高考数学函数重点专项突破：函数比较大小（解析版）

专题15函数比较大小

专项突破一指数式、对数式，幕式比较大小

1.己知。=log,e,6=ln2,c=L其中e为自然对数的底数，贝|()

e

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【解析】log2e>log22=l=lne>ln2>lnV2=^>-,二〃〉/;〉。.故选：A.

2.设q=39，b=，c=lo§31>则()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>b>a

【解析】结合指数函数性质和对数函数性质可知>>3。=1，0<“：卜目=1,

2、

c=log3—<log31=0,a>b>c,故选：A.

3.已知。力,c,deR,2"=3'=log[c=log|d=2,则()

23

A.a<b,c<dB.a<b,c>dC.a>b,c<dD.a>b,c>d

【解析】因为。，6,c,dcR,2"=3"=log|C=logM=2,所以。=i,6=bg32<l,故

23

1I=%=口=1,所以c>d.故选：D.

4.若a=5°3,b=0.35,c=In(sin22020),则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>a>b

03

【解析】a=5>l,6=0.35e(O,l),0<sin22020<1)所以c=lMsin22020)<0,所以”>b>c

故选：A

],、15

5.已知“gj,Cc=logz-,则“涉,c的大小关系为()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

【解析】a=gj<g：=l，6=Gj>gj=i，c=logz|<logzl=0,

:.b>\>a>Q>c.故选：C.

6.已知〃=38,b=log32,c=tan-^-,则()

6

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

【解析】"心>3°=l=log33>log32>log31=0>-W=tan区，；.a>b>c.故选：A.

7.已知暴函数的图象经过点A(3,27)与点3(/,64),a=log0At,6=02,c=产，则()

A.c<a<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<b<a

【解析】设累函数〃尤)=心,因为点4(3,27)在的图象上,

所以27=3%a=3,BP/(x)=x3,又点3日64)在〃x)的图象上，所以64=户，贝卜=4,

所以。=logoi4<。，0</?=0.24<bc=4°」>l,所以a<b<c,故选：B

8.已知函数Ax)是定义在R上的偶函数，对任意4，%©(0，+8)，都有4上3>°(x产％),。=

x{-x2

11

b=f(log2-),c=/&)，则()

A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a

【解析】因为对任意4,%e3+8)，都有为12二3>o(x产无2),

石一九2

所以,3在(0,+◎上单调递增，又函数/(X)是定义在R上的偶函数，所以/(x)=/(-x)

,1，。

因为1吗5=1吗2,X0=log31<log32<log33=1

32

所以logje(o,l),XI=log22<log23<log24=2,£=加>2

所以0<log,|<log23<5t所以/[logi^<f(log23)=f(-log23)=/3g?f卜

所以故选：D.

9.已知定义在R上的偶函数满足〃x+6)=〃x),且当xe[0,3]时，/(x)=xe\则下面结论正确的

是()

A./(ln3)</(e3)</(-e)B./(-e)</(ln3)</(e3)

c./(e3)</(-e)</(ln3)D./(ln3)</(-e)</(e3)

【解析】•1•XG[0,3],〃x)=xe",.•/(x)=e，(x+l),.”40,3]时，〃x)单调递增；

•.•/(x+6)=/(x),.-.XG[18,21],单调递增；♦.•2+3x6<e3<e+3x6，

.-./(2+3x6)<f(e3)<f(e+3x6),.-./(2)</(e3)</(e),

•.•/(-%)=f(x).-./(-e)=/(e),.•,0<ln3<lne2=2,.-./(ln3)</(2),综上所述，

/(ln3)</(e3)</(-e).^：A.

10.已知定义在R上的函数y=/(x-l)的图象关于点(1,0)对称，且函数y="x)在(。,+8)上单调递增,

a=0.23,6=3%c=log020.3,则/⑷，于⑸,/(c)的大小关系为()

A.于(a)>于⑻》于(c)B./(c)>/(a)>/0)

C./(&)>/(c)>/(a)D.f(c)>f(b)>f(a)

【解析】因为函数y=/(x-D的图象关于点(1,0)对称，所以y=/(%)的图象关于点(0,0)对称，

即函数>=/(尤)为奇函数，

302

所以a=0.2=0.008,b=3'>3°=1,c=log020.3=log02J0.09>log02Jo.2=—,

故6>c>a>0,又函数>=/(元)在(0,+8)上单调递增，所以/•(6)>/(c)>/m),故选：C.

11.已知a=lng,Z?=ln(lg2),c=lg(ln2)则a,b,c的大小关系是()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.b>c>a

【解析】先比较a，6,易知lg2<g,故ln(lg2)<lng,即6<a,

又e<10,故x>l时lnx>lg元，0<x<l时Inxclgx,

故而ln2>；,故lg(ln2)>lg；>ln；,有c>a,故选：A,

12.已知xe(l,2),则下列说法正确的是()

A.In2r>21n2A>x2ln2B.%2In2>In22">21n2v

C.21n2r>x2In2>ln2-VD.21n2%>In2y>x2In2

【解析】•••/in2=ln2”，21n2工=ln(2'『，.♦.比较严，(2r)\2》的大小关系即可.

1、当xe(l,2)时，尤2<2工，<2.x,故广<22'，2/<(2')[故JinZvlnZ’，尤21n2<21n2".

2、令2*=te（2,4）,则（2*）2=/，噌=7.由2'<»,即2"<（2、）2,贝U21n2、>InZ?.

综上，21n2*>11122、>x?In2.故选：D.

13.（多选）已知〃,6,ceR,且lna=/=l-c,则下列关系式中可能成立的是（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【解析】设lna=e"=1—。=，J>0,贝!Ja=e',b=ln，,c=l一，，

在同一直角坐标系中分别画出函数y=e",y=ln=l-x的图像，

当0<，vl时，a>c>b,当，=1时，a>c=b,当，>1时，a>b>cf故AB正确.

311

14.（多选）若。>C>5,—<6Z<—,则（）

aa

A.b\ogca<c}oghaB.bc<cb

aa

C.b>cD.log^,a<logca

311

【解析】对于A选项，因为匕>c>a，-<«<-,则logjvO,log/<0,bb>bc>cc>\,

blog.ab\o,aIgZ?Tgbb<〜…,一

——=所以，b\oga<c\oga,A对；

clog/IgecigaIgecb

对于B选项，—

cba

对于C选项，ba>ca,C对；

对于D选项，詈@=粤,辛=^<1，所以，logfAlog,.。，D错.

logjIgbIgaIgb

故选：AC.

15.已知”2?…舄，―唱，则.，…的大小关系为----------

【解析】因为>=2、在R上为增函数，且-；<0,所以0<24<2°=「即。<。<1，

c=logi：=log23因为y=log,x在（0,+8）上为增函数，且0<!<1<2<3,

533

所以log2；<log21<log22<log23,即log?；<。<1<log23,BP/?<O<l<c,所以人<a<c,

16.若。=log23,b=log48,c=log58,则a,4c的从大到小顺序为.

【解析】由于6=log48=；log28=k>g2遮<log2®=a,即a>6

,n„11

由6=log48='1---->\----=c,即6>c.所以a>b>c.

log84log85

232

17.已知a=1|J,6=（|J'c=则。，6,c的大小关系为—,（用“〈”连接）

【解析】由于函数严令在R上是减函数，且］=>b=（|）；

由于函数y=x：在（°，+8）上是增函数，且g>g，二"（|）\c=g）；

故。，b,c的大小关系是6<c<a.

18.1.产alog］」。.%logo7OB的大小关系是.

【解析】因为y=11'单调递增，所以1.我>1.1。=1；

因为y=log1.!X在（0,+8）上单调递增，所以logL10.9<logL1l=0；

因为y=log07X在（0,+8）上单调递减，所以。=log071<log070.8<log070.7=1；

所以1.y>1暇70.8>10—0.9.

19.已知a>6>0,且。+6=1,尤=仕],J=lognJ-+7j,z=logA-,则无，>,z从大到小为.

【解析】•；a>b>0，a+6=l,/.l>a>—>&>0,1<—<y,

2ab

z=logj>log二=-

ab

20.已知S'<8313“<85,设a=log53,b=log85,c=log138,贝l|a,b,c的大小关系是.(用

连接)

【解析】由题意，知a,6,ce（O,l）.

a=log^^lgSlg81fIg3+lg8?Jlg3+lg8YJ1g24f

rblog5lg5lg5<(l)2<1,所以a<〃，

8g5I-2-J121g5J~[1i25J

4

由匕=喝5,得8〃=5；由55<8,，W85Z,<84,所以立V4,可得

4

由c=logi38,得13c=8;由13“<85,得134<135C,所以5c>4,可得c>丁

综上所述，a，b,。的大小关系是

20

21.已知x，y，z分别满足下列关系：18,=19,9=20,10glzz=^，则x,y,z的大小关系(从小写到大)

18"

2020

【解析】因为18，=19,19>=20,log更”而,所以x=i°g194=1喻20,2=19V

18Lyisj

।.”lnl9In20(lnl9)--ln20-lnl8

1Ox->=log19-log20=--——=1——L-----------

18lnl819In19In18.In19

2

In361

I=(In19)，

2

19

zR19In18lnl8lnl9,

xlog181918In1918,19

所以z>x,故有y<x<z

，♦■>:滑

fA'j=log[C.则。力,C的大小关系为

22.设ajc均为正数，且二)顾妥u题,

【解析】。也0分别是函数〉=2"=蜒：的交点，函数>=[],y=log3的交点,

函数y=,y=logz尤的交点，做出三函数图像，由图像可知a<6<C

23.比较下列各组数中两个数的大小：

⑴扪成⑵阍41「⑶步。1

【解析】(1)V0<0.3<l,...y=x°3在(0,+?)上为增函数.

93

(2),.•丫=苫一在(-^,0)上是减函数，又-§<三,

(3)•••丫=升在(0,+?)上为增函数,.•.由|>0.3,可得>。.3°3,①

2

又y=0.3,在(-8,+oo)上为减函数，.03°3>03一②

由①②知>0.3"

24.比较下列几组值的大小:

⑴(一2.J和(-2.J；⑵(I『和(0.4).⑶［『和苜；⑷。产，2"，2.5吗

2244

【解析】⑴由于(-2,5)3=2.53(-2.5)5=2于•

424742

y=2.5"在R上为增函数，且，，2.5)>2.5、，即(-2.5>>(-2.5户；

(2)由于(0.4/=($；♦.•y=1|］在R上为减函数，且一;>_',.•.(1)彳<(0.4/；

(3)；y=[£|在R上为减函数，y=(1]在R上为增函数，且-g<。，

1--3」1-13-1

2>1,(1)2<1).•.(1)2>(1)2;

(4)V0,4"2-5=2,52-5,y=2.5'在R上为增函数，>2.5>1.6>0>-0.2

/.2.52-5>2,51-6>1>2,5-0-2，0.4-2-5>2.5">2~°-2.

25.已知正实数x,y,z满足3*=4'=6。.

,111

(1)求证：----=—;

zx2y

(2)比较3x,4y,6z的大小.

【解析】(1)证明：令3'=4，=6Z=M,

利用指数式和对数式的互化知尤=log3〃z，〉=log/w，z=log6〃z

则工=log,,,3,-=log,,,4,-=log,„6

xyz

：.---=log”6-logm3=logm2==.

zx2y

(2)3%<4y<6z,证明：因为正实数x,y,z,/.3x>0,4y>0,6z>0,

31gM

Igl3lg43,一

3x_31og3m

—=—x^~=—log34=log3

33

4y41og4m41gm4lg34

lg4

X</64<3,log3^64<1,:.3x<4y

《Igm

4y41ogmlg4_2lg6_2］二_13/7

4----=-x7-r=7log46=log2«

6z61og6m61gm3lg43

lg6

又探<2,.-.log2^/6<l,:.4y<6z,/.3x<4y<6z.

专项突破二构造函数比较大小

1.已知/（X）是定义在R上的函数f（x）的导函数，且满足4'（x）+/（x）>0对任意的xeR都成立，则下列选项

中一定正确的是（）

A./⑴>—B.*>于（2）C./⑴〈与D.^</（2）

【解析】令尸（力=犷（耳,贝小'（力=才（尤）+/（尤）>0,故网尤）为R上的增函数，

所以网2）>/（1）即2/⑵>/⑴,故选：D.

2.若a=lnVLb=e-',0=叵（e为自然对数的底数），则实数。，b,c的大小关系为（）

10

A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

【解析】令/（*）=叱，则广（X）=匕学,故当xe（0,e）时，r（x）>0；当xe（e,+8）时，/'（解<0；

XX

E130In3-J-1Ine751nV20In245。

而a=ln歹3===/（3）,b=e=—=/（e）,c=-------------=-=/275,

3e102。5、7

而e<3<26\i^b>a>c,故选：B

3.已知。="，b=-,c=—,则以下不等式正确的是（）

3e5

A.c>b>aB.a>b>c

C.b>a>cD.b>c>a

【解析】令〃无）=一，则/（x）=W^,当0<x<e时,尸（x）>0,〃x）单调递增，

当了>e时，/⑺<0,〃x）单调递减，因为e<3<5,所以〃6）>〃3）>〃5）,所以力>°>o,故选:C

4.设a=]lnt，b=~,c=—,则a,b,。的大小顺序为（）

e23e2

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【解析】令/（尤）=邛（*>0）,贝厅'（无）=W^,

当了>e时，/'（元）<0,函数单调递减，当o<x<e时，f（x）>o,函数单调递增，

故当x=e时，函数取得最大值〃e）=L

因为。=3吟=,c=2^=/(2),b=-=f(&),­.-2<-1-<e,

e313)2ej

当0<x<e时，函数“X)单调递增，可得〃2)<f(e),即c<a<b.故选：B.

5.已知4=8%b=99,c=108,则"，b,c的大小关系为()

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

1Q

【解析】构造/(x)=(18—x)lnx,/'(%)=—InxH-------1,

尸(引=_1门+竺_］在［8,+8)时为减函数，_a/,(8)=-ln8+|-l=|-ln8<|-lne2=1-2<0,

1Q

所以尸(x)=-lnx+?-1<0在［8,+s)恒成立，故〃尤)=(18-x)lnx在［8,+8)上单调递减，

所以〃8)>〃9)>〃10),即101n8>91n9>81nl0,所以8Kl*9>1()8,即0>%>以故选：D

6.已知实数a,6满足。=logz3+log86,5"+12"=13〃，则下列判断正确的是()

A.a>2>bB.b>2>a

C.b>a>2D.a>b>2

i4i4i4317

［la=log23+log86=log23+-log2(2x3)=-log23+->-log22A/2+-=-X-+-=->2,所以〃>2；

DJJJJJJJ

由5"+12"=13"且。>2,所以5"+12">25+144=169,所以b>2,

令/(x)=5"+12”-13”,x>2,令t=x-2>0,贝1Jx=t+2,

则〃x)=5,+12，—13”,x>2等价于g(r)=25x5'+144xl2J169xl3'，t>0；

又g⑴=25x5,+144x12'-169x13,<169x12’一169x13'<0,

所以当尤>2时，/(x)=5r+12l-13l<0,故5。+12"=13"<13°,所以a>6>2.故选：D.

20212020

7.设°=202。2°22,/?=2021,C=2O22,贝(I()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

ln2020

,.In。_20221n20202021x+1—xlnx

,构造函数〃耳=当卜"

・lnb~20211n2021-ln202f2）,r（x）=x(x+l)2

2022

令g(x)=x+l—xlnx,贝ijg'(x)=-lnx<0,

g(x)在［e，+8)上单减,/.g(x)<g(e2)=l-e2<0,故—(x)<0,

.•.〃%)在—+8)上单减，；.■2020)>〃2021)>0,；•署犬瑞>1

/.lna>\nb..\a>bf同理可得lnZ?>lnc,b>c,i^a>b>c,故选：A

8.设a=2eA,b=YZ(4_in2),c=—,则c的大小关系是()

333

A.b<c<aB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c

2rye"巳用ex

【解析】①先比较a，c：=亍，c=(,设函数/⑴除，

2一

则八%)=三牛义＜0,得函数/(幻在(。,2)单调递减，八刈=£"义＞0得函数/(刈在(2,+8)单调递增所

XX

以//)＜/(《)即c＜。

e2_

②再比较"C：由①知fmm(x)=/(2)=-<于(6)=C,

22

2收01.,、j(lnx+2)-(lnx+1)

ffij^=-y-(2--ln2)=设以%)=

x

当0<x<L/z(x)>0,/z(%)单调递增，当x>,，/z(x)<0,/%)单调递减，

ee

所以力=〃(e)</imax(x)="(，)=ge,而ge<..e=(</(百)=c,所以〃<c,故选：A

9.已知。也。£(0,1),且Q2_21na+l=e,b2-21nb+2=e2,c2-2lnc+3=e3,其中e是自然对数的底数,

则()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【解析】设〃x)=x2—21nx,g(x)=/-x,则/(a)=g⑴,/(b)=g⑵J(c)=g(3),

又g'(x)=^-l>0(x>0),所以g(x)在(0,+“)上单调递增,

所以g(3)>g(2)>g(l),即f(c)>f(b)>f(a),

因为/(^)=2x--=^—^<0(xE(0,1))>所以在(0』)上单调递减,

所以a>b>c,故选：A

10.设a=eL3-2A/7,/?=4VTT-4,c=21nl.l,则()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.c<a<b

【解析】；(eL3y=eZ6<e3<33,(2近)2=28>33,<2币，：.a<0；

6-c=4VO—4-21nl.l=2(27n—2—lnl.l),令/'(尤)=2小一2—111尤,

...尸(尤)=工一!=^1,...当0<x<l时，r(x)<0,f(x)单调递减；

yjxXX

当x>l时，r(x)>0,7■(*)单调递增；.,./(^„=/(1)=0,.-./(1.1)>0,即2<1-2-山1.1>0,

：.c<b,Xc=21nl.l>21nl=0,a<c<b.故选：B.

11.已知定义在R上的偶函数〃尤)满足〃x+6)=〃x),且当xe[0,3]时，/(x)=xe\则下面结论正确的

是()

A./(ln3)</(e3)</(-e)B./(-e)</(ln3)</(e3)

C./(e3)</(-e)</(ln3)D./(ln3)</(-e)</(e3)

【解析】•••xw[0,3],/(x)=Ae\.•./,(x)=e"(x+l),.-.xe[0,3]^,〃尤)单调递增；

•.•/(x+6)=/(x),.-.X6[18,21],/(x)单调递增；•.・2+3x6<e3<e+3x6,

.-./(2+3x6)</(e3)</(e+3x6),/(2)</(e3)</(e),'.1/(-%)=/(%)A/(-e)=/(e),

.•0<ln3<lne2=2,.-./(ln3)</(2),综上所述，〃ln3)-e).故选：A.

12.设“='^"，b=e°01,c=，1.02,贝(J()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

【解析】令〃x)=e;(x+l),则-⑺=e*-l,

所以当x<0时/(x)<0,当x>0时((x)>0,

所以〃x)在(0,+e)上单调递增，在(-咫0)上单调递减，所以〃x)3〃0)=0,

即3一(*+1)20恒成立，即e*2x+l(当x=0时取等号)，

所以e°m>i+0.02ne°©>«5鼠：.b>c,又尸21-工(当x=0时取等号)，

所以当x<l且XR0时，有±>l-xne'(丁匚，；.e°a(二宗=锣，；..故选：A

ex1-x1-0.0199

13.已知Q=e°」—1,/?=sinO.l,c=lnl.l,则()

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<a<bD.c<b<a

【解析】令"尤)=e'-l-sin尤，「./'(%)=e*-cos%,

当x>0时，e>>l,.1eX-cosx〉。，二尸(%)>。，/(%)单调递增,

.-./(o.l)>/(o),BPeol-l-sinO.l>O,..e01-l>sin0.1,即心口

l-(x+l)cosx_1-xcosx-cosx

令g(x)=ln(x+l)-sinx,=———cosx=

x+1x+1x+1

令"(x)=1-xcosx-cosx,(x)=(x+1)sinx-cosx

令0(x)=(x+l)sinx-cosx,"(x)=2sinx+(x+l)cosx,

当0<x</时，d(x)>0,.单调递增,

6

+i]sim=f6G/3<o

7171

<h'

)6612

・•/(x)在％£(0,0.1)上单调递减，\h(x)<h(p)=0,

/.g'(九)v0,g(%)在x«0,0.1)上单调递减,

g(0.1)<g(0)=0,即lnl.l-sin0.1<0,:.c<b

综上：故选：D.

14.(多选)/(九)是定义在非零实数集上的函数,尸(可为其导函数，且%>0时,#r(x)-/(x)<0,记

2

/(0.2)c=/(log5)^则错误的有(

a=)

log?5

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

【解析】令g(x)=组，得g'(x)=矿(x)-〃x)

'X

由x>0时,xf'(x)-f(x)<0,得g<x)<0,g(x)在(0,+8)上单调递减,

022

Xlog25>log24=2,i<2-<2,0<0.2=0.04<l.

0222

nT^log25>2->0.2,故g(log25)<g(20)<g(0.22),故c<a<6,故选：ABD

15.（多选）若正实数。）满足+logia=|+21og,&,则下列结论正确的有（）

I3I

A.a>bB.a<bC.a<2bD.a>2b

X

【解析】设/（x）+loglX,则“X）在（O,+8）为减函数,

3

b

因为[J+l°g〃=J)+21og"=I|+logi。，所以

a、2bb

j+1。旷

小）一/e）+log]a-+logib=+logib=

33)3)I

因为26>6>0,所以《J<Qj,所以(g]-Qj<0,

即〃。）＜/0），从而。＞瓦所以A正确，B错误;

2b2b2b

而〃a）T（26）=I|+10g]<2-II+log1(2Z?)=II+logjb-I|+logj(2Z?)

=log匹-logj26）＞0,所以“.）＞〃》）,所以"力，所以c正确，D错误.故选：AC.

33

TT

16.（多选）已知定义在［0,］）上的函数/（x）的导函数为f（x）,且/（0）=0,/（x）.cosx+/（x）sinx＜0,则下

列选项中正确的是（