R,对任意实数x,y都有

f(x+y)=f(x)+f(y)-l,当尤＞0时,f（x）＞l,且/⑵=5,则关于x的不等式/■（尤）+/（4-3x）＜6的解集

为（）

A.(l,+oo)B.(2,+oo)C.(-8,1)D,(7,2)

4.（24-25高三上・湖北武汉・月考）已知集合。={小€&》*0},定义在。上的函数〃尤）满足：Vx,yeD,

jk=上，+/P，当x＞l时，/（%）＞0,则不等式（2—1）2〃》）＞/〃2*-1）的解集为（）

(-oo,0)up,1ju(l,+(»)

A.B.

题型10抽象函数比较大小问题

抽象函数比较大小问题的思路总结：

(1)首先考虑函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，通过这些性质来判断函数值的大小关系.

(2)对于含参数的抽象函数，可以通过合理赋值参数，简化问题，从而比较大小.

(3)绘制函数图像，通过观察图像的走势、交点等特征，直观地判断函数值的大小关系.

(4)构造具体的函数模型，类比抽象函数的性质，通过具体函数的性质来推断抽象函数的大小关系.

(5)利用基本不等式或导数研究函数的极值和最值，从而确定函数值的大小关系.

1.(24-25高三上•天津•期中)已知偶函数/(X)在(3叫上单调递减，

04

«=/(0.5),6=〃log05Q4),c=/(log40.5),则()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

2.(24-25高三上•河北沧州朝中)已知函数的定义域为R,〃x+2)为偶函数，"》)-1为奇函数，

且在区间［6,8］上是增函数.记33),b=f(19),c"(88),则()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

3.(24-25高三上•云南昆明•月考)函数/(无)的定义域为R,且"0)=1,若〃x+y+l)-y(x)>/(y),则下

列结论正确的是()

A./(9)>/(11)>/(10)B./(10)>/(11)>/(9)

C./(10)>11D./(-10)<-11

4.(24-25高三上•新疆・月考)已知定义在R上的函数满足〃x+y)<〃x)+〃y)—1,且当x>0时，

设a=6=/(ln(尤+1)),贝l］()

A.a>bB.a<bC.a>bD.a<b

限时提升练

(建议用时：60分钟)

一、单选题

1.(24-25高三上•广东深圳・月考)已知函数〃力的定义域为[-2,2],则函数歹(尤)=的定义域为()

A.[-1,3]B.[-3,1]C.[-1,0)50,3]D.[-3,0)u(0,l]

2.(24-25高三上•全国•专题练习)若函数y=/(x)的值域是[1,3],则函数/(元)=1-/。+3)的值域是()

A.[-8,3]B.[-5,-1]C.[-2,0]D.[1,3]

3.(24-25高三上・江苏扬州•期中)已知函数/(x+2)是偶函数，/(X)在(f,2]上单调递增，则不等式

/(3%+2)<〃尤+1)的解集为()

4.(24-25高三上广西・月考)函数y="6的定义域为R,满足:①VxeR,〃-力+/(力=0,②任意x产9，

都有正上山）>o.设0=_/（皿="陛⑸,c=

则a,6,c的大小关系为(

%一%2<oyI

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

5.(24-25高三上•广西南宁•一模)已知函数的定义域为R"(x+y)〃尤-、)=产(龙)-且当x>0

时，/(x)>0,则()

A.f(O)=lB./(x)是偶函数C.〃x)是增函数D.是周期函数

6.(24-25高三上•全国・专题练习)若刘yeR,/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),且〃2)=g,贝！］

f(2020)+f(2022)+f(2024)=()

A.-2B.-1C.--D.0

2

7.(24-25高三上.山东淄博.期中)已知函数满足/(x+y)=〃x)+〃y)+2*+2y,且/(1)=1,则

f(1000)=()

A.2"7B9.+2995B.21000+2996

C.21000+2995D.2"9+2996

二、多选题

8.(24-25高三上•江苏•月考)欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉

还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在R