电场中的功能关系及重电复合场模型（解析版）-2024-2025学年高二物理上学期期末复习讲义

第03讲电场中的功能关系及重电复合场模型

——划重点之高二期中期末复习精细讲义

考点1电场中的功能关系

考点2重电复合场中的直线及类抛体运动模型

考点3重电复合场中的圆周运动（等效重力法）

考点1：电场中的功能关系

1.求电场力做功的四种方法

WAB=F/cosa=qEdcosa（此公式

d为电荷初、末位置在电场方向上的位移。

定义式法只适用于匀强电场）可变形为：

非匀强电场中可判断大小。

W=qEd（d=/cosa）

①三个量都取绝对值，先计算出功的数值，然后再

根据电场力的方向与电荷位移方向间的夹角确定

电场力做正功还是负功

WAB=qUAB=q（夕/一（PB）此公式

电势差法②代入符号，将公式写成%特别是在比

适用于任何电场

较4、5两点电势高低时更为方便：先计算必5=

位包，若UAB>。,则夕/一9户0,即若UAB<0,

q

贝q）A—@B<0,即（pA<（PB

动能定理法少电+少其他=△4此公式适用于任何电场

功能关系法WAB=~\EpBA=EpA-EpB此公式适用于任何电场

2.电场中的功能关系

各种力做功对应能的变化定量的关系

动能和电势能之间相

①少电=一公稣电=公民

互转化，动能（Ek）和

只有电场力做功②电场力做正功，电势能减少，动能增加

电势能（与电）的总和

③电场力做负功，电势能增加，动能减少

守恒

只有电场力和重力电势能、重力势能、动

W电+WG=—（AEp电+△/重）=\Ek

做功能之和保持不变

多种形式的能量转化，

多个力做功要根据不同的力对应火电+少其他=A母

不同形式的能量分析

只有重力、弹簧弹力不引起机

机械能守恒A£=0

的功械能变化

少其他：除重力或系统

除重力和弹力之外的其他力做正功，物体的机械能增

内弹簧弹力以外的机械能的改变量（AE）

加，做负功，机械能减少，且少其他=△£

其他外力做的功

FfAx:一对滑动摩因摩擦而产生的内能滑动摩擦力做功引起系统内能增加A£^=FfAx（Ax

擦力做功的代数和（。）为物体间的相对位移）

少冬：合外力的功合力对物体做功等于物体动能的增量%合=八反=曷2

动能的改变量（A&）

（所有外力的功）—Eki

［看重力］今

重力势能重力做正功，重力势能减少

\\¥—Ep初-Ep未

（看弹力）、\

弹性势能弹力做正功，弹性势能减少

减末

（看电场力］PS:减少量即初

电势能电场力做正功，电势能减少7

1看用向外刀J合外力做正功，动能增加］\”LP末-5初

动能-外力做功=动能、

与重力、内弹力做功无关］\

_______机械能的增量

看除此两力的所有外力1外力（除重力，内弹力）7

机械能--PS:增量，变化量即

做正功,也械能增加

未减初

3.电场中功能关系问题的分析方法

在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒定律，有时也会用到功能

关系。

(1)受力情况分析和运动情况分析。

(2)分析各力做功的情况，做正功还是负功。

(3)分清多少种形式的能量参与，哪种能量增加，哪种减少。

(4)选择动能定理或能量守恒定律等列出方程式。

4.解题思路一单个物体或连接体

(1)处于平衡状态：

①利用整体法或隔离法进行受力分析；

②列平衡方程；

③寻找连接体间的关联量。

(2)运动状态：

①利用隔离法进行受力分析；

②列牛顿第二定律方程、运动学方程、功能关系方程；

③寻找连接体间的关联方程。

【典例1】如图所示，半圆槽光滑且绝缘，固定在水平面上，圆心是0,最低点是P,直径MN水平，

a、b是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b固定在M点，a从N点由静止释放，沿半圆槽运

动经过P点时速度为零，则下列说法错误的是()

动能先增大后减小

B.小球a从N到P的过程中,库仑力增大

C.小球a从N到P的过程中,重力势能减少量等于电势能增加量

D.小球a从N到P的过程中,电势能一直减小

【答案】D

【详解】BD.小球a从N到尸的过程中，°、6两小球距离逐渐变小，根据库仑定律可知，库仑力增

大，且库仑斥力对小球a一直做负功，则a球电势能一直增加，故B正确，不满足题意要求；D错误,

满足题意要求；

A.小球a从N到尸的过程中，重力沿曲面切线的分量逐渐减小到零且重力沿曲面切线的分量是动力，

库仑斥力沿曲面切线的分量由零逐渐增大且库仑斥力沿曲面切线的分量是阻力，则从N到尸的过程

中，。球速率先增大后减小，动能先增大后减小，故A正确，不满足题意要求；

C.在从N到P的过程中，由于初末动能均为0,根据能量守恒可知，重力势能减少量等于电势能增

加量，故C正确，不满足题意要求。

故选D。

【典例2］如图所示，一块足够大的粗糙绝缘薄板竖直固定，且与等量异种点电荷连线的中垂面重

合，4、。、3为薄板上同竖直线上的三点，。在点电荷的连线上，AO=OB,一个带电小物块（可

视为质点）从N点以初速度火竖直向下运动，最后静止在8点，不考虑物块电荷量的变化，则物块

从/运动到2的过程中（）

+3。二b

Bl

A.速度一直减小，经过。点时的速度为子孙

B.加速度先减小后增大，经过。点时加速度最小

C.电势能先减小后增大，经过O点时电势能最小

D.机械能一直减小，/O段损失的机械能比段损失的机械能多

【答案】A

【详解】A.根据叠加场的对称性可知，小物块从/到。过程与从。到B过程中克服摩擦力做功相

同，设每段摩擦力做功为皿/、在。时物块的速度为八AO=OB=h,对/。段和段，根据动能

定理可得

11

mgh—Wf=—mv2——TTIVQ

1

mgh—W=0——mv7A

联合解得

V2

V=—VQ

A正确;

B.由于小物块最后静止在8点，因此小物块受到重力、电场力、薄板支持力和摩擦力的作用，可

知小物块带正电，从/到。的过程中，电场强度越来越大，则电场力越来越大，由于小物块在水平

方向上受力平衡，可知小物块对薄板的压力增大，从而滑动摩擦力增大，根据

f-mg

a=------

m

可知，加速度增大。根据叠加场的对称性可知，从。到8的过程中，电场强度越来越小，电场力越

来越小，滑动摩擦力逐渐减小，加速度逐渐减小。因此N运动到5的过程中加速度先增大后减小，

经过。点时加速度最大，B错误；

C.由于N3是一等势线，小物块从N到8电势能不变，C错误；

D.由于物块在工。段和。2段损失的机械能都为克服摩擦力做的功，因此工。段和段损失的机

械相同，D错误；

故选Ao

【典例3］如图所示，质量均为小的滑块A、B,A不带电，B带正电电荷量为q,A套在固定竖直杆上,

B放在绝缘水平面上并靠近竖直杆，A、B间通过钱链及长度为L的刚性绝缘轻杆连接且静止。现施

加水平向右电场强度为E的匀强电场，B开始沿水平面向右运动，已知A、B均视为质点，重力加速

度为9,不计一切摩擦。则在A下滑的过程中，下列说法不正确的是（）

A.A的机械能最小时，B的加速度大小为殁

m

B.A运动到最低点时，B的速度为零

C.A、B组成的系统机械能不守恒

D.A运动到最低点时，滑块A速度大小为12gL+%

【答案】D

【详解】A.杆先对A做负功后对A做正功，当杆的作用力为0时，A的机械能最小，此时B仅受

电场力，故B的加速度大小为此，故A正确；

m

B.根据关联问题可知，A到最低点时B的速度为0,故B正确;

C.A、B组成的系统因有电场力做功，故机械能不守恒，故C正确;

D.A落地的瞬时，B的速度为0,根据系统能量守恒有

1

mgL+qEL=—mv£7

解得

2qEL

v=2gL+——

qm

故D错误。

故选Do

【典例4］（多选）有三个完全相同的带正电的绝缘小球A、B、C（均可视为点电荷），质量为加，

带电量为+q,A、B之间与B、C之间各装有一根长为L的轻杆，轻杆两端与小球均通过轻质钱链

连接。A、C放在光滑的绝缘水平地面上，A、B、C恰构成正三角形且位于竖直面内并锁定，如图

（a）所示。现解除锁定，直至8刚好落地，如图（b）所示。已知重力加速度大小为g,以无限远

处为零电势点，距离电荷量为。的点电荷r处的电势为k壬其中左为静电力常量，多个点电荷产生

的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在时该点电势的代数和。下列说法正确的是（）

A.初始时刻，A、B、C系统所具有的电势能为苧

B.8落地时，A、B、C系统所具有的电势能为竽

C.该过程中，A、B、C系统的机械能守恒

D.8落地时的速度大小为

【答案】AD

【详解】A.电势能等于将电荷移到无穷远，电场力做的功，故A、B、C系统的电势能可认为分别

将C、B小球搬到无穷远电场力做的功。初始时刻，先将C球移到无穷远，电场力做功等于

再将B球移到无穷远，电场力做功等于

kqkq2

勿12=£♦q=丁

故系统的电势能等于做的总功，即

3kq2

埒1=Wii+%2=一;一

Li

故A正确；

B.B球刚好要落地时，将C球移到无穷远，电场力做功等于

kqkq3fco2

W21=T'q+2L'q=^T

再将B球移到无穷远，电场力做功等于

kqkq2

/22Q=—

故系统的电势能等于做的总功，即

5kq2

Ep2=卬21+加22=

故B错误；

C.该过程，系统电势能减小，因此机械能增加，故C错误；

D.由能量守恒有

V3L,、1?

-mv

ag+（Epl-EP2）-2B

解得

故D正确。

故选ADo

【典例5］（多选）如图所示，不带电物体A和带电的物体B用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，A、B

的质量分别是2m和加。劲度系数为左的轻质弹簧一端固定在水平面上，另一端与物体A相连，倾

角为0的绝缘斜面处于沿斜面向上的匀强电场中。开始时，物体B受到沿斜面向上的外力F=3mgsmd

的作用而保持静止，且轻绳恰好伸直。现撤去外力尸，直到物体B获得最大速度，且弹簧未超过弹

性限度，不计一切摩擦。则在此过程中（）

园........

////////////////////////>>Z\>>^

A.物体B所受电场力大小为2mgsin3

B.B的速度最大时，弹簧的伸长量为加警

C.撤去外力厂的瞬间，物体B的加速度为3gsin8

D.物体A、弹簧和地球组成的系统机械能增加量等于物体B和地球组成的系统机械能的减少量

【答案】AB

【详解】A.当施加外力时，对B分析，根据平衡条件可知电场力平行斜面向下，则有

F=mgsind+尸包

解得

F电=27ngsin。

故A正确；

B.当B受到的合力为零时，B的速度最大，对A分析有

kx—T=0

对B分析有

T—F电+7ngsin。

则有

kx=F电+mgsind

结合上述解得

3msin0

久二—k-

故B正确；

C.当撤去外力瞬间，弹簧弹力还来不及改变，即弹簧的弹力仍为零，当撤去外力厂的瞬间物体A、

B受到的合外力为

F合=F电+mgsinO=(m+2m)a

解得

a=gsinO

故c错误；

D.结合上述可知，B向下运动过程中，B所受电场力做正功，电势能减小，可知，弹簧、A、B与

地球构成的系统的机械能增大，则物体A、弹簧和地球组成的系统机械能增加量不等于物体B和地

球组成的系统机械能的减少量，故D错误。

故选ABo

考点2：重电复合场中的直线及类抛体运动模型

1.重电复合场中的直线运动模型

带电粒子只在电场力与重力的作用下所做的直线运动，称为重电复合场中的直线运动模型。

此模型中三个解题的有用结论：

模型

(1)当电场力沿竖直方向而带电体沿其他方向运动时，一定是匀速直线运动；

分析

(2)在减速直线运动中，带电体沿初速度方向上能达到的最大位移是当速度减小到零时；

(3)带电体沿斜面运动的临界条件为电场力与重力的合力恰好平行于斜面。

几种”匕11

厂「％__________

直线<­

t4^

运动

mgV

情况

匀速直线运动匀加速直线运动匀减速直线运动

2.重电复合场中的类抛体运动模型

类抛体运动过程常采用正交分解法处理，有两种方式：一种方式是沿合力与垂直于合力方向建

立坐标系求解，当带电体做类斜上抛运动时，垂直合力方向上的初速度分量为运动过程中速度的最

小值，沿合力方向的速度减小到零时，此方向上的分位移达到最大值。另一种方式是当电场方向水

平时，可将带电体的运动沿水平与竖直方向分解建立坐标系。

3.直线及类抛体运动的条件总结

且&：从静止开始沿

qE#mg=0qE*mg且"六0,a=0：匀变速直线

合力方向做匀加速直线运动运动，速度与合力方向相同时加

速、反向时减速

gEKmg且”KO,aKO：若初速度与合力

方向成直角时做类平抛运动，不成直角

时做类斜抛运动

A

mg

铲脸郦檎沛

【典例6】某空间有平行于纸面的匀强电场，一带电荷量为-q（q>0）的质点（重力不计）在如图

所示的恒定拉力厂的作用下由〃点开始沿直线匀速运动到N点。图中电场未画出，拉力厂和直线

VN间的夹角为仇M、N两点间的距离为力则下列说法正确的是（）

A.匀强电场的电场强度大小为2

q

B.M、N两点的电势差为场^

q

C.带电质点由M点运动到N点的过程中，电势能减少了FdcosO

D.若要使带电质点由N点向M点做匀速直线运动，则厂必须反向

【答案】B

【详解】A.带电质点做匀速直线运动，质点受拉力厂和电场力两个力的作用，则这两个力等大反

向，电场线方向沿尸方向，场强大小

F

E=-

q

A错误。

B.在带电质点由“点运动到N点的过程中，根据动能定理得

Fdcosd-qUMN—0

解得

FdcosO

UMN=~

B正确。

C.带电质点由加点运动到N点的过程中，电场力做功

W=—QUMN二一FdcosB

电势能增加了FdcosO,C错误。

D.带电质点在匀强电场中受到的电场力恒定不变，根据平衡条件，若要使带电质点由N点向“点

做匀速直线运动，拉力厂的方向应保持不变，D错误。

故选B。

【典例7】（多选）水平放置的平行板电容器上极板带正电，下极板带负电。电容器的极板长度为3

两极板间距离为乩一绝缘挡板倾斜放置，绝缘挡板的两端恰好与电容器的上极板的右端点和下极

板的左端点接触，如图所示。一质量为机、带电荷量为q的带正电小球以速度v垂直电场线从电容

器的上极板边缘射入，恰好落在绝缘挡板的中心处。已知重力加速度为g,电场强度石=岸，下列

说法正确的是（）

A.在此过程中带电小球的加速度大小为2g

B.若L=&d,则带电小球垂直落在挡板上

C.此过程所需的时间为

D.在此过程中电场力对带电小球做的功为mgd

【答案】AB

【详解】A.带电小球所受电场力与重力同向，根据牛顿第二定律可得小球在此运动过程中的加速

度大小

A正确；

B.小球做类平抛运动，画出小球的运动轨迹，如图所示，设挡板的倾角为a,小球落在挡板上时的

速度偏向角为6,若小球垂直落在挡板上，有

tana•tan£=1

根据类平抛运动的相关推论及几何知识可得

0.5d

tan”,

而

d

tancr=—

可得

L=V2d

B正确；

C.小球在此过程中，在竖直方向上有

C错误；

D.在此过程中电场力对带电小球做的功

d1

W=qE--=-mgd

D错误。

故选AB。

【典例8】（多选）空间存在一匀强电场，将一质量为小、带电荷量为+q的小球从一水平线上的4点

分两次抛出。如图所示，第一次抛出时速度大小为为,方向与竖直方向的夹角为30。，经历时间

回到4点；第二次以同样的速率%竖直向上抛出，经历时间功经过水平线上的。点，B为小球运动轨迹

的最高点.电场方向与小球运动轨迹在同一竖直面内，不计空气阻力，重力加速度为g。关于小球从

抛出到回到水平线的过程，下列说法正确的是（）

A.第一次抛出后，小球做匀变速曲线运动

B.打:七2=V3:2

C.电场沿水平方向时，电势差%c=3北8

D.电场强度的最小值为等

2q

【答案】BC

【详解】A.第一次抛出后，小球回到N点，说明重力与电场力的合力恰好与为的方向相反，小球

做匀变速直线运动，故A错误；

B.两次小球的竖直加速度相同，则第一次

2v0cos30°

=---a--,---

第二次

+_2v0

t2=V

解得

t1cos30°V3

1二八

故B正确；

C.电场沿水平方向时，小球在水平方向做初速度为零的匀加速运动，则

XAB-XBC=1：3

根据

U=Ed

可知，电势差

UBC=3UAB

故C正确；

D.当电场力方向与第一次抛出时的初速度方向垂直时场强最小，则此时

qEmin=mgsin30。

电场强度的最小值为

□_mg

Emin-Q

2<7

故D错误。

故选BC«

【典例9】（多选）如图所示，水平放置的平行板电容器上下极板M、N分别带有等量异种电荷，电

荷量大小均为Q,两极板间距为d,质量为小、电荷量为q的带负电微粒从上极板M的边缘以初速度见

射入，恰好沿直线从下极板N边缘射出，重力加速度为g。则（）

M

N

A.两极板间的电压UMN=-等

B.微粒的机械能减小mgd

C.电容器的电容c=%

mga

D.保持Q不变，仅将极板N向下平移，微粒仍沿直线从极板间射出

【答案】BCD

【详解】A.因为带电微粒做直线运动，则微粒受力平衡，根据平衡条件有

U

q-=mg

a

得

mgd

一q

负电荷受电场力方向向上，所以电场方向竖直向下，则

WM>0N

所以

mad

UMN=~—

q

故A错误；

B.重力做功mgd,微粒的重力势能减小，由于微粒做匀速直线运动，动能不变，根据能量守恒定律

得知，微粒的重力势能减小了agd,故B正确；

C.电容器的电容

c_Q=Qq

Umgd

故C正确；

D.在Q不变时，仅将极板N向下平移，由

UQ4nkQ

dCdsS

知电场强度不变，微粒仍受力平衡，微粒仍沿直线从极板间射出，故D正确。

故选BCD。

【典例10］（多选）如图所示，在空间中水平面儿w的下方分布着方向竖直向下的匀强电场，质量

为机的带电小球由ACV上方距AW高度为的/点以一定的初速度水平抛出，从2点进入电场，到

达C点时速度方向恰好水平。已知4B、C三点在同一直线上，AB=2BC,重力加速度大小为g,

不计空气阻力。下列说法正确的是（）

B.小球从B点运动到C点的时间为从/点运动到B点的时间的2倍

C.匀强电场的电场强度大小为驷

q

D.小球从8点到C点电势能增加了

【答案】AD

【详解】A.从5到C小球在竖直方向上做减速运动，即所受合力竖直向上，因此可以判断小球所

受电场力竖直向上，小球带负电，故A正确；

B.小球在水平方向做匀速直线运动，/、B、C三点在同一直线上，而小球从/到8与从8到C的

水平位移之比为2:1,则小球从4到B与从2到C的运动时间之比为2:1,所以小球从4点运动到B

点的时间为从B点运动到C点的时间的2倍，故B错误；

C.在竖直方向上，小球从/到2做匀加速运动，加速度大小为g,从2到C做匀减速运动，竖直

位移之比为2:1,而时间之比为2:1,所以加速度之比为1:2,即8到C加速度大小为2g,根据牛顿

第二定律有

Eq—mg=ma=m-2g

解得

口3mg

E-----

q

故c错误；

D.小球从8点到C点，电势能增加量为

h3

△Ep=Eq-=-mgh

故D正确。

故选ADo

他.「，藤捌骊：

考点3：重电复合场中的圆周运动（等效重力法）

1.模型概述

重电复合场中的圆周运动模型包括两种情况。一种情况是带电体做完整的圆周运动：涉及运动

过程中动能、弹力的极值，做完整圆周运动、不脱离轨道的临界条件等相关内容。另一种情况是从

静止释放的带电体在电场中的摆动：涉及释放后能否沿圆弧运动、运动过程中速度、动能、弹力的

大小与极值等相关内容。

两种情况的解题关键是确定重力与电场力的合力即“等效重力”的方向，从而确定等效水平面

的位置。等效最高点与等效最低点可用来确定速度、动能、弹力的极值及判断能否做完整的圆周运

动；等效水平面位置可用来判断物体是否沿圆弧运动：释放点位于等效水平面下方时可沿圆弧运动，

也可通过释放点所在半径与“等效重力”方向间夹角来判定，锐角时沿“等效重力”方向做直线运

动，直角或钝角时沿圆弧运动。

2.解题方法

等效思维法：等效思维法是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法O

对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。若采用“等效法”求解，则能避开复

杂的运算，过程比较简捷。

方法应用：先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将4=小视为“等

m

效重力加速度”，尸令的方向等效为“重力”的方向。如此便建立起“等效重力场”。再将物体在重

力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可。

等效最“高”点与最“低”点的寻找：确定重力和电场力的合力的大小和方向，然后过圆周圆

心作等效重力作用线的反向延长线，反向延长线交圆周上的那个点即为圆周的等效最“高”点，延

长线交圆周的那个点为等效最“低”点。

3.模型图

【典例11］（多选）如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场，一内壁光滑、半径为R的绝缘圆

轨道固定在竖直平面内，43为圆轨道的水平直径，CD为竖直直径。一质量为心、电荷量为q的带

正电小球从轨道的最低点C获得一定的初速度为后，能够在轨道内做圆周运动，已知重力加速度为

g,匀强电场的电场强度E=手，不计空气阻力，下列说法正确的是（）

&4q

A.小球运动到D点时的动能最小

B.小球运动到5点时的机械能最大

C.小球所受重力和电场力的合力方向与竖直方向夹角的正切值为?

D.若为=苧，小球恰好能够沿着轨道做圆周运动

【答案】BD

【详解】A.小球除受重力外，还受到水平向右的电场力，根据等效重力场的思想，。点并非等效最

高点，故小球运动到。点时的动能并非最小，A错误；

B.小球具有机械能和电势能，且机械能和电势能之和保持不变，5点电势最低，小球带正电，电势

能也最小，因此小球在B点机械能最大，B正确；

C.小球所受电场力为

3

F=Eq=—mg

设重力与电场力的合力方向与竖直方向的夹角为仇则

F3

tan。=---=—

mg4

C错误；

D.为使小球恰好能够沿着轨道做圆周运动，需要小球恰好能够经过等效最高点N点，如图所示

对小球处于河点时进行分析，根据牛顿第二定律得

哈

mgcosB+Fsin3—m—

R

对小球从C到M的过程分析，根据动能定理得

11

—mgR（l+cos0）—FRsinO=—?——mvQ?

联立解得

D正确。

故选BDo

【典例12］（多选）如图所示，绝缘光滑轨道/BCD竖直放在与水平方向成8=45。的匀强电场中，

其中8cA部分是半径为R的半圆环，轨道的水平部分与半圆相切，现把一质量为加、电荷量为+q

的小球（大小忽略不计），放在水平面上/点由静止开始释放，恰好能通过半圆轨道最高点。，落地

时恰好落在3点。下列说法正确的是（）

ED

A.电场强度E=^

q

B.起点/距2点的距离L=2.5R

C.过。点的速度为”=加

D.两点的电势差为U^B=嘤

zq

【答案】BD

【详解】A.当小球通过。点时，设速度为v,由牛顿第二定律得

v2V2

=mg--F

小球通过。点后的运动：水平方向做匀变速直线运动，落地时恰好落在3点，即

17

x=vt——axt=0

根据牛顿第二定律

V2

5-尸=max

竖直方向做匀加速直线运动

1,

2

2R=-ayt

根据牛顿第二定律

V2

mg———F—may

又

F=qE

联立解得

y/2mg

E=-------

2q

故A错误；

B.由4到。的过程，由动能定理得

qELcos45。—2mgR+qE-2Rcos45°=—mv2

联立解得

L=2.5/?

故B正确；

C.在O点由重力和电场力的竖直分力共同提供向心力，则

v2V2

=mg--F

解得过。点的速度为

故C错误；

D.48两点的电势差为

mqL

UAB=ELcos45°=

故D正确。

故选BDo

【典例13］（多选）如图，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为工的绝

缘细线，细线一端固定在。点，另一端系一质量为机带电量为q的小球。小球静止时细线与竖直方

向成。角，此时让小球获得初速度且恰能绕。点在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为名。则（）

A.匀强电场的电场强度大小为嗯”

q

B.小球获得初速度的大小为户!

7COS0

C.小球从初始位置运动至轨迹的最左端增加的机械能为mgLtane（l+sin。）

D.小球从初始位置在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，其电势能先减小后增大

【答案】AB

【详解】A.小球静止时细线与竖直方向成9角，对小球受力分析如图

小球受重力、拉力和电场力，三力平衡，根据平衡条件，有

mgtand=qE

解得

mgtand

E=---------

q

A正确；

B.小球恰能绕。点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点/由重力和电场力的合力提供向心力,

根据牛顿第二定律，有

mg14n

-----=m——

cosGL

则小球从初始位置运动到4点的过程中，由动能定理可得

11

—mg•2Lcos6—qE-2Lsin3=—mv^7in7

联立解得小球获得初速度的大小为

B正确；

C.由功能关系和能量守恒定律可得小球从初始位置运动至轨迹的最左端电场力做负功，故机械能减

小，减小的机械能为

E=/电=qE(L+LsinO)

matanO,、

=q---------(L+Lsin0)

q

=mgLtanO(l+sin。)

C错误；

D.小球从初始位置开始在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，电场力先做负功，后做正功，再

做负功，则其电势能先增大后减小再增大，D错误。

故选ABo

【典例14］如图所示，N3CO是半径为R的四分之三光滑绝缘圆形轨道，固定在竖直面内。以轨道

的圆心O为坐标原点，沿水平直径/C方向建立x轴，竖直直径8D方向建立y轴。y轴右侧(含y

轴)存在竖直向上的匀强电场。一质量为小、带电量为+«的小球，从/点由静止开始沿轨道下滑，

通过轨道最高点。后，又落回到轨道上的/点处。不考虑小球之后的运动，不计空气阻力，重力加

(2)电场强度的大小；

(3)小球从/下滑到电场内的3点时受到轨道支持力的大小。

【答案】(1N誓

(2党

【详解】(1)设小球离开。点时的速率为无，由。落回到/的时间为则由平抛运动规律有

19

R=29t

R=vDt

解得

2gR

vo=-2

小球落回到/时的速率为"A，根据动能定理有

1?17

mgR=-mvX-2mvD

解得

JlOgR

VA=F-

(2)小球从/到。的过程中，根据动能定理有

1

—mgR+2qER=—mv^7—0

解得

5mg

8q

(3)小球通过轨道最低点8处时的速率为方，轨道对小球的支持力为产，则有

1

mgR=7—0

根据合力提供向心力有

F+qE-mg=m—

R

解得

l19mg

小球从/下滑到电场内的3点时受到轨道支持力的大小

19mg

F=~8-

【典例15］如图所示，在水平向左的匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道竖直固定放置，其半径

为R,半圆轨道所在竖直平面与电场线平行，半圆轨道最低点与一水平粗糙绝缘轨道MN相切于N点。

一小滑块(可视为质点)带正电且电荷量为q,质量为小，与水平轨道间的滑动摩擦力大小为0.5rng,

现将小滑块从水平轨道的M点由静止释放，恰能运动到半圆轨道的最高点儿已知电场强度大小为电旦

q

重力加速度大小为g,求：

(1)小滑块在最高点H的速度为大小；

(2)M点距半圆轨道最低点N的水平距离L；

(3)小滑块通过半圆轨道中点P时，小滑块对轨道的压力F的大小。

【答案】⑴新

Q)R

(3)12%g

【详解】(1)小滑块在最高点8时，只有重力提供向心力，由牛顿第二定律有

mg=m-

解得

=y[gR

(2)小滑块从M点到X点过程中，由动能定理得

1

EqL—0.5mgL—mg-2R=—mv^7

解得

L=R

(3)根据题意，小滑块从。点到〃点过程中，由动能定理有

11

—EqR—mgR=—mv^——mvp

在尸点，设轨道对小滑块的弹力为产，由牛顿第二定律有

Vp

F—qE=m—

解得

F,=12mg

由牛顿第三定律可得，在尸点小滑块对轨道的弹力大小为

F=F,=12mg

一、单选题

1.如图所示，一个质量为加、电荷量为q的带正电油滴，在平行于纸面的匀强电场中由静止沿斜向

右下方做直线运动，其轨迹与竖直方向的夹角为仇重力加速度大小为g,不计空气阻力，则下列判

断正确的是()

0

A.电场强度的最小值等于股

q

B.电场强度的最大值等于鳖吧

q

C.带电油滴的机械能不可能增加

D.静电力可能对带电油滴不做功

【答案】D

【详解】AB.带电油滴的运动轨迹为直线，在电场中受到重力加g和静电力凡其合力必定沿此直

线向下，根据三角形定则作出合力，如图

由图可知，当静电力厂与油滴轨迹垂直时，静电力厂最小，场强最小，则有

F—qEmin-mgsind

得到

由图可知，电场强度无最大值，故AB错误；

D.当石=照些时，静电力方向与速度方向垂直，静电力不做功，带电油滴的电势能一定不变；这

q

种情况下只有重力做功，带电油滴的机械能不变，故D正确；

C.当E＞些吧时，静电力方向与速度方向成锐角时，静电力做正功，带电油滴的机械能增加，故

q

C错误。

故选D。

2.一质量为〃z,电荷量为q的带负电的小球，以初速度为从匀强电场中的/点水平抛出后经过某一

定点8,如图所示，电场强度大小为扁，方向竖直向下。下列说法正确的是（）

A.可以计算经过2点的时间

B.可以计算经过3点时的竖直方向的速度

C.初速度为2%，要使小球仍能经过8点，电场强度大小为日埒

D.只要能够经过2点，过8点时的速度偏向角为一定值，与初速度大小无关

【答案】D

【详解】AB.小球所受合力

F=mg—qE0

加速度

a=£=g—啊、8间的水平或竖直距离未知，无法计算经过8点的时间和竖直速度，故AB错误;

mm

C.小球经过8点，竖直方向位移

22

[1/C[EQ\x1/qE\x

y=2at=品9—丁图=*—标）西7

解得

「4qE0-3mg

E=---------------

q

故c错误；

D.由

tane=%=»=M=%8两点位置确定，偏向角大小就确定，故D正确。

VoVovotX

故选D。

3.如图所示，空间内存在方向与竖直方向夹角为60。的匀强电场，用绝缘细绳悬挂质量为加、电荷

量为4的带电小球，平衡时绝缘细绳与竖直方向夹角为30。，重力加速度为g。下列说法正确的是

B.电场强度大小为智

C.剪断绝缘细绳后小球做匀变速曲线运动

D.撤去电场的瞬间，小球的瞬时加速度为苓

【答案】D

【详解】A.小球受到重力、绳的拉力与电场力处于平衡，根据平衡条件可知，电场力的方向一定

与电场强度方向相同，则小球带正电，故A错误；

B.对小球进行受力分析，如图所示

qE—zngsin30°

解得

m

E口----g-

2q

故B错误；

C.剪断绝缘细绳后，小球受到重力与电场力，结合上述可知，合力大小一定，方向沿绳的反方向，

由于初速度为0,则小球将做匀加速直线运动，故C错误；

D.撤去电场的瞬间，小球随后将做圆周运动，初速度为0,撤去电场瞬间，所需向心力为0,即沿

半径方向所受合力为0,则有

mgsin30°=ma

解得

_9

a~2

故D正确。

故选D。

4.真空中存在空间范围足够大的水平向右的匀强电场，在电场中，一个质量为加、带电的小球在8

点静止时细线与竖直方向的夹角为37。，小球所带的电荷量为9,细线的长度为/,重力加速度为g,

sin37°=0.6,cos37°=0.8o下列说法正确的是（）

A.小球带负电

B.电场强度的大小后=等

5<7

C.若将小球从N点由静止释放，则小球从4点运动到C点的过程中电势能增加了0.75mg/

D.若将小球从/点由静止释放，则小球运动到C点受到细线的拉力大小为务喈

【答案】C

【详解】AB.小球在8点处于静止状态，对小球进行受力分析，如图所示

小球所受电场力方向与电场强度方向相同，可知小球带正电，根据平衡条件有

qE—mgtand

解得

故AB错误；

C.若将小球从/点由静止释放，小球将做圆周运动到达C点，电场力做负功，电势能增加了

△Ep=qEl—0.75mgl

故C正确；

D.根据动能定理有

1

mgl—qEl=—mv^7—0

小球在C点，根据牛顿第二定律有

T—mg=m—

解得

T=l.Smg

故D错误。

故选C。

5.如图所示，空间中存在沿X轴的静电场，其电势0沿X轴的分布如图所示，X1、刀2、心、刀4是X

轴上的四个点，质量为加、带电量为-q的粒子（不计重力），以初速度为从。点沿x轴正方向进入

电场，在粒子沿x轴运动的过程中，下列说法正确的是（）

A.巧处的电场强度大于比2处的电场强度

B.从修到心点的过程中，粒子的电势能先增大后减小

C.若粒子能到达以处，则%的大小至少应为后

D.若为=母,则粒子在运动过程中的最大动能为2q@o

【答案】D

【详解】A.在卬-乂图像，图线的斜率表示电场强度的大小，由图可知巧处图线的斜率小于%2处图

线的斜率，则小处的电场强度小于*2处的电场强度，故A错误；

B.粒子从乙运动到叼的过程中，电势不断降低，负电荷的电势能不断增大；故B错误；

C.粒子能运动恰好运动到%3处，就能运动到%4处。设粒子恰能运动运动到冷处，初速度%最小，根

据动能定理得

1,

-q（Po=0-2mvo

解得：

所以若小球能运动到均处，则初速度V。至少为呼，故c错误；

D.当带电粒子运动到久1处时，电场力做正功最大，粒子的速度最大，根据