方案设计题 专项练习（含解析）-2025年中考数学一轮复习

类型6方案设计题

1.方案设计型题是通过设置一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求考生运用学过的技

能和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决方案.有时也给出几个不同的解决方案，要求判断哪个方案较优，它主

要有经济类方案设计题，测量类方案设计题，分割与网格方案设计题.

2.方案设计题属于应用性开放问题.因为它贴近生活，具有较强的操作性和实践性，解决此类问题时要慎于思考，

并能在实践中对所有可能的方案进行罗列与分析，得出符合要求的一种或几种方案.

3.一般有多种供选择的解决问题的方案，但在实施中要考虑到经济因素，此类问题类似于求最大值或最小值的

问题，但解决的方法较多，一般与方程、不等式、函数的内容有关.

4.一般限定条件，限定测量工具，让同学们设计一个可行的方案，对某一物体的长度进行测量并计算，大多数

以利用直角三角形进行求解，要注意的是设计出来的方案要有可操作性.

5.操作类图案设计题包含的内容比较多，如扩建方案设计、拼图方案设计、分割方案设计、镶嵌方案设计、面

积分割方案设计、分割与拼图方案设计、铺设方案设计、网格图案设计等，它把作图的技能考查放在一个实际生活

的大背景下，考查考生的综合创新能一力，给考生的创造性思维提供了广阔的空间与平台，此类题常以某些规则的

图形，如等腰三角形、菱形、矩形、圆等，通过某些辅助线，将面积分割或分割后拼出符合某些条件的图形.

【例11如图是由小正方形组成的9x6网格，每个小正方形的顶点叫作格点.△ABC的三个顶点都是格点.仅用

无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

⑴在图1中,D,E分别是边AB,AC与网格线的交点.先将点B绕点E旋转180。得到点F,画出点F,再在AC

上画点G,使DG〃:BC;

(2)在图2中，P是边AB上一点/BAC=a.先将AB绕点A逆时针旋转2%得到线段AH,画出线段AH,

再画点Q,使P,Q两点关于直线AC对称.

【解】⑴画图如图1

⑵画图如图2

图2

注：图1中BF可以不画，•点G可以用平行线生成分点的方法画出.

[例2]2021年，“广汉三星堆”又有新的文物出土，景区游客大幅度增长.为了应对暑期旅游旺季，方便更多的

游客在园区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅.经了解,该公司出售弧形椅和条形椅两种类

型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形

椅的数量多1。张.

(1)弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？

(2)已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，并保证至少增加1200

个座位.请问：应如何安排购买方案最节省费用？最低费用是多少元？

【解】⑴设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为0.75x元,

由题意得理=辞+10

解得x=16。

经检验，x=160是原分式方程的解，且符合题意.

；.0.75x=120(元).

答：弧形椅的单价为160元/张,条形椅的单价为120元/张

(2)设购进弧形椅m张，则购进条形椅(300-m)张，

由题意得5m+3(300-m)>l200,

解得mN150.

设购买休闲椅所需的费用为W元，

贝！IW=160m+120(300-m),

即w=40m+36000.

VW随m的增大而增大，

当m=150时,W有最小值,W最小=40x150+36000=42000（元）.

答：购进150张弧形椅，150张条形椅最节省费用，最低费用是42000元.

1.甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A,B,C,D,E,每个包裹的

重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：

包裹编号I号产品重量/吨II号产品重量/吨包裹的重量/吨

A516

B325

C235

D437

E358

甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.

⑴如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案（写出要装运包

裹的编号）；

（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运方案—

（写出要装运包裹的编号）.

2.图1,图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端

点均在格点上，分别按要求画出图形.

（1）在图1中画出等腰三角形ABC,且点C在格点上.（画出一个即可）

⑵在图2中画出以AB为边的菱形ABDE,且点D,E均在格点上.

3.为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，

本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品.现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖

奖品单价与二等奖奖品单价之比为4:3.当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件.

⑴求一、二等奖奖品的单价；

（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？

4.如图，在6x4的方格纸ABCD中,请按要求画格点线段(端点在格点上)，且线段的端点均不与点A,B,C,D

重合.

⑴在图1中画格点线段EF,GH各一条，使点E,F,G,H分别落在边AB,BC,CD,DA上，且EF=GH,EF不平行GH.

(2)在图2中画格点线段MN,PQ各一条，使点M,N,P,Q分别落在边AB,BC,CD,DA上，且PQ=店MN.

A..................................D.A——D.

r--j——|……>——•|[……F--H……♦……卜—彳

!__J___1__

B图1°B图2°

5.如图①，要在一条笔直的路边1上建一个燃气站，向1同侧的A,B两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确

定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短.

-B

A

图①

图②

⑴如图②作出点A关于1的对称点A；线段AB与直线1的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站,

所得路线ACB是最短的.

为了证明点C的位置即为所求,不妨在直线1上另外任取一点C；连接AC；BC,证明AC^CB<AC，+C'B..

请完成这个证明.

•8

生态保护区

L__

(2)如果在A,B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域.请分别给出下列两种情形的铺设

管道的方案(不需说明理由).

①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；

②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示.

压轴预测

1.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,5).

⑴请画出4ABC关于x轴的对称图形△AiBiCi;

⑵以。为位似中心，在第三象限内画出△ABC的位似图形△A2B2C2，目位似比为1;

⑶借助网格，利用无刻度直尺画出线段CD,使CD平分△ABC的面积.(保留确定点D的痕迹).

2.某公司在甲、乙工厂代工同一产品，表1是两个工厂产品的收费标准，表2是两个工厂的代工记录(a,b为

常数，m,n都为不大于10的正整数)，代工费用由加工费和制版费两部分组成，制版费与件数无关.已知甲、乙两

工厂第一次代工合计500件，且两工厂收费相同.

表1

收费内容

单件加工费制版费

工厂

甲10元2000元

乙25元0

表2

时间甲工厂代工记录乙工厂代工记录

第一次a件b件

第二次(a+100m)件(b+100n)件

⑴求a,b的值;

(2)若m+n=12,第二次分配到甲工厂的代工件数小于分配到乙工厂的代工件数的2倍，求甲、乙两工厂第二次

代工总费用的最小值；

(3)若甲工厂代工效率为20件每小时，乙工厂代工效率为40件每小时，第二次甲、乙两工厂代工总费用估计在

42000到44000元之间(包括42000,44000),求出所有满足条件的代工分配方案，并指出哪种方案代工

总时长最短.

3.问题提出

⑴如图1,在口ABCD中,NA=45°,AB=8,AD=6,E是AD的中点点F在DC上，且DF=5.求四边形ABFE的

面积.(结果保留根号)

问题解决

⑵某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境.如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公

园ABCDE.按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在

边BC、CD、AE、AB上,且满足BO=2AN=2CP,AM=OC.已知在五边形ABCDE+,ZA=ZB=ZC=90°,AB=800

m,BC=l200m,CD=600m,AE=900m.为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.

请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN?若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时

点N到点A的距离；若不存在，请说明理由.

D

C

图1

类型6方案设计题

l.（l）ABC（或ABE或AD或ACD或BCD或ACE,本题答案不唯一，写出一组即可）；（2）ACE【解析】本题

考查方案的选择.由题意，选择ABC时，装运的I号产品重量为5+3+2=10（吨），总重6+5+5=16<19.5（吨），符合要求；

选择ABE时,装运的I号产品重量为5+3+3=11（吨），总重6+5+8=19<19.5（吨），符合要求:选择AD时,装运的I号产品重

量为5+4=9（吨），总重6+7=13<19.5（吨）,符合要求；选择ACD时,装运的I号产品重量为5+2+4=11（吨），总

重6+5+7=18<19.5（吨），符合要求；选择BCD时，装运的I号产品重量为3+2+4=9（吨），总重5+5+7=17<19.5（吨），符合

要求;选择DCE时,装运的I号产品重量为4+2+3=9（吨），总重7+5+8=20>19.5（吨）,不符合要求;选择BDE时,装运的I

号产品重量为3+4+3=10（吨），总重5+7+8=20>19.5（吨）,不符合要求;选择ACE时,装运的I号产品重量为5+2+3=10

（吨）.总重6+5+8=19<19.5（吨）,符合要求综上，满足条件的装运方案不唯一，可能是ABC或ABE或AD或AC

D或BCD或ACE;⑵选择ABC时,装运的II号产品重量为1+2+3=6（吨）;选择ABE时,装运的II号产品重量为1+2+

5=8（吨）;选择AD时,装运的II号产品重量为1+3=4（吨）;选择ACD时,装运的II号产品重量为1+3+3=7（吨）;选择BC

D时,装运的II号产品重量为2+3+3=8（吨）;选择ACE时,装运的II号产品重量为1+3+5=9（吨）.综上，满足条件的装

运方案为ACE.

2.（1）略⑵略

（1）结合所给直线及等腰三角形的判定即可作图；（2）结合所给直线及菱形的判定即可作图.

解：⑴答案不唯一.

⑵

E

3.(1)一等奖奖品单价为60元，二等奖奖品单价为45元⑵共有三种方案：一等奖奖品4件，二等奖奖品23

件；一等奖奖品7件，二等奖奖品19件；一等奖奖品10件，二等奖奖品15件.

(1)设一等奖奖品单价为4a元，二等奖奖品单价为3a元，根据相等关系列分式方程求解，注意要对方程的解

进行检验；⑵设购买一等奖奖品为x件，二等奖奖品为y件，根据题意列出二元一次方程，根据4<x<10及二元一

次方程的整数解得出购买方案.

解：⑴设一等奖奖品单价为4a元，二等奖奖品单价为3a元，

根据题意：罗+宇=25,化简得£+2=1,

4a3aaa

解得a=15，经检验a=15为所列方程的根.

答：一等奖奖品单价为60元，二等奖奖品单价为45元.

⑵设购买一等奖奖品为x件，二等奖奖品为y件.

由题意得,60x+45y=1275,即4x+3y=85,

V4<x<10,

符合条件的为：x=4,y=23;

x=7,y=19;x=10,y=15.

..•共有三种方案：

一等奖奖品4件，二等奖奖品23件；

一等奖奖品7件，二等奖奖品19件；

一等奖奖品10件，二等奖奖品15件.

4.⑴略⑵略

⑴利用勾股定理可确定四个点的位置，但需保证两直线不平行；⑵先计算两条线段的长度，再在方格纸上作

图.

解：⑴画法不唯一，如图1或图2等.

⑵画法不唯一，如图3或图4等.

5.(1)略⑵略

(1)连接AC,可得(CA=C4,,可得AC+CB=AB,同理可得AC+C'B=A'C+C'B,,利用三角形三边的关系即

可得证；⑵①首先确定铺设的管道经过点D,再利用⑴的方法作图即可得最短线路；②先分别过点B和点A，作

圆的切线，确定切点为管道经过的点，再利用两切点之间的圆弧和(1)的结论可得最短线路.

解:⑴证明:如图①，连接AC

图①

'''点A,A，关于1对称，点C在1上,

.\CA=CA'.

•••AC+CB=A'C+CB=A'B.

同理AC+C'B=A'C+C'B.

•••A'B<A'C+C'B,

•••AC+CB<AC+C'B.

⑵①在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB(如图②，其中D是正方形的顶点).

图②

②在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACD+^DE+EB如图③，其中CD,BE都与圆相切).

压轴预测

1.(1)略⑵略(3)略

解:⑴△AiBiCi即为所求.

(2)AA2B2C2即为所求.

(3)连接格点MN,交AB于点D,连接CD.根据矩形性质可得D即为AB的中点，,CD即为所求

2.(l)a=300,b=200(2)28000⑶当/=吧，时，代工总时长最短，为80小时

(1)根据题意列出方程组，求解即可；⑵设第二次代工总费用为w元，列出W关于m的函数关系式，利用一

次函数的性质，结合m的取值范围即可求出最小值；⑶根据题意列出不等式，得出m和n的值，结合代工效率可

求出代工总时长最短时的方案.

解,(1)由题音得［a+b=5。。，解得fa=300,

用牛,⑴出弘W10a+2000=25b,kb=200.

(2)设第二次代工总费用为W元.

Vm+n=12,

AW=10(300+100m)+2000+25(200+100n)

=10000+1000m+2500n

二40000-1500m.

300+100m<2(200+1OOn),

,25

•••m<——.

3

V-1500<0,

.*.w随m的增大而减小.

又为正整数，

.•.当m=8时,W有最小值，Wi0=28000.

(3)由题意得10(300+100m)+2000+25(200+100n)=10000+1000m+2500n.

：.42000<10000+1000m+2500n<44000,

64<2m+5n<68.

；m,n均为不大于10的正整数，

产=10,产=10,产=10.(〃=9,

Im=7,Im=8f\m=lm=10.

/IY-r-_iix,300+100771,200+100?!c八-5

代工n时长一--+--—=

ZU4UZ20+5m+-n,

当『=时，代工总时长最短，为80小时.

3.(1)半⑵存在，四边形OPMN面积的最小值为470000irf,此时点N到点A的距离为350m

(1)根据特殊角的三角函数值求得平行四边形在AB边上的高，再用平行四边形ABCD的面积减去ADEF与

△BCF的形面积之和即可求解；(2)构造矩形ABCF,设AN=x,用x表示相关线段长度，再利用含x的代数式表示

四边形OPMN的面积，根据二次函数的性质即可求得面积的最小值.

解:⑴解法一：在口ABCD中，设AB边上的高为h.

VAD=6,ZA=45°,h=ADsin45°=3V2

,/EA=ED,点E到DC的距离为h/2.

,四边形ABFE=SABCD-ISDEF+SBC，F)

=AB-h-(--DF--+--FC-h]

\222)

=24V2-(^V2+|V2)

_63V2

一41

解法二：如图，在口ABCD中，设AB边上的高为h.

VAD=6,ZDAB=45°,

h=XOsin45°=3V2.

连接AEF的高FG.

由已知狷DC〃AB.

/.ZGDF=ZDAB=45°.

FG=F£)sin45°=—.

2

S四边形ABFE—'/HF+^AEF

11

=-AB-h+-AE-FG

22

1、C。，16、5V2

=-x8x3v24—x-x—

2222

63A/2

4

⑵解法一：存在.如答案图，分别延长AE与CD,交于点F.

则四边形ABCF是矩形.

设AN=x,

则PC=x,BO=2x,BN=800-x,

AM=OC=1200-2X.

由题意,易知MF=BO,PF=BN.

：•S内边唐GPMN=Ss-JBA/KT-S&V/M—S△HW一S.(TO-

=800