高考数学重难点复习专练：立体几何体积问题八大题型（原卷版）

重难点专题34立体几何体积问题八大题型汇总

题型1公式法........................................................................1

题型2等体积转化法.................................................................4

题型3割补法........................................................................6

题型4体积比问题....................................................................8

题型5体积中的动点问题............................................................10

题型6体积中的最值取值范围.......................................................13

题型7向量法求体积................................................................16

题型8外接球问题..................................................................19

题型1公式法

【例题1】（2023秋•山西太原•高三山西大附中校考阶段练习）长方形ABCD中，AB=2AD

=2出点后为5中点（如图1）,将点。绕4E旋转至点P处，使平面P4EL平面4BCE（如

图2).

⑴求证：PALPB;

（2）点尸在线段PB上，当二面角F-4E-P大小为杂寸，求四棱锥F-4BCE的体积.

【变式1-1】1.（2023秋•四川成都•高三统考阶段练习）如图，在圆锥。。中，。为圆锥顶

点，为圆锥底面的直径，。为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形。4ED为矩形,

S.AC=1,5C=V3.

⑴若F为BC的中点求证：DF||平面ACE;

(2)若CD与底面4BC所成角为45。，求多面体4CBDE的体积.

【变式1-1]2.(2022秋•安徽合肥・高三合肥一中校考阶段练习)如图所示，在四棱锥P-

力BCD中，△PBC为等腰直角三角形，Z.CPB=90°,平面P8C1平面ABCD,AD//BC,

CD1.AD,BC=CD=2AD=4.

⑴求证：平面P4BJ.平面PCD；

(2)若点E为PB的中点，F为CD的中点，点M为AB上一点，当EM1BF时，求三棱锥E-

BFM的体积.

【变式1-1】3.(2023・全国•高三专题练习)如图，在多面体ABCDEF中，四边形4BCC与

485T均为直角梯形,AD//BC,AF//BE,DA1平面48EF,AB1AF,AD==2BC=2.BE

=2.

D

(1)已知点G为AF上一点，目力G=2,求证：BG与平面DCE不平行；

(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为旁，求AF的长及四棱锥D-ABEF的体积.

【变式1-U4.(2023秋•海南省直辖县级单位•高三校考阶段练习)如图，四棱锥P-ABCD

中，底面4BCD是边长为1的正方形，。是力BCD的中心，PO1底面4BCD,E是PC的中点

⑴求证：「411平面3。£1;

(2)若。P=2,求三棱锥E-BCD的体积.

【变式1-1】5.(2023•全国•高三专题练习)如图，四棱锥P-4BCD的底面是菱形，平面

P4D1底面4BCD,E,F分另!］是AB,PC的中点，AB=6,DP=AP=5,/.BAD=60°.

⑴求证：£77/平面24。;

(2)求证：ACLPE;

(3)求四棱锥P—4BCD的体积.

题型2等体积转化法

【例题2】（2021•黑龙江大庆・大庆中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面

ABCD的平行四边形，NADC=60。，AB=^AD,PA±®ABCD,E为PD的中点.

⑴求证：AB±PC;

（2）若PA=AB=：AD=2,求三棱锥P-AEC的体积.

【变式2-1J1.（2023秋•四川成都•高三石室中学校考开学考试）如图，在四棱锥P-ABCD

中，四边形4BCD为正方形，平面4DP1底面4BCD,4P=DP,且APIDP,设E,F分别为

CP,BD的中点，FP=V2.

⑴求证：APLCP;

（2）求三棱锥P—4DE的体积.

【变式2-1】2.（2023秋•四川成都・高三校考阶段练习）如图，在几何体BACDEF中，四

边形CDEF是菱形，AB//CD,平面4DF1平面CDEF,AD=AF.

⑴求证：ACLDF；

(2)若FA=FC=FD=2,AB=1,求三棱锥E-BDF的体积

【变式2-1】3.(2023秋•四川眉山•高三校考阶段练习)如图，在四棱锥P-4BCD中，

PD1面ABCD,AB||CD,ABLAD,CD=AD=^AB=2,APAD=45°,E是PA的中点,

G在线段AB上，且满足CGIBD.

P

⑴求证：DEII平面PBC

(2)求三棱推G—PBC的体积.

【变式2-1]4.(2023•全国•高三专题练习)如图，在四棱锥P-4BCD中，底面四边形4BCD

为矩形，平面PABJ.平面/BCD,PA1PB,AB=V5,PB=BC=2,点Q为PC的中点.

⑴求证：平面4BQ1平面PAC;

(2)求三棱锥P-QBD的体积.

【变式2-1】5.(2023•全国•高三专题练习)如图，梯形ABCD中，AD=4,E为4D中点,

S.CE1AD,CE=BC=1,将△£»£1(7沿CE翻折到△「£1(7,使得NPE4=£.连接P4PB.

⑴求证：BE1PC;

(2)Q为线段P力上一点，若而=|Q,求三棱锥P-BCQ的体积.

题型3割补法

【例题3】(2023秋・青海西宁•高三统考开学考试)如图所示，在直三棱柱ABC-&B1C1中,

4iBi1&Ci，D,E分别为棱AC,BiCi的中点，AC=2AB=2441=2.

(1)求证：DE〃平面44$/;

(2)求多面体BBi-441的£»的体积.

【变式3-1】1.(2023•全国•高三专题练习)如图，在三棱柱ABC—&BiCi中，平面4&射

C1平面ABC,/-AAIC1=120°,AC=CCr=4,tanzBXC=BA=BC,AD=3DC,

A^E=3ECi.

B

⑴求证:B,D,E,&四点共面;

(2)求四棱锥公-BOE%的体积.

【变式3-1】2.(2023•四川泸州校考三模)如图，已知直四棱柱力BCD-4出的小的底

面是边长为2的正方形，E,F分别为2公，4B的中点.

(1)求证：直线。止、CF、ZM交于一点；

(2)若A&=4,求多面体BCDiEF的体积.

【变式3-1]3.(2023秋・广东广州•高三广州市第一中学校考阶段练习)如图，四边形4BCD

是矩形，四边形48EF是梯形，BE//AF,BE1EF,ZBXF=3O°,平面4BCD与平面4BE尸互

相垂直，BF=2,AF=4.

⑴求证：BFLAC.

(2)若二面角C-AF-B为段，求多面体4BCDEF的体积.

【变式3-1】4.(2023•陕西西安・西安市第三十八中学校考模拟预测)如图，在三棱柱

ABC-A'B'C'^,中，ABLBC,AB=BC=BB'=2,在平面4BC上的射影为4B的中点.

⑴证明：BCICC.

（2）求多面体440C。的体积.

【变式3-1】5.（2022秋・广西桂林•高三校考阶段练习）如图所示的多面体中，四边形4BCD

是矩形，AB=4,^EAD,AFBC者B是边长为2的正三角形，EF=2

⑴证明：EF〃平面4BCD;

（2）求这个多面体的体积匕

题型4体积比问题

【例题4】（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，四边形4CC遇1与四

边形BCCiBi是全等的矩形，AB=&AC=争⑶，若P是A41的中点

⑴求证：平面PBiQl平面PBiC;

（2）如果AC=1,求三棱锥&-&CiP与多面体4BCPB1的体积比值.

【变式4-1】1.（2024•全国•高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面4BCD是正

方形，PD1平面4BCD,PD=4D=2,E是棱PC上的动点（不与P,C重合），PD交平面4BE于

点F.

⑴求证：CD||平面4BE;

(2)求证：平面P4D1平面ABE;

(3)若E是PC的中点，平面力BE将四棱锥P-4BCD分成五面体P4BEF和

五面体4BEFDC,记它们的体积分别为匕,匕，直接写出匕吃的值.

【变式4-1】2.(2023・陕西西安・西安市大明宫中学校考模拟预测)如图，在长方体

4BCD—力IBICIDI中，AB=2BC=2,AAr=4,P为棱4B的中点.

AG

APB

⑴证明：平面PC/1平面PDDi；

(2)画出平面。iPC与平面占4DD1的交线，并说明理由；

⑶求过小,P,C三点的平面a将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比.

【变式4-1】3.(2023・浙江•统考二模)如图，在正四棱台力BCD—4夕。。中，=24

点P为棱C。上一点.

(1)记棱锥P—BCD,棱台ABCD—的体积分别为七,72,当PC=P。时，求台；

(2)若正四棱台的侧棱与底面所成角为或当平面4BD1平面PBD时，求直线与平面PBC

所成角的正弦值.

题型5体积中的动点问题

【例题5】(2023•河南•校联考模拟预测)如图，已知三棱柱4BC-4/1的中，AB=AC

=2,必力==&C=2近，Z54C=90°,E是BC的中点，F是线段4的上一点.

.Fg

⑴求证：ABLEF;

(2)设P是棱4公上的动点(不包括边界)，当APBC的面积最小时，求棱锥P-ABC的体积.

【变式5-1]1.(2023秋湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习)如图，在三棱锥P-ABC

中，侧棱P41底面ABC,S.PA=AC,ACA.BC,过棱PC的中点E,作EF1PB交PB于点F,

连接4E/F.

(1)证明：。81平面4£77；

(2)若PA=2,三棱锥P-4EF的体积是半，求直线PC与平面4EF所成角的大小.

【变式5-1】2.(2023秋•江苏泰州•高三泰州中学校考阶段练习)如图，圆锥SO,S为顶

点，。是底面的圆心，4E为底面直径，AE=AS,圆锥高S。=6点P在高SO上，△4BC是

圆锥SO底面的内接正三角形.

(1)若「。=述，证明:P41平面PBC

(2)点P在高SO上的动点，当PE和平面PBC所成角的正弦值最大时，求三棱锥P-4BC的

体积.

【变式5-1]3.(2024・全国•高三专题练习)已知面积为2g的菱形ABCD如图①所示，其

中4C=2,E是线段AD的中点.现将△ZMC沿AC折起，使得点D到达点S的位置.

图①图②

(1)若二面角S-AC-B的平面角大小为手，求三棱锥S-4BC的体积；

(2)若二面角S-AC-B的平面角ae,削，点F在三棱锥的表面运动，且始终保持EF1

AC,求点F的轨迹长度的取值范围.

【变式5-1]4.(2023•江苏苏州•校联考三模)如图，在三棱锥P-4BC中，△4BC是边长

为6回的等边三角形，且PA=PB=PC=6,PD1平面4BC,垂足为1平面P4B,垂

足为E,连接PE并延长交4B于点G.

(1)求二面角P-AB-C的余弦值；

(2)在平面P4C内找一点F,使得EF,平面P4C,说明作法及理由，并求四面体PDEF的体积.

【变式5-1】5.(2023•江苏淮安・江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测)如图，在四棱锥P-

4BCD中，平面P4D1平面4BCD,PA=PD,底面力BCD是边长为2的正方形，点E在棱PC

±,CE=2PE.

⑴证明：平面BDE1平面4BCD;

(2)当直线DE与平面PBD所成角最大时，求四棱锥P-4BCD的体积.

题型6体积中的最值取值范围

【例题6](2023秋•四川成都・高三成都七中校考开学考试)已知矩形ABCD中，AB=2,

BC=2V3,M,N分别为AD,BC中点，。为对角线AC,BD交点，如图1所示.现将

△。48和4。。。剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿MN将△40。,4BOC折叠，

并使OA与OB重合，OC与OD重合，连接MN,得到由平面OAM,OBN,ODM,OCN

围成的无盖几何体，如图2所示.

图1图2

(1)求证：1\/)1\1，平面4。。;

(2)求此多面体体积V的最大值.

【变式6-1】1.(2023•全国•高三专题练习)如图(1),在△ABC中,AB=BC=2,UBC

=90。，E、F、”分别为边4B、4C、BC的中点，以EF为折痕把aAEF折起，使点4到达点P

(1)设平面PBE与平面PF”的交线为2,求证：11平面PEF;

(2)在棱PF上是否存在点N,使得BN与平面PEF所成角的正弦值为等？若存在，求PN的长;

若不存在，请说明理由.

【变式6-1】2.(2023春・江西南昌・高三南昌市八一中学校考阶段练习)如图1,在边长为

4的菱形4BCD中，=60。，点分别是边B&CD的中点ACfyBD=O1(ACCyMN=

G.沿MN将△CMN翻折到△PMN的位置，连接P4,PB,PD,得到如图2所示的五棱锥P-

ABMND.

P(Q

DN

A~GY

(1)在翻折过程中是否总有平面PBD1平面P4G?证明你的结论；

(2)在翻折过程中当四棱锥P-MNDB的体积最大时，求此时点力到平面PDB的距离；

(3)在(2)的条件下，求二面角的平面角8—PM—N的余弦值.

【变式6-1】3.(2023・全国•高三专题练习)如图，在斜三棱柱4BC-4止1的中，E为B©

的中点，M为力B上靠近A的三等分点，N为&B1上靠近名的三等分点.

(1)证明：平面4]MC〃平面BEN.

(2)若CM1平面ABB遇1,BELAB1,CC1与平面488遇1的距离为久，ArC=8,ABX=12,

三棱锥&-4cM的体积为y,试写出y关于x的函数关系式.

(3)在(2)的条件下，当久为多少时，三棱锥公-ACM的体积取得最大值？并求出最大值.

【变式6-1]4,(2023春•四川雅安•高三雅安中学校联考阶段练习汝口图，在四棱锥P-ABCD

中，底面ABCD为矩形，AD1BP,APLBD,E为棱AB上任意一点(不包括端点)，F为

棱PD上任意一点(不包括端点)，团！=黑.

p

⑴证明：异面直线CE与AP所成角为定值.

（2）已知4B=AP=1,BC=2,当三棱锥C-BEF的体积取得最大值时，平面CEF与PA交

于点N,求EN的长.

【变式6-1】5.（2023辽宁辽阳统考二模）如图，在四棱锥P-4BCD中，底面力BCD为矩

形，力D1BP,4P1为棱力B上任意一点（不包括端点），F为棱PD上任意一点（不包括

xUu而j八I—、、\），匚且zj/布E一而DF.

（1）证明：异面直线CE与4P所成角为定值.

（2）已知48=AP=1,BC=2,当三棱锥C-BE屈勺体积取得最大值时，求PC与平面CEF所成

角的正弦值.

【变式6-1】6.（2023・全国•高三专题练习）在△4BC中，乙4cB=45。，BC=3,过点A

作4。1BC,交线段BC于点D（如图1）,沿AD将△4BD折起，使ABDC=90。（如图2）

点E,M分别为棱BC,AC的中点.

⑴求证：CDLME;

(2)求三棱锥力-BCD的体积最大值.

题型7向量法求体积

【例题7】(2023秋•河北邯郸•高三统考阶段练习)如图，几何体由四棱锥B-4EFC和三棱

台EFG—4CD组合而成，四边形4BCD为梯形，AD//BCS.AD=2BC,ADLCD,CD=2

FG,DG1平面4BCD,DA=DC=2,平面EBC与平面4BCD的夹角为45°.

⑴求证：平面BCE1平面CDGF;

(2)求三棱台EFG-4CD的体积

【变式7-1】1.(2023・广西统考一模)如图，三棱锥A-BCD中,AB,平面BCD,BC1

CD,AB=CD=V3,BC=2,E为AC的中点，F为AD的中点.

⑴证明：平面BEF,平面ABC；

(2)求多面体BCDFE的体积.

【变式7-1】2.(2023•黑龙江齐齐哈尔・统考二模)如图，四棱锥P—4BCD中，PD1平面

ABCD,AB1AD,AB\\DC,DC=AD=PD=1,AB=2,E为线段PA上一点，点F在边力B

上且CF1BD.

(1)若E为PA的中点，求四面体BCEP的体积；

(2)在线段P4上是否存在点E,使得EF与平面PFC所成角的余弦值是弓？若存在，求出AE的

长；若不存在，请说明理由.

【变式7-1】3.(2023•全国•高三专题练习)如图，在三棱柱ABC—&B1C1中，AC,平面

AA^B^B,^ABBr=f,AB=1,AC=AAr=2,D为棱BBi的中点.

⑴求证：4D1平面4道道；

(2)若E为棱BC的中点，求三棱锥E-AG。的体积.

【变式7-1】4.(2023春•重庆•高三重庆市万州第二高级中学统考阶段练习)如图，EA1

平面ABCD,EA||FC,AC=EA=2FC=2,四边形ABCD为菱形.

⑴证明:凡41平面EBD;

（2）若直线AB与平面EBD所成角的正弦值为求三棱锥E-BDF的体积.

【变式7-1]5.（2022•全国•高三专题练习）如图1,平面图形PABCD由直角梯形ABCD

和RtZXPAD拼接而成，其中48=BC=1,BC||AD^ABLAD,PA=PD=立,PALPD,

PC与AD相交于。，现沿着AD折成四棱锥P—4BCD（如图2）.

⑴当四棱锥P-4BCD的体积最大时，求点B到平面PCD的距离;

（2）在（1）的条件下，线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q—2C—。的余弦值为争

若存在，求出器的值；若不存在，请说明理由.

题型8外接球问题

【例题8】（2023•全国•高三专题练习）如图（1）所示，在△4BC中，AB=4V3,BC=2

V3,NB=60。，DE垂直平分48.现将△4DE沿DE折起，使得二面角4—DE—B大小为60。,

得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点力记作点P）

图(1)图(2)

（1）求点D到面PEC的距离;

（2）求四棱锥P-BCED外接球的体积;

(3)点Q为一动点，满足而=4无(0<4<1),当直线BQ与平面PEC所成角最大时，试确定

点Q的位置.

【变式8-1】1.(2023・辽宁•辽宁实验中学校考模拟预测)如图(1),六边形力BCDEF是由

等腰梯形ADEF和直角梯形4BCD拼接而成，且NB4D=乙4DC=90°,AB=AF=EF=ED

=2.AD=CD=4,沿4D进行翻折，得到的图形如图(2)所示，且乙4EC=90°.

图⑴图⑵

(1)求二面角C—4E-。的余弦值；

(2)求四棱锥C-4DEF外接球的体积.

【变式8-1】2.(2023・全国•高三专题练习)如图，正四棱锥S-4BCD中，S”是这个正四

棱锥的高，SM是斜高，且S”=2,SM=2V2.

(1)求这个四棱锥的全面积；

(2)分别求出该几何体外接球与内切球的半径.

【变式8-1】3.(2021•全国•高三专题练习)(1)如图，平面四边形4BCD中，AB=AD=

CD=1,5D=V2,BD1CD,将其沿对角线BD折成四面体4-BCD,使平面4BD1平面

BCD,若四面体A-BCD的顶点在同一个球面上，求该球的表面积.

B

(2)已知矢巨形4BCD,AB=1,AD=42,E为4D的中点，现分另U沿BE,CE'^AABE,ADCE

翻折，使点4。重合，记为点P,求几何体P-BCE的外接球表面积.

【变式8-1】4.(2022・湖南岳阳岳阳一中校考一模)如图，在四棱锥P—4BCD中，平面

PBC1平面4BCD,Z.PBC=90°,AD//BC,4ABe=90°,CD=丘AB=五AD=V2.

⑴求证：CD1平面PBD;

(2)若三棱锥4-PBD的外接球表面积为16町求三棱锥B-PCD的体积与三棱锥B-PCD的

外接球的体积的比值.

【变式8-1]5.(2022•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习)如图所示，直三棱柱ABC-

&B1C1的所有棱长均相等，点D为BiC的中点，点E为&Ci的中点.

Ci

(1)求证：DEII平面441B1B；

(2)若三棱锥B-CDE的体积为噂，求该三棱柱的外接球表面积.

O

1.（2022•四J11成都•双流中学校考模拟预测）衢州市某公园供市民休息的石凳是阿基米德

多面体，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体（各棱长都相

等），已知正方体的棱长为30cm.

H

（1）证明：平面4BE〃平面GNK；

（2）求石凳所对应几何体的体积.

2..（2023・河南开封•统考模拟预测）在三棱台DEF—4BC中，M,N分别是AC,CF的中点,

ABA.BC,CF_L平面ABC,S.AB=BC=CF=2,EF=1.

DF

/1X/

⑴求证：CDLBN;

（2）求三棱锥。-BMN的体积.

3.（2023・天津西青・天津市西青区杨柳青第一中学校考模拟预测）如图所示的几何体中，

四边形4BCD为平行四边形，ZXCD=90°,AB=1,AD=2,四边形力BEF为正方形，平面

4BEF1平面ABCD,P为DF的中点，AN1CF,垂足为N.

⑴求证：AN1平面CDF;

(2)求异面直线BF与PC所成角的正切值；

(3)求三棱锥B-CEF的体积.

4.(2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)在图1中，四边形ABCD为梯形,

AD//BC,AABC=f,/.BCD=f,AD=CD=2,过点A作AE14B,交BC于E.现沿

AE将AABE折起，使得BC1DE,得到如图2所示的四棱锥B—4ECD,在图2中解答下列

两问:

⑴求四棱锥B-4ECD的体积;

(2)若F在侧棱BC上，BF=|BC,求二面角C—EF—D的大小.

5.(2023•陕西宝鸡•校考一模)如图，在矩形4BCD中，BC=2,E,F分别为4B,CD的中

点，且沿4F,BF分别将△力FD与△BFC折起来，使其顶点C与。重合于点P,若所得三棱锥

P~4BF的顶点P在底面力BF内的射影。恰为EF的中点

p

(1)求三棱锥P—4BF的体积；

(2)求折起前的△BCF与侧面BPF所成二面角的大小.

6.(2022・安徽安庆・安庆一中校考三模)如图，。是圆锥底面圆的圆心，4B是圆。的直径,

△P4B为直角三角形，C是底面圆周上异于4B的任一点，D是线段4C的中点，E为母线24

上的一点，且PE=2E4

P

(1)证明：平面POD1平面P4C；

(2)若4c=2V3,SC=2,求三棱锥P-ODE的体积

7.(2023・四川绵阳•绵阳南山中学实验学校校考模拟预测)如图，在四棱锥P-4BCD中,

PD=PB,底面4BCD是边长为2的菱形.

⑴证明：平面PAC1平面4BCD;

(2)若PD1AB,PA1PC,S.^BAD=f,求四棱锥P-4BCD的体积

8.(2023•贵州黔东南・凯里一中校考模拟预测)如图，在三棱柱ABC-&B©中，AB=

BC,AB^=BC

B

⑴证明：ACJ.B®

(2)若AB=BBi=2,ABi=V6,乙4BC=120。，点E为A&的中点,求三棱锥C-B&E的

体积.

9.(2023•陕西西安•陕西师大附中校考模拟预测)如图所示，已知三棱台4BC-4$1的中,

AB^-LCB］工BBi,Z-ABB1=Z-CBB1=60°,AB1BC,BB〔=1.

(1)求二面角力-BiB-C的余弦值；

(2)设E,F分别是棱ACMiCi的中点，若EF1平面4BC,求棱台4BC—公8道1的体积.

参考公式：台体的体积公式为U台体=[(S上+Js上S下+S下)上

10.(2023•四川・成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模)在四棱锥P-4BCD中，△

BCD为等边三角形，/.DAB=120°,4。==PD=PB=2,点E为PC的中点.

p

⑴证明：BE〃平面PAD;

（2）已知平面PBD，平面4BCD,求三棱锥P-力BE的体积.

11.（2023•四川内江统考三模）在