分式方程及应用过关检测（解析版）-2025年中考数学一轮复习

专题06分式方程及应用过关检测

（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）

一.选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。

1.下列方程不是分式方程的是（）

%6„105X%

A-3=xB.三=0C.百=2D.3=-3

【答案】D

【分析】本题考查了分式方程的定义，由分式构成的方程即为分式方程，据此进行逐项分析即可作答.

【详解】解：A,f=p分母含有未知数，是分式方程，故该选项不符合题意；

B、丑=三，分母含有未知数，是分式方程，故该选项不符合题意；

C、告=2,分母含有未知数，是分式方程，故该选项不符合题意；

YY

D、§3,分母不含有未知数，不是分式方程，故该选项符合题意；

故选：D.

2.解分式方程:-爱=1,去分母后，结果正确的是（）

A.3—1—x=1B.3—1+%=1

C.3-1+%=3%D.3—1—x

【答案】c

【分析】本题考查分式方程去分母的知识，分式方程中的分母分别为X和3羽确定出最简公分母为3x；

再根据等式的基本性质，给方程两边同乘最简公分母，问题即可迎刃而解.

【详解】解：

方程的两边同乘3%,得3—（1—x）=3x.

整理得，3-1+x=3x

故选：C.

3.某施工队挖一条240m的渠道，开工后，每天比原计划多挖20m,结果提前2天完成任务.若设原计划

每天挖xm,则所列方程正确的是（）

c240240rr240240

c-7^--=2D-=20

【答案】A

【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是根据“每天比原计划多挖20m,结果提前2天

完成任务”列方程求解.设原计划每天挖xm,根据“每天比原计划多挖20m,结果提前2天完成任务”

可列出方程.

【详解】解：设设原计划每天挖xm,根据题意得：

240240

------------=2

xx+20

故选A.

4.关于x的方程笞=1的解是正数，则。的取值范围是()

X—1

A.a>-1B.a>-1且aHOC.a<—1D.a<—1且a7—2

【答案】D

【分析】本题考查了含参数的分式方程的求解，将分式方程转化为一元一次方程是解题关键.只需在方

程两边乘x—l,化为整式方程，求出x=-l—a,再根据解是正数得到一即可求解.

【详解】解：方程两边乘％—1,得2x+a=x—1,

解得：x=-1-a,

...方程箸=1的解是正数，

一1-a>0日.一1一a丰1,

解得：a<—1,且a牛一2,

故选：D.

5.某校在"植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树,

植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树.设甲班每小时植x

棵树，依题意可列方程为()

7050„

B.—=--3

XX

70_5070_50

D.

%—3xx+3x

【答案】A

【分析】本题考查分式方程的实际应用，甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植(x-3)棵树，甲班植70

棵树所用的时间与乙班植50棵树所用的时间相等，可列方程，即可判断出错误的选项.

【详解】解：设甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植(%-3)棵树，根据题意，得：

7050

~~x-3,

故选：A

6.随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000

件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人

每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件X件，根据题意可列方程为（）

300042003000，八4200

A.——=——B.——+40=——

【答案】D

【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人

每周投递快件（久+40）件，根据人数=投递快递总数量十人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变,

即可得出关于无的分式方程，此题得解.

【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（％+40）件，

根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：誓=鬻，

故选：D.

7.我国明代《永乐大典》记载"绫罗尺价"问题："今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，上."其大意

为："现在有绫布和罗布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，」."设绫

布有x尺，则可得方程为120-等=髭，根据此情境，题中"表示缺失的条件，下列可以作为补充

条件的是（）

A.每尺绫布比每尺罗布贵120文

B.每尺绫布比每尺罗布便宜120文

C.每尺绫布和每尺罗布一共需要120文

D.每尺罗布比每尺绫布便宜120文

【答案】C

【分析】本题考查分式方程的应用，理解方程的意义是解题的关键.

设绫布有x尺，则罗布有（30-x）尺，再表示每尺绫布和每尺罗布需要的费用，最后根据所列的方程求解

即可.

【详解】解：设绫布有x尺，则罗布有（30-%）尺，

•••绫布和罗布分别出售均能收入896文，

，每尺绫布的费用为学元，每尺罗布的费用为总元，

“八896896

；12。一「诉,

建+署=120,

・•・可以作为补充条件的是：每尺绫布和每尺罗布一共需要120文.

故选：C.

8.已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随

机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳

定在0.6附近，则x的值为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】本题主要考查了用频率估计概率，一已知概率求数量，解分式方程，大量反复试验下，频率的

稳定值即为概率值，则摸出黑球的概率为0.6,再由概率计算公式建立方程求解即可.

【详解】解：••・经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.6附近，

二摸出黑球的概率为0.6,

・•.*=0.6,

解得久=6,

经检验，％=6是原方程的解，且符合题意，

故选：B.

9.解分式方程—+含=3时，可以选择换元法，如果设丫=子，那么原方程可化为关于y的分式方程,

去分母化为关于y的一元二次方程的一般形式是（）

A.y2—3y—2—0B.y2+3y+2=0C.—3y+2=0D.+3y—2—0

【答案】C

?r2

【分析】本题考查了换元法解分式方程，根据方程的特点先换元，再解分式方程；由题意得方式=7,原

xz—2y

2

方程变为简单的分式方程y+1=3,去分母即可.

【详解】解：设丫=七，则

x%z-2y

2

原方程变为y+1=3,去分母得：y2-3y+2=0；

故选：C.

10.若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程舞-1=号的解为整数，则满足条件

的整数a的值为()

A.2或3B.2或7C.3或4或7D.2或3或7

【答案】D

【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定a

的取值，进而解决此题.

【详解】解:解不等式组产：詈金+6,得：｛3号匕,

・・.不等式组无解，

：.a-l>1,

/.a>2,

分式方程舞-1=号，

方程的两边同时乘(y—2)，得，ay—5—y+2=3,

整理得，(a-l)y=6,

・・•方程有整数解，

••-a—1=±1或士2或±3或±6,

.,.a=2或a=0或a=3或a=—1或a=4或a=—2或a=7或a=—5,

,•,a>2,yH2,

.,.aW4,

.,.a=2或a=3或a=7,

故选：D.

二.填空题(本题共6题，每小题2分，共12分)

11-若云+i—L贝!Jx=

【答案】-5

【分析】本题考查了解分式方程，掌握将分式方程化为一元一次方程求解的方法是解题的关键，注意

最后要检验根是否符合题意.

将分式方程化为一元一次方程得X-4=2久+1,根据解一元一次方程的方法即可求解.

【详解】解：*=1，

X—4=2%+1,

移项得，x-2x=l+4,

合并同类项得，—x=5,

系数化为1得，%=—5,

检验，当久=-5时，原分式方程的分母不为0,

・•・原分式方程的解为刀=-5,

故答案为：-5.

12.已知甲码头与乙码头相距36千米，一轮船往返于甲，乙两码头之间，轮船由甲码头顺流而下到乙码头

所用时间比逆流而上所用时间少2小时，已知水流速度为3千米/时，求船在静水中的速度，设船在静

水中的速度为“千米/时，根据题意列方程为—.

【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程.根据等量关系：轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用

时间比逆流而上所用时间少2小时，列方程即可.

【详解】解：依题意有：碧一碧=2,

故答案为：碧-瑞=2.

13.方程等=：的解为.

【答案】%=5

【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验.先去分母

化为整式方程，进而解整式方程即可求得方程的解.

【详解】解：去分母，得4=x—1,

移项、合并同类项，得X=5,

经检验，尤=5是原分式方程的解，

故答案为：%=5,

14.从1,2,3,4,5这五个数字中，随机抽取一个数记为a,则使得关于x的分式方程三1=1的解为正数

的概率为.

【答案】|/0.4

【分析】此题考查了概率公式的应用，解分式方程，根据已知条件得出a的取值范围，然后利用概率公

式求解即可.

【详解】解：•.•当=1,

X一1

.•.a—3=%—1,

解得％=a-2,

•••关于X的分式方程分=1的解为正数，

：.x=a-2>0,且久Hl,

.,.a>2,且

••.1,2,3,4,5这五个数字中，使得关于x的分式方程W=1的解为正数的。可以为4,5,

X—1

・•・解为正数的概率为9

故答案为：

111

15.对于实数a,b,定义一种新运算"*":&*6=>三，等式右边是实数运算.例如：1*3=^-5=--,

a—b1—3o

则方程X*(-2)=右的解是X=.

【答案】-1

【分析】本题考查了新定义、分式方程的解法，解题的关键是理解题中给出的新运算法则及分式方程

的解法.根据题中的新运算法则列出分式方程，再根据分式方程的解法解答即可.

1

【详解】解：,•,%*(-2)=/J，

11

,\2-(-2)2=7^2

1______1

去分母得1=%+2,

解得：X=-1,

经检验，％=-1是原方程的解，

故答案为：-L

16.关于x的分式方程七+三：=1的解为非负数，则二次函数旷=。2-12。+39的最小值是.

【答案】4

【分析】本题考查的是分式方程的解，解分式方程，二次函数的性质，先解方程可得x=5-a,根据解

为非负数可得a<5且a73,再利用二次函数的性质可得结论.

【详解】解：•••/+W=i，

.,*1—u+2=x—2,

：.x=5—a,

••・关于x的分式方程之+>|=i的解为非负数，

：.x=5—a>0,且5—aH2,

解得：a<5且aW3.

•・,二次函数y=a2-12a+39=（a-6）2+3,

・•・当a<6时，y随。的增大而减小.

,.,a<5且Q。3,

・•・当a=5时，二次函数y=a2-12a+39的最小值为4.

故答案为：4

三.解答题（本题共7题，共58分）。

17.（8分）解方程：

（1）为+展=1；（2）E=廿2・

【答案】⑴*=4

（2）无解

【分析】⑴按照解分式方程的基本步骤求解即可.

⑵按照解分式方程的基本步骤求解即可.

本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键.

【详解】（1）解：••・&+而=1,

去分母，得

2

3+x（x-3）=X~9,

去括号，得

3+X2~3X=久2—9,

移项，得

%2—3x—%2=—9—3,

合并同类项，得3%=12,

系数化为1,得％=4,

经检验，x=4是原方程的根,

故x=4是原方程的根.

去分母，得

1-久=—1—2(x—2)>

去括号，得

1—x=—1—2%+4,

移项、合并同类项，得

x=2,

经检验，无=2使得分母无意义，是原方程的增根，

故原方程无解.

18.(8分)已知关于x的方程黑-工=嘿.

久十33—XX—9

(1)若m=-3,解这个分式方程；

⑵若分式方程无解，求小的值.

【答案】⑴x=5.5

4

(2)m=—l,m=2,m=--

【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键.

(1)把„1=-3代入分式方程，将分式方程转换为整式方程计算即可求解，注意要检验根是否符合题意;

(2)根据原分式方程无解“原分式方程的分母为零；原分式方程化成整式方程后，整式方程无解"由此

即可求解.

,/、“am1m+4

【详解】(1)解：-x+-3---3---x-~--x-2--9f

把m=—3代入分式方程，得施一上=,，

方程两边乘(x-3)(%+3)，得-3(%—3)+(x+3)=I,

整理得，2%=11,

解得，x=5.5,

检验：把x=5.5代入(X-3)(X+3)。。，

•••x=5.5是原分式方程的解.

当(久+3)(尤-3)=。时，％=±3,

方程两边都乘最简公分母(x—3)(x+3)，得-3)+(x+3)=m+4,

整理，得(m+1)%=1+4m,

•••原分式方程无解，

m+1=0,

解得，m=-1,

把久=±3代入巾(X一3)+Q+3)=巾+4,

当x=3时，3+3=m+4,

解得，m=2；

当x=-3时，(一3—3)6=血+4

4

解得，m=--；

4

综上所述，m=-l,m=2,m=

19.(8分)观察发现：《7=1";2=:9E=9)，…根据你发现的规律，回答下列问题：

_LXZNZX3/5OXT1JT-

1111

⑴利用你发现的规律计算：京+砺+痂:+…+nx(n+l)-

1111

(2)灵活利用规律解方程：xQ+2)+(x+2)(x+4)+…+(x+98)(x+100)=x+100-

【答案】⑴信

(2)%=50

【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，关键是根据算式的特点，把分式拆分成两个分式

的差;

（1）根据规律即可完成；

（2）根据规律进行拆分，最后解分式方程即可.

11_1

由题意得:

【详解】（1）解:n(n—1)71—1n

-----1------1------1---+---------

1x22x33x4nx(n+l)

y1111111

-1——+———+———+...H--------

22334nn+1

1

=1n+1

n

n+1*

(%+2)(%+4)=5G瓦一哀J(%+98)(久+100)-2(98-x+lOo)'

（2）解:,•,康=照-2），%+

------+-------------I---+---------------

x(x+2)丁(x+2)(x+4)丁丁(%+98)(%+100)

=

1(1一+)+X+-士)+…+:扁-

1,11111_1、

2(久x+2+x+2x+4+■,,+x+98久+100,

=照久+100）

_50

x(%+100)，

50_1

"%(%+100)-x+100,

：.x—50或%=—100.

经检验，当久=50时，x(x+100)^0；当％=100时，%(%+100)=0.

-x=5°是XQ+IOO)="而的解・

20.（8分）云南昭通苹果含糖量高，风味浓，肉质脆，比较细嫩，美味可口，今年李叔叔家种植的昭通苹

果又获得丰收，先人工采摘了1800公斤苹果，然后引入采摘机器采摘了5400公斤，已知机器采摘的效

率（单位：公斤/天）是人工采摘效率的5倍，机器采摘用时比人工采摘还少2天

⑴求机器采摘苹果的效率；

⑵李叔叔把这两次采摘的苹果批发给销售商，批发单价为15元/公斤，单独人工采摘费用为每天500元,

引入采摘机器后人工和机器合计每天900元，求除去采摘费用，获得的利润为多少元？

【答案】⑴2250公斤/天

（2）104200元

【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解题关键.

(1)设人工采摘效率为x公斤/天，则机器采摘效率为5x公斤/天，由题意得：号2=翳，据此即可

求解；

(2)由(1)计算出单独人工采摘和引入采摘机器后人工和机器采摘的天数即可求解；

【详解】(1)解：设人工采摘效率为%公斤/天，则机器采摘效率为5万公斤/天，

由,,题0^意^/得0：—180—02_=—54—00,

解得：x=450；

经检验，尤=450是原分式方程的解，

••-5x=2250,

.•・机器采摘苹果的效率为2250公斤/天；

⑵解：15X(1800+5400)-500x^-900x5x^450=104200，

••・除去采摘费用，获得的利润为104200元

21.(8分)根据规律答题.

小明同学在一次教学活动中发现：方程x+：=2+：的解为巧=2,久2=：方程X+==3+:的解为

1111

=3，%2=3方程％+-=4+4的解为％]=4,%2=4...

以此类推：

(1)请你依据小明的发现，猜想关于X的方程X+工=8+《的解是；

(2)根据上述的规律，猜想由关于x的方程彳+1+击=。+脑力0)得到％+1=;

⑶拓展延伸：由(2)可知，在解方程久+事=等时，可变形转化为x+：=a+5的形式求值，按

要求写出你的变形求解过程.

【答案】⑴/=8优2=5

(2)x+1=a或x+1=；

(3)%i=8,0=-1

【分析】本题主要考查分式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握分式的混合运算是解题的关键.

(1)根据材料提示方法计算即可；

（2）根据材料提示的计算方法计算;

（3）根据题意原式变形得（x+l）+三=9+，结合材料提示的计算方法即可求解.

【详解】（1）解：根据题意，方程%+[=8+5的解是对=8,久2="，

故答案为：x1=8,X2=i；

111

（2）解：猜想关于％的方程式+1+=a+式qw0）得到久+1=a或X+1=1

故答案为：x+1=a或％+1=-；

（3）解：x+-1=不，

变形得，%+缁+/）=仁整理得,。+1）+三=9+3，

.-.X+1=9或久+1=-,

解得，牝=8,%2=-9

22.（8分）如果两个分式M与N的和为常数忆且々正整数，则称M与N互为"和整分式〃，常数k称为〃和整

值”.如分式M=系，N=2,用+村=空=1则用与可互为"和整分式"，"和整值7=1.

X十-LX~T~A.XiJ.

（1）已知分式4=咨，8=学卢，判断4与B是否互为"和整分式"，若不是，请说明理由；若是，请求

z

x—乙x—4

出"和整值"k；

（2）已知分式。=号，D=~,C与。互为"和整分式"，且"和整值"k=3,若x为正整数，分式D的值为

x—2xz—4

正整数.

①求G所代表的代数式；

②求x的值.

【答案】（1）力与B互为"和整分式"，"和整值7=2

⑵①G=-2x—4,②x=l

【分析】本题考查分式的加减运算，分式方程求解，理解"和整分式"概念是解题的关键.

（1）根据"和整分式”概念列式计算，并判断，即可解题；

（2）①根据"和整分式〃概念，以及"和整值％=3,列式计算求解，即可解题；

②根据①表示出分式D,再根据x为正整数，分式。的值为正整数求解，即可解题.

【详解】（1）解：•；8=华警，

x—6%2+4x4-4

A+B=+-----2~/-----

x—2%z—4

x—6(%+2)2

x—2+(%+2)(x—2)

x—6%+2

=-----H-------

x—2x—2

2x-4

二x-2

2(x-2)

x-2

=2,

・•.A与8互为〃和整分式〃，〃和整值7=2；

(2)解：①分式C=与，。=£互为"和整分式"，且"和整值％=3,

x—Zx—4

・・.。+。=岑+&=3,

x-2X2-4

・•・(3%—4)(%+2)+G=3(%+2)(%—2)，

・•・G=3(X+2)(x-2)-(3x-4)(x+2)，

・•・G=3%2—12-3/-2%+8,

G——2x—4,

②...£>=匹1=，X+2)=___

WX2-4(%+2)(%-2)%—2'

又:工为正整数，分式。的值为正整数.

x—2——1或x—2——2,

解得x=l或％=0(不合题意，舍去).

23.(10分)如图，“丰收1号"小麦的试验田是边长为a米(a>l)的正方形去掉一个边长为1米的正方形

蓄水池后余