福建省福州某中学2024-2025学年高三年级上册第二学段期末考试数学试题（含答案解析）

福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期第二学段期末

考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合”={3,4,5},N={x||x-l|V3},则A/nN=（）

A.{3}B.{3,4}C.{4,5}D.{3,4,5}

2.已知复数2=」，贝”的虚部是（）

2-1

A.—B.—iC.—D.-i

3355

3.已知2=（1,1）石=（2,0）,若卜十刀），（万+石），则4=（）

4224

A.——B.——C.—D.—

3333

4.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，落地时朝上的点数之和为6的概率为（）

A.—B.-C.—D.-

366129

5.设{叫是无穷数列，A=q,+%（，7eN*）,则“{4}是等差数歹!]”是“{4}是等差数列”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知函数〃到=-夫3+京2+2了+1,若“可在[一1,1]上单调递增，则。的取值范围是（

A.[1,2]B.[0,+w）C.[-1,1]D.[0,1]

7.过直线丫=2工上一点尸作圆（》+1）2+（了-1）2=1的两条切线44,当直线4,4关于直线

y=2x对称时，点尸的坐标为（）

A.B.g|[C.（1,2）D.（2,4）

22

8.已知小区分别为椭圆E:会+方=l（a>6>0）的左、右焦点，椭圆E上存在两点48使

uuuUUU

得梯形领88的高为石c（c为该椭圆的半焦距），且前=28&,则椭圆E的离心率为（）

2「2A/35

A.BD.

3-156

二、多选题

9.已知函数/■（x）=sin]x-gj,贝I]（）

A.〃x）在区间单调递增

B.〃x）在区间（0,兀）有两个极值点

C.〃尤）的图象关于点（9,01中心对称

D.直线、=一）＞¥是函数的切线

10.下列图象中，能成为函数/口）=丁-'的图象的是（）

X

11.已知正四棱锥尸-ABCD,底面边长为1,侧棱长为2,区歹分别是尸民尸C中点，过点尸

的截面将四面体的体积平分，则下列结论正确的是（）

A.直线跖//平面PAD

B.直线AE与直线D尸异面

C.正四棱锥外接球表面积为32节7r

D.截面不可能为等边三角形

三、填空题

试卷第2页，共4页

12.设F为抛物线C：/=2.(p>0)的焦点，若C上的点到焦点F距离为3,则C的

准线方程为.

—.1-.

13.如图，在VA3C中，AD=2DB>尸为CD上一点，JELJ^AP=mAC+-AB(meR),

则m的值为.

14.在“维空间中(“22,”wN),以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为w

维坐标(％,4,…,4),其中4e{0,l}(l«iV.,ieN).则5维“立方体”的顶点个数是；定

义:在“维空间中两点…，见)与他也，…,也,)的曼哈顿距离为

勾+e-可+…+|%-牙•在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X

为所取两点间的曼哈顿距离，则E(X)=.

四、解答题

15.如图，直三棱柱ABC-内接于高为2的圆柱中，己知/ACB=90°,BC=AC=1,

。为A3的中点.

⑴求圆柱的表面积；

(2)求二面角A-3C-A的余弦值；

(3)求A到平面A2c的距离.

16.平面四边形中，AB=BC=CD=2,AD=26

(1)求6cosA-cosC的值；

⑵AABD和△BCD面积分别为和邑，求S：+用的最大值.

17.已知函数=+alnx.

⑴当。=1时，判断函数八%)的零点个数；

(2)若/(尤)>。在(0,+e)上恒成立，求。的取值范围；

(3)设g(x)=/(x)-2x,若函数g(x)有两个极值点4、%(%>0,%>。),求证：

g(%)+g®)>-3.

18.已知椭圆C的中心在原点0,焦点在x轴上，离心率为g,以C的四个顶点为顶点的平

行四边形的面积为4石.

(1)求C的标准方程；

(2)我们把各边与椭圆的对称轴垂直或平行的内接四边形叫做椭圆的内接矩形，设四边形

是椭圆C的一个内接矩形，求矩形的周长的最大值；

⑶过点M(4,0)的动直线I与椭圆C交于A3两点(AB不与椭圆的顶点重合).点5关于X轴

的对称点为。，直线A£)与x轴的交点为E,求AABE面积的最大值.

19.如果数列%，4，…，am(m24)是首项为1,各项均为整数的递增数列，且任

意连续三项的和都能被3整除，那么称数列出，生，…，%是匕,数列.

(1)写出所有满足％=7的A数列；

(2)证明：存在与数列是等比数列，且有无穷个；

(3)对任意给定的应(。52。，都存在的，4，%，使得数列«21“3，。4，。5是己数列，

求整数f的最小值.

试卷第4页，共4页

《福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期第二学段期末考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BCBAACBAACDABD

题号11

答案AC

1.B

【分析】解绝对值不等式求出集合N,利用交集的定义可求.

【详解】因为N={x||尤一1区3}={X卜34尤一143}={尤卜24尤44},M={3,4,5},

所以M「N={3,4}.

故选：B

2.C

【分析】由复数的除法计算化简z,然后利用虚部概念求解即可.

12+i21.

z+1

【详解】••-=i-=(2+i)(2.i)=??-

二z的虚部是g

故选：C

3.B

【分析】根据向量线性运算的坐标表示与向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】因为益=。,1)石=(2,0),

所以(a+")=(1+2力,1),(。+5)=(3,1),

又因为R+")_!_(6+5),

所以,+彳石)・伍+5)=0,即3(l+24)+lxl=0,

2

解得k=-§.

故选：B.

4.A

【分析】用列举法结合概型的概率公式求解即可

【详解】由题意可知，将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，落地时朝上的点数的情况为:

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

答案第1页，共15页

（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,

（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,

（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）,共36种，

满足题意的点数为：（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）,共5种可能，

由古典概型的计算公式可知，落地时朝上的点数之和为6的概率为尸=三•

36

故选：A.

5.A

【分析】利用等差数列的定义，判断出｛4｝是等差数列则｛4｝也是等差数列，而｛4｝也是

等差数列｛%｝不一定是等差数列，可得答案.

【详解】若｛4｝是等差数列，设公差为（

则4==q+［几—l）d+q+（〃+1—1）d=2q+2nd—d,

则—4—2%+2（ft+1）d—d—（2%+2nd—d）=,

所以｛4｝是等差数列；

若｛4｝是等差数列，设公差为人

则A+1-A=an+l+an+2~（an+%+1）=%+2-a”=d'

即｛巩｝的奇数项是等差数列，偶数项是等差数列，

则｛%｝不一定是等差数列，

所以“｛叫是等差数列”是“｛4｝是等差数列”的充分不必要条件.

故选：A.

6.C

【分析】由/'=-犬+依+220在［-1,1］上恒成立进行求解即可.

答案第2页，共15页

【详解】解：f\x)=-^+ax+2,

因为/(x)在［-M］上单调递增，

所以/'(%)=--+依+220在［-1,1］上恒成立，

则V'(T)=Ti+2N°

解得-IVaVl,

故选：C

7.B

【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识即可求出点尸的坐标.

【详解】由圆C:(x+l)'c(y_l)2=］的圆心为C(T1),

由图知，当直线4，/2关于直线/：〉=2%对称时，CP与直线/：y=2元垂直.

(理由：设直线4,4切圆C于点4,8,易得CP平分

又直线44关于直线/：V=2x对称，故直线/平分—AP3的邻补角，故可得CP，/)

故直线CP的方程为y-l=-；（x+D,即x+2y-1=0,

1

x=—

%+2,-1=0解得：?

由即点尸的坐标为

y=2x

故选：B.

UUUUUU

【分析】根据A耳=23",可得A耳〃Bg,则4耳，8旦为梯形44耳2的两条底边，作

F2P±AK于点p,所以|%=&,则可求得“电=60。，再结合向卜斗匹，建立a,b,c

答案第3页，共15页

的关系即可得出答案.

【详解】如图,

UUUUUU

由4£=28入，得A£//Bg,则A耳，8层为梯形g8的两条底边,

作8于点尸，则8P，A4，由梯形A6月8的高为小,得|尸鸟|=辰,

在Rt△月尸名中，忸图=2c,则有NP4名=60。,NA4耳=60。,

在AAK8中，设卜耳|=%,贝||A阊=2a—x,恒玛「=仙耳「十闺耳「一21MME|cos60。,

即（2a-4f+4c12-2cx,解得6用=苫=­j

少2

日工田忸闾=­r

在△&=；鸟中,NB工耳=120°,同理I2|1

CL~\--

1

ciH—ca2

X|AX|=2|M|所以一尹=2,即“==c,所以离心率e=£=；.

a--c243

2

故选：A

9.ACD

【分析】对于A,B两项，只需将x-半看成整体角，利用正弦函数的图象即可判断，对于C,

只需将x=£代入解析式，根据函数值即可检验，对于D,利用导数的几何意义即可求出切

线方程进行判断.

【详解】对于A,令z=x-夸，由xeg,7t）可得，ze（q，3，

因『也在Ze]??上单调递增，故“X）在区间gj单调递增，即A正确；

对于B,令2=尤一^,由xe（0,7i）可得,

因y=sinz在上有一个极小值点-会

答案第4页，共15页

所以/(元)在区间(o,71)有一个极小值点£,故B错误；

对于C,当时，z_8?r_2TI_2n；因sinz=sin2兀=0,

333

故/("的图象关于点［与，。］中心对称，即C正确；

对于D,由〃到=疝［一会］求导得尸(耳=。0$5-^),

147r

令/'(x)=—/，解得了=2兀+2E或%=-^+2E,keZ,

则题=尸(0)=—)，又/(0)=Sin［一1)=一号，

故曲线y=/(x)在无=0处的切线方程为y+咚=1一gj(无一0),即y=_L一立,

22

故选：ACD.

10.ABD

【分析】利用导数讨论函数的单调性和讨论函数值的正负逐项判断即可.

【详解】因为〃耳=尤3-：，{xlxwO},所以广⑺=3/+?.

当〃?=0时〃尤)=1一?=0,{x|xwO}无解，且尸(x)=3/+?＞0,

此时f(x)在(-8,0),(0,+8)单调递增，D选项符合此种情况.

当机＞0时〃x)=V一二=二2n=0有两个解土茄，且((x)=3尤?+=＞0,

XX%

此时/(X)在(-力,0),(0,+8)单调递增,B选项符合此种情况.

当机＜0时/(耳=X3-2=二3，当尤＜0时易知/(力＜0,尤＞0时/(x)＞0,

XX

令广(力3/+§＞0得Q,史或尤＜_,］,

£

令r(x)=3Y+?＜0得一］《卜＜卜胃且"0,

、

所以/(X)的增区间为一双一,£|4和

,+8

7

答案第5页，共15页

所以函数图象不可能是C,A选项符合此种情况.

故选：ABD

11.AC

【分析】由EF//AD得A、E、F、。四点共面，且根据线面平行的判定可得砂//平面

PAD,判断A正确、B不正确；通过勾股定理计算得及外接球的半径R,进而得球的

表面积即可判断C；通过求截面最大的顶角可判断D.

【详解】对于A,：耳尸分别是PB,PC中点，.•.£~//8（?//4。，又所0平面已4£）,ADu

平面PAD,故直线砂//平面PAD,故A正确；

对于B,由EP//AD得A、E、尸、。四点共面，所以，直线AE与直线。尸不异面，故B不

正确；

对于C,设。是正四棱锥底面的中心，正四棱锥外接球的球心为O',半径为R,根据对称

性，O'在OP上，因为底面边长为1,侧棱长为2,则0尸=

由。,尸=。幺得心，理一字］4

解得氏=7高，外接球表面积

S=4成2=4TTX=2KX—=—7i,故C正确;

77

对于D,,・•过点尸的截面将四面体的体积平分，所以截面必过PO,且截面为等腰三角形,

设其顶角为a.当截面过尸员即时，截面的顶角a最大，且tana=gg=YG=W<£

OPJ14，73

TTTT

«<-,故/BPD',所以截面不可能为等边三角形，故D不正确.

63

故选：AC.

答案第6页，共15页

【分析】根据抛物线焦半径公式求出P的值，求出抛物线方程，即可求出准线方程.

【详解】抛物线y2=2px(p>0)上一点Q。,根)到焦点厂距离为3,

即1+勺3,解得P=4,所以抛物线方程y2=8x,焦点网2,0),

所以C的准线方程为x=-2.

故答案为：x=-2

【分析】而=〃京口+：通改为向量的终点在同一直线上，再利用共线定理的推论即可得到

参数加的方程，解之即可.

【详解】因为Q=7加记+万丽，而=2而即，AB=-AD

所以衣=7加记+=

24

又C,P,O三点共线，

3,1

所以枕+：=1,解得m=

44

故答案为：

14.32型

31

【分析】第一空由题意根据分步乘法原理，求解即可；第二空先确定样本点总数，再得到X

C424

的可能取值，求出概率尸(x=0=-^,列出分布列，求出期望.

【详解】(1)生的可能值为0,1(l<z<5,zeN).故五维立方体的顶点有2$=32个.

(2)依题意，样本空间的样本点记为｛M,N｝,M,N为五维立方体的顶点

样本点总数：〃(C)=C；2

当*=左时，有左个第i维坐标值不同，有5个第，维坐标值相同.

满足X=%的样本点｛M,N｝个数为卜=c.2".

所以尸。=左)=底=3(左=1,2,3,4,5).

故分布列为：

答案第7页，共15页

故答案为：32；—.

【点睛】关键点点睛:本题第二空关键在于确定当X=左时，有左个第i维坐标值不同，有5-左

Ck，24

个第i维坐标值相同，再由P(x=z)=U「=左二1,2,3,4,5)求出概率.

15.(l)(2V2+l)7t

⑵g

⑶4=孚

【分析】(1)由条件先求出圆柱的底面圆半径，再求其表面积；

(2)先证明平面A4'C,得BCLAC,从而NA'C4即二面角A-BC-A的平面角，

计算边长，利用三角函数即可求得；

(3)利用等体积转化即可求得点面距离.

【详解】(1)因NACB=90。，BC=AC=1,。为AB的中点，则C。=工=@为底面圆

22

的半径，

故圆柱的表面积为S圆柱=2s底+S圆柱恻=2兀义(与2+2兀x孝x2=(20+1)兀；

(2)

如图，连接A'CA'B,因A4U平面ABC,BCu平面ABC,则

又BC工AC,ACcA4'=A,AC,AA'u平面AAC,故BC_L平面AAC,

答案第8页，共15页

又ACu平面AA'C,故BC_LAC,则即二面角A-BC-A的平面角.

AC1V5

在RtAiA/C中,cosZA'CA=

由图知二面角A-BC-A是锐二面角，故二面角A-BC-A的余弦值为好;

5

（3）设点A到平面ABC的距离为d,

则由^A1-ABC=^A-A,BC>可得:—X-xlxlx2=—x—xlx^5xd,

3232

解得：d=述，即A到平面48c的距离为报.

55

16.(1)1

⑵14

【分析】（1）在两个三角形和△BCD中，利用公共边3D列出余弦定理方程即可;

（2）利用三角形的面积公式表示出S；+S；,然后结合上一问条件求解.

【详解】（1）

在中，由余弦定理：BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosA=16-85/3cosA,.

在ABCD中，由余弦定理：BD2=BC2+CD2-2BCCDCOSC=8-8cosC,

所以16-8/cosA=8-8cosC,即A/SCOSA—cosC=1..

(2)依题意S；=；AB2,Ai)2sin2A=12-12COS2A,BC2-CO2sin2C=4-4cos2C.

所以S；+S；=12一12cos2A+4-4cos2c=16-4-(73cosA)2-4cos2C

=16—4-(cosC+1)?-4COS2C=—8cos2C-8cosC+12=-8fcosC++14

答案第9页，共15页

当cosC=-g时取等号(此时2。=2退，该四边形符合题意)，即呼+国的最大值为14.

17.⑴1个

⑵(-e,0]

⑶证明见解析

【分析】(1)当。=1时，分析函数了(》)的单调性，结合零点存在定理可得出结论；

(2)直接验证/⑴>0,分0<x<l、x>l两种情况讨论，结合分离参数法以及导数法求出

实数。的取值范围；

(3)求导，分析可知，函数g'(x)在(。,+“)上有两个不等的零点，利用二次方程根的分布

求出。的取值范围，结合韦达定理可得出g(%)+g(X2)=alna-a-2,其中然后

利用导数分析函数租(a)=alna-a-2在(0,1)上的单调性，即可证得结论成立.

【详解】(1)当a=l时，〃尤)=gx?+lnx,该函数的定义域为(0,+巧，f'(x)=x+i->0,

所以，函数/'(%)在(0,+2上为增函数，

因为:一1<。，/(1)=|>0,贝⑴<0,

由零点存在定理可知，函数“力在区间内存在唯一零点，

所以，函数/'(%)在定义域内存在唯一零点.

(2)因为/'⑴=；>0,

1丫2

当x>l时，则lnx>0,由/(1)=—%2+。1口%>0可得〃>-----,

221nx

令g(x)=-Jp其中X>1,则g，(x)=W令g'(x)=0可得x=&，列表如下:

(1,回金(五,+00)

g'(x)+0—

8(尤)增极大值减

答案第10页，共15页

所以，函数g(尤)在(LG)上单调递增，在(6,+8)上单调递减,

所以，^(^)max=^(^)=-e,贝！|a>-e；

1丫2

当0<%<1时，贝Ulnx<0,由—+。111%>0可得〃<------

221nx

v2x(l-2\nx]

令g(x)=-乐，其中0<x<l,则g(x)="[n尤)2>0对任意的x«0，l)恒成立,

所以，函数g(x)在(。,1)上为增函数，且当0<x<l时，g(x)=一——>0,此时，a<0,

21nx

综上所述，实数。的取值范围是(Y,0].

(3)因为8(％)=/(%)-2%=3%2一2%+〃111%,其中%>0,

../x-ax2-2x+a

则mig'(x)=x_2+_=--------，

XX

因为函数g(x)有两个极值点，则函数g'(%)在(0,+8)上有两个不等的实根,

A=4-4«>0

贝I卜尤]+尤2=2>0,解得0<a<1,

尤也=a>0

所以，g(xj+g(x2)=(；尤；-2%]+-2x2+alnx2

+犬2)一~xtx2-2(%+x2)+«In)=2-a-4+alna=alna-a-2,

令/"(a)=alna-a—2,其中0<a<l,贝！|加(a)=lna<0,

所以，函数制。)在(0」)上单调递减,则双a)>9⑴=-3,故8&)+8(凡)>-3.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

⑴直接构造函数法:证明不等式〃x)>g(x)(或/(x)<g(")转化为证明/(x)-g(x)>0

(或f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数。%)=/(x)-g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函

数.

2,2

18.(1)—+^=1

43

(2)4A/7

答案第11页，共15页

(3)空

4

c1

【分析】(1)根据面积和离心率得2必=46和上=即可求解；

(2)设A(2cos0,6sin，)，ee,，5］，所以矩形4qG〃的周长为

21A4|+2|4〃|=477sin(e+9),其中tanp=半，利用三角函数的性质得到矩形44GA

的周长最大值；

(3)联立直线与椭圆方程得到韦达定理，根据三点共线可得心己=上近，即=

西x0x2xQ

化简可得E(LO)为定点，即可利用三角形面积关系得表达式，结合基本不等式求解最值.

【详解】(1)设椭圆C的长半轴长为。，短半轴长为6,半焦距为J

由已知，£=《，即。=三，又62+02=6,所以62=3/b=&,

a2242

由2a6=4/可得：岛2=46，所以°=2,b=s/3,

22

因为C的焦点在X轴上，所以C的标准方程是工+匕=1；

43

⑵如图，设A(2cosa氐in，)，

由对称性可知，|A4|=4cosaHR|=26sine,

所以矩形AAGA的周长为2|4可+2|ADj=8cose+46sine=4Ssin(e+0),

其中tane=~~，

故当6+9=］时，矩形的周长取得最大值，最大值为4有.

(3)设直线/的方程为x=(y+4(rw0),代入椭圆方程，得3(。+4)2+4>2=12,

即（3/+4）,+24“+36=。设点A（%,3）,3区%），

答案第12页，共15页

因为点良。关于X轴对称，则。（孙-女）.设点E（题,0）,

因为三点共线，则须E=^E，即」

即X（尤2-%）=一%（毛一毛），即+%%=%（%+%），

_型，+必再_必（佻+4）+%（?|+4）_2》％+4（%+%）

付玉）=---------=--------------------=----------------

%+%%+%M+%

2以为42/X36.1

=力/2+4=----------+4=1.

M+%24f

所以点E（l,0）为定点，|EM|=3,

2

S”ABE=-S«BME\=^\EM\-\yl-y2\=^（yl+y2）-4yty2

_3If24tY4x3618V?2-4

一引13”+4）-3/+4-3产+4•

_____18x_18x_18<9_3如

令J产一4=尤（尤>0）,则“二一3e+4）+4-3/+16-3x+3-L16-4.

xV%'T

当且仅当苫=逋时取等号，所以珥的面积的最大值为述.

34

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的

等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用己知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的

取值范围.

答案第13页，共15页

19.(1)1,2,3,7；1,2,6,7；1,3,5,7；,1,5,6,7.

⑵证明见解析；

(3)13.

【分析】(1)由所给信息，找到满足题意的数列即可；

(2)即证明存在无穷多个整数4,使l+4+d能被3整除；

(3)将正整数集合按被3除余数分为3类，分类讨论％所属集合，确定。2,