二次函数易错必刷题型专训（25个考点75题）原卷版-2024-2025学年九年级数学下册

二次函数易错必刷题型专训（25个考点75题）

【易错必刷一二次函数的相关概念】

1.若函数尸（加-3）--3，"+2+蛆+1是关于尤的二次函数，则加的值是（）

A.0B.3C.0或3D.1或2

2.观察：①＞=6x2；®y=-3x2+5；③y=200/+400x+200；（4）y-x3—2x；（5）j=x2--+3—；⑥

一.x2

y=（x+l）2-x2.这六个式子中，二次函数有.（只填序号）

3.已知函数＞=（"-2）x^2+2x-7是关于x的二次函数.

⑴求满足条件的m的值；

（2）判断点-LT1）是否在该二次函数图象上.

【易错必刷二y=ax2的图象与性质】

1.对于y=-2x2的图象，下列叙述错误的是（）

A.图形是轴对称图形

B.对称轴是直线x=0

C.图象的最低点是原点

D.当x＞l时，了随x的增大而减小

2.若点（1/）,（2,%）在抛物线＞上，则%,％的大小关系为：乂%（填“＞或＜”）.

3.已知二次函数y=2一.

（1）点（-1,加）在此函数图象上，求〃？的值；

（2）将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为.

【易错必刷三y=ax2+k的图象与性质】

1.抛物线歹=/+2的对称轴是()

A.直线x=2B.直线x=-2C.直线》=应D.y轴

2.与抛物线y=f2_l顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的解析式是

3.如图所示，抛物线以=-/+加与直线%=2x+〃相交于点A,B.

(1)直接写出实数加，〃的值，并求出点力,8的坐标;

⑵若%>%，请直接写出x的取值范围.

_$【易错必刷四y=a(x-h)2的图象与性质】

1.对于二次函数y=-2(x+l)2,下列说法错误的是()

A.它的图象的开口向下B.它的图象的对称轴是直线x=l

C.当x=-l时，>取最大值D.当x>l时，y随x的增大而减小

2.如果二次函数y=a(x-l)2的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么。的取值范围是

3.已知抛物线y=(x+/)2经过/(T")、8(3,〃)两点.

(1)求抛物线的对称轴；

(2)判断点尸(-1,2)是否在此函数图象上.

【易错必刷五y=a(x-h)2+k的图象与性质】

1.关于二次函数y=(x+l『-4,下列结论不正确的是()

A.开口向上B.x<0时，V随尤的增大而减小

C.对称轴是直线x=-lD.顶点坐标为

2.已知二次函数>=-2(X+1)2+3,当-2<x<3时，函数值》的取值范围___.

3.探究二次函数y=2(x+l)2-3及其图象的性质，请填空：

(1)图象的开口方向是；

(2)图象的对称轴为直线；

(3)图象与y轴的交点坐标为；

(4)当尤为何值时，函数了有最小值，并出求最小值.

【易错必刷六y=ax2+bx+c的图象与性质】

1.已知抛物线y=-f+2x+l,若点(0,弘),(1,%),(3,%),都在该抛物线上,则％,%，%的大小关系是

()

A.B.%<必<%C.%<%<%D.必<%<%

2.已知P(X1,3),。(X2,3)两点都在抛物线y=x2-4x+l上，那么西+9=

3.已知二次函数y=x2-4x+3.

(1)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标;

(2)求二次函数的图象与x轴的交点坐标;

（3）当xWl时，〉随x增大而（填"增大’或“减小”）.

3【易错必刷七顶点式】

1.抛物线了=--8x+ll的顶点坐标和开口方向分别是（）

A.（4,-5）,开口向上B.（4,-5）,开口向下

C.（-4,-5）,开口向上D.（-4,-5）,开口向下

2.已知二次函数y=/+4x+3,当x＞加时，＞随x的增大而增大，则〃z的值可以是（写出一个即

可）.

3.已知二次函数了=2/-4》+6.

（1）将V=2/-4x+6化成y=a（x-〃r+k的形式；

2

⑵抛物线y=2尤2_4x+6可以由抛物线j=2x经过平移得到，请写出一种平移方式.

-31易错必刷八二次函数与一次函数、反比例函数】

1.已知二次函数歹二。/+fox+c（。。0）的图象如图所示，则反比例函数＞二@与一次函数V=在同一平

X

面直角坐标系内的图象可能是（）

2.一次函数了=办+6("0)的图象如图所示，则二次函数？=苏+为+2的图象一定不经过第象限.

3.如图，正比例函数%=x与二次函数竺=--8的图象相交于。(0,0),A(4,4)两点.

⑴求b的值；

(2)当州〈力时，直接写出x的取值范围.

「51易错必刷九二次函数图象与各系数关系】

1.已知二次函数y=办2+fex+c(a/0)的图象如图所示，给出下列结论：①b<0；②2a+b=0；

③4*<心④其中错误结论的个数有()

2.如图，已知二次函数了=办2+瓜+°("0)的图象与工轴交于点/(-1,0),与'轴的交点2在(0,-2)和(0,-1)

（不包括这两点），对称轴为直线X=l.下列结论：①%>0；②4a+26+c>0；@4ac-b2<-4a；④

|<«<1.其中正确结论有.（填写所有正确结论的序号）

3.已知抛物线y=Y+bx+c的顶点在第四象限，请判断6,c的符号并简要说明理由.

【易错必刷十已知抛物线上对称的两点求对称轴】

1.若抛物线了=依2+云+°（。力0）经过/（-1,0）,3（5,0）,则它的对称轴为（）

A.直线x=0B.直线x=lC.直线x=2D.直线x=3

2.已知二次函数y=a/+6x+c的x、y部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为

X-2-1012

y424712

3.二次函数了=办2+瓜+。=0（。*0）中的自变量工和函数值〉满足下表：

X012345

y30-10m8

（1）这个二次函数的对称轴是直线」

（2）m的值为_；

（3）当0<冗<3时，则y的取值范围为

_$【易错必刷十一根据二次函数的对称性求函数值】

1.二次函数了="2+加:+<:（0彳0）的x与y的部分对应值如下表，则当x=4时，y的值为（）

X-i0123

y1510767

A.15B.10C.7D.6

2.如图，抛物线＞=以2+加+以。70)的对称轴为》=-1,点尸，点。是抛物线与x轴的两个交点，若点P

的坐标为(-3,0),则点。的坐标为.

3.已知二次函数y=-x?+6x-5.

(1)求二次函数图象的顶点坐标；

(2)当1«xV4时，函数的最大值和最小值分别为多少？

⑶若点必)，N(5,%)均在该抛物线上，且必＜%，求点M横坐标占的取值范围.

【易错必刷十二二次函数的最值问题】

1.已知二次函数＞=-/+云+。.当x＞l时，函数的最大值为2；当xWl时，函数的最大值为1,则儿=

()

A.-2B.2C.0D.-8

2.已知二次函数y=x2-2x+w(加为常数)，当时，函数值y的最小值为-3,则加的值为

3.已知二次函数y=/-4x+l,当-14x44时，求y的最大值和最小值.

【易错必刷十三二次函数的平移问题】

1.将抛物线y=x2-4的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位，所得的图象的解析式为

y-x2-bx-c,贝！|6+c的值是（）

A.1B.3C.-1D.-3

2.若抛物线y=2/先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶

点坐标是.

3.把抛物线4：y=--2x+l先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线公

(1)请直接写出抛物线4的表达式；

(2)对于抛物线4所对应的函数，当自变量x>-2时，其函数值是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值;

若不存在，请说明理由.

/3【易错必刷十四待定系数法求二次函数解析式】

1.若一个抛物线与抛物线》=-3犬+1的开口大小相同，开口方向相反，且与x轴相交于点(-2,0),(1,0),

则该抛物线的解析式为()

A.y=3(x+2)(x-l)B.7=-3(^+2)(x-l)

C.y=3(x-2)(x+l)D.y=-3(x-2)(x+1)

2.如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数

表达式为.

3.已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过点(0,3),(1,6).

(1)试确定此二次函数的解析式；

⑵-24x43时，求了的取值范围.

【易错必刷十五二次函数与方程】

1.若抛物线了=--2x+4aT与x轴有两个不相同的交点，那么实数。的取值范围为()

111C

A.aN—B.ci<—C.a>—D.Q>2

222

2.如图，一次函数乂=丘+加与二次函数%=加+云+。的图象相交于点4-2,5),8(7,2),则能使

成立的x的取值范围是.

3.已知关于x的二次函数了=2/_(3+左)x+左.

(1)当人=1时，求该二次函数的对称轴和顶点坐标；

(2)求证：对于任意实数比二次函数了=2/-(3+后)x+上的图象与x轴总有两个不同的交点.

J【易错必刷十六二次函数与不等式】

1.函数了=--2》-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使7之1成立的x的取值范围是()

B.-1<x<3

C.%<-1或%>3D.x<-l^x>3

2.如图，直线必=MX+”与抛物线%=必+&+。交于A,8两点，其中点4(2,-3),点3(5,0),当必〉力

时，x的取值范围是

3.抛物线y=x2-4x+3与x轴交于/、2两点，/在2左侧，与y轴交于C点.

(1)C点坐标为,LABC的面积为；

(2)请在平面直角坐标系中画出函数图象，并回答：不等式x2-4x+3>0的解集是

一、【易错必刷十七二次函数应用之图形几何问题】

1.如图，要围一个矩形菜园ABC。，其中一边ND是墙，且AD的长不能超过26m,其余的三边4B,

BC,CO用篱笆，且这三边的和为40m.有下列结论:

2

AD

菜园

BC

①48的长可以为6m；

②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2;

③菜园ABCD面积的最大值为200m2.

其中，正确结论的是（）

A.①②③B.①②C.②③D.③

2.如图，在中，ZS=9O°,AB=6cm,BC=8cm,动点P由点A出发沿48方向向点8匀速移

动，速度为lcm/s,动点。由点8出发沿8c方向向点C匀速移动，速度为2cm/s.当一个点到达终点时,

另一个点也停止运动.若动点尸、。同时从/、3两点出发，s时，APB。的面积最大，最大面积是

cm2.

3.如图，在RtZX/BC中，N/C3=90。，/4=30。，3c=2cm.点尸从点/出发，以2c加/s的速度沿4f3fC

向终点C运动，过点P作直线/C的垂线交NC于点。，当点P与/、C不重合时，作点/关于点。的对称

点Q,设点尸的运动时间为xs（0<x<3）,△/尸。与△4BC重叠部分图形的面积是yen?.

（1）48的长为；

（2）当点。与点C重合，求x的值；

（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

【易错必刷十八二次函数应用之销售问题】

1.某商品每件进价20元，销售期间发现，当售价为25元时，每天可售出120个，销售单价每降价1元,

每天销量增加10个，现商家决定降价销售，每个降价x元（0<x<5）,设每天销售量为了个，每天销售商

品获得的利润w元，则下列函数关系式正确的是（）

A.y=10x-120B.y=-10x+120

c.w=(10x+120)(25-20-x)D.w=(-10^+120)(50-x)

2.某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价

销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶40元，则该商店每月获得

最大利润时，每顶头盔降了元.

3.某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元,

则每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售

利润为y元.

（1）求月利润为7000元时，每件衬衫的售价；

（2）求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？

【易错必刷十九二次函数应用之拱桥问题】

如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线了=；

1.-/+8（单位：米），施工队计划在大棚正中搭建

则脚手架高。£为()

C.5米D.4米

其解析式为了=-//.当水面离桥拱顶

2.赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示,

的高度。。为4m时，水面宽度力B为—m

3.如图为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度了（单位:

m）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系了=一0.02/+0.3工+左的图象，点

8（6,2.68）在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD=4m,高。£=1.8m的矩形,

图1

(1)k=:

（2）可判定货车完全停到车棚内（填“能”或“不能”）.

31易错必刷二十二次函数应用之投球问题】

i.在校运动会上，小明同学进行了投实心球比赛，我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛

物线，如图建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度与水平距离x（m）之间的函数关系是

14

y=-x2+^x+2,则该同学此次投掷实心球的成绩是（）

2.一名男生推铅球，铅球行进高度了（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式是

125

J^=--X2+-X+-,则他将铅球推出的距离是m.

3.如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的/处射门，已知球门高03为2.44m,球射向

球门的路线可以看作是抛物线的一部分.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度

为3m.现以。为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.

N（m）

（i）求抛物线的解析式（不必写出自变量的取值范围）;

（2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）.

一、【易错必刷二十一二次函数应用之喷水问题】

1.如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米.当

喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离。7是（）

2.昆明某公园拟增建喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜射出水柱，经过测量水柱在不

同位置到喷水管的水平距离和对应的竖直高度呈抛物线型，若要使水柱在离喷水管水平距离3米处离地面

竖直高度最大，最大高度为5米，水柱落地处离喷水管水平距离为8米，则喷水管要离地面______米喷水.

3.为了美化校园，某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池，喷水池中央设置一柱形喷水装置。/高2

米，点A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.。位于圆形喷水池中心的

水面处，按照如图所示建立直角坐标系，该设计水流与04的水平距离为1米处时，喷出的水柱可以达到最

大高度3米.

（1）求出该抛物线的函数表达式;

(2)为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外，需要在水流落回水面处的外侧预留1米距离，则该圆形

喷水池的半径至少设计为多少米合理？

一31易错必刷二十二二次函数应用之存在性问题】

1.点尸(见〃)在二次函数夕=-；/-3x的图象上，小明在探究〃取不同值，点P的存在性问题时，得到如下

三个结论：

①当〃=10时，点P的个数为0；

②当“=4.5时，点尸的个数为1；

③当〃=4时，点P的个数为2.

下列判断正确的是()

A.①错，②③对B.①对，②③都错C.①②对，③错D.①②③对

2.对某一函数给出如下定义：如果存在常数对于任意的函数值y,都满足那么称这个函数是

有上界函数；在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界.例如函数y=-(x+l)2+2/42,

因此是有上界函数，其上确界是2.如果函数了=-x?-2x+加的上确界是5,则加的值为.

3.如图，已知二次函数y=/+2x-3的图象与x轴交于42两点，与〉轴交于点C.若在抛物线上存在一

点尸，使S.ABP:S/BC=4：3,求点尸的坐标.

rc

一31易错必刷二十三二次函数的角度旋转问题（45°）］

1.如图，抛物线＞=/+瓜+。与x轴交于点A、B,与歹轴交于点C,/OBC=45。，则下列各式成立的是

（）

A.b+c+1=0B.6—c+l=OC.b—c—1=0D.6+c—1=0

2.如图，已知抛物线歹=-1—3壮4,点尸是抛物线上一动点.当点尸在