高考数学重难点专项复习：切线放缩（2大考点+强化训练）（原卷版+解析）

培优点01切线放缩（2大考点+强化训练）

在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以用切线不等式

进行放缩.导数切线放缩法是一种非常实用的数学方法，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规

律，更能使问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起到事半功倍的效果.

—【知识导图】

❶考点一：单切线放缩

★切线放缩

❷考点二：双切线放缩

【考点分析】

考点一：单切线放缩

常见的切线放缩：VxGR都有e*2x+l.当x〉一1时，ln（x+l）Wx.当x〉0时，x>sin矛；当水0时，Xsin

x.

规律方法该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题（拆成两个函数），两函数有斜率相同

的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即可，

难点在合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板.

【例1】（2023上•辽宁大连•高三大连八中校考期中）已知函数〃x）=oxlnx,（a*O）.

⑴若函数g（尤）=7⑺（其中：尸（无）为外力的导数）有两个极值点，求实数a的取值范围；

(2)当4=1时，求证：y(x)<ex+sinx-l.

i3

【变式】（2023上•贵州黔东南•高三统考期中）函数/（无尤+5（〃>0）.

⑴求函数”力的单调区间；

⑵当a=l时，若〃芯）+〃々）=。,求证：^+X2>2.

考点二：双切线放缩

规律方法含有两个零点的/<x）的解析式（可能含有参数荀，生），告知方程『5）=6有两个实根，要证明

两个实根之差小于（或大于）某个表达式.求解策略是画出f（x）的图象，并求出f（x）在两个零点处（有时候

不一定是零点处）的切线方程（有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线），然后严格证明曲线Hx）

在切线（或所找直线）的上方或下方，进而对荀，后作出放大或者缩小，从而实现证明.

【例2】（2024上•浙江嘉兴•高三统考期末）已知函数无）=g/+（a-根一1）尤-q尤m尤.

（1）若机=-1时，y=/（x）在其定义域内不是单调函数，求a的取值范围；

⑵若°=2,时，函数y=〃x）有两个极值点X1,x2（xl<Xj）,求证：当-不<3（〃?+1）.

【变式】（2024下•河北-高三校联考开学考试）已知函数

/(%)=(x+Q)(e“_Q),=4ex—ax,/zW=|e2OT—ax

⑴若“X）、g（元）在（2,42））处切线的斜率相等，求。的值;

⑵若方点""有两个实数根孙々，试证明：—

Z?+e+leZ?

（3）若方程/（%）=/有两个实数根“苍，试证明：|再一々区1++---.

3e-le-1

【强化训练】

1.（2024上•江苏扬州•高三统考期末）已知函数f（x）=（lnx-的最小值为-1.

（1）求实数加的值；

⑵若〃尤）=。有两个不同的实数根%,%（%<々），求证：2—A2cxi<%—（a+l）e.

2.（2024上•重庆•高三重庆南开中学校考阶段练习）若函数f（x）在定义域内存在两个不同的数4,

巧，同时满足〃为）=/伍），且“X）在点（占,/（占）），值,/（%））处的切线斜率相同，则称/（X）为“切

合函数”.

⑴证明：〃力=2尤3一6尤为“切合函数”；

⑵若g（x）=xliM-：V+也为“切合函数”（其中e为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为4，

（i）求证：玉/<二；

3

(ii)求证:(〃+I)2玉%2-<-.

4

3.（2023,重庆模拟）已知函数3（x）=sinx—aln（x+l）.

⑴若石=1,证明：当［0,1］时，f（x），0；

（2）若石=—L证明：当x£［0,+8）时，2.

4.(2023•柳州模拟)已知函数f(x)=lnx+~~2x.

x

⑴当a>0时，讨论f{x}的单调性；

(2)证明：e-L2x〉f(x).

X

5.(2023•福州模拟)已知函数广(x)=xlnx—x.若广(x)=6有两个实数根不，如且矛《双求证：be+e<x2

—^i<2A+e+~.

e

6.(2023•山东省实验中学模拟)已知函数Mx)=(x+l)(e'—1),若函数g(x)=Hx)一"(或0)有两个零点荀,

X2,且xi〈生，证明：X2—XIW1+2H+"一

e—1

7.(2023,广州模拟)已知函数F(x)=ln(x+l).

(1)证明：当x>—1时，f(力Wx：

。1+岸+.”

⑵已知证明：e23n>sin（77+l）.

8.(2023•遂宁模拟)已知函数HX)=3(X+1)——x£R.

e

⑴若F(x)是减函数，求实数a的取值范围；

2a

(2)若_f(x)有两个极值点矛,1X2,其中求证：至一荀＞一+2.

e

培优点01切线放缩（2大考点+强化训练）

在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以用切线不等式

进行放缩.导数切线放缩法是一种非常实用的数学方法，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规

律，更能使问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起到事半功倍的效果.

弋【知识导图】

❶考点一：单切线放缩

★切线放缩

❷考点二：双切线放缩

©【考点分析】

考点一：单切线放缩

常见的切线放缩：VxGR都有e*2x+l.当x>—1时，ln（x+l）Wx.当x〉0时，x>sin矛；当水0时，矛<sin

规律方法该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题（拆成两个函数），两函数有斜率相同

的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即可，

难点在合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板.

【例1】（2023上•辽宁大连•高三大连八中校考期中）已知函数〃x）=talnx,（。二0）.

⑴若函数g（尤）=f（尤）+士（其中：/（x）为了（力的导数）有两个极值点，求实数a的取值范围;

（2）当a=l时，求证：/（x）<ex+sinx-l.

【答案】（1）1°，;[

（2）证明见解析

【分析】（1）先求得g（x）,然后求得g'（x）,根据g'（x）在（0,+8）有两个变号零点列不等式组，由此求得

。的取值范围.

(2)要证/'(x)<e"+sinx-l,即证e*+sinx-xlnx-l>0,设M(x)=e*+sinx—xlnx—l(x>0),

M,(x)=eJC+cos%-(lnx+l),M,(%)>ex-lnx-2,利用切线放缩可证”(x)>0,利用单调性证得所证不

等式成立.

【详解】(1)依题意知：xe(0,+oo),f'(x)=alnx+a,

g(x)=alnxd——^—^+a,XG(0,+CO),

ax2+(2a-l)x+a

g，(x)=

x(x+l)2

：g(x)有两个极值点,

g'(x)在(0,+8)有两个变号零点,

令g'(x)=O得：ax2+(2a-l)x+o=0,(awO),

关于x的一元二次方程有两个不等的正根，记为七，

A>01。+1>0

xl+x2>0,即《2a-l八，

八------>0

玉•%>°Ia

1

a<一

4

解得**•0<a<一,

4

0<a<一

2

故a的取值范围为：(0,；

(2)证明：当a=l时，/(x)=xlnx,要证/(%)ve'+sinx—l,即证％In%ve"+sinx—l,即证

ex+sinx-xlnx-l>0,

设=e"+sin九一xlnx-1(无>0),(九)=e“+cosx-(lnx+l),

vcosx>—1,/.Afr(x)>ex—Inx—2,

先证e">x+l,

令g(x)=e'—x—1,g<x)=e*—l,当％>0时，gz(x)>0,

・・・g(x)在(0,+8)上单调递增，又・・・g(o)=o,

・••尤>0时g(x)>。，BPex>x+1.

再证lnx<x-l,

令/z(x)=lnx-x+l,

h'(x}=--l=^,

XX

当Ovxvl时,〃(x)>0,〃(x)单调递增；

当x>l时，〃(x)<0,/z(x)单调递减.

/./；(%)<7/(1)=0,/.]nx<x-l,即一InxN-x+l成立,

/.M,(%)=er-lnx-2>(x+l)+(l-%)-2=0,

xe(0,+oo)时,M(x)单调递增,

当xe[l,+8),M(%)>M(l)=e+sinl-l>0,

当xe(0,l),-xlnx>0,

M(x)=er+sinx—xlnx—1>eA+sin%—1,

又丫=入y=sinx是(0,1)上的增函数，所以函数〉=6，+5m》-1在(0,1)上增函数，

.,.ev+sinx—l>e°+sinO—1=0,即当第«0』),M(x)>0,

综上,xe(O,同,M(x)>0,命题得证.

【点睛】思路点睛：本题第二问属于利用导数证明不等式问题，可先用分析法化简转化所证不等式，即证

ex+sinx-xlnx-l>0,通过构造函数河(%)=/+5111%-幻11彳一1(%>0),再结合导数

M,(x)=ex+cosx-(lnx+l),利用切线放缩e，>x+l,InxVx—1,可证(尤)>0,再由单调性来证得不

等式成立.

13

【变式】(2023上•贵州黔东南•高三统考期中)函数/(%)=。12+5尤2一,+1)尤+](“>()).

⑴求函数的单调区间；

⑵当“=1时，若〃玉)+〃％)=0，求证：xl+x1>2.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)求出函数的导数尸(x)=("T)：一"),分类讨论a的取值范围，结合解不等式，即可求得函

数的单调区间；

13

(2)当。=1时，确定〃到=9+；尤2-2尤+；在(0,转)单调递增，/(1)=0,由此可判断与飞是否相等的

情况，当工产尤2时，和马分别位于(0,1),(1+8)内,构造函数g(x)=/(x)+〃2-x),判断其性质，结合其

性质即可证明不等式成立.

13

【详解】(1)由题意/(x)=alnx+/x2一(Q+I)%+/(Q>O)定义域为(0,+8),

/»，+尤_(4+1)=\一(—=(1)(i),

XXX

当0<0<1时，令/'«了)>。，解得0cx<4或无>1,

此时“X)的单调增区间为(0,a),(1,+8)；

令解得0<无<1,〃力的单调减区间为3D；

当。=1时，/(司=攵3上0,等号仅在x=l是成立，

此时“X)的单调增区间为(0,+8),无减区间；

当0>1时，令解得O<X<1或x>a,

此时〃x)的单调增区间为(0,1),3+◎；

令/⑺<0,解得K,〃x)的单调减区间为(1M)；

综合上述：0<“<1时，〃尤)的单调增区间为(0,初(1,+8),单调减区间为(4,1)；

当。=1时，“X)的单调增区间为(0,+8),无减区间；

当时，”X)的单调增区间为(0,1),3+8),单调减区间为(1M);

13

(2)当a=l时，/(%)=Inx+e%?—2%+5,

13

由(1)知〃%)=©+92—2x+：在(0,+8)单调递增，且/⑴=0,

故当网=w时，必有%=%=1，此时占+尤2=2,

当占时，则必有苍，三分别位于(0,1)分+8)内;

1313

令g(x)=/(x)+/(2-x)=lnx+—x2-2x+—+ln(2-x)+—(2-x)2-2(2-x)+—

ln[x(2-切+/-2x+l=ln[l-(x-l)2]+(x-l)2,xe(0,1),

11—Y

令尸(%)=lnx-%+L(x>0),则F'(x)=——1=---,

xx

当0<x<l时，F'(x)>0,P(x)在(0,1)上单调递增，

当x>l时，F(x)<0,尸⑴在(1,y)上单调递减，

故尸(x)V/(1)=。,即InrWx-L当且仅当x=l等号成立；

令=fe(0,1),则g(t)=ln(l-f)+t<l-t-l+t=0,

故g(x)=/(x)+〃2r)<0恒成立，

不妨设。贝了(占)+〃2—%)<0,即—),

又/(%)+/®)=0,BP-/(^)=/(X2),故/㈤>/(2-xJ,则/>2-占,

即玉+工2>2,

综合上述可得否+%222.

【点睛】难点点睛：本题考查了利用导数求解函数的单调区间以及证明不等式；难点在于不等式的证明，

解答时要注意到当。=1时，/(引=11«+5--2工+：单调递增，且/⑴=0,由此可判断为，%的取值情

况，进而构造函数g(尤)=〃力+〃2-力，结合其性质即可证明不等式.

考点二：双切线放缩

规律方法含有两个零点的/'(x)的解析式(可能含有参数不，苞)，告知方程/'(x)=6有两个实根，要证明

两个实根之差小于(或大于)某个表达式.求解策略是画出f(x)的图象，并求出f(x)在两个零点处(有时候

不一定是零点处)的切线方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线)，然后严格证明曲线/<x)

在切线(或所找直线)的上方或下方，进而对荀，热作出放大或者缩小，从而实现证明.

【例2】(2024上•浙江嘉兴•高三统考期末)已知函数〃无)=；尤2+(a-根T)尤-arlnx.

⑴若根=-1时，y=〃x)在其定义域内不是单调函数，求a的取值范围;

(2)若a=2,机<。时，函数y=/(x)有两个极值点看，/(公<%)，求证：%-玉<3(机+1).

【答案】⑴°<0或a>e

(2)证明见解析

【分析】(1)求出函数的导数，将函数/(X)在其定义域内不是单调函数，转化为方程。=六有解，构造

函数，g(x)=卢，利用导数判断其单调性，确定其取值范围，结合验证，即可求得答案；

Inx

(2)函数y=7(x)有两个极值点，即1(x)=o有两解，转化为函数/?(x)=x-l-21nx的图象与直线y=m

有两个交点的问题，进而设y=//(x)的图象与X轴的交点为尸(1,。)，。(1，0),表示出两点处的切线方

f/lX

Q

程，即可求得与直线丁="交点的横坐标七，与的表达式，结合々-玉<%-工3=--+x0-l+m,整理变

形，即可证明结论.

【详解】(1)当机=一1时，/(x)=^x2+ax-ax\nx,(x>0),f^x)=x-a\nx.

令广x)=0,显然x=l不是该方程的解，故。=［匚，令g(x)=1匚，g(x)=7下，

'，Inx'7Inx(Inx)

当0<x<l以及l<x<e时，g'(x)<0；当x>e时，g'(x)>0；

g(x)在(0,1)递减，在(Le)递减，在(e,+。)单调递增.

当xe(O,l)时，g(x)<0；当xe(l,+e)时，g(x)>g(e)=e.

由于函数/(X)在其定义域内不是单调函数，即方程。=熹有解,

从而〃<0或〃之匕，

当〃=e时，令加(x)==x—elnx,则加(％)=1_士=^~,

xx

当0<x<e时，m(x)<0,相⑴在(0,e)上单调递减，

当％>e时，m(x)>0,根(%)在(e,+8)上单调递增，

故根(无)之机(e)=0,gp/r(x)>0,元二e取等号，

此时八％)在(。，+8)上单调递增，不符合题意,

故。<0或〃>e；

(2)〃=2时，/(x)=^-x2+(l-m)x-2xlnx,/r(x)=x-l-21nx-m.

因为函数y=有两个极值点，即/（无）=0有两解，

即函数/2（x）=x-l-21nx的图象与直线丁=根有两个交点,

2

令=l=0,得x=2.当0<x<2,〃（x）<0；当x>2,/?,（x）>0,

h（x）在（0⑵上单调递减，在（2,+8）上单调递增,

故〃min（x）=l—21n2,所以1一21n2<〃z<0.

设〉=〃（司的图象与x轴的交点为尸（1,0）,g（xo,O）,

则函数产力⑺的图象在点尸处的切线4为,=-（彳-1）.又人优）=0,/i（3）=3-l-21n3<0,

/2（4）=4-l-21n4>0,

所以与«3,4）,函数y=/z（x）的图象在。处的切线4为y="a（x-x。）.

玉）

J/IX

设直线,=根与直线4，，2的交点的横坐标分别为W，%，则％3=1-机，%=一、十%，

X。一，

12m/_x_1

所以％2一%</一%3=-----+x0-1+m=--------F（x0-21+2m+1,

x0-2x0-2

由于飞一2£（1,2）,m<0,

2m/_\_t21tl/、

故----+（%-2）+2m+1<----1-2+2m+1=3（m+l）,

x（）—22

即%2一%<3（m+l）.

【点睛】难点点睛：本题考查了导数的综合应用，涉及到函数的单调性以及极值和不等式的证明问题，难

点在于（2）根据函数有两个极值点，证明不等式吃-药<3（m+1）,解答时要将函数y=『（x）有两个极值

点，即1（x）=0有两解，转化为函数%（x）=x-1-21nx的图象与直线y=m有两个交点，进而再借助于切

线方程，证明结论

【变式】（2024下•河北•高三校联考开学考试）已知函数

x〃(x)=：

/(x)=(x+6z)(e-a),g(x)=4e"-ax,e2ax-ax

⑴若“X)、g(尤)在(2J⑵)处切线的斜率相等，求。的值;

x

⑵若方/'击(x墨)-g存'(x有)两个实数根孙々，试证明：e丁i+e源巧;

⑶若方程〃力=人有两个实数根出尤2,试证明：++

3e—1e—1

【答案】(1)1

(2)证明见解析;

(3)证明见解析

【分析】(1)利用导数的几何意义求解即可;

(2)由题意得首先证明—Ve-3,再结合差比性质得?一】变形后，结

g\2x)-h\x)exeleX1-e2X2

x2

ei+e*e』-e1

合换元法及导数知识求证一^>-------即可得证；

2xx—x2

(3)首先令尤2>占去掉绝对值符号，再求得“X)N—(X+1),—(x+i)=6的根玉上王，以及方程

(3e-l)x-e-l=人的根工；=^^29，结合放缩的矢口识可得%-玉V%-国41+1可+且；，所以原

3e-l3e-le-1

不等式可得.

【详解】(1)/f(x)=(x+o+l)ev-a,g'(x)=4e*-a,

r(2)=(3+«)e2-«,g'⑵尸右-a又〃2)=g'(2),

所以a=1.

(2)由⑴知a=l,贝=,"⑺=3e2「l

尸(x)-g，(x)_(x+2)ex-l-4ev+l_x-2

8〈2尤)一//(力一4e"-l-3e2，+l-h

令夕(x)=/，

江(兀)=^~^令“(%)=0,x=3

%<3时，°'(x)>0,°(x)单调递增

元>3时,夕'(%)<0,夕(%)单调递减

所以0(%)(0(3)=1

因为口=三1

e1e2

由差比的性质知：R=—=手与，

e1e2e1一e巧

▼x—2/-3x-x/_.eX1-e%2

X—^<e3,}—^2-<e3,则nJ---------->e33

1

ee-exr-x2

pXi_LpX2

欲证：J^>e3

2

不妨设：%

..2

下证（王一元2）>一令炉』=A（?>1）

下证Inf>亚？令%⑺=3*^1mf(r)=1--^--=>0

所以加⑴在(1,+8)上单调递增，m(t)>〃?(1)=0

所以1m〉止D

/+1

所以£1±£二>匕3

2

/小、丁上、、门十、十八b+e+1eZ?

(3)不妨设％2>再，下证％-玉Win—-—：—I------

3e-le-1

〃尤)在处的切线方程为y=1(x+l)

1—p1

构造F(元)=/(尤)-----(x+1),歹'(x)=(尤+2)e*——，E"(x)=(无+3)e*

当x<—3时，尸(x)<0;x>-3时，F"(x)>0；

所以F'(x)在(-a),-3)上单调递减，在(-3,+e)上单调递增

XF,(-3)=-e-3--,limF'(x)=~,F,(-l)=0

所以歹（X）在（-8,-1）上单调递减，在（-1,+。）上单调递增,

所以b(x)2万(—1)=0,

所以“X)2L^(x+1),

e

设方程S(x)的函数值为L^(x+l)=b的根%，贝l]s(药)=6=〃%)、S(XI)

因为s(x)在R上单调递减，所以占'〈尤一

f(x)在(l,2e-2)处的切线方程为f(x)=(3e-l)x—e-1,

构造G(x)=/(%)—《%)=(X+l)e”-3ex+e

G(x)=(x+2)e"-3e,G"(x)=(x+3)e”

当xv-3时，G"(%)<0;%>-3时，G"(%)>0；

所以G〈x)在(-a),-3)上单调递减，在(-3,+8)上单调递增

又G(-3)=-e-3-3e<0,limGf(x)=-3e,G(1)=0

所以G(x)在(-8,1)上单调递减，在。,+8)上单调递增

所以G(x"G⑴=0

所以/(A：)>(3e-l)x-e-l

设方程《x)=(3e—l)x-e-l=b的根无2=

又6=/(尤2)=〃尤2)2/(工2)，由《X)在R上单调递增

所以x24%

又为2%

匚匚I、1/，;Ib+e+1eb

所以％2-M々一玉<1+——H-----.

3e-le-1

【点睛】本题考查了导数的综合运用：求切线的斜率切线方程，求函数单调性和最值，考查分类讨论思想

方法和构造函数法，考查化简运算能力和推理能力，属于难题.

二

【强化训练】

1.(2024上•江苏扬州•高三统考期末)已知函数〃x)=(lnx-根)尤的最小值为-1.

(1)求实数机的值；

(2)若/(x)=a有两个不同的实数根外,%(%<赴)，求证：2—A2cxi</一(<7+1》.

【答案】(1)1;

(2)证明见解析.

【分析】(1)利用导数研究，(尤)的单调性，结合最小值求参数值即可；

(2)根据题设及导数判断的单调性及区间符号，进而有根据极值点偏

移，构造g(x)=〃尤)-〃2-力并利用导数研究x«O,l)上的单调性，证明再+巧＞2,再记函数＞与

x—e

%=-无和必=—交点的横坐标分别为与，彳4，结合导数证得玉＜退=-。、x2＞x4=ae-a+e,有

%-毛=(〃+l)e,即可证结论.

【详解】(1)因为r(x)=lnx+l-欢X＞O)K令洋(x)=0,可得无=e*L

当尤e(0,e™-1)时/'(x)＜0"⑺单调递减；当尤e(底,+s)时/(x)＞0,/(x)单调递增.

所以f(x)mn=f(e'"T)=一e'i=-1,所以〃?=1.

(2)证明：由(1)知,y(x)=x(lnx-1)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增，

先证明%＞2-％.

iHg（x）=/（x）-/（2-x）=xliu+（x-2）ln（2-x）-2x+2,则g'（x）=lnx+ln（2-x）=ln[x（2-尤）],

当xw（0,l）时,0＜x（2-x）＜l,所以g'（x）＜0,g（x）单调递减,

所以当xe（O,l）时,g（x）＞g⑴=0,BP/（x）＞/（2-x）,

故〃玉）＞/（2-占），即/㈤＞/（2-占）.

又入2>1,2-玉>1,由单调性知：9>2-玉，即%>2-％2.

再证明尤2-%>(a+l)e.

X——p

记函数y=，与％=T和%=―T交点的横坐标分别为£，%.

e-1

①当兀£(0,1)时，/(x)+x=xlnx<0,故〃=_忍=/(%)<_%,所以，x1<x3=-a.

(或：丁=/(尤)的图象在弘=-工的图象的下方，且两个函数在(。,1)上都是减函数)

②当了£(l,e)时，/i(x)=/(%)-——-=xlwc-x--―,所以〃(x)=hix———.

e—1e—1e—1

(/j_A

当XEl,ee-1时"(x)<O,/z(x)单调递减；当ee-1,e时〃(x)>O,/z(x)单调递增.

\7\7

又〃(l)=/z(e)=O,当xe(l,e)时，h(x)<0,即〃x)<4.

故a=〃xJ="<W

e-1e-1

所以马〉Z=〃e_〃+e,故/一%>乂一毛=(Q+l)e.

(或y=F(x)的图象在必=^^的图象的下方，且两个函数在(Le)上都递增)

X

综上，2-2<X^<X2-(d!+l)e.

【点睛】关键点睛：第二问，首先应用极值点偏移构造g(x)=〃x)-"2-"证石+%>2,再记函数

x—e一

>=。与必=-尤和%=:一T交点的横坐标分别为了3,X4，依次证再<尤3=-。、々>Z=ae-a+e为关键.

e-1

2.(2024上•重庆•高三重庆南开中学校考阶段练习)若函数/(尤)在定义域内存在两个不同的数4，

巧，同时满足〃为)=/伍)，且“力在点(占,〃3))，(马，“尤2))处的切线斜率相同，则称/(X)为“切

合函数”.

(1)证明：〃x)=2/_6x为“切合函数”；

⑵若8(同=只0%-』/+6为“切合函数”(其中e为自然对数的底数)，并设满足条件的两个数为4，

e

巧

.2

(i)求证：x,x<一e；

124

3

(ii)求证:(a+1)2x,x-J%%<-.

24

【答案】(1)证明见解析

(2)①证明见解析；②证明见解析

【分析】(1)假设存在的，々满足题意，结合题意/&)=/(%),广(占)=/'(%),即可求解;

(2)结合新定义“切合函数”满足的条件，得到玉，演的关系，构造新的函数求导利用单调性证明・

【详解】(1)假设存在为，巧满足题意，易知/(x)=6x2-6,由题可得:

〃玉)=〃马)024—6芯=2%2-6xj=邸+X|X2+x；=3,

/'(可)=)'5)06;^-6=6尺一6n百=0n七=一马代入上式可解得,

%=­\/3,x2=陋或&=-\/3,x2=-\/3,

故〃x)为“切合函数”.

(2)由题可知g'(无)=lnx-■—+a+l,因为g(x)为“切合函数",故存在不同的A，巧(不妨设

0<x1<x2),

令，=则由。<为</可知才>1,要证上式，只需证：

t—〉ln〃=21n.<=>=21m—tT—<0,易知/?/(/_)=―---——<09

故加(。在(1,+8)上单调递减，所以加(。<租(1)=0,故有>同成立,

i-----ee2

由上面的②式可得J%%<—=>x1x2<—；

=

(ii)由上面的②式可得：~2(x~-xiy代入到①式中可得：

_-x2lnx2+1（1吨—皿）（工2+七）

%2一再2x2-x,

xj叫一x2lnx2-xQ\nxl+x^wc2

2（%-玉）

x1lnx1x2-x2lax1x2_1叫/__2

2（4-网）

（另解：由上面的②式可得，代入到①式的变形:

a{^x2-Xy）=xjnx：1-x2ln%2+—~,整理后也可得到〃=）

___3

故要证（。+1）2再入2-6^<-，只需证：

（6Z+1）2e-2fl-e-"<|«|e2a+ea-（^z+1）2>0

设/z（〃）=1""+e"—（a+1）?[〃>In—j,则即证：h（a）>0,

33

h'（a）=^e2a+ea-2（a+l）,设M（a）=+e"-2（a+l）

M'（a）=3e2a+e"-2=（31-2）（e"+1）,

=36"一2＞0="（0）＞00〃（4）在［4，+°］上单调递增,

下面证明犬-lnx-120在（0,+。）上恒成立，

11_r

令£（x）=x-lnx-l,则Z/（x）=l——=---,

所以当无«0,1）时，r（x）＜o,

当X£（1,+8）时，r（x）＞o,

所以“X）在兄=1处取得最小值，£（1）=0,

所以“力N。在（0,+。）上恒成立，

所以当X=g时，2^|-ln|-l^|＞o,即为M）＞。，

=＞为(。)在［lng,+8］上单调递增,

=>/Z(Q)>h\In—

所以原不等式成立.

【点睛】方法点睛：考查了函数的新定义以及不等式的证明问题，利用导数研究函数的单调性，通过构造

新函数，利用函数的单调性证明.

3.(2023•重庆模拟)已知函数3(x)—sinx—aln(x+l).

(1)若，=1,证明：当[0,1]时，_f(x)20；

(2)若〃=-1,证明：当x£[0,+8)时，_f(x)W2e'—2.

【解析】证明(1)首先证明sin后x,[0,+°°),证明如下:

构造JCY)=sinx—x,[0,+°°),

则j'(x)=cosx—1W0恒成立，

故/(x)=sin太一才在[0,+8)上单调递减，

故J(x)«0)=0,

所以sinxWx,[0,+°°).

当a=l时，F(x)=sinx—ln(x+l),[0,1],

21

X]

1一5一1+x

x]

2x十1

,,,/、、2+2x—x—x—2x1—x、.rt-—、

故f(x)2~TT720在[r0,1]上恒成立，

乙~I-乙X乙I乙X

所以f(x)在[0,1]上单调递增，

故/*(才)2〃0)=0.

⑵令g(x)=(2e+一2)—F(x),x£[0,+^).

当@=一1时，g^x)=2ex—2—sinx—ln(x+l)

=2(ex-x—1)+jr—sinx+x—ln(x+l),

下证:e'—x—120(x20),x—sinx20(x20),x—In(x+1)20(x20),且在x=0处取等号,

令r(x)=e*—x—1(xNO),则/(x)=e'—120,

故r{x)=e'—x—1在[0,+°°)上单调递增，

故r(x)2r(0)=0,且在x=0处取等号，

由(1)知J(x)=sinx—x在［0,+8)上单调递减,

故J(x)WJ(O)=0,且在x=0处取等号，

令t{x}=x—ln(x+l)(x20),

1V

则t'W=1——T=~T7>0,

x+1x-\-1

故［(x)=x—ln(x+l)在［0,+8)上单调递增,

故方(x)21(0)=0,且在x=0处取等号，

综上有g(x)=2(e“一x—1)+x—sinx+x—ln(x+l)20,且在x=0处取等号，即(2e*—2)—_f(x)20,即

证广(x)W2e>—2.

4.(2023,柳州模拟)已知函数f{x}=lnx+~~2x.

x

(1)当a>0时，讨论f(x)的单调性；

(2)证明：e-L2x“(x).

X

【解析】(1)解由题意可知x>0,

，/、1a2x~x+a

f'W=—--2=-----2—，

XXX

对于二次函数y=2x—x+a,/=1—8a.

当

3时/WO,f'(x)WO恒成立,

f(x)在(0,+8)上单调递减；

当0〈a〈(时，二次函数y=-+x—a有2个大于零的零点，

O

分别是「匕炉I片土户I

当xe尸斗三，时,(幻〉°，

f(x)在尸产I1+『［上单调递增;

当』,+8卜，

f(x)〈0,Mx)在［o,匕斗三可和尸斗三画，+8)上单调递减.

综上，当时，f(x)在(0,+8)上单调递减；

O

当。依时，f(x)在『斗三，1+『〔上单调递增,在［。，匕斗三；产华£+f上单调

递减.

O—9Y—9Y

⑵证明要证ev+--------->f(x),

X

即证e*>lnx+2.

不妨设力(x)=e*—(x+1),

则为，(x)=e"—l,h'(0)=0,

当水0时，H(0)<0,当x>0时，ti(0)>0,

因此力(x)2力(0)=0,ex—(x+1)20恒成立.

11—x

令"(x)=lnx—x+l,m'(才)=一一1=----，

xx

当0<x<l时，m'(x)>0,勿(x)单调递增，

当x>l时，m'(x)<0,勿(x)单调递减，

故当x=l时，刃(x)取得最大值加(1)=0,因此Inx—x+IWO,

则e"—(x+1)+[x—(Inx+1)]

="—(Inx+2)>0恒成立(等号成立的条件不一致，故舍去)，

即ex>lnx+2.从而不等式得证.

5.(2023•福州模拟)已知函数_f(x)=xlnx—x.若F(x)=6有两个实数根不，出且x《X2.求证:加+e(照

-xi〈26+e+‘.

e

【解析】证明Hx)的定义域为(0,+8),/(x)=lnx

令f(x)>0,得x>l；

令f(x)<0得，0<Xl,

所以f(x)在区间(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减.

因为广(x)=6有两个实数根矛1,如且矛<X2.

所以0<xi<l<x2,

先证不等式x—xi<2b+e+-,

2e

因为广(e)=0,f电=-3，

f'(e)=1,f'g)=­l,

所以曲线y=_f(x)在x=:和x=e处的切线分别为li：y=—x—：和72：y=x-e,

如图,

令g(x)=f(x)一(—x—，)=xlnx+，，0<Xl,则g'(jr)=1+Inx,

令"(x)>0,则gx〈l；

令g,(x)〈0,则0〈水｝

所以g(x)在(0,I)上单调递减，在1%1)上单调递增，所以g(x)》«f=0,

所以/U)》一x一工在(0,1)上恒成立，

e

设直线y=6与直线，交点的横坐标为V1,

则X，WE,

设直线y=6与直线心交点的横坐标为V2,

同理可证X2WX’2,

因为x'i=—b--,x'2=b+e,

e

所以范一X1〈X'2~x'i=6+e—(—5—3

=26+e+，(两个等号不同时成立)，

e

因此刘一xK26+e+士

e

再证不等式x2—xi>6e+e,

函数图象f(x)上有两点4(1,-1),8(e,0),

设直线p=6与直线如：y=~x,AB：e)的交点的横坐标分别为矛3,为，

e—1

易证Xi〈国〈为〈加，且不=-6,x4=(e—1)Z?+e,

所以用一矛i>屈一天=(e-1)b+e—(-6)=be+e.

综上可得Z?e+e<A2—xK26+e+一成立.

e

6.(2023•山东省实验中学模拟)已知函数广(x)=(x+1)(/—1),若函数g(x)=f(x)—M苏0)有两个零点荀,

X2,且矛<1上2,证明：X2—X1W1+29

e—1

【解析】证明F(x)=(x+l)(eX—1),

令_f(x)=O,有矛i=-1,至=0,

f'(x)=e*(x+2)T,f(—1)=-1+4

f'(0)=1,设曲线尸『(x)在(一1,0)处的切线方程为y=〃x),

则力(x)=f'(―1)(x+1),

令/(x)=_f(x)—力(x)=(x+l)(e“一3，

则F'(x)=(x+2)e^-

e

令Mx)=F'(x)=(x+2)e"—L

e

则〃(x)=(x+3)e:

所以当x<—3时，m'(x)<0；

当x>—3时，m'(x)>0,

所以厂,(x)在(一8,—3)上单调递减，

在(-3,+8)上单调递增，

当X—-8时，尸(分一一L又F(—1)=0,

e

所以当水一1时，F'(x)<0,尸(x)单调递减；

当£>—1时，/(x)>0,/(x)单调递增，

所以尸(x)2尸(一1)=0,