二次函数压轴题型专训（13大题型65道）解析版-2024-2025学年北师大版九年级数学下册

二次函数压轴题型专训（13大题型65道）

Q题型目录

旨【题型目录】

题型一二次函数图象与各系数关系

题型二二次函数的图象与性质压轴题

题型三二次函数中的最值

题型四二次函数中平移问题压轴

题型五二次函数与方程、不等式压轴

题型六二次函数的存在性问题

题型七二次函数含参应用

题型八二次函数的翻折对称问题

题型九二次函数中的“倍角”关系问题

题型十二次函数中特殊角度关系问题

题型十一铅垂高、水平宽求面积最值

题型十二二次函数与三角函数综合

题型十三二次函数与相似综合

心经典例题

41经典例题一二次函数图象与各系数关系】

1.（24-25九年级上•浙江湖州•期中）已知二次函数y="2+6x+c（aw0）,图象的一部分如图所示，该函数

图象经过点（-2,0）,对称轴为直线x=对于下列结论：①而c<0；②2a+c=0；@am2+bm<^a-2b）

（其中④若4（久i，%）和B（%2,>2）均在该函数图象上，且玉>工2>1,则必>%其中正确结论的个数

共有（）

C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是关键.

根据抛物线与x轴的一个交点(-2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点(1,0),利用待定系数

法得到b=a,c=—2a，再根据抛物线开口方向向下，即可判断②正确，①错误，根据

am2+bm=am2+am=a|—.a（Q—26）=一2a）=—4a，Q<0,加0一］，可以得至U

2

aI<0,从而得到③正确；根据抛物线的增减性可以判断出④错误，问题得解.

【详解】解：•••抛物线的对称轴为直线x=且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0),

.•・抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1,0),

4a-2b+c=0b=a

把(一2,0),(1,0)代入了=。/+瓜+。(4*0),可得:i=0，解得

c=-2a'

2a+c=0,故②正确;

••・抛物线开口方向向下,

••・Q<0,

b=Q<0,c--2a>0，

abc>0,故①错误;

21111

am2+bm=am1+am=am+~|W（"2b）=a（"2a）=7,

2

2

•••am+bm—；（Q—2b）=am+~

「1

乂m手——

2

2

a<0,

即加2+加?-2b）（其中故③正确;

••・抛物线的对称轴为直线x=-;，且抛物线开口朝下,

.•.当时，了随x的增大而减小,

•••X]>x2>1>-1,

•,・必<%,故④错误,

故选：B.

2.（2024九年级上•全国•专题练习）二次函数了="2+瓜+《。/0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线

x=-；,且与x轴的一个交点坐标为（-2,0）.下列结论：①abc>Q；②a=b；③a-b+c>0；④关于x

其中正确结论的个数是（）

D.4个

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断。与0的关系，由抛物线与y轴的交

点判断c与0的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图

象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键.

【详解】解：由题意，由图象可得，a>0,c<0,

・••对称轴为直线》=

b1

2a2

：.b=a>0,

abc<0,故①错误，②正确;

又由图象知，当％=—1时，y<0,

.■-a-b+c<0,故③错误；

•••二次函数y=ax2+bx+c与无轴有两个不同的交点，

二关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故④正确，

综上，正确的有：②④.

故选：B.

3.（23-24九年级上•江苏徐州•阶段练习）已知二次函数了=肉+瓜+4分0）的图象如图所示，有下列5个

结论：①abc>0；②b-a>c；③4a+2b+c>0；④3a>c；（5）a+b>m（am+b^（加wl的实数），其中结

A.①②③B.②③⑤C.②③④D.③④⑤

【答案】B

【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题

的关键；由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断。与0的关系，然后根据抛物

线对称性和最值进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】解：①；开口向下，

:.a<0,

•••图象与y轴的交点在正半轴，

/.c>0,

•・•对称轴为直线x=l,

--—>0,

2a

b>0,

abc<0,

故①不正确；

②当x=—l时，y=a-b+c<0,

:.b-a>c9

故②正确；

③由对称性知，当x=2时，函数值大于0,

y=4a+2b+c>0,

故③正确；

（4）va<0,c>0,

3a<c,

故④不正确；

⑤当x=l时，y取得最大值，最大值为y=a+6+c,而当x="时，y=am2+bm+c,

所以a+b+c>am2+bm+c[m丰1）,

故a+6>am2+bm，

即a+6>m（am+b^,

故⑤正确.

故②③⑤正确.

故选：B.

4.（24-25九年级上•湖北宜昌•期中）如图是二次函数了=办2+8+。图象的一部分，其对称轴是直线

x=-l,且过点（-3,0）,有以下结论：①Mc>0；②4a+26+c>0；③a-6+c4"z（a〃2+6）+c（%为任意

实数）；④若方程。（％+3）（1-力=-1的两根为X1，尤2，且菁<马，则⑤5a>6,其中说法

正确的有

【答案】②③⑤

【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解二次函数的开口方向，对称轴，与坐

标轴交点的关系等知识.

根据抛物线开口方向、对称轴、与了轴的交点可对①⑤进行判断；根据抛物线的对称性可知X=2时，

y>o,可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；根据函数与方程的关系可对④进行判断.

【详解】解：..・抛物线开口向上，

:.a>0,

•••抛物线对称轴为直线x=-3=-1,

2a

.\b=2a>0,贝5。=5。-2a=3。>0,

5a>b,所以⑤正确；

抛物线与了轴的交点在％轴下方，

c<0,

abc<0,所以①错误；

V抛物线对称轴是直线%=-1,且过点（-3,0）,

抛物线过点（1,0）,

x=2时，>>0,

4a+2/?+c>0,所以②正确；

••・抛物线的对称轴为直线x=T,

.•.当X=-1时，y有最小值，

:.a-b+c<am2+bm+c（加为任意实数）,

贝iJa-6+c4a（G«+6）+c,所以③正确；

；方程。（x+3）（l-x）=-l即a（x+3）（x-l）=l的两根为X1,%,且王<工2，

抛物线与直线>=1有两个交点（外,-1）,（x2,-l）,

由图象可知项<-3<l<X2,所以④错误.

故答案为：②③⑤.

5.（24-25九年级上•福建厦门•期中）已知抛物线+bx+c（a,b,c是常数）开口向下，过

3

/（-1,0）,2（私0）两点，且1<相<2.下列四个结论：①6<0；②若〃?=],则3a+2c=0；③若点M

01，%），N（%2，y2）在抛物线上，西<马，且为+马>1,则％<%；④当时，关于x的一元二次方程

◎2+bx+C=l必有两个不相等的实数根.其中正确的是.（填写序号）

【答案】②③④

【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象的对称性，

增减性，二次函数与无轴的交点，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.

根据二次函数图象开口向下，即。<0,对称轴直线为X=-=-二，且1<加<2可判定①；根据二次函

数对称轴直线的计算方法，图象过点”（-1,。）的知识结合可判定②；根据题意可得点初到对称轴的距离小

于点N到对称轴的距离，图象开口向下，由离对称轴越远值越小可判定③；根据二次函数图象的性质，一

元二次方程根与系数的关系可判定④；由此即可求解.

【详解】解：抛物线了=办2+/+。（a,b,c是常数）开口向下，

，Q<0,

•・•二次函数图象过4-L0）,5（加,0）两点,

・••对称轴直线为X==依=-白,

22a

1<m<2,

-1+mb八

------=---->0,

22a

•,•/>>0,故①错误；

若加=g,则”|,0）

•••^（-1,0）,

・・・对称轴直线为丫_—1+2—_1，即一b白=：1，

X=~r=^2〃4

:・b=-巴,

2

把/（-L0）代入抛物线得，a-b+c=0,

a.

dFC—0,

2

.•.3Q+2C=0,故②正确；

•••抛物线V=办2+乐+。（a,b,。是常数）开口向下，过4一1,0）,5（加,0）两点，且1<加<2,

h—1+in

・・•对称轴直线为X=-二=一二二，

已知点N(%2，V2)在抛物线上，%1<々，且西+尤2>1,

・•・点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，图象开口向下，

・•・%>%，故③正确；

已知抛物线>="2+法+。(〃，b,。是常数)开口向下，过4-1,0),5(冽,0)两点,

・•・设抛物线解析式为：y=a[x+\)(x-m),

令Q(X+1)(X-加)=1,整理得，ax2+a(l-m^x-am-l=0,

A=[Q(1—加)]2-4Q(-Q/-1)=Q2(m+1)2+—,

1<m<2,a<-\,

△=-4a(-am-l)=a2(机+1)~+—>0,

••・关于x的一元二次方程办2+6x+c=l必有两个不相等的实数根，故④正确.

综上所述，正确的有②③④，

故答案为：②③④•

41经典例题二二次函数的图象与性质压轴题】

6.(24-25九年级上•安徽滁州•期中)在平面直角坐标系xQy中，点尸(-2,5)在二次函数V=凉+反+5(g0)

的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线X=.

(1)求m的值；

⑵若点。(3加,2)在了=办2+队-3的图象上，当0<x<3时，求该二次函数的最大值与最小值.

【答案】(1)%=-1；

⑵二次函数的最大值为22,最小值的为-3.

【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；

(1)点尸(-2,5)在二次函数？=江+加：+5("0)的图象上，得到4°-26+5=5,解得6=2。，则二次函数的

解析式为y=a/+2办+5,根据对称轴x=-二求解即可；

(2)求出a=g,b=2a=g,得到抛物线的解析式为了=1/+gx-3=去工+吁-g,再根据二次函数

的性质分别求出最大值与最小值即可；

【详解】(1)解：•・,点尸(-2,5)在二次函数歹=加+bx+5(a。0)的图象上，

.•・4。-26+5=5,解得6=2。，

・•・二次函数的解析式为歹="2+2"+5,

・••对称轴为直线X=-1£=7,

2a

m=—1；

(2)'：m=-\,

・・・点。(3加,2)即为点(-3,2),

•・•点。(-3,2)在>=分+及—3的图象上，b=2a,

.'.9a-6a-3=2,解得。=g，

/.b7=2ca=——10，

3

51o5°14

・•・抛物线的解析式为歹=：l2+£、-3=：('+1)2—1，

・•・抛物线开口向上，抛物线对称轴为x=-l,当x>-1时，V随着X的增大而增大，

,•<0<x<3,

.♦.当％=0时，函数有最小值，最小值为-3,

514

当x=3时，函数有最大值，最大值为?3+10)2-?=22,

・•・二次函数的最大值为22,最小值的为-3.

7.(21-22九年级上•安徽马鞍山•期末)已知抛物线〉=X2+蛆+〃，点〃(1,_2)在抛物线上.

(1)求几与m之间的关系式；

33

(2)若当一/Wx<2时，抛物线歹=12+加工+〃有最小值一3,求〃与加的值.

【答案】(1)〃=—3—加

93

(2)m=0,〃=一3或加=—,n=~

22

【分析】本题考查二次函数的最值、一次函数等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学

会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型.

(1)把点M代入即可解决问题.

(2)分三种情形①当-gw-],②当③当分别列出方程解决问题.

【详解】(1)解：•・•点/(1,-2)在抛物线歹=%2+加x+〃上

:.-2=].+m+n,

：.n=-3-m

(2)解：・-y=(x+野-号-加-3,

24

①当—5■工一5时，则冽23,

3,。

=-2时，歹=一3,

93。。

----m-m-3=-3,

42

9

:.m=——

10

,/m＞3,

Q

，加=而不符合题意，

“3m3.m.

②当一5＜一,5时，彳=一弓时，＞=-3o,

?.——1m2—m—5r=—3r,

4

「•机=0或一4.

%=—4不符合题意，

m=0,

aa

③当一5＞5时，x=,时，歹=一3，

93

+

4-2-m-3-m=-3,

9

m=——.

2

、93

综上所述：m=0,〃=-3或加=一不，n=-.

8.(24-25九年级上•云南昆明•期中)如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的

点，简称定点.比如点(1,3)就是一个定点.对于一次函数＞=履-左+3(左是常数，由于

y^kx-k+3=k(x-\)+3,当x-l=0即x=l时，无论上为何值，了一定等于3,我们就说直线＞=日一4+3

一定经过定点(1,3).

设抛物线》=机工2+(2-2机)x+加-2(加是常数，加*0)经过的定点为点Z),顶点为点P.

(1)求抛物线经过的定点D的坐标；

(2)是否存在实数加，使顶点尸在x轴上?若存在，求出加的值；若不存在，请说明理由；

(3)当〃时，在>=履+3的图象上存在点。，使得这个点到点P、点。的距离的和最短，求上的取值范

围.

【答案】(1)(1,0)

(2)不存在，理由见解析

⑶-34左

【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，含参数的二次函数问题的求解等知识点，结合二次函数

的图象探究函数图象经过的定点以及定点对函数自变量取值范围是解题的关键.

(1)将抛物线的解析式进行整理得丁=加，+(2-2m)x+机-2=机卜-l『+2(x-l),可得“定点。”的坐标为

(1,0)；

(2)卞艮据4℃一〉=4加(加一2)一(22加J判断即可;

4a4mm

(3)先求出P(3,2),再根据>=履+3的图象上存在点。，使得这个点到点尸、点。的距离的和最短，得

点尸、。、。三点共线，从而根据当〉=履+3过点尸(3,2)和〉=依+3过点。(1,0),即可求解左的取值范围

为一3V发〈一；.

【详解】(1)解：y=mx2+(2—2/77)x+/n-2=777(x-l)'+2(x-l),

当％-1=0,即x=l时，y=0,

・•.无论加为何值y一定等于0,

••・抛物线一定过定点(1,0).

0(1,0).

故答案为：(1,0)；

(2)解：不存在，理由如下：

抛物线了=加/+(2-2加卜+〃?-2的顶点尸在》轴上，

.4ac-b24m（m-2）-（2-2m）21

•,---------------------------------------=-----w0，

4a4mm

二不存在实数加，使顶点尸在X轴上；

（3）解：•.・当加=_g时，y=-1x2+3x-|=-1（x-3）2+2,

”P（3,2）,

•••£＞（1,0）,在〉=履+3的图象上存在点。，使得这个点到点P、点。的距离的和最短，

•••点尸、。、。三点共线，

・・・。在直线V=依+3上，

二当产区+3过点尸（3,2）时得,

2=3左+3,

解得上=一，

当》=履+3过点。（1,0）时得，

0=左+3,

解得a=-3,

k的取值范围为-3

9.（24-25九年级上•北京丰台•期中）在平面直角坐标系xQy中，点尸（西，必）,0（%,%）为抛物线

y=ax2-2ahx+ah2+1（。*0）上的两点.

（1）当力=1时，求抛物线的对称轴；

⑵若对于0＜玉（2,/2+4＜/＜〃+5都有必2%,求〃的取值范围.

【答案】⑴直线x=l

（2）当。＞0时，力的取值范围为力＜-5或当。＜0时，//的取值范围为-2＜/z＜4

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和抛物线的对称轴，熟练掌握二

次函数的图象与性质是解题关键.

（1）将力=1代入解析式，然后将二次函数的解析式化为顶点式求解即可得；

（2）根据题意分两种情况讨论：。＞0和。＜0,利用二次函数的性质分别列出不等式（组）求解即可得.

【详解】（1）解：当力=1时，抛物线的表达式为y=-2ax+a+l,

y=—+\,

抛物线的对称轴为直线x=l.

(2)解：,抛物线>="-20桁+/+1=+1(。.0)的对称轴为直线x=〃，且点。(马，％)

(〃+4<々4〃+5)在此抛物线上，

•・•点。仁，%)一定在对称轴的右侧，x=/z-4时的函数值与x=〃+4时的函数值相等，x="5时的函数值

与x=〃+5时的函数值相等，

由题意，分以下两种情况：

①当。>0时，若点尸在对称轴的右侧，

要使对于04X］42,6+44x24人+5者B有%，

贝IM+5V0,

解得h<-5

若点P在对称轴的左侧，

要使对于OWX1V2,〃+4W无2<〃+5者B有必2%,

贝W522,

解得力27；

②当"0时，

要使对于04X1W2,6+4Mx24〃+5都有必2%,

仇+422

则］〃-4V0'

解得—2<//<4,

综上，当。>0时，场的取值范围为"4-5或力》7；当。<0时，力的取值范围为-2V/ZW4.

10.(24-25八年级上•北京西城•期中)在平面直角坐标系X0中,已知8(%，%)是抛物线

y=af-2ax+c(a>0)上的两个点.

(1)求该抛物线的对称轴；

(2)若对于-2<尤］<-1,2<x2<3,都有必%<0,求证：3a+c=0；

⑶若对于再=加-4,加<尤2<加+1,都有%>%>c,求加的取值范围.

【答案】(1)抛物线的对称轴X=l;

(2)见解析；

(3)V-1或2W加4g.

【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键.

(1)根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；

(2)设点B(%2，y2)关于对称轴的对称点为8'(无2,，％)，由抛物线的对称轴X=1,2<x2<3,得

由点A,夕在对称轴左侧，a>0,且-2<占<-1<%'<0，根据二次函数性质，x<l时，了随工的增大而

减小，则则当x=T时，V=0,代入即可求解；

(3)由。>0,则对称轴x=i右侧，了随尤的增大而增大；对称轴x=i左侧，了随x的增大而减小，故点

/(加-4,必)在直线》=1左侧，其对称点为(6-加,乂)，然后分①当点8(%242)在直线x=l右侧时，②当点

B(X2，V2)在直线x=1左侧时两种情况分析即可.

【详解】(1)解：抛物线的对称轴》=-『=1；

2a

(2)证明：设点8(X2,%)关于对称轴的对称点为5'(x；，%)，

,•,抛物线的对称轴x=1,2<x2<3,

f

-1<x2<0

•.•点A,夕在对称轴左侧，a>0,且_2<%<-1<"<。，

根据二次函数性质，x<l时，随x的增大而减小，

•••%>%，

1•,必力<°，

；.%>(),y2<0,

二当x=-l时，y=0,

把(-1,0)代入解析式得3“+c=0；

(3)解：”>0,

・•・对称轴％=i右侧，v随工的增大而增大；对称轴％=1左侧，y随1的增大而减小，

Vo<1,

••・点（0,C）在直线X=1左侧,其对称点为（2,c）,

•・•西二加一4,m<x2<m+1,

：.xx<x2,

・•・点4（加-4,%）在直线％=1左侧,其对称点为（6-m,%）,

[6-m>m+1

|m>2

解得：2<m<|；

X=1

m+1<0

解得加<—1,

综上：m<-1^2<m<-|.

41经典例题三二次函数中的最值】

11.(24-25九年级上•河北唐山•期中)规定1：一个点/(x,y)纵坐标y与横坐标X的差“y-x”称为点A的“纵

横值”.

例如：点/。,3),则它的“纵横直'为3-1=2.

规定2：若点/(xj)是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优

纵横值”.

例如：点/(x/)在函数V=2x+l(3WxV6)图象上，图象上所有点的“纵横值”可以表示为

y-x=2x+l-x=x+l,当3VxW6时，x+1的最大值为6+1=7,所以函数了=2x+l(3VxV6)的“最优纵横

值”为7.

根据规定，解答下列问题：

⑴点8(-6,2)的“纵横直，为；

(2)若二次函数了=--+加+，的顶点在直线x=5上，且最优纵横值为5,求c的值；

⑶若二次函数了=f2+(2b+l)x-62+3,当TWx44时，二次函数的最优纵横值为2,求6的值.

【答案】(1)8；

(2)c的值为4；

(3)6的值为-2或5.

【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数

的图象及性质，学会二次函数求最值的方法，理解最优纵横值的定义是解题的关键.

(1)根据纵横值的定义直接求解即可；

(2)由抛物线的对称轴公式尤=-/可以求得6=3,得到二次函数的解析式为y=-f+3x+c,再通过配

方法得到y-x=-(x-iy+c+l,结合函数的最优纵横值为5,得到c+l=5,即可求解c的值;

(3)先得到二次函数的纵横值为y-x=-(x-b)2+3,再令w=-(x-b)2+3,则由题意得：当TWxW4时,

卬的最大值为2,再分类①6<-1；@-1<6<4；③6>4,讨论3种情况即可求解6的值.

【详解】(1)解：•••点8(-6,2),

.・.它的“纵横直'为2-(-6)=8.

3

(2),・,>n—V+bx+c的顶点在直线x=5上，

•b-3

解得：b=3,

.二二次函数为y=-%2+3x+c,

，二次函数纵横值为歹一工=一工2+2x+c=-(x—l)2+c+l,

当x=i时，v-x有最大值。+1,

又・.•歹=—工2+3x+c的最优纵横值为5,

c+1=5,

解得：。=4,

•・・。的值为4.

(3)二次函数纵横值为y-x=-、2+2&一〃+3=一(%—4+3,

令w=-(x-6)2+3,则由题意得：当-10x04时，w的最大值为2,

下面分3种情况讨论：

①若6<-1,

当％=-1时，鼓的最大值为一(一1一6)2+3,

.(-1-b『+3=2,

解得：4=0也=-2,

•/0>-1,

•二舍去b=0,

:.b=—2；

②若-1V6W4,

当x=b时，w的最大值为3〉2,

无解；

③若6>4,

当％=4时，w的最大值为-(4-bp+3,

.•.-(4-"+3=2,

解得：。=3也=5,

・・・3<4,

•e•舍去6=3,

**-b=5；

，综上所述，b的值为-2或5.

12.(24-25九年级上•江苏盐城•期中)已知抛物线y=/+2ax+a-5

(1)①抛物线的对称轴为直线x=;(用含a的代数式表示)

②若x>3时，始终有y随着x的增大而增大，求。的取值范围；

(2)若。=2时，抛物线经过点/(加-1,必),8(刃+2,%),试比较必和力的大小，并说明理由；

(3>的最小值随着a的变化而变化，求函数值y的最小值中的最大值.

【答案】⑴①-。；②心-3；

(2)当〃?=一5时，%=必；当%>一,时，y2>yl；当”?<-g时，y2VM；

19

(3)函数值了的最小值中的最大值为.

【分析】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识，运用分类讨论思想

是解题关键.

(1)①利用抛物线对称轴公式即可求解；②由题意得在对称轴直线x=r右侧，始终有y随着x的增大而

增大，据此列式计算即可求解；

(2)将点机-1,%),8(刃+2,%)代入，用机表示出％和%的值，再求差，分类讨论求解即可；

(3)配方得y=(x+a)2-a?+"5,当x=-a时，,取得最小值，最小值为_/=-/+。-5,再配方，利

用二次函数的性质求解即可.

【详解】(1)解：①对于抛物线y=/+2ax+a-5,对称轴为直线x=-年=-。，

故答案为：

②;T>。，抛物线的开口向上，

・•.在对称轴直线x=-a右侧，始终有夕随着x的增大而增大，

•••X=-Q«3,

・,•a>-3；

（2）解：当〃=2时，抛物线为y=M+4x—3,

将点Z（加—1,必）,8（加+2,%）代入得，

22

%=（加一+4（加一1）一3=加2+2加一6,y2=（m+2）+4（m+2j—3=m+8m+9,

y2—yx=（加之+8加+9）_（加2+2加—6）=6m+15,

当6机+15=0,即冽=一万时，%=%；

当6加+15>0,即加>一/时，％〉外；

当6加+15<0,即加<—j时，为<必；

（3）解：配方得y=、2+2"+々一5=（X+Q）2一〃+〃一5,

vl>0,抛物线的开口向上，

.•.当％=一〃时，y取得最小值，最小值为了=—/+。一5,

由于V随。的变化而变化，

酉己方得了=_Q2+Q_5=_[Q_：）—?，

v-l<0,抛物线的开口向下，

11Q

二当时，了取得最大值为

1Q

答：函数值V的最小值中的最大值为

13.（24-25九年级上•湖南衡阳•阶段练习）如果关于x的一元二次方程办2+8+。=0（270）有两个实数根,

且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程无2+工=0的两个根是

々=0,%2=-1,则方程/+苫=0是“邻根方程”.

⑴通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①X2-X-6=0；②d-氐+1=0.

⑵已知关于x的一元二次方程X?-（左-3）x-3后=0"是常数）是“邻根方程”，求左的值.

(3)若关于％的方程加/+加+2=0(m,〃是常数，相＞0)是“邻根方程"，令£=/—4加2,试求，的最大值.

【答案】(1)①不是，②是

(2)左=—2或左=—4

16

⑶了

【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程''的定

义，

(1)根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根,再计算两根的差是否为1,从而确定方程是否为“邻

根方程”；

(2)先解方程求得其根，再根据新定义列出关于左方程，注意有两种情况；

(3)根据新定义得方程的大根与小根的差为1,列出加与〃的关系式，再由/=〃2一4/，得/与加的关系,

化简即可.

【详解】(1)解：①解方程一一苫一6=0得：%=3,%=-2,

•••3-(-2)=5,

，_无一6=0不是“邻根方程”；

②解方程尤2-&x+l=0得：再="+1,x2=—―-,

22

..Vs+1Vs—1

•-------------------=1,

22

/.x2-＞/5x+1=0是"邻根方程”;

(2)解：由方程X?—(左一3)x—3左=0得(x+3)(x—左)=0,

解得：X]=k,x2=-3,

由于方程M—(左一3)x—3左=0是“邻根方程”，

贝1]左一(一3)=1或一3—左=1,

解得左=-2或左=-4；

(3)解：解方程mx2+〃x+2=0得：x=~n~~~，

2m

;关于x的方程加工2+内+2=0(加，〃是常数，加＞0)是“邻根方程”,

.-n+-n-

,-------------------------------------------=1,

2m2m

整理得n2=m2+8m，

vt=n2-4m2,

416

t=-3m72+8m=一3(加一y)92+—,

当冽=:时，/有最大值

14.(24-25九年级上•江西新余•阶段练习)数形结合是解决数学问题的常用方法.例如：若x为实数，求式

子-4x+13的最小值.解法一■:设了=x、4x+13=(x-2)2+9.则当了的值最小时，式子-4x+13

的最小值，由二次函数的性质知了的最小值为9,故式子-4x+13的最小值为3.

解法二：6—4X+13=J(x-2>+9=J(x-2)2+(0-3)2,该式子的值可以看成是平面直角坐标系中x

轴上一点4x,0)与点3(2,3)间的距离,因此当AB1x轴时,点、A、B间的距离最短且为3,；.式子正一以+13

的最小值为3.

(1)式子J,-2x+5的最小值是

(2)式子-2x+5+&-6x+25表示平面直角坐标系中x轴上一点A(x,O)到点3(1,2)、C(3,4)的距离之和,

该式子的最小值为二

(3)如图，Rt4/BC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,点、D,E分别在边2C,AC±,连接AD,BE,若

AE=CD=x,求/D+AE1的最小值，并直接写出此时x的值.

A

匕

BDC

【答案】(1)2

(2)2710

25

(3)40+8E最小值为扃，》=/

【分析】(1)根据解法一*设y=/-2x+5=(x-iy+4,根据二次函数的性质求得V的最小值为4,据此

求解即可；

(2)先把原式化为J(x-4+22+J(x-3)2+4”的形式,再根据材料结论即可得出结果；

(3)作8厂工/C于点尸，由勾股定理结合等积法求得跖和/月的长，再利用勾股定理求得

AD+BE=，再根据材料结论即可得出结果，利用待定系数法求得直线B'C

的解析式，据此可求得x=£.

9

【详解】(1)解：设y=x2—2x+5=(x-l『+4.

则当了的值最小时，式子Jf_2x+5的最小值,

<Q=1>0,

.•・当％=1时，歹的最小值为4,

故式子J/-2工+5的最小值为2；

故答案为：2；

(2)解：Vx2-2x+5+Vx2-6x+25

=^(X-1)2+22+^(X-3)2+44，

如图，建立平面直角坐标系，点4x,0)是x轴上一点，

则+2?+J(x-3)2+4“可以看成点4羽0)到点8(1,2)、C(3,4)的距离之和，就是求/B+/C的最小值.

作点8(1,2)关于x轴的对称点为*(1,-2),则48=AB'，

因此，求HB+/C的最小值，只需求+的最小值，而点B、C间的线段距离最短，所以4B'+NC的

最小值为线段"C的长度.

为此，构造直角三角形C8'。，因为2'。=3-1=2,CD=4+2=6,

所以夕。=2而，即原式的最小值为2所.

故答案为：2^/16;

(3)解：作AF/NC于点尸，

AC=A/32+42=5，

S,ABC=^ABXBC=^ACXBF,即3x4=58尸，

;.BF=*AF=^AB2-BF2=|,

•；AE=CD=x,

9

BD=4—x,EF=m-x,

A.D+BE-

可以看成点4羽0)到点3(4,3)、C的距离之和，就是求/B+NC的最小值.

无轴的对称点为夕(4,-3),^AB=AB',

因此，求/8+4C的最小值，只需求N*+/C的最小值，而点Q、C间的线段距离最短，所以/Q+/C的

最小值为线段"C的长度.

同理,=用，即原式的最小值为扃.

设直线B'C的解析式为y=kx+b,

一3=4左+b

由题意得《U3”解得

I55

・•・直线"c的解析式为》=-五x+y,

当好。时，一27丁+7石5=（）,

解得％=胃25.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，勾股定理，二次函数的性质.解答此题的关键是根据题中

所给的材料画出图形，再利用数形结合求解.

15.（24-25九年级上•广东广州•阶段练习）已知关于x的函数了=（左-2）尤2-3AX+5E,其中。为实数.

⑴若函数经过点（1,7）,求左的值；

⑵若函数图像经过点（1,M,（2,n）,试说明加"2-9：

⑶已知函数必=-2/-6-1,当24x43时，都有了2%恒成立，求人的取值范围.

【答案】（1）3

（2）见解析

⑶'"一g

【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握恒成立问题转化为最值问题时解决本题的关键.

（1）将（L7）代入>=（左-2）/_36+5上得到关于左的方程，解方程即可;

（2）将点（1,加），（2,〃）代入〉=体一2）/_3依+5左，贝｝|〃机=（3k-2）（3左-8）=9后2-30左+16=（3k-5）2-9,

即可求证心*W-9；

2

（3）当2<x<3时，都有>2%恒成立转化为了-必20恒成立，y-yi^kx-2kx+5k+l,令

t=kx2-2kx+5k+1,即当2Wx<3时，恒成立，即第n20成立即可，分类讨论，k=Q,k>0,k<0,利

用函数的增减性进行分析即可.

【详解】（1）解：若函数经过点（1,7）,

将（L7）代入y=（k-2）x2-3kx+5k

得：k-2-3k+5k=~l,

解得：左=3；

（2）解：•.•函数图像经过点（1,M,（2,n）,

二将点（1,机），（2,〃）代入y=（左-2）/-3丘+5左

得：加=左一2—3k+5k-3k—2，

n=4（左一2）—3kx2+5k—3k—8,

mn=（3左一2）（3左一8）=9左2—304+16=（3左一5『一9,

•••（3^-5）2>0,

...mn>—9；

(3)解：当24xW3时，都有了2乂恒成立转化为了一乂20恒成立,

y——(k_2)12_3kx+5k—(_2x2_kx_1)=kx?_2kx+5k+1,

令£=履2一2h+5左+1,即当2KxW3时，此0恒成立，

①当左=0时，％=120在2Wx43范围内恒成立，故符合题意；

②当后w0时，可求对称轴为直线x=l,

当左〉0时，由于0<2Vx«3,

・•・在2KxK3范围内，V随着工的增大而增大，

故%20在24xW3范围内成立即可，

.,・当％=2时，％min=4左一4左+5左+120,

解得：左之-!，

.•.左〉0；

当左<0时，由于0<2Wx43,

・•・在范围内，歹随着了的增大而减小，

故。20在24x43范围内成立即可，

・•・当X=3时，4nin二9左一6左+5左+1之0,

解得：k>-\,

O

—《左<0

8f

综上所述，kN-：.

O

A［经典例题四二次函数中平移问题压轴】

16.（24-25九年级上•山东济宁•阶段练习）已知抛物线£：了=（工-1）2-4和。2：了=/

（1）如何将抛物线G平移得到抛物线G?

4

（2）如图，抛物线G与x轴正半轴交于点/,直线y=+b经过点/,交抛物线Q于另一点5,交了轴于

点C.请你在线段42上取点P,过点尸作直线尸。〃了轴交抛物线G于点。，连接N0.

①在抛物线G的对称轴上是否存在一点使M4+MC最小，若存在，求出M的坐标，若不存在，请说

明理由.

②若/P=/。，求点尸的横坐标.

【答案】（1）见解析

⑵①存在,"[1g];②g

【分析】1）将歹=（%-1）2-4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，即得歹=/；（2）①求出

/（3,0）,代入y=-]X+6求得6=4,得到>=-§x+4,C（0,4）,当点M在NC上时，MA+MC=AC,最

小，当x=l时，尸|,得到河[,：）②设P。交x轴于点M尸[,-白+“，贝lJ0（x,/-2x-3）,根据

41

等腰三角形性质得到PN=QN,得到X2_2X-3-§X+4=0,解得点P的横坐标为

【详解】（1）将G"=（X-1）2-4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到C2:了=Y；

（2）①存在，理由：

当y=（x_l）2_4=0时，

X]——1,=3,

・•・4（3,0）,

4（3,0）代入丁=一：％+6,

4

得0=-y3+6,

••・b=4,

4

...y=--X+4,c(O,4),

当点”在/C上时，

MA+MC=AC,最小，

,•,对称轴为直线x=l,

4,8

y=——xl+4=一,

33

同1,|);

②设PQ交x轴于点N,尸[x,-gx+4

,•y=-1)_4—_2x_3,

Q^x,x2-2x-3),

当4尸=4。时，

-AN±PQf

:.PN=QN,

/.x2—2x—3+(—+4]=0,

解得X=g，或X=3(舍去)，

二点尸的横坐标为:.

【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合.熟练掌握二次函数平移，待定系数法求一次函数解析

式，二次函数与一次函数图象和性质，勾股定理，等腰三角形性质，是解决问题的关键.

17.(23-24九年级上•新疆巴音郭楞•阶段练习)将抛物线弘=2/向右平移2个单位长度，得到抛物线％

(1)求力的函数解析式;

(2)设抛物线外的对称轴交直线N=x于点P,求点P的坐标;

(3)设直线＞=x与抛物线外交于工、2两点，求43两点的坐标.

(4)0点是直线4B下方抛物线上一动点，求面积最大是多少？此时点。坐标是多少？

【答案】⑴%=2(X-2)2

⑵P(2,2)

⑶/厅丁,5了丁

(4”“阳有最大值里Z,此时点。的坐标为：

【分析】本题主要考查二次函数的性质和平移的性质，以及和一次函数的结合.

(1)根据二次函数平移的性质求解即可.

(2)先求出抛物线上的对称轴为x=2,即点P的横坐标为2,由尸点在V=x上即可得出点尸的坐标.

(3)联立y=x和%=2(x-2『方程组求解即可得出48两点的坐标.

⑷根据抛物线解析式设点。(加,2〃/一8加+8),过点。作。N〃y轴交与点N,则N®,句,求得

N0=-2机？+9机-8,即可列出SA”。关于"，的方程，利用二次函数的性质求最值和点坐标即可.

【详解】(1)解：将抛物线％=2,向右平移2个单位长度，得到抛物线外,

贝1]%=2(X-2『=2X2-8X+8

(2)y2=2(x-2)~

••・抛物线y2的对称轴为x=2,

••・抛物线力的对称轴交直线V=X于点尸,

，P（2,2）.

y=%

（3）根据题意联立方程

9+#79-V17

解得：x,X0—

x424

9+V179-717

(9-#79f9+V179+

A,B

44

(4)%=2(x-2『=2——8%+8,

9-V179+V17

设点。（加,2加2—8加+8）----------<m<----------